我看微积分方程在实际生活中的应用
我看微积分方程在实际生活中的应用
我看微积分方程在实际生活中的应用数学的价值不仅在于掌握，而且数字是解决生活中世纪问题的重要工具，并能促使人类智慧的进步。
通过数学不断发展，改变了人们的观察能力，思维能力，分析能力以及个人素质等，以更好的思维方式知道行动，能适应当前发展迅速的新社会，新形势。
本文将介个微积分在生活中的多方面应用，对微积分只是进行深入探索。
在现实生活中，我们身边的一切事物都能为数学研究提供服务，实际上，微积分本身就存在于生活中的各项事物中，只有不断深入挖掘，才能透过现象看本质，将抽象的数学付诸于具体事物中，也就是实现“具体——抽象——具体”的思维方式，以求不断进步，不断完善。
在物理中的应用：究变力做功问题时；对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。
匀速直线运动，位移度之间的关系是x=vt，但是如果物体的速度是时刻变化的，那么如何求位移呢？这个问题的解决就用到了微积分。
把物体运动的时间无限细分，在每个单位时间内，物体的速度变化是很小的，就可以认为无提示匀速直线运动，根据已有的攻势求解再把所有的位移加起来，就能够得到总的位移了。
微积分在投资决策中的运用：初等数学在经济生活中的应用十分广泛，例如在投资决策中，如果以均匀流的存款方式，也就是将资金以流水一样的方式定期不断存入银行中，那么计算1年后的中价值就可以通过定积分的方式。
例如某企业一次性投资某项目2亿元，并据顶一年后建成，获得经济回报。
如果忽略资金的时间价值，那么5年时间就能收回成本，但是如果将资金的时间价值考虑进来，可能情况就是有所变化。
因此，微积分的应用，让投资更趋向于理性化，能够风险，提高回报。
“微元法”计算例题体积在切菜中的应用：在研究积分计算平行界面时，假设空间中的某个立体面，有一个曲面和垂直于x轴的两个平面围城，如果使用任一点并与x轴的平面截例题垂直，所得的截面面积也就是一致的连续函数，此例题体积就能通过定积分表示。
微积分的应用实例
微积分的应用实例
微积分作为数学的一个重要分支，不仅仅存在于教科书中的理论知识中，更是广泛应用于现实生活和各个领域的实际问题中。
本文将介绍微积分在实际中的应用实例，以展示微积分的重要性和广泛性。
一、面积与体积的计算
微积分最常见的应用之一是计算面积和体积。
例如，通过定积分可以计算曲线与坐标轴之间的面积，从而求得边界形状的面积。
又如，利用三重积分可以计算立体图形的体积，为工程设计和建筑规划提供重要参考。
二、速度与加速度的分析
微积分还可以用于分析速度和加速度，通过导数和积分关系可以推导出质点的速度和加速度函数。
这对于物理学中的运动学问题和工程学中的运输问题都具有重要意义，在汽车设计、航天器发射等领域都有广泛应用。
三、最优化问题的求解
微积分还可以用于解决最优化问题，通过对函数的导数进行分析，可以找到函数的最大值和最小值，为工程优化和资源分配提供重要依据。
例如，为了最大化利润或最小化成本，可以利用微积分方法对生产过程进行优化。
四、概率与统计分析
微积分在概率与统计学中也有着广泛的应用。
例如，通过积分可以计算概率密度函数下的概率值，从而进行概率分布的分析。
又如，在统计学中，微积分方法可以用于计算变量之间的相关性和分布情况。
总而言之，微积分作为一门重要的数学工具，在各个领域中都有着重要的应用价值。
通过对微积分的深入理解和应用，我们能够更好地解决实际问题，推动科学技术的发展，促进社会经济的进步。
希望本文所述的微积分应用实例能够启发更多人对微积分的学习和研究，为未来的发展做出更大的贡献。
微积分在现实生活中的应用
微积分在现实生活中的应用微积分是数学中一门重要的分支，它是研究变化以及连续函数的研究。
无论是物理学、化学还是工程学，它都有着很重要的应用。
在现实生活中，微积分也有许多重要的应用。
首先，在运动学中，微积分有着重要的应用。
运动的一些精髓如加速度、办法和延伸等都可以通过微积分来求解。
由于它们之间有着紧密的联系，可以依靠微积分来算出它们之间的关系，并且可以用来研究物体运动的过程，计算物体在一定时间内运动的位置以及速度。
其次，在热力学中，微积分也有重要的应用。
热力学是研究物体内热能变化的原理，可以计算热能以及温度的变化。
热力学使用微积分来研究它们之间的联系，可以计算出温度随时间的变化。
此外，在电磁学中，微积分也有着重要的应用。
电磁学是研究电磁场的力和电磁波的传播原理，可以用来研究电流、电压以及电势等物理量之间的联系。
电磁学使用微积分来计算电场与磁场之间的关系，从而可以研究电场如何在各种不同情况下传播。
另外，在经济学中，微积分也有着重要的应用。
经济学是研究经济活动的学科，可以用来研究一个国家经济活动的规律。
经济学使用微积分来研究经济决策的最优化。
用微积分可以计算出一个经济参数如物价指数、失业率等随时间的变化，从而为决策者提供参考依据。
最后，微积分也可以用于其他学科，比如气候学、流体力学等。
由于微积分可以描述变量之间的关系，可以计算出某种变量随着其他变量变化产生的影响。
因此，它还可以用于预测大气环境变化，用来研究流体在各种不同情况下的运动，从而为科学研究提供依据。
总之，微积分可以广泛的应用于现实生活中的各个领域，它可以描述复杂的变量之间的关系，更好地研究和解释它们之间的联系。
应用微积分解决实际问题
应用微积分解决实际问题微积分是数学中的一门重要学科，广泛应用于科学、工程以及经济学等领域。
它能够帮助我们解决各种实际问题，从物理学中的运动分析到经济学中的最优化，都离不开微积分的应用。
本文将探讨一些常见的实际问题，并通过微积分的方法进行解决。
一. 物体的运动分析在物理学中，微积分被用来研究物体的运动。
