现代控制理论多变量输出反馈控制和解耦控制
现代控制理论第五章答案
比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵 G[3r 2r2]T
观测器方程为：
xˆ (AGC)xˆGybu
3r 2r2
10xˆ23rr2y10u
【习题5－11】已知系统状态空间表达式为
x 0 2 1 1 x 1 0 u
0 1
1 0 01 0
c2A1B0 1 10 2 30 11 0
1 0 10 1
d2 1
计算几个矩阵
Dc c2 1A Ad d1 2cc 21 A1 1
0 2
0 2
1 0
EDB 11
第五章主要内容：
§5—1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 主要知识点:
1、状态反馈、输出反馈的基本概念； 2、三种反馈控制系统的基本结构和特点； 3、闭环系统的能控性和能观性。
§ 5—2 极点配置问题
主要知识点: 1、极点配置的基本概念； 2、极点任意配置的条件； 3、极点配置的设计方法。
§5—3 系统镇定问题 主要知识点:
s 1
0
0
1
(s 1)(s 2)
1
s 1 1
(s 1)2
(s
s
1)( s
s
2)
(s 1)2
0
1
(s 1)(s 2)
【习题5－8】已知系统
1 0 0 1 0 x0 2 3x0 1u
期望的闭环特征多项式
f* () ( 2 )2 ( 3 )3 7 2 1 6 12
比较 f () 和 f * ( ) 求出反馈矩阵
现代控制理论-第六章补充解耦控制
第六章线性定常系统的综合6.5 6.5 解耦控制解耦控制在(0)0x =的条件下的条件下，，输出与输入之间的关系输出与输入之间的关系，，可用传递函数()G s 描述描述：：1()()()()()y s G s u s C sI A Bu s −==−MIMO MIMO系统系统系统（（p 入q 出）：11111221221122221122()()()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()p p p p q q q qp p y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s y s g s u s g s u s g s u s =+++=+++=+++⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋯⋯即第六章线性定常系统的综合6.5.1 6.5.1 问题的提出问题的提出考虑考虑MIMO MIMO MIMO系统系统x Ax Bu y Cx∑=+=ɺ：引入状态反馈u Lv Kx=−解耦问题解耦问题：：就是寻求适当的反馈阵K 和输入变换矩阵L ，使得状态反馈传递函数矩阵为对角阵为对角阵。
)(s KF G 1122G ()diag ()()()KF pp s g s g s g s =⋯p q =其中，即系统的输出个数等于输入个数即系统的输出个数等于输入个数。
第六章线性定常系统的综合11()g s 22()g s ()pp g s 1u 2u pu 1y 2y py 能找出一些控制律能找出一些控制律，，每个输出受且只受一个输入的控制一个输入的控制，，称为解耦控制称为解耦控制。
第六章线性定常系统的综合引入状态反馈u Lv Kx=−状态反馈系统的传递函数矩阵为1()[()]KF G s C sI A BK BL−=−−()()xAx B Lv Kx A BK x BLv =+−=−+ɺCx y =状态反馈系统的状态空间表达式为第六章线性定常系统的综合6.5.2 6.5.2 实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论1) 1) 已知传递函数阵已知传递函数阵111212122212() ()()() ()()() () ()()p p p p pp g s g s g s g s g s g s G s g s g s g s=⋯⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋯⋯是的分母的次数与分子的次数之差的分母的次数与分子的次数之差。
现代控制理论知到章节答案智慧树2023年哈尔滨工程大学
现代控制理论知到章节测试答案智慧树2023年最新哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。
参考答案:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划;用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。
参考答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。
参考答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
参考答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。
参考答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。
参考答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。
参考答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。
参考答案:错9.线性定常系统线性非奇异变换后（）。
参考答案:系统的特征值不变10.考虑如图所示的串联组合系统，下列论述正确的是（）。
参考答案:串联组合后系统的状态方程为第二章测试1.一般线性系统状态方程的解由两部分组成，第一部分反映系统初态的影响，第二部分反映系统输入对状态的影响。
