直角三角形性质应用(勾股定理、互余、特殊角)(含答案)

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专题20 勾股定理(解析版)

1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a．故选 D．

直角三角形性质应用(勾股定理、互余、特殊角)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？问题2：勾股定理及勾股定理逆定理的内容分别是什么？问题3：通过回忆勾股定理和勾股定理逆定理的内容，考虑勾股定理和勾股定理逆定理的使用前提分别是什么？问题4：使用公式法和割补法，常常借助特殊角，常见的特殊角有哪些？一般需要怎么处理？问题5：含30°角的直角三角形的三边比是__________；含45°角的直角三角形的三边比是__________．直角三角形性质应用（勾股定理、互余、特殊角）一、单选题(共6道，每道13分)1.如图，已知AB⊥CD，△ABD，△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC=( )A.8B.5C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形2.如图，下列说法：①若∠ACB=90°，AD=BD，则AD=BD=CD；②若∠ACB=90°，AD=CD，则AD=BD=CD；③若∠ACB=90°，BD=CD，则AD=BD=CD．其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则AD与BD的关系是( )A.AD=3BDB.AD=2BDC.2AD=3BDD.AD=4BD答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接EB，若AE=4，则BC的长是( )．A. B.C. D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AE=4cm，则CD的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形6.如图，已知在△AED中，∠AED=90°，AE=ED，等腰Rt△ABC的面积是1，AB=2AD，∠BAE=30°，AC与DE相交于点F，则△ADF的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形二、填空题(共2道，每道11分)7.已知：如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，则∠EDF=____度．答案：20解题思路：试题难度：知识点：直角三角形两锐角互余8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过E作EF∥BC交∠ACD的平分线于F，EF 交AC于M，若CM=5，则____．答案：100解题思路：试题难度：一颗星知识点：勾股定理。

直角三角形的性质及其证明（含勾股定理）初二

直⾓三⾓形的性质及其证明（含勾股定理）初⼆00锐⾓互余
可能会有⼈说，你这不是凑数吗？直⾓三⾓形有⼀个直⾓，那么其余的两个⾓当然是和为九
⼗度的。

虽然这个道理浅显易懂，但是关键的是，把原本的三个内⾓的关系简化成了两个内⾓
的关系，⽽且互余，也是等量代换常⽤的条件（同⾓或等⾓的余⾓相等）。

所以重要程度可见
⼀斑。

01斜边中线
利⽤之前学的倍长中线模型可以证明。

02 三⼗度的对边
这个只有三⼗度的直⾓三⾓形才有的性质（其实是三⾓⽐的特殊⾓）
可以通过翻折证明，翻折后就是⼀个等边三⾓形。

03勾股定理
勾股定理可以说是最重要的⼀个性质了，⽽且有的教材（好像是⼤多数教材）都单独作为⼀
章来学习，当然它也是直⾓三⾓形的⼀个性质。

它是证明⽅法最多的定理（500多种），也被称
为最美的定理，接下来介绍⼏种有趣的证法
031教材课本
如图⼀般为课本上的证明⽅法，不需要⼏何证明过程也不需要代数过程，属于⽆字证明。

032青朱出⼊图（刘徽）
也是利⽤⾯积的相等填补
033弦图
内弦（斜边称为弦）图，稍稍⽤到了代数式计算
外弦图也是类似
034总统证法
是美国地20任总统加菲尔德的⽅法（其实他证明的时候还没当上总统）利⽤了梯形⾯积公
式。

035欧⼏⾥得
欧⼏⾥得在⼏何上可是响当当，他的证法（⼏何原本中的）是⾮常“⼏何”的⼀种证法。

⽤到了
⼿拉⼿的全等模型，和三⾓形的等积变换（如图底不变⾼不变）。

⼤正⽅形被分割的左边的矩
形⾯积等于，左边的⼩正⽅形⾯积S1.。

勾股定理的十五种应用题型梳理

勾股定理知识点及其十五种应用归纳梳理知识点概括一：直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、直角三角形的两个锐角互余2、直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半3、直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理二：勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等扩展：用含字母的代数式表示n 组勾股数1）221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2）2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）3）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）。