以一维运动为例，假设一个物体在时间t时刻的位置为x(t)，我们可以通过微积分求解物体的速度和加速度。
1. 速度：速度是物体位置随时间的变化率，即v(t) = dx(t)/dt。
通过微分计算，我们可以求解出速度函数v(t)。
2. 加速度：加速度是速度随时间的变化率，即a(t) = dv(t)/dt。
同样，通过微分计算，我们可以求解出加速度函数a(t)。
通过对速度和加速度的分析，我们可以得到物体运动的各种特性，比如最大速度、最大加速度等。
二. 经济学中的最优化问题微积分在经济学中也扮演着重要的角色。
许多经济现象都可以使用最优化问题来描述，通过微积分的方法，我们可以找到最优解。
1. 利润最大化问题：在市场经济中，一个企业的目标通常是追求利润最大化。
假设一个企业的成本函数为C(x)，收入函数为R(x)，则利润函数为P(x) = R(x) - C(x)。
我们可以通过微积分的方法，找到使利润函数取得最大值的产量水平x*。
2. 消费最优化问题：在经济学中，消费者通常追求利益最大化。
假设一个消费者的效用函数为U(x)，约束条件为消费者的收入不超过一定的限制B。
我们可以通过微积分的方法，找到消费者在给定收入限制下，使效用函数取得最大值的最优消费组合。
三. 物理学中的积分应用在物理学中，微积分的积分部分也有广泛的应用。
1. 曲线长度计算：如果我们需要计算一个曲线的长度，可以通过对曲线方程进行积分来得到结果。
假设曲线方程为y=f(x)，则曲线长度L可以表示为积分形式的定积分：L = ∫[a,b] √(1+(dy/dx)²)dx2. 质量中心计算：质量中心是一个物体在空间中的平衡点，可以通过对物体的质量分布进行积分来求解。
微积分在实际中的应用案例
微积分在实际中的应用案例微积分在实际中有许多应用案例，以下是一些例子：1. 物理学的应用：微积分在物理学中有广泛的应用，例如计算物体在运动中的速度、加速度和位移，以及解决电磁学、光学和量子力学中的问题。
此外，在研究天文学、气象学和地球物理学等领域时，也需要用到微积分的知识。
2. 工程学的应用：在工程学中，微积分被用来解决各种实际问题，如结构设计、机械振动、热传导和流体动力学等问题。
微积分还被用于控制工程和信号处理等领域，以实现最优控制和信号传输。
3. 经济学的应用：微积分在经济学的应用非常广泛，例如计算边际成本、边际收入和边际利润等，以及进行投入产出分析和动态规划等。
此外，微积分也被用于金融学和保险精算等领域。
4. 社会学的应用：在人口统计学中，微积分被用来研究人口增长和减少的规律。
在心理学中，微积分也被用于研究人类行为的规律和预测未来的趋势。
5. 医学的应用：在医学领域，微积分被用来研究生物系统的生理变化和药物动力学等。
例如，通过微积分的方法可以模拟药物在体内的扩散和代谢过程，为新药的研发提供重要的参考依据。
6. 环境科学的应用：在环境科学中，微积分被用来研究环境污染物的扩散和传播过程，以及生态系统的平衡和可持续发展等问题。
7. 计算机科学的应用：在计算机科学中，微积分被用来优化算法和提高计算机的性能。
例如，通过微积分的方法可以优化图像处理和语音识别等算法的性能。
8. 化学工程的应用：在化学工程中，微积分被用来描述化学反应速率和传质传热等过程，并优化反应器的操作条件。
9. 生物学中的应用：在生物学中，微积分被用来描述生物体的生理特征和行为特征，如呼吸系统、消化系统和神经系统等。
此外，微积分还被用于生态学中研究种群增长和生物多样性等问题。
总之，微积分作为一门数学工具，在实际中的应用非常广泛。
无论是在科学研究还是实际生活中，微积分都发挥着重要的作用。
微积分在生活中的应用案例
微积分在生活中的应用案例咱来说说微积分在生活中的那些超有趣的应用案例。
一、计算不规则物体的体积（啤酒杯的小秘密）你有没有想过一个奇形怪状的啤酒杯能装多少酒呢？这时候微积分就闪亮登场啦。
比如说，这个啤酒杯的形状不是那种规规矩矩的圆柱体或者长方体。
它的杯身可能是那种上宽下窄，而且还带点曲线美的形状。
那我们怎么算出它的容积呢？我们可以把这个杯子沿着高度方向切成无数个超薄的小薄片，就像切土豆片一样。
每个小薄片近似看成一个圆柱体。
然后呢，根据这个薄片所在的高度，算出这个小圆柱体的体积（体积 = 底面积×厚度，底面积 = π×半径²，这里的半径会随着高度变化哦）。
再把所有这些小薄片的体积加起来，这其实就是在做积分运算。
最后就能准确算出这个怪杯子到底能装多少美味的啤酒啦。
要是你是个酒吧老板，知道这个计算方法，就不会在给酒杯打酒的时候出现偏差，让顾客觉得自己吃亏或者你亏本咯。
二、预测人口增长（地球村的人口计划）想象一下咱们这个地球村，人口一直在变来变去的。
人口的增长可不是像我们存钱那样，每年固定增加一个数那么简单。
人口增长的速度其实是和当前的人口数量有关系的。
如果现在人口多，那在同样的条件下，新增加的人口可能就会更多，因为生孩子的基数大嘛。
这时候就可以用微积分里的微分方程来描述人口增长的规律。
假设人口数量是关于时间的一个函数，我们可以建立一个方程，这个方程里包含人口数量的变化率（这就是导数啦，也就是微分的概念）。
通过这个方程，就像拥有了一个魔法水晶球一样，我们可以预测未来人口会增长到多少。
这对政府规划资源、建设城市、安排教育和医疗资源等可太重要了。
要是没有这个预测，可能到时候房子不够住，学校不够用，医院人满为患，那可就乱套啦。
三、汽车加速性能（速度与激情背后的数学）咱们都喜欢看那些超级炫酷的赛车电影，里面的汽车风驰电掣的。
那汽车的加速性能是怎么精确描述的呢？汽车在加速的时候，它的速度不是一下子就从0飙升到100码的。
微积分在现代生活中的应用分析
微积分在现代生活中的应用分析
随着科技的快速发展，微积分在现代生活中变得越来越重要。
微积分是一种用来解决微分