参考答案:对2.零初态响应指系统初始状态为零时，由系统输入单独作用所引起的运动。
现代控制理论-第6章-多变量输出反馈控制和解耦控制
(6-78) (6-79)
其闭环特征多项式H2 s可由分块矩阵的行列式恒等关系
det
A11 A21
A12 A22
detA11
det
A22 A21A111A12
(6-80)
展开为
H2 s
det sI A1* C*
B*
q
k
sIq
det
sI A1*
det sIq C*
馈矩阵，将3p q 1个 闭环极点配置在规定位置。对于n 3p的
多变量系统，利用上述方法所设计的PID控制器能任意配置全
部n q个闭环极点；对于n 3p 的多变量系统，则有n 3p 1
个极点位于未加规定的位置，与设计中所取的Q、q 有关。实际
上通常是n
3p
1个小的数目，通过重复设计
及
Q
，从而重
式(6-87)，即
kWi k1
k2
2 2
2k1
2k2
0
任取 k1 1，则k2 1，故k 1 1。闭环特征多项式由式(6-
85)给出为
H3
s
s
1
s6
2 1
p2 r2
s5
6
q2 1 r2
9r2
s4
12
9 p2 1
r2
r1
9r2
s3
5 p1 9 p2 9q2 2r1 2r2 s2 31 2 p1 2 p2 q1 9q2 s
例6-3 设能控能观测、循环的多变量受控对象动态方程为
0 1 0 0 0 0 1
0
0
1
0
0
0 0
x& 0 0 0 1 0 x 0 2 u
00Βιβλιοθήκη 0010 0
现代控制理论系统解耦问题
() = ( − + )− 的两个特征量ҧ 和
ഥ
ҧ
,
ҧ
为满足
(
−
)
≠ 0的最小值
ҧ
= ൝
− 1，当 ( − ) = 0, = 0,1, ⋯ , − 1
ഥ = ( − )
其中： = − = + −1 −1 + ⋯ + 1 + 0
− = , − = + −1 , ⋯ ,
= −1 + −1 −2 + ⋯ + 1
5.4
系统解耦问题
则： () = ( − − + ⋯ + − − + −−1 −− + ⋯ + + )
即 = [11 , 22 , ⋯ , ] 其中 ≠ 0, = 1,2, ⋯ ,
5.4
系统解耦问题
三. 传递函数矩阵的两个结构特征量
1.特征量的定义
设 ()为 × 阶的传递函数矩阵， ()为其第行传递函数向量
即 = [1 , 2 , ⋯ , ]
() = ( − + − )− −
由结构特征量的性质和凯莱－哈密尔顿定理可得：
() = ⋯
() =
+
+
+
⋯
⋯
+
即实现了解耦，充分性得证。
解耦后，各输入输出间的传递函数是多重积分，称为积分型解耦系统。极点在坐
标的原点，其性能在工程上不能被接受。其意义在于理论分析，即可通过简单的
现代控制理论6.4 解耦控制
Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)
补偿器解耦(3/7)
−1 ( s) ， [I-W(s)]-1左乘与右乘上式，有 � 分别用 Gp 1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W (s ) ] −1
状态反馈解耦(14/16)
� 由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 � 因此,状态反馈解耦矩阵为 ⎡0 0 −1⎤ K = −E F = ⎢ ⎥ 1 2 3 ⎣ ⎦ ⎡ 1 0⎤ −1 H =E =⎢ ⎥ 0 1 ⎣ ⎦
−1
状态反馈解耦(15/16)
� 此时闭环系统状态方程和输出方程为： ⎡0 ̇ (t ) = ⎢0 x ⎢ ⎢ ⎣0 ⎡1 y (t ) = ⎢ ⎣0 0 −1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢ 0 0 ⎥ v (t ) 0 1⎥ x ( t ) + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎦ ⎣0 1 ⎥ ⎦ 1 0⎤ x (t ) ⎥ 0 1⎦
� 根据补偿器Gc(s)的求解公式,有
1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W ( s ) ] −1 −1
⎡ 1 ⎤⎡ 1 ⎤⎡ s ⎤ 0 0 0 ⎢ 2s + 1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ 5s ⎥ ⎢ 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎥ ⎦ 2s + 1 ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ s =⎢ ⎥ ⎢ −( s + 1)(2 s + 1) s +1 ⎥ ⎢ s 5s ⎥ ⎣ ⎦
现代控制理论6.1 状态反馈与输出反馈
⎧ ⎡I ⎪ r[λ I -A + BK B ] = r ⎨[λ I -A B ] ⎢ ⎪ ⎣K ⎩ 0⎤ ⎫ ⎪ ⎬ = r[λ I -A B ] ⎥ I ⎦⎪ ⎭
⎧ x ′ = ( A − BHC ) x + Bv ⎨ ⎩ y = Cx
输出反馈的描述式(3/3)
� 输出反馈闭环系统可简记为∑H(A-BHC,B,C),其传递函数阵 为: GH(s)=C(sI-A+BHC)-1B � 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输 出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 � 因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种 特例。 � 反之,则不然。 � 由此也可知,状态反馈可以达到比输出反馈更好的控 制品质,更佳的性能。 Understand?
