汇交力系、力偶系平衡

∑Fy= 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
∑Fz= 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0 解得： F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi=0 Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi=0 Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi=0
空间汇交力系的平衡方程：
∑Fx= 0 ∑Fy= 0 ∑Fz= 0
Fx 0 Fy 0
例2-3 已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮
各力汇交于D点------空间汇交力系
简化方法： 几何法 解析法
z D滑轮
F
E
FAD A
FBD W B O
x
FCD 60° C
y
§2-1 汇交力系——几何方法
1. 汇交力系合成的几何法 力多边形法则
合成原理：力的平行四边形法则 （力三角形） 合成方法：力多边形法则
F1
A
F2
F2
F2
F1
F12 F 3 F 1
大小， P=20kN
求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解： AB、BC为二力杆，
取滑轮B，画受力图。F1=F2=P
用解析法，建图示坐标系
Fx 0 FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0 FBA
解得
FBA 0.366P 7.321kN （压力）
F2

200N
例2-6
已知：M 2kN m, OA r 0.5m, θ 30; 1
求：平衡时的M2 及铰链O，B处的约束力。结构自重不计。
解：取轮，由力偶只能由力偶平衡的性质，画受力图。
摇杆
FA
A
M1
O
M1
销子 FO

M 0 M 1 FA r sin 0
x'
从起点到终点 与轴的正向相同时，
a Fx>0 b x F
投影为正；
相反时为负。 注意：力的投影是标量
Fx<0
x
力在直角坐标轴上的投影
Fz
F
z

Fx a b
Fy
y
x
Fx=Fcosα
Fy=Fcosβ
Fz=Fcos
y'
y
F
Fy b a
Fx
x'
O Fx=Fcosα x x Fy=Fcosβ
二次投影法
求：DC杆及铰链A的受力。
解：DC为二力杆，取AB杆，画受力图。
F
用几何法，画封闭力三角形。 A
45° C
B
按比例量得
FA
A
45°
C
FC
D
E
FA
F

FC
B
F 45°
从已知力 开始
3.汇交力系合成的解析法
1）力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式
力在轴上的投影
Fx=Fcos
投影的正负号规则
A
FB
Fx= – Fncos α cos β
Fy= – Fncos α sin β Fz= –Fnsin α
β
例3-3 图示起重装置，BCED平面与水平面夹角30°
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE， =30°
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图
∑Fx= 0 F1sin 45°–F2 sin 45°= 0 F1=F2
4.合力矩定理
平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩 等于各分力对同一点之矩的代数和。
MO(FR )=∑MO(Fi )
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。
F=1400N , =20o
F
合力矩定理的应用
例2-4 求齿轮啮合力F 对轮心O点之矩。
F=1400N , =20o
O
x
h
r
B
AF
y
r rr r
rrrr
r xi yj zk
r r rr
r
F
r
Fr xi
Fr y
j rFzk
r
MO(F) (r F) (xi yj zk )(Fxi Fy j Fzk )
r
r
r
(yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为
rr MO (F )x yFz zFy
rr MO (F ) y zFx xFz
rr MO (F )z xFy yFx
(3-10)
2.力对轴的矩
力对轴的矩是力使物体绕轴转动的度量
Mz (F)>0
Mz (F)= MO (Fxy)=± Fxy·d
力偶的可改装性
M=20kN.m
10kN 2m
M=20kN.m
20kN 1m
10kN
20kN
保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂 大小，其作用效果不变
3. 空间力偶系的合成与平衡
力偶系的合成
合力偶矩矢M，等于各分力偶矩矢的矢量和。
M=ΣMi
=
合力偶矩矢M的大小为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
在空间力系中，力使物体绕某点转动的效应，与相
应的力矩平面在空间的方位有关。
在xOy平面内的力F 对O点之矩（力矩平面P）
使物体绕z轴转动；
不在xOy平面内的力F1对O点之矩 z
（力矩平面P1）
z1
F1
使物体绕z1轴转动，
P1
z1轴垂直于力矩平面P1 。
单位 N.m
2.空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个空间力偶， 如果力偶矩矢相等，则它们彼此等效 。
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）
力偶矩矢是自由矢量
力偶的性质
(1)合力为零,力偶不能与一个力平衡。 (2)力偶在任意轴上的投影为零。 (3)力偶对任一点之矩等于力偶矩自己的值。
和平衡方程 –物体系的平衡/静定和超静
定问题 –平面简单桁架的内力计算
• 第三章 空间力系
–空间汇交力系 –力对点的矩和力对轴的矩 –空间力偶 –空间任意力系向一点的简
化/主矢和主矩 –空间任意力系的平衡条件 –重心
汇交力系
力系 力偶系
平行力系
任意力系
工程实例
起重装置由三根脚杆 AD,BD,CD和绞盘及绳索 ED组成
物体的受力分析和受力图
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
受力分析——分析物体受到的全部力 （载荷和约束力）。
载荷：主动力； 约束力：被动力
分析方法——取分离体，画受力图。
q
A
q
F Ax
F Ay
B
取分离体 ；
分析约束与相应的
约束力 ；
画出荷载与可能的
约束力.
FB
力的作用效应
移动
转动
力矢
如何度量？
力矩 力偶
• 第二章 平面力系
–平面汇交力系 –平面力对点之矩/平面力偶 –平面任意力系的简化 –平面任意力系的平衡条件
公理1 公理3
平衡力系
合力/分力
课程回顾
力的平行四边形法则。 加减平衡力系原理。
物体受力分析
等效力系
（作用效果）
力系等效替换
公理1、3
建立平衡条件
公理2 二力平衡条件(二力杆)。
公理4
作用和反作用定律。
公理5 刚化原理。
约束和约束力：自由体和非自由体
方向：必与该约束所能阻碍的位移方向相反
大小+方向 正交力系
z
Fz
F
γ
Fx
Fy
y
x
Fxy
Fx= Fsinγ cos Fy= Fsinγ sin
Fz= Fco(s1γ.3-5)
Fxy=Fsinγ
力的投影与分力间的关系
力的投影
在直角坐标轴上 力的投影与分力大小相同 y
F 投影
投影
Fy Fy
y 分力
F1 F
Fx Fx
x
Fy
Fx
x
y
F 分力
Fy
Fx x
力对轴之矩的解析式
Mx(F)= y Fz－z Fy My(F)= z Fx－x Fz Mz(F)= x Fy－y Fx
(3-12)
z
Fz
Fx
z
x xy
F
Fy
y
3.力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系
由式（3-10）与式（3-12）可知
力对点的矩矢在通过该点的轴上的投影
等于力对该轴之矩
[MO(F)]x = Mx(F) [MO(F)]y = My(F) [MO(F)]z = Mz(F)
力的投影与分力间的关系
力的投影
z
Fz
F
γ
Fx
Fy
x
Fxy
力的分解
z
Fz
F
γ
y
Fx
Fy
y
x
Fxy
力在空间直角坐(1标.3-轴5)上的投影与分力的大小相等。
2）合矢量投影定理
空间汇交力系的合力
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和
F= F1 + F2 +……+Fn=∑Fi 合力投影定理：合力在某轴上的投影
60°
y FBC
B
Fy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
FBC 1.366P 27.32kN （压力）
30°
x
F1
例3-1 图示圆轴斜齿轮，
已知：啮合力Fn ， 螺旋角β，压力角α
求：力Fn在三个坐标轴上的投影。 解：
Fxy= Fncos α Fz= –Fnsin α
z MO(F)
Mz
O Mx
My
y
x
例3-4 图示手柄，已知 F，l，a，
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l acos
M y F Fl cos M z F F l a sin
F3
F4
合力F R F123 F4
合力 F R
F4
F3
注意：各分力矢首尾相接，合力矢与第一分力矢
同起点 并与最后分力同终点。
2. 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡条件：合力
FR Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件——
力多边形自行封闭。
F5
F1
F2
F4
F3
F2 F1
F3
F5 F4
例题 已知：梁重P=10kN,α=45° 求：钢索AC和BC所受的拉力。
等于各分力在同一轴上投影的代数和。 Fx= Fx1 + Fx2 +……+Fxn=∑Fxi Fy= Fy1 + Fy2 +……+Fyn=∑Fyi Fz= Fz1 + Fz2 +……+Fzn=∑Fzi
4.汇交力系的平衡方程
汇交力系的平衡条件：合力等于零。
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2 0
合力矩定理
MO (F) = MO(Ft)+ MO (Fr)
= Fcos ×0.06+ 0
= 1400cos20o×0.06
120
= 78.93 N.m
Fr= Fsin F

