大学高等数学试题一答案

《数学试题一》参考答案 一、填空题

1、-3

2、z=(x ²+y ²)

3、1ln y y yx dx x xdy -+

4、21z

y

e -

5、x+y=0

6、2πR ²

7、2

8、2

2π

二、选择题

1、D

2、C

3、B

4、B

5、C

三、1、解：

sin 1lim 1x x

x y xy →∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝

⎭=

1.

.sin 1lim 1xy x x

xy

x y xy →∞→∞⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭=

sin lim x

y

x y e

→∞

→∞

=0

e =1

2、解：令u=x+y ,D=xy /

/

12

.

.

z

f u f v f yf x

u x

v x

δδδδδδδδδδ=

+

=+

2

//

12/

/

/122

()

.

z f yf x y y

f f f y y

y

δδδδδδδδ=

+∂=

++其中 /

////1

11

12

f f

x f

y

δδ=+ /

//

//2

212

2

f f x f y

δδ=+

所以 2

////

/

////

//

//

//

1112221221112222

()()z

f xf f y f xf f x y f xyf f x y

δδ=++++=++++∂

四、 解：所求直线的方向向量

1

04431

52i j S i j k k

⎛⎫ ⎪=-=--- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭

即方向向量

(4,3,1)

S =---

所求直线方程

为3

254

3

1

x y z +--=

=

---

五、1、解：令

2

2

2

2

2

2

2x 1

x y x y y +=--+=得 ①即在XOY 面上的投影为

2

2

x 1

y +=由题知P=X Q= -Y R=Z 由高斯公式得

xdydz ydzdx zdxdy

-+∑

⎰⎰

2

221

5(111)6

dv dv d d dz ρ

π

ρ

πθρρ

-Ω

Ω

=

-+=

=

=

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

曲面积分为56π

。

2、解：连接OA 补全图形，由题知：

sin 2x

P e y x y

=--

c o s x

Q e y x

=-

则cos 1

x

Q

e y x

∂=-∂ c o s 2

x

P

e y y

∂=-

∂ 由格林公式得

(s i n

2)(

c o s )()2

x

x

L

D

D

Q

P e y x y dx e y x dy dxdy dxdy x y

π∂∂--+-=-==

∂∂⎰⎰⎰

⎰⎰ 对AO 段

20

2(sin 2)(cos )(2)2

2

2x x

L

L

xdx xdx e y x y dx e y x dy ππ-=

-=---+-=

--=

+⎰⎰

⎰所以

六、1、解：由

1

1

1lim

1,R=1n n n n nx

n

∞

-→∞

=+=±∑得收敛半径R=1,当时幂级数均发散

因此：

1

1S x S x 0x n n nx

∞

-=→∑收敛域为I=(-1,1),设和函数为（）即（）=两边从积分

x

1

22

1

1

1

1()(1.............)x (1,1)1............

1-x

x

n n

x

n

n

n

n n n s x dx nx

dx x

x

x x x x x x x ∞∞∞

-=-==

=

=

=+++++∈-=+++++∑

∑

∑⎰⎰当时

()

x

2

1

()11x s x dx x x

x =

--⎰所以两边对求导数得s(x)=

所以和函数()

2

1

()1s x x =

-

(1,1)x ∈-

1

2

21

1

11

1

1111122

248

48

9

114n

n n n n n n n n -∞

∞

∞

+===⎛⎫

⎛⎫

===

⨯

=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛

⎫- ⎪

⎝

⎭∑

∑∑

2、解：

2

()ln(32)ln(1)ln(2)ln(1)ln(

1)ln 2

2

x f x x x x x x =++=+++=++++

得

(]

1

(1)

ln(1),1,11

n

n n x x

x n ∞

+=-+=

∈-+∑

[]

1

1

(1)1ln(1)ln(1),2,22

122

n n

n n x x x x n +∞

+=-⎛⎫

+

=

=

+∈- ⎪+⎝⎭

∑

(]

1

1

1

1

1

(1)

11(1)

()ln(1)ln 2(1)ln 2,1,11

2

2

1

n

n

n n n n n n f x x

x x

x n n ∞

∞

++++==--=

+

++=+

+∈-++∑

∑

七、解：作拉格朗日函数 M λ、为参数 2

L(,,)(1)()x y z x y z z M x y λ=+++-++

则

22

120,120,10,x ,1,1x y z L ux L uy L y x y λλ=+==+==+===-+=得又，

111,,m in 12

22

22

x y ==±

=-

所以由题知，最值一定存在，且在极值点取得，则max=1+

八、证明：