位置矢量运动方程轨迹方程位移-新乡学院精品课程
DXWL01--第一章质点运动学
第一章
质点运动学
重点和难点：
本章重点是：运用运动方程求质点的位置、 速度和加速度；以及已知质点运动的加速度和初 始条件求速度和运动方程的方法. 本章难点是：圆周运动中切向加速度的理解.
教学手段和方法：
教师（课堂）讲授、多媒体辅助教学
教学时间安排：
青岛科技大学
大学物理教案 WXJ-V2.0
平均速度 v
与r 同方向.
§1-1 质点运动的描述
2.瞬时速度: 当 t 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线方向.
青岛科技大学 大学物理教案 WXJ-V2.0
当 t 0 时, dr ds ds v et dt
6
t 2s
-6 -4 -2
青岛科技大学
4 2 0
t0
2 4
t 2s
x/m
6
大学物理教案 WXJ-V2.0
§1-1 质点运动的描述 [例2] 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚
性细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行. 如 物体A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体 B的速率为多少？
青岛科技大学 大学物理教案 WXJ-V2.0
§1-1 质点运动的描述
v v 吗？ 讨论 b v a v v(t t ) v(t ) c v(t ) v v(t t ) v(t ) v(t t )
解 （1）由题意可得速度分量分别为
1 1 t 3 s 时速度为 v (1m s )i (1.5m s ) j
第1章-质点运动学大学普通物理课件
方向：速度与 x、 y、z 轴的夹
角为 、、，且有
z
v
y
x
其中cos、cos、cos 称
为 x、 y、z 方向的方向余弦。
cos
cos
cos
vx
v
2 x
v
2 y
v
2 z
vy
v
2 x
v
2 y
v
2 z
vz
vx2
v
2 y
vz2
位矢: r xi yj zk
位移:
速度:
vrdrrB
rA
dx
i
dy
j
dz
k
(大小和方向)
加速度:
dt dt dt dt vxi vy j vzk
速率: v ds dt
a
dv
dvx
i
dvy
j
个参考系。
例如： 坐标轴(两个)固定在地面上的参考系——地面参考系； 以实验室的墙壁地板为参考物——实验室参考系；
§1-2 质点的位矢 位移和速度
Position vector of particle, Displacement and Velocity
1.1. 位置矢量
z
设质点在P点，相应的坐
例瞬时1:速一率个为质v 点在,某平时面间上内作的一平般均曲速线度运为v动,其, 瞬平时均速速度率为为v v
, ,
它们之间的关系必有D( )
位置矢量运动方程轨迹方程位移-新乡学院精品课程
3、角加速度 为了描述角速度变化的快慢，引进角 加速度概念。 （1）平均角加速度： 设在 t 内，质点角速度增量为 定义： （2-12） t 称为时间间隔内质点的平均角加速度 瞬时角加速度： d d 定义： lim lim t dt dt （2-13） 称为 t 时刻质点的瞬时角加速度，简称 角加速度。 d d （2-14） dt dt
y B , t t
O
A, t
x
图 1-11
2、角速度 平均角速度： 定义： （2-9） t 称为平均角速度。平均角速度粗略地描述 了物体的运动。为了描述运动细节，需要引 进瞬时角速度。 d lim lim t dt 定义： （ 2-10 ） d （2-11） dt 结论：角速度等于角坐标对时间的一阶导 数 说明：角速度是矢量,方向与角位移 方向一致。
此时0?nar????????????000000dvdvdvdtdvat匀速曲线运动减速曲线运动加速曲线运动?????????????????????斜抛平抛竖直下抛抛体运动匀速圆周运动减速圆周运动加速圆周运动圆周运动曲线运动特例1角坐标如图111t时刻质点在a处tt时刻质点在b处是oa与x轴正向夹角是ob与x轴正向夹角称为t时刻质点角坐标为t时间间隔内角坐标增量称为在时间间隔内的角位移
加速圆周运动 圆周运动 减速圆周运动 匀速圆周运动 曲线运动特例 竖直下抛 抛体运动 平抛 斜抛
⑷
三、圆周运动的角量描述
1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt 时刻质点在B处，θ是OA与x轴正向 夹角， θ+ Δ θ是OB与x轴正向夹角， 称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ为Δt时 间间隔内角坐标增量，称为在时间 间隔内的角位移。
理论力学(第7版)第五章 点的运动学
运 动 规 律
[例5-1 ] 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
解：
vx x 8 cos 4t , ax 32 sin 4t x
r r t
—以矢量表示的 点的运动方程
矢端曲线：动点M在运动过程中，矢 径r的末端绘出的一条连续曲线。 ——动点M的运动轨迹
3
二.点的速度