Ft= Fcos
O
3.力偶和力偶矩
力偶实例
水龙头 电机转子
驾驶盘
丝锥
1. 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
力偶的定义：大小相等，方向相反, 不共线的两个
O
y
x
P
B
AF
力对点之矩的矢量表示法：力矩矢
MO(F) =r×F （3–8） r —力作用点的矢径
按右手螺旋法则表示力矩矢的指向
力矩矢MO(F)垂直于平面OAB
定位矢量 —力矩矢始端必须在矩心
z
力矩矢的三要素
(1) 大小: 力F与力臂h的乘积
MO(F)
(2) 方向: 转动方向 (3) 作用面：力矩作用面。
平行力称为力偶，记为（F , F ′)。
力偶矩：度量力偶使物体产生 的转动效应。
空间力偶的三要素
(1) 大小: 力F与力臂d的乘积 (2) 方向: 转动方向 (3) 作用面：力偶作用面。
空间力偶矩的矢量表示法：M=rBA×F
力偶矩矢M垂直于力偶作用面 按右手螺旋法则表示力偶矩矢的指向。
AΔABC
力偶矩矢M的大小（模） M=Fd =2AΔABC
ΣMz= 0 平面
例2-5 已知： M1=M2=10 N.m , M3=20 N.m , l =200 mm
求：光滑螺柱A、B 所受水平力
解：由于力偶只能由力偶平衡， A、B 所受水平力必为力偶
M 0
l
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA

FB

M1

M2 l

M3

10 10 20 200 103
合力偶矩矢的方向余弦
cosa M x
M
cos b M y
M
cos M z
M
空间力偶系的平衡条件
合力偶矩矢 M 等于零：
M=ΣMi= 0
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 0
空间力偶系的平衡方程
ΣMx= 0 ΣMy= 0 ΣMz= 0
解：取梁AB为研究对像，画受力图
用几何法，画封闭力三角形。
力多边形自行封闭，构成直角三角形 FA=FB= Wcos45°= 10 cos45°= 7.07kN
F
C
从已知力
开始
C
F 45° B
P
A α=45°
FA
α B Aα
FB
αB
F 45° A
P
P
例2-1 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计
(3-11)
正负号按右手螺旋法则确定
拇指指向与z轴正向一致为正
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）
力对该轴的矩为零。
当力臂h不容易求时，将力F 分解为Fx ， Fy 和Fz ，应用合力矩定理计算力对轴之矩。
Mx(F)=Mx (Fx)+ Mx (Fy)+ Mx (Fz) = 0－Fy z + Fz y