11探索勾股定理
勾股定理常用11个公式
勾股定理常用11个公式勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，指的是直角三角形中，任意一条直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
勾股定理是数学中非常重要的一条定理，广泛应用于各个领域。
以下是勾股定理常用的11个公式：1. 勾股定理的一般形式在直角三角形 ABC 中，设 AB、AC 为直角边，BC 为斜边，则有：BC² = AB² + AC²2. 勾股定理的两个常见形式a. 已知直角边和斜边设直角边 AB = a，AC = b，BC = c，则有：c² = a² + b²b. 已知两条直角边设直角边 AB = a，BC = b，AC = c，则有：c² = a² + b²3. 勾股定理的逆定理如果在一个三角形中，某一边的平方等于另外两边的平方之和，那么这个三角形肯定是直角三角形，即有：若 c² = a² + b²，则三角形 ABC 是直角三角形。
4. 勾股数指满足勾股定理的整数三元组 (a, b, c)，其中 a、b、c 都是正整数，称为勾股数。
例如：(3, 4, 5)、(5, 12, 13)。
5. 勾股数的生成公式生成勾股数的公式称为勾股数生成公式。
其中，m 和 n 是正整数，且 m > n，gcd(m, n) = 1，k 是任意正整数，则有：a = k × (m² - n²)，b = k × (2mn)，c = k × (m² + n²)6. 勾股数的性质a. 勾股数只存在于原始勾股数列中。
b. 勾股数之间不存在公因数。
c. 每个奇数都可以表示为两个勾股数之和。
d. 每个正整数都可以表示为不超过四个勾股数之和。
7. 勾股数的应用a. 构造直角三角形。
b. 计算斜线长度。
c. 解决一些证明问题。
d. 在几何光学中，勾股数用于计算光路长度。
勾股定理公式表,勾股定理公式及证明方法
勾股定理公式表,勾股定理公式及证明方法1、勾股计算公式是什么勾股定理公式的计算是a2 b2c2。
设一个直角三角形的两边分别为a和b，斜边为c，关于勾股定理的知识点我整理过了。
让我们一起学习。
定理定义了任意平面直角三角形中两个直角的平方和必等于斜边的平方。
在△abc，∠ c90，则a bc。
勾股定理简介勾股定理是一个基本的几何定理。
在中国，周弼舒静记载勾股定理公式并证明是商代的商高发现的。
三国时期的姜明祖在姜明祖的计算中对勾股定理做了详细的注释，并给出了另一种证明。
也就是说，设一个直角三角形的两个直角为a和b，斜边为c，那么a bc。
勾股定理大约有400个证明，是数学定理中证明最多的一个。
赵双在他的注解《周髀算经》中给出了“赵双仙图”，证明了勾股定理，勾股数组是a bc的正整数群(a，b，c)。
(3，4，5)是毕达哥拉斯数。
2、勾股定理常用11个公式是什么?勾股定理常用公式就一个，即a的平方加上b的平方等于c的平方，如果一个直角三角形的两边分别是a和b，斜边是c，那么公式就是:a bc。
勾股定理是一个基本几何定理。
它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是联系数与形的纽带之一。
勾股定理:如果一个三角形的三条边a，b，c满足a bc，那么这个三角形是直角三角形，其中c是斜边。
勾股定理常用公式就一个，就是a的平方加上b的平方等于c 的平方，如果一个直角三角形的两边分别是a和b，斜边是c，那么公式就是:a bc。
勾股定理是一个基本几何定理。
它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是联系数与形的纽带之一。
勾股定理:如果一个三角形的三条边a，b，c满足a bc，那么这个三角形是直角三角形，其中c是斜边。
3、勾股定理公式大全及证明方法勾股定理是一个基本的几何定理，意思是直角三角形的两条右边的平方和等于斜边的平方。
接下来给大家分享一下勾股定理公式，以及证明方法。
勾股定理of公式basic公式在平面上的直角三角形中，两个直角边的平方加起来就是斜边长度的平方。
勾股定理常用个公式
勾股定理常用个公式勾股定理是数学中一个非常重要的定理，它是平面几何中的基础定理，常用来求解直角三角形的边长和角度。
根据勾股定理，我们可以推导出多个相关的公式来解决各种问题。
在本篇文章中，我将介绍11个常用的勾股定理公式，每个公式都会附带一个解析和一个示例。
1.三角形斜边的长度(已知两边长度)：c=√(a²+b²)，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据公式，c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5、因此，斜边的长度为52.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：a=√(c²-b²)，其中b是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为4，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，a=√(5²-4²)=√(25-16)=√9=3、因此，第二个直角边的长度为33.直角三角形的直角边长度(已知斜边长度和另一直角边长度)：b=√(c²-a²)，其中a是已知直角边的长度，c是斜边的长度。
示例：已知一个直角三角形的斜边长度为5，另一直角边的长度为3，求第二个直角边的长度。
解析：根据公式，b=√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4、因此，第二个直角边的长度为44.直角三角形的面积(已知两个直角边的长度)：A=1/2*a*b，其中a和b为直角三角形的两个直角边的长度。
示例：已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，求其面积。
解析：根据公式，A=1/2*3*4=6、因此，直角三角形的面积为65.直角三角形的周长(已知两个直角边的长度)：P=a+b+c，其中a和b分别为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
八年级数学上册《探索勾股定理》知识点北师大版
八年级数学上册《探索勾股定理》知识点
北师大版
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1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足
a2+b2=c2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的
逆命题。
(例：勾股定理与勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：
∠C=90° ∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下：BC= AB ∠C=90°
(3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示为： CD= AB=BD=AD
D为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边
上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄
影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
专题11探索勾股定理-2021-2022学年八年级数学上(原卷版)【北师大版】