dr v r dt
方向：沿着矢径r的矢端曲线的切线 方向，且与此点的运动方向一致。
大小：速度矢的模，表明点运动的快慢。
三.加速度
dv d 2r a r 2 dt dt
dv v2 a a a n a a n n n dt
17
5-3 自然法 曲率(1 / ) ：
定义——曲线切线的转角对弧长 一阶导数的绝对值。表示曲线的 弯曲程度。
d lim| | t 0 S dS 1
由于a , an均在密切面内，全加速a必在密切面内。 度
— 与 弧 坐 标 的 正 向 一 致 n — 指 向 曲 线 内 凹 一 侧 b — 与 , n 构 成 右 手 系
b n
[注]：自然坐标系是沿曲 13 线而变动的游动坐标系。
(动画自然坐标轴的几何性质)
曲线在P点的密切面形成
5-3 自然法
二.点的速度
当t 0时，r MM' S
v y y 8 sin 4t , a y 32 cos 4t y
v z z 4, a z 0 z
2 2 2 2 v v x v 2 v z 80 m s , a a x a 2 a z 32m s 2 y y
第二章 质点运动学
五. 直线运动 1.直线运动的描述 直线运动：质点运动轨迹为一直线； 位矢： r xi 直线运动中，用坐标x(代数量)可表 示质点的位置； 运动方程：x x(t )
P2
x2
P1
0
x1
x
§ 1-2圆周运动
本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。 一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻 质点P位于A 点，et、en分别为A点切向及法向 的单位矢量，以A为原点， et切向 和en法向为坐标轴，由此构成的 参照系为自然坐标系（可推广到 三维）
xi yj zk
讨论： a. 路程：质点沿轨迹运动所经历的路径长 度； b. 路程是标量，大小与位移的大小一般不 r s 相等，即； dr ds c. 在极限情况下 ； d. 单方向直线运动时； r s
三. 速度 描述质点运动快慢和运动方向的物量； 1.平均速度
det d v ds v 2 式（2-2）中第二项为： v v en en en dt dt r dt r
该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。 称此项为法向加速度，记为
v a n en （2-5） r
2
det
et
et d
大小为 （2-6） 是加速度的法向分量。 结论：法向加速度分量等于速率平方除 以曲率半径 。
⑷
三、圆周运动的角量描述 1、角坐标 如图1-11，t时刻质点在A处，t+Δt时刻质点在 B处，θ是OA与x轴正向夹角， θ+ Δ θ是OB与 x轴正向夹角，称θ为t时刻质点角坐标， Δ θ 为Δt时间间隔内角坐标增量，称为在时间间 隔内的角位移。
《大学物理矢量》课件
想深入了解物理矢量，掌握坐标系下矢量运算和微积分，本课件是你的不二 选择。
第一章：引言
矢量的定义和分类
向量和标量的区别， 矢量的种类及用途。
矢量的加法与减法
矢量和标量的加减方法，矢量夹角余弦定理。
矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
第二章：物理矢量
1
知识点总结
总结各章的重点和难点，归纳矢量的基本知识。
提出问题和展望
对矢量的未来发展和最新成果进行介绍，提出学术问题和需求。
第四章：平面矢量问题
平面矢量的几何意义
平行四边形面积公式，平行线斜 截式公式等几何应用。
平面矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示 法及其转化。
Hale Waihona Puke 平面矢量的运算平移、旋转、翻折、变形等平面 矢量的运算。
第五章：空间矢量问题
1
空间矢量的几何意义
空间矢量坐标系的表示法，空间直线斜截式与空间面点法式公式。
2
空间矢量的数量表示
矢量的坐标系表示法，分量表示法及其转化。
3
空间矢量的运算
平移、旋转、翻折、变形等空间矢量的运算。
第六章：矢量的微积分与场论
1 矢量的微积分运算
矢量场的导数，散度和旋度等运算。
2 矢量场的概念与表示
矢量场的概念与表示方法。
结束语
矢量的应用
矢量在物理学，工程学，图形图像学，机器人等方面的应用。
位移、速度、加速度等基本物理量的矢量特征
矢量在平面直角坐标系下表示
2
物理定律的矢量形式
动量定理、角动量定理等定律的矢量形式。
3
物理问题的矢量分析方法
位置矢量
τ
r
6
y x z cos α = , cos β = , cos γ = r r r
此三个角满足关系： 此三个角满足关系：
2 2
设位矢与x， ， 三轴的夹角为 三轴的夹角为α 设位矢与 ，y，z三轴的夹角为α、β、γ。
z
γ
P ( x, y , z )
cos α + cos β + cos γ = 1
2
α
x
4
二、 n
ˆ τ
ˆ n