v
+ -
u B
+ +
x'
x
y C
∫
A H
开环系统
图6-2 输出反馈系统的结构图
输出反馈的描述式(2/3)
� 输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: � 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为
⎧ x ′ = Ax + Bu ⎨ ⎩ y = Cx u = − Hy + v
u=-Hy+v y=Cx
其中H为r×m维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 � 将输出反馈律代入开环系统方程, 则可得如下输出反馈闭 环控制系统的状态空间模型:
上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。 � 由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例,故输出反馈 亦不改变系统的状态能控性。
多变量解耦控制方法
多变量解耦控制方法随着被控系统越来越复杂，如不确定性、多干扰、非线性、滞后、非最小相位等，需要控制的变量往往不只一个，且多个变量之间相互关联，即耦合，传统的单变量控制系统设计方法显然无法满足要求，工程中常常引入多变量的解耦设计．．．．．．．．。
其思想早在控制科学发展初期就已形成，其实质是通过对一个具有耦合的多输入多输出控制系统，配以适当的补偿器，将耦合程度限制在一定程度或解耦为多个独立的单输入单输出系统。
其发展主要以Morgan于1964年提出的基于精确对消的全解耦状态空间法．．．．．．．．及Rosenbrock于20世纪60年代提出的基于对角优势化的现代频率法．．．．．为代表，但这两种方法都要求被控该方法是将补偿器逐个串入回路构成反馈，易于编程实现。
从解耦的角度看，类似三角解耦，但其补偿器的确定方法并不明确，不能实现完全解耦。
4)奇异值分解法包括奇异值带域法和逆结构正则化法。
主要是先绘制开环传递函数的奇异值图，采用主增益、主相位分析法，或者广义奈氏定理来确定主带域与临界点的关系，从而判别系统的鲁棒稳定性，特别适于无法特征分解或并矢分解的系统。
它是近年来普遍使用的方法之一。
此外，还有一些比较成功的频率方法，包括相对增益法、逆曲线法、特征曲线分析法。
以上解耦方法中，补偿器严重依赖被控对象的精确建模，在现代的工业生产中不具有适应性，难以保证控制过程品质，甚至导致系统不稳定。
即使采用这些方法进行部分解耦或者单向解耦，也不能实现完全解耦，而且辅助设计的工作量很大，不易实现动态解耦。
1.2自适应解耦控制的解耦、控制和辨识结合起来，以此实现参数未知或时变系统的在线精确解耦控制。
它的实质是．．．．．将耦合项视为可测干扰，采用自校正前馈控制的方法，对耦合进行动、静态补偿，对补偿器的参数进行寻优。
它是智能解耦理论的基础，适于时变对象。
对于最小相位系统，自适应解耦控制采用最小方差．．．．控．制律．．可以抑制交联，对于非最小相位系统，它可采用广义最小方差控制律，只要性能指标函数中含有耦合项，就可达到消除耦合的目的，但需求解Diophantine方法，得到的解往往是最小二乘解。
多变量解耦控制方法
多变量解耦控制方法随着被控系统越来越复杂，如不确定性、多干扰、非线性、滞后、非最小相位等，需要控制的变量往往不只一个，且多个变量之间相互关联，即耦合,传统的单变量控制系统设计方法显然无法满足要求，工程中常常引入多变量的解耦设计．．．．．．．．。
其思想早在控制科学发展初期就已形成，其实质是通过对一个具有耦合的多输入多输出控制系统，配以适当的补偿器，将耦合程度限制在一定程度或解耦为多个独立的单输入单输出系统。
其发展主要以Morgan于1964年提出的基于精确对消的全解耦状态空间法．．．．．．．．及Rosenbrock于20世纪60年代提出的基于对角优势化的现代频率法．．．．．为代表，但这两种方法都要求被控对象精确建模，在应用上受到一定的限制.近年来，随着控制理论的发展，如特征结构配置解耦、自校正解耦、线性二次型解耦、奇异摄动解耦、自适应解耦、智能解耦、模糊解耦等等。
解耦控制一直是一个充满活力、富有挑战性的问题。
本文针对解耦方法进行了概述,并分析了其应用现状。
一、解耦控制的现状及问题1.1 传统解耦控制传统解耦方法包括前置补偿法和现代频率法.前者包括矩阵求逆解耦、不变性解耦和逆向解耦；后者包括时域方法，其核心和基础是对角优势,奈氏(Nyquist）稳定判据是其理论基础,比较适合于线性定常MIMO系统.主要包括：1)逆奈氏阵列法逆奈氏阵列法是对控制对象进行预先补偿,使传统函数的逆成为具有对角优势和正规性的矩阵。
