空间向量与立体几何(建系途径)

空间向量与立体几何

建立空间直角坐标系的途径

途径一：

利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系． 垂直 线线垂直 线面垂直 面面垂直 1、如图，在长方体ABCD -1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。

（1）证明：11D E A D ⊥；

（2）求平面1ACD 的一个法向量及单位法向量。 解：设AE a =，则1(1,0,1)A ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E a ，

(1,0,0)A ，(0,2,0)C 。

（Ⅰ）证明：由1(1

,0,1)DA =，1(1,1,1)D E a =--， 11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ⋅=⋅--=-=，有11DA D E ⊥，于是11D E A D ⊥。

（Ⅱ）(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-。设平面1ACD 的法向量为(,,1)n x y =，单位法向量为0n ，由

10

0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ⋅-=⎧⎨⋅-=⎩⇒2010x y x -+=⎧⎨

-+=⎩，解得112

x y =⎧⎪⎨=⎪⎩。于是1(1,,1)2n =。 2、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，

E ，

F 分别CD 、PB 的中点。 （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；

（Ⅱ）设，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值。 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α⇔a ∥u a ku ⇔=； l ⊥m ⇔a ⊥b 0a b ⇔⋅=； α⊥β⇔u ⊥v .0=⋅⇔v u

A

B

C

D E

F

x

y

z P

图 5

法1：

（Ⅰ）证明：取PA 中点G ，连结FG ，DG ，

。

法2：证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD=PD=1，AB=2a （0a >）， 则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), 11

(,,)22

F a .

得11(0,,)22EF =，(2,1,1)PB a =-，(2,0,0)AB a =。 由11

(0,,)(2,0,0)022

EF AB a ⋅=⋅=，得EF AB ⊥，即EF AB ⊥，

同理EF PB ⊥，又AB PB B =， 所以，EF ⊥平面PAB 。

（Ⅱ）解：由2AB BC =

，得22a =2a =

。得2E ，211

,)22

F ，2,0,0)C 。 有(2,1,0)AC =-，2(

1,0)2AE =-，11

(0,,)22

EF =。 设平面AEF 的法向量为(,,1)n x y =，

由00

n EF n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11(,,1)(0,,)0222(,,1)(1,0)0x y x y ⎧⋅=⎪⎪

⇒⎨

⎪⋅-=⎪⎩1

102220y x y ⎧+=⎪⎪⇒-=，解得12y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 于是(2,1,1)n =--。 设AC 与面AEF 所成的角为θ，AC 与n 的夹角为,AC n <>。

则(2,1,0)(2,1,1)3sin cos ,210211

AC n AC n AC n

θ-⋅--⋅=<>=

=

=

++++⋅。 3、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AA 1＝a ，BC 2a ，M 是AD 的中点。 求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1；

解:以D 点为原点,分别以DA,DC,DD 1为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角 坐标系D-xyz 如图所示.

),0,22(a a MC =→

,)0,,22

(1a a MA -=→,求出平面A 1MC 的一个法向量为:

)2

2,22,

(2

22a a a m -=→

, 又),,2(1a a a BD --=→

,),,0(1a a BA -=→

,求出平面A 1BD 1的一个法向量为:

)2,2,0(2

2a a n =→

, 0=•∴→→n m ,→

→⊥∴n m ,即平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1.

4、在正三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，11AB BC ⊥，求证：11BC A C ⊥.

E

P

D C

B

A

C

途径二：

利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．

5、如图，在正四棱锥P ABCD

-中，PA AB a

==, 求二面角C PA B

--的余弦值.

解：设二面角C AP B

--的平面角为θ，平面PAB的法向量为(1,1,1)

n=.

设平面PAC的法向量为

2

(,,)

n x y z

=,

1

(0,

2

n OB a

∴==

1

1

2

2

cos

3

a

n n

n n

θ

∴===

⨯

.

6、如图，在四棱锥O ABCD

-中，底面ABCD四边长为1的菱

4

ABC

π

∠=，OA ABCD

⊥底面，2

OA=，M为OA的中点。求异面直线AB与MD所成角的大小。

方法1：作AP CD

⊥于点P，如图，分别以AB，AP，

AO所在直线为,,

x y z轴建立坐标系.

方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交

AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF

所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.