ˆ τ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 质点 沿已知的平面轨道运动。 沿已知的平面轨道运动 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线， 作为坐标原点。 点O作为坐标原点。 作为坐标原点 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 来表示， 称为弧坐标。 称为弧坐标 度s来表示，s称为弧坐标。 来表示 运动方程： 运动方程：s = s (t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； 切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向； •法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。 法向坐标 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
r r
o
β
y
2.质点的运动方程 2.质点的运动方程
r r 质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r = r (t ) 质点运动时，在某时刻t 位矢可表示为：
r r r = r ( t ) 称为运动方程（位矢方程） 称为运动方程 位矢方程） 运动方程（
02位置矢量运动学方程
•法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
5
ˆ 为单位矢量， 大小不变， ˆ, n
但方向改变。 强调：自然坐标系是建立在运动 质点上的，它随质点一起运动在 轨道曲线上。轨道上各点的自然 坐标系的二个坐标轴的方位是不 断变化的。
n
n
s 0O s 0
6
位置矢量在直角坐标系中可以从原点o向质点p所在位置画一矢量来表示质点位置称为位置矢量简称位矢
位置矢量 运动学方程
1
一、位置矢量
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。 在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置， z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。
4
二、自然坐标系
1.自然坐标系
ˆ n
ˆ
ˆ n
ˆ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 点O作为坐标原点。
质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 度s来表示，s称为弧坐标。 运动方程：s s(t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。
在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标的端点代表质点的位置，位 矢的大小表示原点到质点的距离，位 矢的方向由原点指向质点P。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o x
x
z
r
y
y
i , j, k 表示沿x，y，z轴的单位矢量。
2
2 2 2 位矢大小（位矢的模）：r | r | x y z
y
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。 即质点运动时，位置矢量是时间的函数。
质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r r (t )
1-3 位置矢量和运动方程
）
B．椭圆；
C．圆；
x 2t 1 2 y gt 2
D和路程
1、位移 （反映物体位置的变化）
r rB rA
r r ( xB x A ) ( y B y A ) ( z B z A )
例：匀速率圆周运动 消去 t ，得到：
{
x = R cos ω t y = R sin ω t
为轨迹方程。
x2 +y2 = R2
轨迹?
圆
轨迹：质点在运动时所描绘出的空间径迹。
【习题 1-1】 一质点在平面内运动，其参数方
1 2 程为： x 2t ， y gt （g为重力加速 2
度）。则此质点的运动轨迹为（
2、 质点作圆周运动位置矢量大小一定不变。
【习题1-3】一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，当t=T/4到t = 3T/4时间内，质点通 2 过的路程是（ ）。其中 。 y T A．2R
B．πR
C．0 D．πRω
x
【习题1-4】 一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，从t =T/4到t =3T/4时间内该质点的位 2 y 移是（ ）。其中 。 T A． -2R i
B． 2R i Ｃ．-2R j
Ｄ．0
x
【补充例题1】 一质点在 xoy 平面内按x = t 2 ，y = t3/16的规律沿曲线运动，其中 x、y 以m为单位，t 以s 为单位。试求：质点2s末到4s末的位移。 解：
运动方程 （分量式）
运动方程举例： x = x0 + υ0 cos θ t 斜抛运动： y = y0 + υ0 sinθ t
大学物理 位置矢量 位移.