由于正规阵特征值对摄动不敏感，因而有较强的鲁棒性,其应用广泛。
当然，当正规阵的上（下）三角元素明显大于下(上)三角元素时，可采用非平衡补偿法进行修正来提高鲁棒性，同时由于利用逆奈氏判据选择反馈增益时并不能保证闭环传递函数本身的对角优势,因此需反复调整补偿器的参数，使设计结果真正符合对角优势。
2）特征轨迹法特征轨迹法是一种分析MIMO系统性态的精确方法。
当采用其中的增益平衡法和特征向量配正法对补偿器进行近似处理时,其精确性难以得到保证，因而工程应用有限。
现代控制理论第五章
148第五章 线性定常系统的综合控制系统的综合任务是设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，，以保证系统的各项性能指标都得到满足。
§5－1线性反馈控制系统的基本结构及其特性 控制系统是由受控对象和反馈控制器两部分构成闭环系统。
现代控制理论采用状态反馈，状态反馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，因而使用系统容易获得更为优异的性能。
一、状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。
如图所示，其表达式：Du CX y Bu AX X+=+= （5-1）149多输入多输出系统式中：nR X ∈，TR u ∈，mRy ∈，n n A ⨯，r n B ⨯，n m C ⨯，r m D ⨯若0=D ，则受控系统X AX Buy C X ∙⎧⎪=+⎨=⎪⎩简记为：）＝（C B A ,,0∑状态反馈控制规律：u kX v =+ （5-3） 其中：v －1⨯r 维参考输入；k－n r ⨯维状态反馈系数或状态反馈增益阵。
把式（5－3）代入式（5－1）得到状态反馈闭环系统表达式()()()()X AX Bu AX B kX v AX BkX Bv A Bk X Bv y C X D u C X D kX v C X D kX D v C D k X D v∙=+=++=++=++=+=++=++=++ 若=D ，()X A Bk X Bv y CX ∙⎧⎪=++⎨=⎪⎩简记为：])[(C B Bk A k ，，+=∑闭环系统的传递函数矩阵BBk A sI C s W k 1)]([)(-+-=状态反馈阵k 的引入，并不增加系统的维数，通过k 的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而改变系统获得所要求的性能。
二、输出反馈150输出反馈是采用输出矢量y 构成线性反馈律，如图所示，受控系统）＝（D C B A ,,,0∑为：X AX Bu y C X D u∙=+=+ （5-7）=D 时为X AX Bu y C X∙=+=输出线性反馈控制律为： v Hy u += （5-9）式中：H —m r ⨯维输出反馈增益阵，对单输出系统H 为1⨯r 维列矢量。
现代控制理论总结
2 根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式
考虑单入单出的线性定常系统：
相应的传递函数为：
G(s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
相应的微分方程为：
c13
(s 1)
n i4
ci
s i
状态变量选取:
x1(s)
(s
1
1)3
U
(s)
(s
1
1)
(s
1
1)2
U
(s)
(s
1
1)
x2 (s)
x2
(s)
(s
1
1)2
U (s)
(s
1
1)
(s
1
1)
U
(s)
(s
1
x Ax bu y cx
x px
x Ax bu y cx
P变换， 变换矩阵： p p1 p2
pn
这里
A p1Ap
b p1b
y cx cpx cx c cp
对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。
化A阵为对角阵
a) A阵具有不相同的实数特征值，即λi
1
xn1
0
an1 xn 1
y 0 1
x1
x2
n1
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知线性定常系统如下所示，下面说法错误的是（）【图片】参考答案:引入状态反馈后，不改变系统的能观测性。