方程，研究函数性质，求解极限，求解积分，解决复杂动力学问题等其他数学问题的数学
理论。
它是数学中最基础也是最重要的部分，相当重要。
可以说，它已成为多种自然科学领域中不可或缺的重要科学工具。
在金融学中，由于微积分的数学原理，我们可以克服市场变化的影响，有效地识别资产价
格的变化，改善标准分析方法，捕捉隐藏的价值和机会。
它帮助预测投资风险，并对投资
者提供有效的投资收益。
在工程学上，有微积分，我们可以以更新的方式设计和建造机器，精确测量速度和加速度，了解运动物体的力学行为。
它也可以帮助我们解决流体动力学和气体动力学等相关问题，为制作特种轻量结构提供详细的指导和帮助。
在医学领域，微积分的技术可以帮助我们迅速识别复杂的病毒和细菌，从而帮助我们快速
控制和抑制疾。
同时，通过研究不同领域中病理状况如何变化，我们可以更好地了解健康
状况和提供一系列有效的药物疗法。
综上所述，微积分对日常生活中几乎所有领域都有着重要的影响。
它可以应用于工程学，金融学，医学等。
因此，学习和掌握微积分是十分必要的。
它的重要性将随着科技的发展
而不断增强。
微积分在生活中的应用论文(1)
微积分在生活中的应用论文(1)微积分在生活中的应用微积分是数学的一门重要分支，是研究函数与变化规律的工具。
它具有广泛的应用价值，在生活中也有许多实际的应用，比如理解化学反应、计算机生成图像等都需要微积分的知识。
一、物理学微积分在物理学中的应用最为广泛。
它可以描述物体的运动和变化，预测物体的运动轨迹和速度等。
例如，在机械物理学中，我们需要通过微积分来描述物体的运动和力学变化，比如速度、加速度和力等。
在电磁学和热力学中，微积分的应用也非常重要，它可以让我们理解物体在电磁场中的行为以及温度的变化等。
二、经济学微积分在经济学中的应用也非常重要。
它可以被用来描述供求关系、市场价格、消费者需求等经济现象，还可以用于优化决策和预测市场趋势。
例如，在产品优化上，微积分可以帮助企业计算最大化利润的需求函数和成本函数，进而制定出最优化的决策方案。
在金融领域中，微积分也被广泛运用于计算复合利息和风险收益等指标，支持投资决策。
三、医学微积分在医学中的应用也十分重要。
它可以用于描述和预测生物和人体的生理特征、疾病和药物的效果等。
例如，对于药物代谢的描述，微积分可以被用来计算血中药物浓度与时间的关系，最终帮助医生进行药物治疗的优化。
另外，微积分还可以用于模拟计算人体器官的生理特性与物理特征，支持医学研究和实验。
四、工程领域在工程领域中，微积分也具有广泛的应用价值。
它可以被用于优化设计和工程建模，以及支持科学研究和实验。
例如，在建筑设计和结构力学中，微积分可以被用来优化建筑物和桥梁的设计和建造，以支持工程安全和建筑的稳定性。
在计算机科学中，微积分可以被用来支持人工智能和机器学习等领域的发展，其深度学习算法使用了微积分的技术。
总结综上所述，微积分是一门功能强大的学科，它的应用范围极为广泛，几乎在所有领域都有其重要的作用。
在我们的生活中，微积分所带来的应用价值和社会益处是不可估量的，值得每一个有兴趣的人去学习和了解。
高等数学小论文—微分在生活中的应用
微分在生活中的应用1.计算利率和复利：在金融领域，微分可以用来计算利率和复利。
在实际应用中，微分被用于计算连续复利。
假设本金为P，年利率为r，投资时间为t年，那么根据微分的思想，t年后本金和利息之和可以表示为P(1+rt)。
这个公式可以方便快捷地计算出投资在一段时间后的增长倍数，为我们进行投资决策提供了依据。
2.预测未来走势：在经济学中，微分被用来描述变量之间的关系，如价格和需求量之间的关系、成本和产量之间的关系等。
这种关系通常被表达为微分方程或差分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到变量随时间变化的规律，从而预测未来的走势。
例如，在商品市场中，价格和需求量之间的关系可以通过微分方程来表示。
通过对这个方程的求解，我们可以预测在未来一段时间内，价格会如何变化，需求量会如何变化，从而制定出更加合理的经济政策。
3.优化生产过程：在工业生产中，微分可以帮助我们优化生产过程。
具体来说，通过对生产过程中的各种变量进行微分分析，可以找出哪些变量对生产效率有影响。
然后，我们可以通过调整这些变量的参数来优化生产过程，提高生产效率。
例如，在生产汽车零部件时，通过对生产过程的微分分析，可以找出对生产效率影响较大的环节，如刀具磨损、模具寿命等，并采取措施来优化这些环节，从而提高生产效率。
4.医学成像：在医学领域，微分也被广泛应用于医学成像。
例如，在CT扫描中，微分被用来重建图像。
具体来说，CT扫描是通过测量人体不同部位在不同时间点的辐射量来重建图像的。
而微分则可以用来分析和处理这些测量数据，以重建出更准确的图像。
在这个过程中，微分可以帮助我们更好地理解图像的形成过程和人体内部的结构特征，为医生的诊断和治疗提供依据。
5.计算机科学：在计算机科学中，微分被广泛应用于机器学习和人工智能领域。
例如，深度学习模型中的反向传播算法就使用了微分。
通过微分，我们可以计算出模型参数的更新量，从而优化模型的性能。
6.自然科学研究：在自然科学领域，微分被广泛应用于物理、化学、生物学等学科的研究。
生活中的微积分
生活中的微积分
微积分是数学中的重要分支，但它并不仅仅存在于课本和学术领域。
实际上，
微积分在我们的生活中随处可见，它影响着我们的日常决策、工作和生活方式。
首先，微积分在经济学中扮演着重要的角色。
通过微积分，经济学家可以分析
市场供需关系、价格变动和消费者行为。
例如，通过对价格曲线的微积分计算，经济学家可以预测商品价格的变化趋势，从而帮助企业制定合理的价格策略。
此外，微积分还可以用来分析投资组合的风险和回报，帮助投资者做出更明智的投资决策。