v a
v a
a
v
加速度
加速度与速度的夹角大于90，速率减小。 加速度与速度的夹角等于 90，速率不变。
g
v v g
v
v g 远日点 g v
g v g g g g g v
v v0 at
根据速度的定义式：
dx v v0 at dt
两端积分得到运动方程
d x (v at ) d t
x t x0 0 0
消去时间，得到
2 2
1 2 x x0 v0t at 2
v v0 2a( x x0 )
根据速度的定义式：
dx v v0 at dt
v
y
x 平均加速度
平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。
Δv a Δt
加速度
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速度是一个极 限值 2 dv d r v 2 a lim t 0 t dt dt 瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
§1-2 位置矢量
位移
1. 位置矢量 在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量， 叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原
点指向质点所在位置的有向线段。
r xi yj zk 2 2 2 r r x y z
z
cos x / r cos y / r cos z / r 2 2 2 cos cos cos 1 x
速率
2. 速率
平均速率
s v t
r s ds v lim lim v dt Δ t 0 t Δ t 0 t
第一节 位置矢量 运动方程
第一次课： 2学时1 题目： §1.1 位置矢量 运动方程§1.2 速度 §1.3 加速度2 目的： 1）掌握运动学描述的主要参量。
2）由运动方程求解。
一、引入课题：力学：研究机械运动的规律极应用。
运动学：研究物体的位置随时间变化而不考虑发生这种不变化的原因。
动力学：研究物体的运动和物体间相互作用的关系。
静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。
二、讲授新课：第一章 运动和力§1.1 位置矢量 运动方程1.人类的“时空观念”即人类对时间和空间的认识。
1、时间：表征物质存在的持续性、物质运动变化的持续性和顺序性的物理量。
计量：选择物质运动的某个周期性变化过程作为标准来进行。
例：定义铯－133原子基态两个超精细能级之间跃迁的辐射周期的9192632770倍为1秒的时间间隔。
时间本身具有单方向性，是一维的。
时间的单位是秒，符号为s 。
2、空间：表征物质及其运动的广延性及物质彼此间的排列顺序的物理量。
一、时间和空间 三个历史发展阶段牛顿的绝对时空观爱因斯坦的相对论时空观 新宇宙学的宇宙时空观计量：选择某个物体的尺度或周期性运动的距离作为标准来测量。
例：定义光在空中1S时间间隔内行进的路程的1/299 792 485为1米。
空间中两点之间的距离称为长度。
长度的单位是米，符号为m。
二、质点定义：如果物体的大小和形状可以忽略时，就可把物体当作是一个有一定质量的点，这样的点称为质点。
质点：具有一定质量的几何点。
质点系：许多相互联系的质点组成的系统。
质量的单位是千克(公斤)，符号为kg。
1.质点是理想化的物理模型；2.平动物体可以作为质点；3.一个物体是否可以作为质点要视具体问题而定。
例：地球的自传与公转问题：有人说：“地球很大不可以作为质点，原子很小可以作为质点。
”这句话是否正确，为什么？三、参考系与坐标系1、参考系：被选作参考的物体或物体系。
宇宙中物体永恒运动。
力学赵凯华第一章质点运动学1教学内容
5
第六页，共25页。
v
dr
dx
i
dt dt
a
d
( dr )
d
(
dx
)i
d
2
x
i
dt dt dt dt dt 2
x x(t)
v dx dt
a d2x dt 2
6
第七页，共25页。
例. 某质点运动学方程为
r
A
(t
t
2
)B
, , 为常数，
A, B为常矢量。试证明
它作匀加速直线运动。
v
v
v
17
第十八页，共25页。
a
dv
dvx
i
dv y
j
dvz
k
dt dt dt dt
d2x dt 2
i
d2y dt 2
j
d2z dt 2
k
axi ay j azk
ax
dvx dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
18
第十九页，共25页。
v
r
t
v
lim
r
dr
t0 t dt
z
P1
·
ΔS
Δr
·P2
r(t) r(t+Δt )
0
y
v
dr
ds
v
x
dt dt
14
第十五页，共25页。
v v(t t) v(t)
a
lim
t0
v t
dv dt
d 2r dt 2
大学物理运动学第一章第四节曲线运动方程的矢量形式课件
y
yR
o xx
4、速度分量式
vx
dx dt
d dt
(R cos
t)
R sin
t
vy
dy dt
d dt
(R sin
t)
R cos
t
v
vx2
v
2 y
R
5、速度矢量式
v
dr dt
vxi
vy
j
R sin t i cos t j
6、加速度分量式
vx R sin t vy R cos t
ax
dvx dt
R 2
cos
t
ay
dvy dt
R 2
sin
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7、加速度矢量式
a
(R
2
cos
t)i
(R
2
sin
t)
j
2 R cos ti R sin tj
2r
二、抛体运动方程的矢量形式
1）可将抛体运动分解为沿 x 和 y 两个方向的独立运
动。
初速度沿x轴和y轴的分量分别是：
v0x v0 cos , v0y v0 sin y
加速度沿x轴和y轴的分量分别是：
ax 0,
则速度为：
ay g
v0 v0 x
O
v0 y
高等教育大学教学课件
大学物理运动学第一章第二节 位失 速度 加速度课件
et
当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向就是沿该 点曲线的切线方向.