2.串联组合系统的传递函数矩阵为各串联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:错误3.在最优控制问题中，如果系统的性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，则称为线性二次型最优控制问题，简称LQ（Linear Quadratic）问题。
参考答案:错误4.用不大的控制能量，使系统输出尽可能保持在零值附近，这类问题称为输出调节器问题。
参考答案:正确5.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:正确6.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:正确7.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:正确8.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错误9.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）参考答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法._最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划。
_随机系统理论中的Kalman 滤波技术。
10.内部稳定性表现为系统的零初态响应，即在初始状态恒为零时，系统的状态演变的趋势。
参考答案:错误11.系统矩阵A所有特征值均具有负实部是线性时不变系统渐近稳定的充要条件。
参考答案:正确12.从物理直观性看，能观测性研究系统内部状态“是否可由输入影响的问题”。
参考答案:错误13.由系统结构的规范分解所揭示，传递函数矩阵一般而言只是对系统结构的不完全描述，只能反映系统中的能控能观测部分.参考答案:正确14.下面论述正确的是（）参考答案:李亚普诺夫意义下渐近稳定等同于工程意义下稳定。
《现代控制理论》课程教学大纲
《现代控制理论》课程教学大纲学分：3 理论学时：48适合专业：机械制造及自动化课程性质：学位课大纲执笔人：大纲审定人：课程编号：M041001一、说明1.课程的性质、地位和任务《现代控制理论》是机械制造及自动化专业研究生的学位课。
通过本课程的教学，应当使学生了解现代控制理论的体系结构，掌握线性控制系统的状态空间描述、时域分析与离散化等方法，掌握利用状态空间模型分析系统和校正系统及实现最优控制的方法。
2.课程教学基本要求先修课程：《高等数学》、《矩阵理论》、《普通物理》、《电路原理》、《电子技术》、《电机原理及拖动基础》、《自动控制原理》等。
本课程教学应力求使学生掌握现代控制理论的基本概念、系统分析与设计方法，重在提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力和创新意识。
讲授时应及时补充本学科的最新发展成果，使学生了解本学科的重要进展及发展动向。
本课程的教学包括课堂讲授、课外作业和仿真实验等，重点培养学生应用现代控制理论分析和设计控制系统的实际能力。
3.课程教学改革为解决授课学时少授课内容多的矛盾，在有限的教学时间里较好地完成授课任务，授课时应借助多媒体尽量做到突出重点、精讲多练，必要时组织学生进行课堂讨论，调动学生的学习主动性；适当设置一些MATLAB实践课时，提高学生的学习兴趣和拓宽知识面。
二、教学内容绪论（2学时）(1)控制理论的发展(2) 现代控制理论的基本内容学习要求：明确本课程的内容、性质和任务以及学习本课程的意义，了解控制理论的发展概况及现代控制理论的主要特点、内容和研究方法。
第一章控制系统的状态空间数学模型（9学时）(1)状态变量、状态空间表达式(2)系统的一般时域描述化为状态空间描述(3)系统的频域描述化为状态空间描述(4)根据状态变量图列写线性系统的状态空间描述(5)根据系统方框图导出状态空间描述(6)将状态方程化为规范形式学习要求：正确理解线性系统的状态空间数学描述的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的建立方法。
《现代控制理论基础》第九章(6)
22
选取控制规律
u = Fx + Hr
使得如图所示的状态反馈系统
r
H
+
u
B
+
x
∫
A
x
C
y
F
⎧ x = ( A + BF ) x + BHr ⎨ ⎩ y = Cx
为解耦系统，并要求其传递函数矩阵具有如下形式：23
Φ ( s ) = C ⎡ sI − ( A + BF ) ⎤ BH ⎣ ⎦