其次，微积分在工程领域也有着广泛的应用。
在设计建筑、桥梁和道路时，工
程师需要通过微积分来计算结构的稳定性和承载能力。
在电子工程中，微积分可以用来分析电路的性能和稳定性。
在航空航天领域，微积分更是不可或缺的工具，它可以用来计算飞行器的轨迹、速度和加速度，确保飞行器的安全和稳定。
此外，微积分还在科学研究和医学领域发挥着重要作用。
在物理学中，微积分
被用来描述物体的运动和力学规律，帮助科学家理解自然界的运行规律。
在医学领域，微积分可以用来分析生物体内的化学反应和代谢过程，帮助医生诊断疾病和制定治疗方案。
总之，微积分不仅仅是一门抽象的学科，它在我们的生活中无处不在。
无论是
经济学、工程、科学研究还是医学，微积分都扮演着不可替代的角色。
因此，我们应该重视微积分的学习，深入理解它的原理和应用，从而更好地应用它来解决现实生活中的问题。
应用微积分解决实际问题
应用微积分解决实际问题微积分是数学的一个重要分支，其运用广泛，能够解决许多实际问题。
本文将通过几个具体的例子，展示微积分在解决实际问题中的应用。
例一：求取曲线下的面积使用微积分可以高效地求取曲线下的面积。
考虑一个简单的例子，给定函数y = f(x)在区间[a, b]上的曲线。
我们的目标是求取该曲线与x 轴之间的面积。
为了解决这个问题，我们可以将曲线划分为无穷多个微小的矩形，然后将这些矩形的面积相加。
具体而言，我们可以选择一个微小的宽度dx，并计算每个小矩形的面积。
将每个小矩形的面积相加，即可得到整个曲线下的面积。
通过微积分的方法，我们可以将问题转化为求取曲线上每个点的微小面积，随后通过求和的方式得到最终的结果。
这种方法可以应用于各种曲线的求面积问题，从简单的函数到复杂的曲线都适用。
例二：求取物体的体积微积分也可以用于求解物体的体积。
考虑一个简单的情况，假设我们要计算一个球的体积。
我们可以用微积分的方法来解决这个问题。
首先，我们可以将球体划分为无数个微小的圆柱体，并计算每个微小圆柱体的体积。
然后，我们将这些微小圆柱体的体积相加，即可得到整个球体的体积。
这个方法同样适用于其他形状的物体，只需将其划分为微小的基本形状，然后计算每个微小形状的体积并相加。
例三：求解极限问题微积分也可以用于求解极限问题。
考虑一个简单的示例，求解函数f(x) = 1/x在x趋于无穷大时的极限。
我们可以通过微积分的方法来解决这个问题。
首先，我们将函数f(x)进行变形，得到f(x) = 1/x²。
接下来，我们可以利用微积分的知识来求解f(x)的极限。
通过计算导数和极限的关系，我们可以证明该极限为0。
这个方法可以应用于各种极限问题，无论是求函数在某个点的极限，还是在无穷远处的极限，微积分都能够提供有效的解决方法。
总结微积分是解决实际问题中非常有用的工具。
通过求取曲线下的面积、计算物体的体积和求解极限问题，微积分可以帮助我们解决各种实际场景中的数学难题。
微积分解决实际问题
微积分解决实际问题微积分作为数学的一门重要分支，具有广泛的应用领域。
它不仅是理论研究的工具，更是解决实际问题的有效手段。
通过微积分的方法，我们可以对变化进行建模和分析，从而更好地理解和解决实际问题。
本文将以实际问题为例，探讨微积分在问题解决中的应用。
一、定积分与面积计算在实际生活中，我们经常需要计算各种形状的图形的面积。
微积分中的定积分可以用来求解曲线与坐标轴之间的面积。
例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物的地板面积。
如果建筑物的平面形状是规则的，我们可以直接使用几何学中的公式进行计算。
但是，如果建筑物的形状复杂或者不规则，我们就需要使用微积分中的定积分来进行计算。
以某建筑物的平面图为例，假设它的底部边界由一条不规则曲线表示。
我们可以将这条曲线看作是一个函数的图像，利用定积分，我们可以求解出这个边界曲线与坐标轴之间的面积。
具体的步骤是将曲线分成无穷小的短线段，并将每个短线段的长度乘以其高度，最后对所有短线段的面积进行累加。
这样，我们就可以用定积分的方法求解出建筑物的地板面积，从而满足设计的需求。
二、导函数与速度计算微积分中的导函数可以用来描述函数的变化率，也可以用来解决实际问题中的速度与加速度计算。
在物理学中，速度是描述物体运动状态的重要量。
通过利用导函数的概念，我们可以描述物体在某一时刻的瞬时速度。
举个例子，假设一辆汽车在某段时间内行驶的距离与时间的关系可以用函数表示。
我们可以对这个函数求导，得到其导函数，即速度函数。
通过对速度函数的计算和分析，我们可以得出汽车在任意时刻的瞬时速度。
这在交通管理、工程设计等领域中都有重要的应用。
三、积分与求解变化量微积分中的积分可以用来描述函数的累积变化量。
在实际问题中，我们经常需要求解某种变化量的总量。
通过对这种变化量进行积分，我们可以得到累积的结果。
例如，在经济学中，我们经常需要计算某种商品的总销售额。
假设销售额与时间的关系可以用函数表示，我们可以对该函数进行积分，得到总销售额。
高等数学微积分在实际生活中的应用
高等数学微积分在实际生活中的应用摘要：微积分是数学学习的重要内容之一，其应用领域相对较多，如经济与通信等，为计算机等技术的发展提供支持，增加我国发展活力。
因此，我国应充分认识到高等数学微积分的价值，并对其在生活中的具体应用进行探索，以期充分发挥微积分的优势，促进我国各领域的稳定与长久发展，实现科技强国的目标。
关键词：高等数学；微积分；生活；应用引言微积分与人们的生产生活具有密切联系。
在微积分学科发展速率逐渐加快的背景下，其应用领域逐渐增多，影响力度有所增强，为各个领域的发展带来新契机。
微积分学不仅与计算机、通信等具有密切联系，而且与物理学、建筑工程等息息相关，使得其在生活中的应用愈加广泛。
