必修2直线与方程知识点总结与题型
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第三章:直线与方程的知识点
倾斜角与斜率
1. 当直线l 与x 轴相交时,我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.
2. 倾斜角不是90°的直线的斜率,等于直线的倾斜角的正切值,即tan k θ=. 如果知道直线上两点
1122(,),(,)P x y P x y ,则有斜率公式2
1
21y y k x x -=-. 特别地是,当12x x =,12y y ≠时,直线与x 轴垂直,斜率k 不存在;当12x x ≠,12y y =时,直线与y 轴垂直,斜率k=0.
注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k =0;当090α︒<<︒时,斜率0k >,随着α的增大,斜率k 也增大;当90180α︒<<︒时,斜率0k <,随着α的增大,斜率k 也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.
两条直线平行与垂直的判定
1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ,其斜率分别为1k 、2k ,有:
(1)12//l l ⇔12k k =;(2)12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.
2. 特例:两条直线中一条斜率不存在时,另一条斜率也不存在时,则它们平行,都垂直于x 轴;….
直线的点斜式方程
1. 点斜式:直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ,其方程为00()y y k x x -=-.
2. 斜截式:直线l 的斜率为k ,在y 轴上截距为b ,其方程为y kx b =+.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时的直线方程为00x x -=,或0x x =.
4. 注意:0
0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程,前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ,后者才是
整条直线.
直线的两点式方程
1. 两点式:直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ,其方程为
11
2121
y y x x y y x x --=
--, 2. 截距式:直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ,其方程为1x y
a b
+=.
3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线;截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.
直线的一般式方程
1. 一般式:0Ax By C ++=,注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式
方程A C
y x B B
=--,表示斜率为A B -,y 轴上截距为C B -的直线.
2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线,可设所求方程为10Ax By C ++=;与直线0Ax By C ++=垂直的直线,可设所求方程为10Bx Ay C -+=.
3. 已知直线12,l l 的方程分别是:1111:0l A x B y C ++=(11,A B 不同时为0),2222:0l A x B y C ++=(22,A B 不同时为0),则两条直线的位置关系可以如下判别:
(1)1212120l l A A B B ⊥⇔+=; (2)1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠;
(3)1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=; (4)1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.
如果2220A B C ≠时,则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠;1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==;1l 与2l 相交1122
A B
A B ⇔≠.
两条直线的交点坐标
1. 一般地,将两条直线的方程联立,得到二元一次方程组111222
0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨
++=⎩. 若方程组有惟一
解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数解,则两条直线有无数个公共点,此时两条直线重合.
2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系,所有的直线恒过一个定点,其定点就是
1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.;
总结直线系方程
1. 与直线:A x +B y +C= 0平行的直线系方程是:A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).
2. 与直线:A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是:B x -A y +m =0.( m ∊R)
3. 过定点(x 1,y 1)的直线系方程是: A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)
4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程:(A 1x +B 1y +C 1)+λ( A 2x +B 2y +C 2)=0 (λ∊R ) 注:该直线系不含l 2.
两点间的距离
1. 平面内两点111(,)P x y ,222(,)P x y
,则两点间的距离为:12||PP .
特别地,当12,P P 所在直线与x 轴平行时,1212||||PP x x =-;当12,P
P 所在直线与y 轴平行时,1212||||PP y y =-;线段12P
P 中点坐标公式1212
(,)22
x x y y ++.
2.定比分点坐标分式,若点P(x,y)分有向线段1212
PP PP PP λλ=所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λ
λλλ++=++=
1,12
1
21y y y x x x
点到直线的距离及两平行线距离
1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离公式为d =
2. 利用点到直线的距离公式,可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=,22:0l Ax By C ++=
之间的距离公式d =
。
推导过程:在直线2l 上任取一点00(,)P x y ,则0020Ax By C ++=,即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=
的距离为d ==
关于点对称和关于直线对称
1.关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等.
2.关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行,则对称直线必过两条直线的交点,且对称直线为两直线夹角的角平分线.