⎡ 1 ⎢ s dபைடு நூலகம் +1 ⎢ ⎢ 0 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ 0 1 s
s
14
[评注] 串联补偿器的传递函数矩阵 Gc ( s ) 还可以由补偿 原理来确定。 为此，首先设在串联补偿器的作用下， 多输入-多输出系统已经得以解耦， 并且具有要求的闭 环传递函数矩阵Φ ( s )。 于是可以考虑两个相互独立的单输入-单输出单 位反馈系统。
15
r1
-ε
Gp11 ( s )
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ s + 1⎥ ⎦
试设计一个串联补偿器， 使系统解耦，并要求解耦系统 的闭环传递函数矩阵为：
⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ ⎢ s +1 Φ(s) = ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 5s + 1 ⎥ ⎣ ⎦
11
r1
-ε
Gp11 ( s )
1
Gc11 ( s )
u1
+
1 2s + 1
y1
+
Gc21 ( s )
−1 p
−1
对于单位反馈矩阵
即H=I
解耦系统的闭环传递函数矩阵
Φ( s) = [ I + G ( s)] G ( s)
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。
现代控制理论-现控第五部分
一、状态观测器的基本理论 线性定常系统 这个系统的结构如图所示．
由图看出，状态变量X 在系统的内部，它们有时是不 便于直接量测的，而输入变量u与输出变量Y 处在系统外 部，这在工程上是很容易测量的．
稳定与否
系统的瞬态性能主要由系数矩阵决定。A、B阵是已 知的，不能改变。而K 阵可以在一个很宽的范围内选择。 因此，通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到 希望的控制目的。
二、输出反馈
在工程实践中，输出反馈也是常用的。对方程(5-1） 所描述的线性定常系统，采用输出反馈控制律为
U= V-Hy
gn
G
g
n
1
g1
这样就把G 阵完全确定下来了。观测器的设计任务到 此完成。以上的设计步骤，只有当系统具有能观标准型时 才适用。如果原系统中A，C不具备能观标准型的结构， 则必须先经过线性变换，使其先变为能观标准型，然后再 按上述方法设计。
5.8 降维观测器的基本理论 从前面的全维观测器可以看出，它的结构是比较复杂
0 Q[BABA2B]0
1
0 1
1
6
6 31
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因此该系统是状态完
全能控的，可任意配置极点。
1
1 0
s
1
5
s 6
s3 6s2 5s 1
s3 a1s 2 a2s a3 0
因此
a16,a25,a31
因为稳定性是系统能够正常工作所必须满足的要求， 所以研究系统镇定问题是很重要的。
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§6.3 PID输出反馈的设计
在经典控制理论中，闭环反馈形式都是输出反馈形式。
水箱 PID 控制 系统
转台 PID 控制 系统
对于许多单输入-单输出系统，为满足极点配置需求，基本 上都可采用PID输出反馈；而现在对于多输入-多输出系统，同 样为满足极点配置需求，是否也可以采用PID输出反馈来设计 控制规律呢？
设能控能观测线性多变量受控对象动态方程为
x& Ax Bu Ed， y Cx Fd
(6-65)
式中 x 为 n维状态向量，u 为 p 维输入控制向量，y为 q 维输
出向量，d 为 维扰动向量。采用下列PID输出反馈控制规律：
u
v
Py
t
Qe
e
t
dt
Ry&，
evy
(6-66)
式中 v 为 p 维指令向量，P、Q、R分别为比例、误差积分、微
A
C
B
Q
q
k
0
或由式(6-67)及式(6-70)导出闭环系统为
x&** A*2*x** B**uc I**v E**d y C**x** Fd
(6-75) (6-76)
式中
x**
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x*
z
，A*2*
A1*
C*
B*
q
k
，B**
0
B*
0
，
C** C*
0，I**
I*
I
，E**
u Qˆ z uˆ c
(6-69)
作用于增广对象A*0,B*,C* ，Q 为任意的满秩 p q矩阵，结果得