我国应对微积分进行深入研究，明确其在生活中的应用路径，为生活问题的解决提供支持。
一、在生活中对高等数学微积分加以运用的意义（一）增加问题解决路径在科研工作者研究过程中，其会借助相应的数学知识，对遇到的问题加以解决，保障研究的有序进行，促进研究水平的提升。
而在问题复杂度逐渐提升的趋势下，研究人员若仍采用相对简单的数学知识，问题解决成效也会随之降低，使得人们愈加注重深层次数学知识的学习。
而微积分理论在问题分析解决方面具有显著优势[1]。
例如，在经济学方面，相关人员对边际收入与支出问题进行研究时，应借助微积分知识，考量实际需求，减少计算所需花费的时间，提升计算步骤的简略性，提升解题效率，让研究人员的工作负担有所下降，提升工作成效。
在社会调查领域，对问卷调查模式的应用相对较多，所涉及的问卷量相对庞大，为提升信息系准确性，会对统计学加以利用，提升调查结果分析水平，充分体现结果的规律性，并通过微积分理论，深入分析调查结果，为结果确认提供支持。
（二）提升问题解决速率一般来说，人们在对问题进行研究时，会从特殊性方面着手，并逐渐扩展到一般方面，对特殊情况中涵盖的规律加以探索，深化对事物的了解，使得事物认知愈加精准。
在此过程中，所涉及的计算量相对庞大，分析难度相对较高，若对微积分相关知识进行运用，可有效简化计算流程，提升分析速率。
微积分基本原理在生活中的应用
微积分基本原理在生活中的应用1. 应用一：经济学中的边际分析•边际效益：微积分中引入的边际概念使得经济学家能够更好地分析边际成本和边际收益之间的关系。
例如，在制定定价策略时，企业需要考虑边际成本和边际收益之间的平衡点，以最大化利润。
•边际消费率：通过微积分的方法，经济学家能够计算出消费者对某种商品的边际消费率，从而为市场调节提供依据。
这种信息能够帮助生产者确定最佳产量，以满足消费者需求并最大化利润。
2. 应用二：物理学中的速度和加速度计算•速度计算：微积分在物理学中广泛应用于速度计算。
通过对位移函数进行微分，我们可以计算出任意时刻的速度。
这对于研究运动物体的行为和预测其未来位置非常重要。
•加速度计算：加速度是物体速度的变化率，可以通过对速度函数进行微分来计算。
通过微积分的方法，物理学家能够研究物体在受力下的加速度变化情况，并揭示运动物体的行为规律。
3. 应用三：工程学中的最优化问题•最优设计：微积分为工程学家提供了解决最优设计问题的方法。
通过对设计变量进行微分，我们可以得到一组方程，通过求解这组方程可以得到最佳设计方案。
这种方法在建筑、机械、电子等领域都有广泛应用。
•最优控制：微积分在工程学中还可以用于最优控制问题的研究。
通过对系统的状态变量和控制变量进行微分，我们可以建立最优控制问题的数学模型，从而找到最佳控制策略。
这种方法在自动化、航空、电力等领域都有重要应用。
4. 应用四：医学中的药物浓度计算•药物浓度：微积分在医学中可以用于计算药物在体内的浓度变化。
通过对药物的代谢速率进行微积分，医学工作者可以了解药物在体内的分布和消除速度，从而制定合理的用药方案。
•药物动力学：微积分方法还可以用于研究药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程。
通过对药物动力学方程进行微分和积分，医学工作者可以揭示药物在体内的行为规律，并指导合理用药。
微积分在实际生活中的应用
微积分在实际生活中的应用【关键词】：微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导【导读】微积分产生于生产技术和理论科学的需要，反过来又广泛影响了生产技术和科学的发展。
现在，微积分是科学家和技术人员不可缺少的工具。
如果把整个数学比作一棵大树，那么初等数学就是树的根，数学的各个分支就是树枝，主干的主要部分就是微积分。
微积分是人类智慧最伟大的成就之一。
一、微积分在几何中的应用在我看来，微积分在几何中主要用于研究函数的图像、面积、体积、近似值，在工程制图和设计中有着不可替代的作用。
1.1求平面图形的面积(1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。
由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。
解析:根据定积分的定义和几何意义，函数在区间内的定积分等于曲线、直线和轴围成的图形的面积。
所以该曲边梯形的面积为f=二、微积分在经济学的应用高等数学在经济学中的应用非常基础和广泛，经济学和数学有着密切的联系。
先进的数学方法在经济学中的应用，加强了经济学的严谨性和合理性，把经济问题变成数学问题，用数学方法分析经济问题，把数学中的极限、导数、微分方程等知识应用到经济中。
1关于最值问题例设：生产x个产品的边际成本c=100+2x，其固定成本为c （0）=1000元，产品单价规定为500元。
假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润解:总成本函数为c(x)=∫x0(100+2t)dt+c(0)=100x+x 2+1000总收益函数为r(x)=500x总利润l(x)=r(x)-c(x)=400x-x2-1000，l’=400-2x，令l’=0，得x=200，因为l’’(200)<0。
所以，生产量为200单位时，利润最大。
微积分在生活中的实例
微积分在生活中的实例一、引言微积分是数学中的一个重要分支，它研究变化和积累的数学工具。
虽然在日常生活中我们可能不会直接使用微积分的符号和公式，但微积分的原理和概念却广泛应用于许多实际情境中。
本文将通过几个实例来说明微积分在生活中的应用。
二、汽车行驶距离与速度在驾驶汽车时，我们经常需要了解行驶的距离和速度。
