《信号与系统》奥本海姆 第九章 拉普拉斯变换PPT课件

例1. x(t)eatu(t)
X (s) e a te std t e (s a )td t1
0
0
s a
在 Re[s]时，a 积分收敛。
当 a 时0 ， 的x ( 傅t ) 里叶变换存在
X(j)0eatejtdta1j (a 0 )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
显然，在 a 0时，拉氏变换收敛的区域为
Re[s]，a包括了 （ 即 0 轴）。j
ROC的边界总是与 X ( 的s ) 分母的根相对应的。
若 X ( 是s ) 有理函数
X(s) N(s) M i (si) D(s) (si)
i
分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 称为极点。
将 X (的s ) 全部零点和极点表示在S平面上， 就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以 表示一个X ( s，) 最多与真实的 X相( s差) 一个常数因 子 。M
由以上例子，可以看出: 1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并 非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上 的任何复数都能使拉氏变换收敛。
2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称 为拉氏变换的收敛域 。拉氏变换的收敛域 ROC （Region of Convergence）对拉氏变换是非常重 要的概念。
表明 也1 在收敛域内。
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 j 轴的带形区域。
例1. x(t) e a t 0
0t T
其它 t
X(s) T eatestdt 0
T e(sa)tdt 1 [1e(sa)T ]
0
sa
表明 也1 在收敛域内。
5. 左边信号的ROC位于S平面内一条平行于j
轴的直线的左边。
若 x ( t 是) 左边信号，定义于 (,T , 0在
ROC 内， 1 0，则
Tx (t)e 1 td tTx (t)e 0 te (1 0 )td t
e(1 0)T T x(t)e0t dt
一.双边拉氏变换的定义：
X(s) x(t)estdt
称为 x ( t的) 双边拉氏变换，其中 s。j
若 ，0 s 则 有j:
X(j) x(t)ejtdt
这就是 x (的t ) 傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换
在 或0 是在 轴j 上的特例。
由于 X (s ) x (t)e te j td t [x (t)e t]e j td t
傅里叶变换是以复指数函数的特例 e j t 和 e j n
为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和e s t ，
也理z n 应能以此为基底对信号进行分解。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下 一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和Ｚ变 换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不 仅能解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统 分析问题，而且还能用于傅里叶分析方法不适用的 许多方面。拉普拉斯变换与Ｚ变换的分析方法是傅 里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。
X(s) etestdt e 2testdt
0
0
1
etu(t) 1 , s1
Re[s]1
e2tu(t) 1 , Re[s]2 2 s2
j
j
X(s)s1 1s 12s22 s3 s3 2,
j
Re[s]1
2 1
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部
分。ROC总是以平行于 j 轴的直线作为边界的，
[x(t)et ]
所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， x ( 的t ) 拉氏变换就是 x(t )e的 t傅里叶变换。只要有合适的
存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的
信号在引入 后满e足 该t 条件。即有些信号的傅氏
变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明拉氏变
换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
第9章 拉普拉斯变换
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15.09.2020
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本节主要内容：
1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 6. 单边拉普拉斯变换；
9.0 引言
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析 中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号 都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数 函数是一切 LTI 系统的特征函数。
3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达 式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域，才 能和信号建立一一对应的关系。
5. 如果拉氏变换的ROC包含 j 轴，则有
X(j)X(s) sj
二. 拉氏变换的ROC及零极点图：
例3. x(t)etu(t)e2tu(t)
比较 X ( 和s ) X，( j显 )然有
X(s) sjX(j)
当 a 时0， x(t)eatu(t)u(t)
可知 u ( t ) 1 s
Re[s] 0
例2. x(t)eatu(t)
X (s) 0e a te std t 0e (s a )td t1 Re[s]a
s a
与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。
9.1 拉普拉斯变换
The Laplace Transform
复指数信号 e s 是t 一切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为 h ( t ) ，则系统对
e s t 产生的响应是:
y(t)H(s)est ，其中 H(s) h(t)estdt
显然当s 时j，就是连续时间傅里叶变换。
因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
9.2 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms
可以归纳出ROC的以下性质：
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带形区域。
2. 在ROC内无任何极点。
3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
4. 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于 j
轴的直线的右边。
若 x (是t )右边信号, 绝对可x积(t )，e即 0t：
T, t在ROC内0 ，则有
x(t)e0t dt T
若 1 ， 0则
x(t)e1t dt T
x(t)e0te(10)t dt T
e(10)T x(t)e0t dt T