到新的增广系统
x&* A1*x* B*uˆ c I*v E*d y C*x* Fd
(6-70)
式中A1*
A －C
BQˆ0应具有相异特征值，于是保证了A1* 是循环的。
对于系统A1*,B*,C* ，uˆ c 至 y 的传递函数矩阵G1 s为
(6-73)
uc q k z uc
(6-74)
作用于系统A1*,B*,C* ，将q－1个极点配置在希望的规定位
置，式中q 为q－1向量，k为1 q向量，uc为 p 1向量。所得闭
环系统A*2,B*,C* 为
x&* A*2x* B*uc I*v E*d
y C*x* Fd
A*2
输出 z 为
z
t
edt
t v y dt
0
0
(6-67)
选择 z 为附加的状态向量q维，或(6-65)与式(6-67)联立构成
n q阶增广受控对象动态方程为
x&* A*0x* B*u I*v E*d
y C*x* Fd
(6-68)
式中
x*
x
z
，A*0
A C
00，B* B0 ，I* 0I，E* EF，C* C
望闭环极点位置应满足
H1
i
1
i
k
W1
i
q
0
来确定 k 。
i 1,L , q 1
第三步：以单位秩反馈控制规律
(6-82)
uc pky qkz& rky&
(6-83)
作用于系统 A*2*,B**,C** ，将其余3p个极点配置在希望位置，并
保持已配置的q－1个极点不可改变。式中p、q、r均为 p 1向量，
G1 s C*
sI A1*
1 B*
C* adj
sI A1*
adj sI A1*
B* W1 s H1 s
(6-71)
式中
H1 s det sI A1*
(6-72)
W1 s C* det sI A1* B*
若原受控对象 A 是循环的，则令Q I 。
第二步：以单位秩反馈控制规律
0
为了配置极点，增广对象A*0, B*,C*应 具有能控能观测性，这就
要求原受控对象具有能控能观测性，以及矩阵
A C
B0 具有满
秩 n q ，后一条件包含着p q（即输入向量维数至少与输出向
量维数相等）及rankC q。
为了工程设计的方便，PID控制器设计通常分三步进行。 第一步：施加初始控制规律
倒立摆控制 点击观看
导弹控制 点击观看
导弹的姿态控制是 通过弹上的传感器测 得导弹的姿态角和角 速度来设计稳定控制 系统。
航天器控制 点击观看
航天器的姿态控制 是通过航天器上的敏 感器测得航天器的姿 态角和角速度来设计 稳定控制系统。
基本思想：
而对于一个多变量控制系统来说，无论采用状态反馈还是输 出反馈，其反馈矩阵诸元的选择均包含了很大的自由度，为了 简单有效地配置多变量系统的极点，可以人为地限制反馈矩阵 的结构形式。
(6-78) (6-79)
其闭环特征多项式H2 s可由分块矩阵的行列式恒等关系
det
A11 A21
A12 A22
detA11
det
A22 A21A111A12
(6-80)
展开为
H2 s
det sI A1* C*
B*
q
k
sIq
det
sI A1*
det sIq C*
EF* ，
A1*与A*2*具有相同的特征值1,L , q1 。
uc至y 的传递函数矩阵G2 s为
G2 s C**
sI A*2*
1 B** C*
sI A*2
1 B* W2 s H2 s
(6-77)
式中
H2 s det sI A*2 det sI A*2*
W2 s C* adj sI A*2 B* C** adj sI A*2* B**
分输出反馈矩阵，其中P、R位于反馈通路中，Q 位于前向通
路中。
设计要求是：
1.闭环极点处于复平面规定位置，以满足瞬态响应需求；
2.稳态时，输出向量 y 准确跟踪指令向量 v ；
3.对于终值是常数的任意扰动d t，不影响稳态输出。
PD输出反馈可满足第一项要求，而为满足第二、三项要求，
需引入积分项。但积分项的引入将增加系统阶数，定义积分器
第六章 多变量输出反馈控制和解耦控制
状态反馈控制的确是线性系统综合的有力工具，但通常需用 状态观测器解决状态变量测量问题，这并非是简单的事，而输 出变量一般是可测量的，设计人员遇到的大多数系统可用输出 量至输入的反馈信息来改善系统性能。
倒立摆稳定控制就是通过测量倒立 摆的摆杆的角度、角速度和其位移和速 度来设计稳定控制系统的。
sI A1*
1
B*
q
k
sq det
sI A1*
det
Iq
1 s
C*
sI A1*
1
B*
q
k
sq det
sI A1*
1
1 s
k
C*
sI A1*
1
B*
q
sq
H1
s
1 s
k
W1
s
q
(6-81)
由于 A1* 是循环的，故可任取q 使 A1* B*q 能控，根据q－1个希