若质点在二维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
v
dt
vx
i
dt
vy
j
y v y
若质点在三维空间中运动,其速度为
v
dx
i
dy
j
dz
k
o
dt dt dt
v
v x
x
瞬时速率：速度 v 的大小称为速率
dvx dt
d2x dt 2
ay
dv y dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
说明 (1) 加速度反映速度的变化（大小和方向）情况。 (2) 加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。
通过积分求位移和速度：
a
dv dt
v(t)
v0
t
0
adt
v
dr dt
r(t)
r0
t 0
vdt
例已知质点作匀加速直线运动，加速度为a，求该质
点的运动方程。
解：已知a速 度或ddv加t 速度求d运v 动方a程d，t 采用积分法：
对于作直线运动的质点，采用标量形式
dv adt
两端积分可得到速度
v
v0
d
v
0ta
平均速度大小
v ( x )2 ( y )2
t
轨迹方程求解方法(讲版)
轨迹方程求解方法例题讲解王先生一、【高考地位】求曲线的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础。
这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体。
因而也是历年高考所要考查的重要内容之一。
方法一直接法万能模板内容使用场景可以直接列出等量关系式解题模板第一步根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。
)第二步根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
1.在平面直角坐标系xOy 中，动点P x ,y 与两点A -1,0 ,B 1,0 的连线PA ,PB 的斜率之积为1y，则点P 的轨迹方程为()A.x 2-y 3=1y ≠0B.x 2+y 3=1x 2≠1C.x 2-y 3=1D.x 2+y 3=12.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP =2PA ，且OQ ·AB =1，则点P 的轨迹方程是()A.32x 2+3y 2=1(x >0，y >0)B.32x 2-3y 2=1(x >0，y >0)C.3x 2-32y 2=1(x >0，y >0) D.3x 2+32y 2=1(x >0，y >0)方法二定义法万能模板内容使用场景轨迹符合某一基本轨迹的定义解题模板第一步根据已知条件判断动点轨迹的条件符合哪个基本轨迹(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)第二步直接根据定义写出动点的轨迹方程。
3.已知两圆C1:x-42+y2=169,C2:x+42+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x264-y248=1 B.x248+y264=1 C.x264+y248=1 D.x248-y264=1方法三相关点法(代入法)万能模板内容使用场景动点依赖于已知曲线上的另一个动点运动解题模板第一步判断动点P x,y随着已知曲线上的一个动点Q x ,y的运动而运动第二步求出关系式x =f x,y,y =g x,y第三步将Q点的坐标表达式代入已知曲线方程4.已知AB =3,A ,B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP =13OA +23OB ,点P 的轨迹方程为().A.x 24+y 2=1B.x 2+y 24=1C.x 29+y 2=1D.x 2+y 29=15.如图，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB 的中点，|AB |=423,|CD |=2-423,AC ⊥BD ,M 为CD 的中点．(Ⅰ)求点M 的轨迹方程；(Ⅱ)过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数λ0，使MP =λ0PN ，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；方法四参数法万能模板内容使用场景动点的运动受另一个变量的制约时解题模板第一步引入参数，用此参数分别表示动点的横纵坐标x,y；第二步消去参数，得到关于x,y的方程，即为所求轨迹方程。
大学本科理论力学课程第7章 点的运动学 (1)
理论力学电子教程
第七章 点的运动学
2、速度 P141 若点M运动时空间位置矢径为 r r t
t: M
r r (t t) r (t)
t + t : M'
MM
位置矢径增量即为位移。平均速度
v*
r
t
当 Δt 0时， M M ，取 极限可得到
动点的瞬时速度
v lim v * lim r dr
a
a
cos(a, k ) az a
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第七章 点的运动学
§7-4 点的运动的自然坐标表示法
1、运动方程 P138 设点的运动的轨迹曲线是已知的。
（a）沿点的轨迹曲线建立一条曲线坐标轴； （b）选定一点O' 为弧的起点，O'到动点M 的弧（曲线）长O'M，
令S= O'M ；
（c）规定起点O'的一边弧长为正。 S 是代数量，称为动点M 的弧坐标或自然坐标。这样，动点沿已 知轨迹的运动可用一时间 t 的连续函数来表示： S = f ( t )
t 0
t0 t dt
单位 : m/s , cm/s , km/h .