通过微积分，我们可以计算车辆在不同时间段内的平均速度。
假设我们在一个小时内行驶了100公里，我们可以将这段时间划分为若干小段，并计算每段时间内的瞬时速度。
通过求解速度函数的定积分，我们可以得到整个行驶过程中的总路程。
三、物体的加速度与位移物理学中的运动学描述了物体的运动状态。
在这个过程中，微积分可以帮助我们计算物体的加速度和位移。
以自由落体为例，当一个物体从高处自由下落时，它的速度会逐渐增加。
通过微积分，我们可以求解加速度函数，并计算物体在不同时间段内的位移。
四、金融领域中的微积分应用微积分在金融领域中也有广泛的应用。
例如，在投资中，我们经常关注资产价格的变化趋势。
通过微积分的方法，我们可以计算资产价格的变化率，并预测未来的趋势。
此外，微积分还可以用于计算金融衍生品的定价和风险管理。
五、医学中的微积分应用微积分在医学研究中也发挥着重要的作用。
例如，在药物治疗中，医生需要确定药物在患者体内的代谢速率，以便控制药物的浓度。
通过微积分，可以建立药物在体内的动力学模型，并计算药物的清除速率。
这有助于医生制定合理的药物剂量和用药方案。
六、总结微积分作为数学的重要分支，不仅仅是学术领域的工具，也广泛应用于日常生活中的各个领域。
通过对变化和积累的研究，微积分帮助我们理解和解决实际问题。
从汽车行驶距离与速度到金融领域的应用，再到医学中的药物代谢，微积分无处不在。
因此，学习和理解微积分的原理和概念对于我们更好地应用它于生活和工作中至关重要。
微积分应用理解微积分在实际问题中的应用
微积分应用理解微积分在实际问题中的应用微积分应用微积分是数学的一门分支，它研究的是函数的变化率和积累变化量的问题。
在实际问题中，微积分被广泛应用于物理、工程、经济学等领域，能够帮助我们解决各种复杂的实际问题。
本文将通过几个实际例子来说明微积分在实际问题中的应用。
1. 面积和体积在几何学中，我们经常需要计算形状的面积和体积。
微积分提供了一种方便的方法来计算复杂形状的面积和体积。
例如，我们可以使用定积分来计算曲线下面的面积。
假设我们要计算一个曲线在x轴和两条直线y = a和y = b之间的面积，我们可以通过计算定积分∫(b to a) f(x) dx 来得到结果。
这个方法可以应用于各种曲线的面积计算，比如圆的面积、椭圆的面积等。
类似地，微积分也能帮助我们计算体积。
考虑一个旋转曲线y = f(x)在x轴上旋转一周所形成的旋转体。
我们可以使用定积分来计算这个旋转体的体积。
具体的计算方法是将旋转曲线绕x轴旋转一周所形成的一小段圆柱的体积相加。
通过求解定积分∫(a to b) π[f(x)]^2 dx，我们可以得到整个旋转体的体积。
2. 函数的极值在实际问题中，我们经常需要找到函数的最大值和最小值。
这些最值可以告诉我们最优解、最佳策略等重要信息。
微积分通过求解导数来帮助我们找到函数的极值点。
假设我们要找到函数f(x)的极大值。
首先，我们需要找到函数的导数f'(x)。
然后，我们解方程f'(x) = 0，找到导数为零的点。
接下来，我们对这些点进行二阶导数测试，找到函数的极大值点。
同样的方法也可以应用于寻找函数的极小值。
3. 函数的变化率微积分可以帮助我们研究函数的变化率。
在实际问题中，函数的变化率通常与速度、斜率等概念相关。
微积分提供了计算函数变化率的方法。
考虑一个质点在一条直线上的运动。
我们可以通过计算质点在不同时刻的位置来得到质点的速度函数。
假设质点的位置函数是x(t)，那么质点的速度可以表示为v(t) = x'(t)，即位置函数的导数。
微积分基本原理在日常生活中的应用
微积分基本原理在日常生活中的应用微积分是数学的一个重要分支，是研究函数的变化和求解问题的一种方法。
微积分的基本原理包括极限、导数、积分等概念和定理。
虽然微积分的应用非常广泛，但在日常生活中，我们经常会遇到以下几个方面的应用。
1.经济学中的边际分析经济学中的边际分析是微积分的重要应用之一、边际分析研究其中一变量的微小变化对结果的影响。
例如，在消费决策中，人们经常会用到边际效用来决定是否购买一件商品。
边际效用是指每额外消费一单位商品带来的满足程度的增加。
如果一个人消费的商品单位数量较少，那么他的边际效用较高，可以得到更多的满足。
但是随着消费量的增加，边际效用逐渐减少，人们可能不再购买那些边际效用降低的商品。
2.物理学中的运动学微积分在物理学中的应用非常广泛，尤其是在运动学中。
运动学研究物体的运动状态和轨迹。
微积分可以帮助我们描述物体的速度、加速度和位移等运动状态，以及计算物体的轨迹。
例如，当我们研究一个物体的速度时，可以对物体的位移随时间的变化率进行微分，得到物体的瞬时速度；当我们研究一个物体的加速度时，可以对物体的速度随时间的变化率进行微分，得到物体的瞬时加速度。
3.生物学中的遗传学微积分在生物学中的应用也非常重要，特别是在遗传学的研究中。
遗传学研究生物的遗传规律和基因的传递。
微积分可以用来描述人口基因频率的变化和遗传性状的传递规律。
例如，当我们研究一个基因在人口中的变化趋势时，可以用微分方程来描述基因频率随时间的变化；当我们研究一个遗传性状的传递规律时，可以用微分方程来描述个体数量随时间的变化。
4.统计学中的概率分布微积分在统计学中的应用主要体现在概率分布的研究中。
概率分布描述了随机变量可能取值的概率。
微积分可以用来推导概率分布函数和概率密度函数，并根据这些函数计算随机事件的概率。
例如，正态分布是微积分中重要的概率分布之一，许多统计学方法都是基于正态分布的假设。
利用微积分的方法，我们可以计算出随机变量服从正态分布的概率。
微积分在实际中的应用