2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.1探索勾股定理姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•英德市期末）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．642．（2019秋•高新区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25B．7C．25或7D．25或163．（2021春•金牛区校级月考）下列三条线段不能组成直角三角形的是（）A．3、4、5B．5、12、13C．8、15、17D．4、5、64．（2019秋•滨海县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c25．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（）A．10B．8C．7D．56．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（）A．小正方形面积为4B．x2+y2＝5C．x2﹣y2＝7D．xy＝247．（2020秋•东港市期中）如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值是（）A．13B．25C．33D．1448．（2019秋•昌平区期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（）A．47B．62C．79D．989．（2019秋•建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36B．9C．6D．1810．（2021春•越秀区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（）A．20B．12C．2√5D．2√3二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•武汉期中）一竖直的木杆在离地面4米处折断，木杆顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为米．12．（2021春•隆回县期中）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，且AD＝3，AC＝6，则AB＝．13．（2021•龙泉驿区模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，CD是中线，则CD的长为．14．（2021春•安宁市校级期中）如图，已知正方形A的面积为25，如果正方形C的面积为169，那么正方形B的面积为．15．（2021春•天津期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于．16．（2021•富阳区二模）有一根长33厘米的木棒（粗细忽略），木箱的长、宽、高分别为24厘米、18厘米、16厘米，这根木棒理论上（填“能”或“不能”）放进木箱．17．（2021春•江汉区期中）直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该直角三角形周长为．18．（2021春•海淀区校级期中）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部m处．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•宁都县期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”可翻译为：有一根竹子高一丈，今在A处折断，竹梢落在地面的B处，B与竹根部C相距3尺，求折断点A与地面的高度AC．（注：1丈＝10尺）20．（2019春•望花区期末）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水尺．引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何译文大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？21．（2018秋•台儿庄区校级月考）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为130米，这辆小汽车超速了吗？22．（2018秋•晋江市期末）如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上，梯子的顶端A离地面的高度为2.4m，如果梯子的底部B向外滑出1.3m后停在DE位置上，则梯子的顶部下滑多少米？23．（2020秋•盐湖区期中）如图是一底面周长为24m，高为6m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面1m的A处沿侧面爬行到对角B处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程为多少？24．（2018秋•灵石县期中）阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周脾算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．“上述记载表明了在Rt△ABC中，如果∠C ＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：（2）对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABCD＝c2，S正方形EFGB＝又∵S正方形EFGB＝+，∴＝+，整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，∴．。
北师大八年级上册11探索勾股定理3.doc
第一节探索勾股定理教学目标：1、经历用数格了的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。
重点难点：重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的发现教学过程掌握勾股定理的内容，能利用勾股定理进行计算与证明。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即：它反映了直角三角形三边之间的数晕关系，是解决直角三角形中计算问题以及解直角三角形的主要依据之一。
一、问题的提出：小明放学回家要经过一块长方形的麦地。
如图:1、小明木来应走大路从A经B到C可是他却直从A到C,为什么？2、为什么近、近多少？3、用数学知识如何解答？二、量一量，算一算：1、直角三角形的两条直角边的长度分别为3 cm, 4 cm和5 cm, 12 cm请你量出斜边的长度。
由（1） S = 4 x —ab + c2 3 = 2ab^-c2 22进行有关的计算。
3得出结论：三、证明结论：利用拼合三角形的方法，如下：（1）（2D由(2) S「= a2 +b2 +2ah2ab 4- c~ = ci~ + b~ + 2ab :.a2 +h2 = c2(2)如图:S正=4S A + S小正1 9= 4x—6/Z? + (Z?-6/)~=lab + b2 + Q2 一2ab=a2 +b2:.c2 = a2 +b2练习：1、判断：(1)己知a、b、c是三角形的三边，贝1，.。
2+。
2 =。
2 ( )(2)在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方。