动点的速度等于动点的位置矢径对于时间的一阶导数 。
Mv
r t r M'
r t t
o
点的速度方向即为轨道曲线上的切线方向, 一
般说点的运动方向指的是速度方向。
v
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第七章 点的运动学
3、加速度 P141
t: v t t : v
2、速度 P142 若动点的运动方程为: x f1(t), y f2 (t), z f3 (t)
如果取位置矢径的原点与直角坐标系的原点重合，则有如下关系
关于求动点轨迹方程的方法
关于求动点轨迹方程的方法求动点轨迹方程是几何学中的一个重要概念，也是物理学和工程学中的基础知识。
轨迹可以指遵循一定运动规律的物体的路径，它在平面几何中所得出的方程成为轨迹方程。
在这篇文章中，我们将会讨论求动点轨迹方程的几种方法。
方法一：向量法向量法是一种基于向量的方法，它可以帮助我们求出动点的轨迹方程。
向量法基于向量的基本原则：方向和大小。
对于一个动点，我们可以将它的位置表示为(x,y)，为了简化计算，我们可以将动点的初始位置设为(0,0)，并且我们可以将它的速度表示为一个向量：v = (u,v)其中u表示在x轴方向的速度，v表示在y轴方向的速度。
那么，动点在t秒后的位置可以表示为：(x,y) = tv将v代入公式中得到：x = ut，y = vt因此，动点的轨迹方程为：y = (v/u)x这就是动点的轨迹方程，其中u和v分别代表在x轴和y轴上的速度。
方法二：参数式方程法参数式方程法基于参数方程的原理，它可以将动点的位置表示为变量的函数。
为了得到动点的轨迹方程，我们可以选择一个常量t作为时间变量，并且确定一个运动规律。
我们可以将动点的位置表示为：(x,y) = (f(t),g(t))其中f(t)和g(t)是在t时刻动点在x轴和y轴上的位置函数。
通过选择适当的函数，我们可以确定动点的运动规律并得到它的轨迹方程。
例如，如果我们选择f(t) = sin(t)，g(t) = cos(t)，可以得到一个美丽的圆形轨迹。
在参数式方程法中，我们可以使用任何函数来表示动点的位置，因此，这种方法非常灵活。
方法三：微积分法微积分法是一个重要的数学工具，它可以用来求取动点的轨迹方程。
微积分法基于对动点位置的导数以及运动规律的理解。
我们可以将动点在直角坐标系上的位置表示为(x,y)，由于动点在运动，它的位置会随着时间变化，因此x和y都是关于时间变量t的函数。
我们可以将它们分别表示为：x = f(t), y = g(t)现在我们可以计算位置的导数，得到：dx/dt = f'(t), dy/dt = g'(t)由于动点的速度v可以表示为：v = (dx/dt,dy/dt)因此，我们可以用这个速度来计算动点在任意时刻的运动规律和位置。
已知位置矢量求轨迹方程
已知位置矢量求轨迹方程哎呀，今天咱们聊聊位置矢量和轨迹方程这个话题，听上去可能有点学术，不过咱们轻松点，别让脑袋晕了。
位置矢量呢，简单说就是告诉你某个物体在空间中的位置，像一个小箭头，指向那个地方。
就好比你站在街角，朝着你家那条路，心里一想“我要回家”，位置矢量就是你那根指向家的小箭头。
这小箭头不但有方向，还有长度，表示从原点出发到你家这段距离，真的是实用得很。
再说到轨迹方程，哦，那可是个有意思的东西。
轨迹方程就像是在记录你家小狗每天出门的路线，左拐、右拐，上山下海，甚至还可能一不小心跑到邻居家吃肉骨头。
你看，它不是随便跑的，而是按照一定的规律，真是个小调皮鬼。
所以呢，轨迹方程其实就是在描述这个规律，告诉我们小狗到底是怎么在这个空间里“游荡”的。
假设你有一个小球，哈哈，别想歪了，是乒乓球。
这个小球从某个地方出发，朝着某个方向滚去，滚得欢快极了。
我们可以用位置矢量来表示它的起点，比如说，它从原点(0, 0)出发，位置矢量就是个简单的公式：r = (x, y)，这里的x和y就是小球在二维平面上的坐标。
小球一滚就不一样了，可能变成(2, 3)，然后又转到(4, 1)，它的每一步都有新的坐标，这些坐标连起来，就成了一条轨迹，酷吧？想象一下，你和朋友在公园里打羽毛球。
你每次挥拍，羽毛球飞出去的轨迹就是个活生生的轨迹方程。
你打得越好，轨迹越美丽，简直就像是在空中画画一样。
这些点点滴滴，慢慢连成了一条优美的曲线。
这就是轨迹方程的魅力，带着一点儿数学的严谨，夹杂着生活的乐趣。
如何从位置矢量推导出轨迹方程呢？这时候，咱们得把小球的运动分析得更细致点。
想象一下，假设小球的运动是匀速的，每秒钟向前滚动一定的距离，这样的话，我们就能通过时间和速度来描述小球的移动。