微积分的综合应用微积分的综合应用表此刻：1）微分在近似计算中能够较快的求得近似值，一般偏差不大，能够节俭时间和精力；2）定积分在物理学中的应用：变力做功问题常常是用微积分来求功；3）设计桥拱也是微积分利用的一个例子，利用微积分知识能够计算桥墩的受压状况以及整座桥的抗压抗风能力，进而设计出既轻又坚固的桥身；4）天气预告也常常用到微积分例子，将众多的外界要素当成多元函数，进行概括剖析；城市规划、建筑设计等用到了空间分析几何；5）设计元件、容器等节俭资料又保证质量的问题，需要运用微积分计算不规则物体的表面积、体积、质量等有关数据；6）微积分能够用于在天文学上当算引力做功，轨道及运动状况；此外，微积分在经济学还有特别宽泛的作用，在计算盈余状况，投资风险，希望值，回报率，保险行业等都要用到微积分知识。
综上，不论是在科学研究仍是实质生活中，微积分作为一种数学工具的作用是非比寻常的。
站在我们学生的角度，能够掌握微积分的基础知识并在现实中灵巧运用，才算是真实地理解了这门课程的精华。
下边用以详细模型来说明方法及过程。
对于火箭升空原理的商讨火箭是一种靠发动机发射物质产生的反作使劲、向前推动的飞翔器，是实现卫星上天和航天飞翔的运载工具，故称运载火箭。
火箭技术就是要解决火箭的制造和发射等问题。
没有火箭技术的发展，就没有空间科学蓬勃发展的今日——火箭技术为人类翻开了探究宇宙的大门。
本文主要议论微积分在发射过程中的应用。
一、火箭升空过程中的主要原理设 t 时辰主体的质量为m，速度为v。
dt 时间内有质量为dm、速率为u 的流动物加到主体上。
t+dt 时辰主体的质量变成m+dm、速度变成 v+dv ，t 时辰质点系的动量为mv+udm ，t+dt 时辰质点系的动量为（m+dm ）（v+dv ）。
下列图为质量流动的质点系。
若主体受外力下，流动物质受外力F ’，则依据质点系动量定理的微分形式，有dp( m dm)(v dv) (mvudm)F F 'dtdt在这一类问题中，流动物体所受外力常常远小于主体所受外力，故 F ’能够忽视。
微积分现实中的应用(用动态的眼光看待现实世界中的问题)
微积分现实中的应用（用动态的眼光看待现实世界中的问题）知识的本身只是知识的一半，还有一半，是它当时解决的那个问题，我来为大家科普一下关于微积分现实中的应用?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!知识的本身只是知识的一半，还有一半，是它当时解决的那个问题。
1、在读塔勒布的《随机漫步的傻瓜》时，有一句话对我影响很深。
数学是用来思考而不是计算的工具什么？数学是用来思考的，可奇怪了，我们从小到大学习的数学不都是计算吗？从几加几到几乘几到解方程。
数据是用来计算的才是我们熟悉的套路。
怎么样？你在读到这句话时，也会有这种感觉呢？2、那么问题也来了，数据到底是怎么用来思考的呢？你是不是也很想知道。
今天正好得到听书给我推荐一本《微积分的力量》，其实看标题是太感兴趣的，因为从个人经历看，从小学到高中，数学都是我的强项。
自从大学的微积分开始，变成一个妥妥的学渣，微积分学得一塌糊涂。
以前我不知道为什么？看完听书的解读，我似乎有点明白了，也彻底颠覆了我对微积分的认识。
3、废话不多说，让我们来重新认识下微积分吧！物理学家理查德.费曼曾经就说过：微积分是上帝的语言在我们的日常生活中，微积分无处不在，举个简单的栗子，手机导航，大家都用过吧！无论你是驾车还是步行，导航上都会显示一个速度，这个速度会根据你的快慢随时变化，也就是说它是一个瞬间速度。
那你有没有好奇过，这个速度是怎么计算出来的呢？这个还是要感谢牛顿，在他看来，任何类型的运动都可以分解成每次移动一个无穷小步，然后把关于距离的问题，转换成了求面积的问题。
4、什么是微积分带给我们的核心思考？把复杂的难题拆分成无穷多个简单的小部分，迈出最最简单的第一步，也就意味着我们已经走在通往珠穆朗玛峰的路上。
5、如果你也对此感兴趣，强烈推荐你去读一读。
,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我看微积分方程在实际生活中的应用
冯天昊
（华中科技大学文华学院环境工程100205021112）
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分在实际生活中无处不在，可以说和我们的生活密切相关。
微积分的应用可以体现在生活中很多不同的方面。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
首先，先介绍一下微积分。
微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，是建立在实数、函数和极限的基础上的。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。
到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。
直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用，特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
微积分学是微分学和积分学的总称。
牛顿、莱布尼兹发明微积分以后，人们才有能力把握运动和过程。
有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产，也就有了现代化的社会。
航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。
微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。
