复数学案

13.5复 数

考情分析

高考中对复数的考查多以选择题、填空题的形式出现，单独命题，难度较小 基础知识

1、复数的概念：形如a+bi(,a b R ∈)的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，若b=0时，a+bi 为实数，当0a ≠时a+bi 为虚数，当00a b =≠且时a+bi 为纯虚数，当两个复数不是实数时不能比较大小。两个复数相等：当且仅当实部与实部相等，虚部与虚部相等

2、复数的运算：设12,z a bi z c di =+=+

（1）加减法：12()()z z a c b d i ±=±+±（2）乘法：12()()z z ac bd ad bc i =-++

（3）除法：12222

2z ac bd bc ad i z c d c d +-=+++ 3、常用结论：（1）44142431,,1,k k k k i i i i i i +++===-=-，1230m m m m i i i i ++++++=

（2）22(1)2,(1)2i i i i +=-=-（3）11,11i i i i i i

+-==--+（4

）12ω=-+，则3221,,10ωωωωω==++=

4、复数的几何意义：1、OZ z a bi →=+→一一对应一一对应

复数复平面内的点Z （a ，b ）（2）

复数的模||||z OZ ==，它表示点Z （a ，b ）到原点O 的距离，一般的

12||z z -表示1z 与2z 对应点间的距离。 注意事项

1.任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．

2. (1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(各式中n ∈N )．

(2)(1±i)2＝±2i ，1＋i

1－i ＝i ，1－i

1＋i ＝－i.

题型一 复数的有关概念

【例1】设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2－2t ＋2)i(t ∈R )，则下列命题中正确的是( )

A. z 的对应点Z 在第一象限

B. z 的对应点Z 在第四象限

C. z 不是纯虚数

D. z 是虚数

答案：D

解析：由于2t 2＋5t －3的符号无法确定，故A 、B 错，由于t 2－2t ＋2＝ (t －1)2＋1≠0，故z 是虚数．

【变式1】 已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为________．

解析 z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )

＝2－2a 5＋a ＋45i ，

∵z 1z 2为纯虚数，∴2－2a 5＝0，a ＋45≠0，∴a ＝1.故z 1z 2

的虚部为1. 答案 1

题型二 复数的几何意义

【例2】设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2

在复平面内对应的点在( ) A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

答案：D

解析：因为z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝(1－3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝9－7i 13，所以z 1z 2

在复平面内对应的点为(913，－713)，在第四象限，选D.

【变式2】复数1＋i 1－i ＋i 2 012对应的点位于复平面内的第________象限．

解析 1＋i

1－i ＋i 2 012＝i ＋1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限．

答案 一

题型三 复数的运算

【例3】已知i 为虚数单位，复数z ＝

2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( ) A. i

B. 1－i

C. 1＋i

D. －i

答案：B

解析：由已知得z ＝2＋i

1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i ＝i ， |z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i ，选B.

【变式3】 i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋i 1－i 2011＝( )． A ．－i B ．－1 C ．i D ． 1

解析 因为1＋i 1－i

＝(1＋i )(1＋i )2＝i ，所以原式＝i 2011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i. 答案 A

重难点突破

【例4】复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为

A 、

B 、

C ，若∠BAC 是钝角，求实数c 的取值范围．

解：在复平面内三点坐标分别为

A (3,4)，

B (0,0)，

C (c,2c －6)，

由∠BAC 是钝角得AB →·AC

→<0且B 、A 、C 不共线， 由(－3，－4)·(c －3,2c －10)<0，解得c >4911，

其中当c ＝9时，AC →＝(6,8)＝－2AB →，B 、A 、C 三点共线，

故c ≠9.∴c 的取值范围是c >4911且c ≠9.

巩固提高

1.复数2＋i 1－2i

的共轭复数是 ( ) A. －35

i B. 35i C. －i

D. i 答案：C

解析：∵2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )

＝2＋i ＋4i －25＝i ， ∴2＋i

1－2i 的共轭复数为－i.

故应选C.

2. 若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是

( )

A. 1

B. －1

C. 2

D.－ 2 答案：B

解析：因为复数(a ＋i)2＝ (a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标

是(a 2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎨⎧

a 2－1＝02a <0

，解得a ＝－1，选B.