( )(3)在Rt\ABC ZB = 90°:.a2 +b2 = c2( ) 2、填空：在Rt\ABC^. ZC = 90°(1)如果a=3, b=4,则c=(2)如果a=6, b=8» 则c=(3)如果a=5, b=12,则c=(4)如果a=15, b=20,则c=3、解决新课开始提出的问题。
探索《勾股定理》说课稿范文(精选5篇)
探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）探索《勾股定理》说课稿范文（精选5篇）1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。
根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。
"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。
让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。
第二步追溯历史解密真相勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。
从上面低起点的问题入手，有利于学生参与探索。
学生很容易发现，在等腰三角形中存在如下关系。
10--11学年(下)勾股定理(一)
勾股定理(一)一、教学目标1、知识与技能：能说出勾股定理，并能应用其进行简单的计算和实际运用.2、过程与方法：经历观察一猜想一归纳一验证的数学发现过程，发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.3、德育渗透点：(1)通过探索勾股定理的过程，克服困难的经历，体验获得成功的快乐，增进数学学习的信心.(2)通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值，了解祖国悠久文化，激励学生热爱祖国、奋发学习二、教学重点与难点重点：探索勾股定理.难点：利用数形结合的方法验证勾股定理.三、教学过程：［说一说】培养学生表达能力，拓展学生的数学视野，让他们了解数学的发展历史，培养学生学习数学的兴趣。
1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。
观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？人类把勾股定理的发现作为科学史上的十大发明之一，科学领域的许多问题在解决时需要利用勾股定理，世界数学史上通常把一般的勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”，我国在《周髀算经》(1世纪前后)记载，公元前大禹治水时就应用到“勾股定理”了。
【做一做】通过此环节培养学生爱劳动的思想，提高学生解决实际问题的能力分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？2、这三个面积之间是否存在什么样的未知关系，如果存在，那么它们的关系是是什么？fl-【邮票赏析】心«许 4 e【议一议】是否所有的直角三角形都有这个性质 呢？请动手验证。
【小组成员在方格纸上任意作出一个直勾股定理: 【勾股史海】在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为“勾”，下半部分称为 “股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”. 2、商高定理我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出, 将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中. 3、毕达哥拉斯定理两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此在国 外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理和百牛定理.为了纪念毕达哥拉斯学 派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票. S BCS AC S AB 1234567图形:角三角形，N C=90 :将所得的数据填入 表格】勾 股【练一练】1、判断题2 2 2(1)若a 、b 、c 是三角形的三边，则a+b=c . (2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 2、求下列直角三角形中未知边的长.【拓展提升】在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米, 莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 深多少？一阵大风吹过，红 2米，问这里水【总结】1.说说对勾股定理的认识？谈谈学习感受？2.思考验证勾股定理的方法.（可以查阅资料，也可自主探究）作业:下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
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的面积.
P
Q CR
P
Q CR
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形R的面积吗？
5、如图，强大的台风使得一根旗杆在 离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗 杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？
9米 12米
边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
1 .在△ ABC中, ∠C=90°, (1)若a=5,b=12,则c=__________. (2)若a=15,c=25,则b=__________. (3)若c=61,b=60,则a=_________. (4)若a:b=3:4,c=10,则a=________,b=________.
1 探索勾股定理
C A
B
图1--1
C A
B
图1--2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
（1）观察图1-1
正方形A中含 有 个小方格，即 A的面积是 个单 位面积；
正方形B中含 有 个小方格，即 B的面积是 个单 位面积；
正方形C中含 有 个小方格，即 C的面积是 个单 位面积。
正方形A，B，C 的面积之间有什么 关系吗？
（1）观察图1-3，图1-4，
并填写下表：
C
（2）三个正方形A，
A
B，C的面积之间有什
么关系？
BHale Waihona Puke C图1--3A
B
图1-3 图1-4
A的面积
B的面积
C的面积
图1--4
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形 的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之 间存在什么关系吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
2 .在直角△ ABC中,a=5,c=13,则△ ABC的面积 S=_____________.
3. 如图1.1-1,求图中字母M所代表的正方形的面积.
F
D
75 45
M
A
E B
C
图1.1-1
图1.1-2
4. 如图1.1-2,在四边形ABCD中, ∠ BAD=90°, ∠ CBD=90°,AD=4,AB=3,BC=12,求正方形DCEF