比如，小球的速度是v，那么在时间t之后，位置就变成了r = (vt_x, vt_y)。
你看，位置和时间之间的关系，就像是在说“我现在多远了”。
搞定这个之后，咱们就可以把这些关系统统整理成一个方程。
大学物理：1-3 曲线运动方程的矢量形式
一.圆周运动方程的矢量形式 二.抛体运动方程的矢量形式
一. 圆周运动方程的矢量形式
在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的坐标x、 y、z 为时间t函数：
x x(t), y y(t), z z(t)
这就是r运动r方(x程, y的, 分z)量形r式(t，) 写成矢量形式为
(v0t cos )i
(v0t sin
1 2
gt2 ) j
知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动
与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析
方法称为运动的分解。
运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也
可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向
的自由落体运动的叠加：
r
(v0in t
vy
dy dt
d dt
(R sin
t )
R cost
写成矢量形式为：
v
R
sin
ti
R
costj
3.加速度
ax
d vx dt
d (R sin t) R 2 cost
dt
ay
dvy dt
d (R cost)
dt
R 2 sin t
写成矢量形式为：
a
R
2
cos t i
R
2
sin
tj
v0 y
y
v0
v
故任意时刻的速度为：
g O v0x
x
v (v0 cos )i (v0 sin gt) j
将上式积分，得到运动方程的矢量形式为
t
r 0 (v0 cos )i d t (v0 sin gt) j d t
(v0t
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六、运动的二类问题 第一类问题： 已知运动学方程利用微分 求v、a等 第二类问题： 已知 v、a和初始条件利用 积分求运动学方程
§ 1-2圆周运动 本节先讨论圆周运动，之后再推广 到一般曲线运动。
一、自然坐标系 图1-6中，BAC为质点轨迹，t时刻质 点P位于A 点， et 、 en 分别为 A 点切向及法向的 单位矢量，以A为原点， et切向和en法 向为坐标轴，由此构成的参照系为自 然坐标系（可推广到三维）
y
A, t
1
B, t t
r1
（平移） 2
r2
2
o
图 1-4
x
2、瞬时加速度 为了描述质点运动速度变化的细节，引 进瞬时加速度。 定义：a=dv/dt=dr2/d2t （1-12） 称为质点在 t 时刻的瞬时加速度，简称 加速度。 结论：加速度等于速度对时间的一阶导 数或位矢对时间的二阶导数。 说明：一般情况下a与v方向不同（如不 计空气阻力的斜上抛运动）。
二、位置矢量 运动方程 轨迹方程 位移 1、位置矢量 定义：由坐标原点到质点所在位置的 矢量称为位置矢量（简称位矢或径 矢）。如图1—2，取的是直角坐标系， 位置坐标为X.Y.Z, 为质点的位置矢量 r=xi+yj+zk（1-1）
r= (x2+y2+z2) （1-2） r方向可由方向余弦 确定： z y x ， cos ， cos cos r r
第一篇 力学
力学分为： 1. 运动学：只从几何 观点研究物体的运动。如位置、速度、 加速度等，而不涉及物体间的相互作 用。2.动力学：研究物体间相互作用 和运动间的规律。 3.静力学：研究力 及力矩的平衡问题。
第一章
质点运动学
§1-1 质点运动的描述
一、参考系 坐标系 质点 1、参考系 为描述物体运动而选择的参考物体叫 参考系。 2、坐标系 为了定量地研究物体的运动，要选择 一个与 参考系相对静止的坐标系。如图1-1。 说明：参考系、坐标系是任意选择的，视处 理问题方便而定。
1、平均速度 如图1-3 定义：平均速度=Δr/Δt（1-7） 称为Δt时间间隔内质点的平均速度。 平均速度方向：同Δr方向。 说明：与时间间隔相对应。平均速度仅提供一 段时间内位置总变动的方向和平均快慢。
2、瞬时速度 平均速度粗略地描述了质点的运动情况 。为了描述质点运动的细节，引进瞬时 速度。 定义：瞬时速度v=dr/dt 称为质点在时刻的瞬时速度，简称速度 结论：质点的速度等于位矢对时间的一 阶导数。 v 的方向：所在位置的切线且指向质点 运动的方向 .