微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。
从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。
从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。
“变”这个字是微积分最大的奥义。
因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。
微积分的基本内容研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。
这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。
此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
数学的价值不仅在于掌握知识，而且数字是解决生活中世纪问题的重要工具，并能促使人类智慧的进步。
通过数学不断发展，改变了人们的观察能力，思维能力，分析能力以及个人素质等，以更好的思维方式知道行动，能适应当前发展迅速的新社会，新形势。
本文将介个微积分在生活中的多方面应用，对微积分只是进行深入探索。
在现实生活中，我们身边的一切事物都能为数学研究提供服务，实际上，微积分本身就存在于生活中的各项事物中，只有不断深入挖掘，才能透过现象看本质，将抽象的数学付诸于具体事物中，也就是实现“具体——抽象——具体”的思维方式，以求不断进步，不断完善。
在物理中的应用：
究变力做功问题时；对于恒力做功，我们可以利用公式直接求出；但对于变力，我们不能利用公式；这种情况下，我们要借助于微积分，我们可以把位移无限细分，在每一个小位
移上，力的变化很小，可以看作是恒力，根据公式算出力所作的功；然后把每一个小位移上的功无限求和，那么就可以求出变力做的总功是多少。
匀速直线运动，位移度之间的关系是x=vt，但是如果物体的速度是时刻变化的，那么如何求位移呢？这个问题的解决就用到了微积分。
把物体运动的时间无限细分，在每个单位时间内，物体的速度变化是很小的，就可以认为无提示匀速直线运动，根据已有的攻势求解再把所有的位移加起来，就能够得到总的位移了。
在经济上的应用：
际需求与边际供给：设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。
类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
际成本函数:总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
边际收益函数：总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。
其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
边际利润函数：润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q 0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
接下来举几个更加细致的例子来说明微积分在生活中的运用：
微积分在排队等待中的运用（夹逼定理）：在数列的夹逼定理中，画出3跳与轴线垂直的直线，分别代表3个垂直于平面的平面，从左到右剑气记为X，a，Z，并将a假设为固定形式，X,Y都向a无限趋近。
此时在X与Y之间随意放入平面Z，此值是无限向a趋近，这就是夹逼定理。
联系到实际生活中，在排队的过程中，很多人排成一列长队，后面的人越来越多，那么加载期中的人就不必考虑多长时间能拍排到自己，就会被后面的热播“加持”到购票的窗口。
微积分在投资决策中的运用：初等数学在经济生活中的应用十分广泛，例如在投资决策中，如果以均匀流的存款方式，也就是将资金以流水一样的方式定期不断存入银行中，那么计算1年后的中价值就可以通过定积分的方式。
例如某企业一次性投资某项目2亿元，并据顶一年后建成，获得经济回报。
如果忽略资金的时间价值，那么5年时间就能收回成本，但是如果将资金的时间价值考虑进来，可能情况就是有所变化。
因此，微积分的应用，让投资更趋向于理性化，能够风险，提高回报。
“微元法”计算例题体积在切菜中的应用：在研究积分计算平行界面时，假设空间中的某个立体面，有一个曲面和垂直于x轴的两个平面围城，如果使用任一点并与x轴的平面截例题垂直，所得的截面面积也就是一致的连续函数，此例题体积就能通过定积分表示。
并通过“微元法”得出结论。
此种方法在生活中的应用，可考虑为切黄瓜时，将黄瓜放在水平的砧板上，菜刀垂直于砧板的方向切掉黄瓜的两端，也就是所求体积的立体空间。
将见个叫嚣距离且垂直于砧板方向切下的一个黄瓜片，视为一个支柱体，这个体积也就等于截面面积乘以厚度，如果将这根黄瓜切成若干片，每片越薄，体积值就越精确。
那么如果将其无限细分，再获得无限和，这正是定积分的最好应用。
综上所述，可以看出来，微积分的发明和使用不是一蹴而就的，是经过无数代人的只会的结晶才能达到今天的成就。
微积分在我们现实生活中具有重要意义，利用好微积分能帮助我们得到问题的最优化解决。
我们应当好好学习微积分这一有用的数学工具，并把它用于实际当中。
微积分与我们的生活息息相关，可以说没有微积分，我们现在的世界就不会是
现在的样子。
参考文献：《高等数学》同济第六版
《微积分》华中科技大学高等数学课题组
《牛奶可乐经济学》弗兰克（美）
《经济学原理》曼昆（美）
《大学物理》汤钧民
《微积分在生活中的应用》王海鸥
《自动控制原理》第五版胡松涛
《经济学原理》葛莉
《魔鬼经济学》史蒂芬.列维特（美）
《大学物理教程》龚勇清。