五、直线运动 质点做直线运动，如图1-5 1、位移 Δr=r2-r1=x2i-x1i=Δxi; 当Δx>0时， Δr 沿+x方向；
A, t
B, t t
o
x1
x2
x
图 1-5
2、速度 v=dx/dti=vxi，vx >0 沿+x轴方向；，vx <0 沿-x轴方向。 3、加速度 a=dv/dt=dvx/dti=axi ， ax>0 沿 +x 轴方向； ax <0 沿-x轴方向。 由上可见，一维运动情况下，由Δx、vx、 ax的正负就能判断位移、速度和加速度的方 向，故一维运动可用标量式代替矢量式。
C
et (切向）
e（法向） n
A ,t P
B 图 1-6
二、圆周运动的切向加速度及 法向加速度
1、切向加速度 如图1-7，质点做 半径为r的圆周运动，t时刻 ，质点速度 V=vet （2-1） 式（2-1）中，v为速率。
v
3、平均速率与瞬时速率 定义：平均速率=Δs/Δt（参见图1-3） 称为质点在Δt时间段内的平均速率。为 了描述运动细节，引进瞬时速率。 定义：v=ds/dt 称为 t 时刻质点的瞬时速率，简称速率 . 当Δt趋于零时， Δr=dr, Δs=ds,所以，瞬 时速率=瞬时速度的大小。 结论：质点速率等于其速度大小或等于 路程对时间的一阶导数。
z
参考系
o 坐标系
y
x
图 1-1
3、质点 忽略物体的大小和形状，而把它看作 一个具有质量、占据空间位置的物体， 这样的物体称为质点。 说明：⑴质点是一种理想模型，而不 真实存在（物理中有很多理想模型）。 ⑵质点突出了物体三个基本性质： 1）具有质量； 2）占有位置； 3）无体积。 ⑶物体能否视为质点是有条件的、相 对的。视研究问题的性质和精确度而定.
r
z
z P r
y
y
x
x
图 1-2
2、运动方程 质点的位置坐标与时间的函数关系， 称为运动方程。 运动方程 ⑴矢量式： r=x(t) i+ y(t)j+z(t)k （1-3） ⑵标量式： x=x(t),y=y(t),z=z(t) 掉t，得出x、y、 z之间的关系式为轨迹方程， 即F(x、y、z)=0。 如平面上运动质点，运动方程为 x=t，y=t2， 得轨迹方程为 y=x2（抛物线）
新乡学院物理系 校级力学精品电子课件 制作人：梁彦天 2005.3.8
没有今日的基础科学，就没有明日 的科技应用。 ……. 可以想象，我们现在的 基础科学将怎样地影响21世纪的科技文明。 ---------李政道 运动只能理解为物体的相对运动。 在力学中，一般讲到运动，总是意味着相对 于坐标系的运动.-------爱因斯坦
讨论： ⑴比较 Δr 与 r ：二者均为矢量；前 者是过程量，后者为瞬时量 ⑵比较 Δr 与 Δs （ A→B 路程）二者 均为过程量；前者是矢量，后者是标 量。一般情况下Δr的大小不等于Δs 。 当Δt趋于零时， Δr的大小等于Δs 。 ⑶什么运动情况下，均有 Δr 的大 小等于Δs ？
三、速度 为了描述质点运动快慢及方向， 从而引进速度概念。
说明： ⑴比较平均速率与平均速度： 二者均为过程量；前者为标量，后者 为矢量。 ⑵比较速率与速度：二者均为瞬 时量；前者为标量，后者为矢量。 （ 3 ）一般，平均速率不等于平均速 度的大小。速率不等于速度的大小。
四、加速度
为了描述质点速度变化的快慢，从而引进加速度的概 念。 1、平均加速度 定义：平均加速度=Δv/Δt（见图1-4） 称为Δt时间间隔内质点的平均加速度。