注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数应用1 勾股定理理解三角形例题1 在⊙O 中，直径AB ＝15，弦DE ⊥AB 于点C ．若OC ：OB ＝3 ：5，则DE 的长为（） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【解析】如图所示：∵直径AB ＝15，∴BO ＝7.5，∵OC ：OB ＝3：5，∴CO ＝4.5∵DE ⊥AB ，∴DC 6，∴DE ＝2DC ＝12，选C变式1 如图，在Rt △ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．【解析】∵s i nB =AC AB=0.5，∴AB =2AC ，∵AC =6，∴AB =12，∴BC ，选C 变式2 如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3，把Rt △ABC 沿直线BC 向右平移3个单位长度得到△A 'B 'C ' ，则四边形ABC 'A '的面积是（）A ．15B ．18C ．20D ．22【解析】在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =3，由勾股定理可得： ∵Rt △A ’C ’B ’是由Rt △ACB 平移得来，A ’C ’=AC =3，B ’C ’=BC =4 ∴A'C'B 11S =A'C'B'C'=34622⋅⋅⨯⨯=△，又∵BB ’=3，A ’C ’= 3，∴ABB'A'S BB'A 'C'339=⨯=⨯=四边形 ∴A'C'B'ABC'A'ABB'A'S S S =96=15=++△四边形四边形，选A变式3 某几何体的三视图及相关数据(单位:cm )如图所示，则该几何体的侧面积是（）A ．2652cm πB ．260cm πC ．265cm πD ．2130cm π【解析】由三视图可判断出该几何体为圆锥，圆锥的高为12cm ，底部圆的半径为5cm ，∴圆锥母线长为：l cm ，又∵S =R l π⋅⋅圆锥侧，将R =5cm ，=13l cm 代入，∴2S ==65()R l cm ππ⋅⋅圆锥侧，选C应用2 勾股定理与网格问题例题2 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为（）A B C D【解析】由勾股定理得：AC S △ABC ＝3×3﹣111121323222⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝72∴1722AC BD ⋅=BD 7=，∴BD D ．变式4 如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（）．A B C ．35 D ．45【解析】如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，则90ADC ∠=︒∴5AC ==，∴4sin 5AD ACB AC ∠==，选D 变式5 如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．【解析】如图，取格点E ，连接BE ，由题意得：90AEB =︒∠，BE =，AE ，∴1tan =2BE A AE ==，选A 应用3 利用勾股定理解决折叠问题例题3 如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E 、H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A '、D 点的对称点为D ，若90FPG ，A EP △为8，D PH △的面积为2，则矩形ABCD 的长为（）A．10 B ．C ．10 D ．+【解析】∵四边形ABC 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，设AB =CD =x ，由翻折可知：P A ′=AB =x ，PD ′=CD =x ，∵△A ′EP 的面积为8，△D ′PH 的面积为2，又∵90FPG ，∠A ′PF =∠D ′PG =90°，∴∠A ′P D ′=90°，则∠A ′PE +∠D ′PH =90°，∴∠A ′PE =∠D ′HP ， ∴△A ′EP ∽△D ′PH ，∴A ′P 2：D ′H 2=8：2，∴A ′P ：D ′H =2：1，∵A ′P =x ，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即11222x x ⋅⋅=，∴x （负根舍弃），∴AB =CD D ′H =DH ，D ′P =A ′P =CD ，A ′E =2D ′P ，∴PE =PH =，∴AD =D变式6 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ；把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A '处，得到折痕BM ，BM 与FF 相交于点N ．若直线B A ’交直线CD 于点O ，BC ＝5，EN ＝1，则OD 的长为（）A B C D 【解析】∵EN =1，∴由中位线定理得AM =2由折叠的性质可得A ′M =2，∵AD ∥EF ，∴∠AMB =∠A ′NM∵∠AMB =∠A ′MB ，∴∠A ′NM =∠A ′MB ，∴A ′N =2，∴A ′E =3，A ′F =2过M 点作MG ⊥EF 于G ，∴NG =EN =1，∴A ′G =1（微信公众号：数学第六感）由勾股定理得MG =，∴BE =DF =MG∴OF ：BE =2：3，解得OF OD B 变式7 如图，三角形纸片ABC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，把ABD △沿着AD 翻折，得到△AED ，DE 与AC 交于点G ，连接BE 交AD 于点F .若DG GE =，3AF =，2BF =，△ADG 的面积为2，则点F 到BC 的距离为( )A B C D【分析】首先求出△ABD 的面积．根据三角形的面积公式求出DF ，设点F 到BD 的距离为h ，根据12•BD •h ＝12•BF •DF ，求出BD 即可解决问题．∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4 由翻折可知，ADB ≌ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12•（AF +DF ）•BF ＝4∴12•（3+DF ）•2＝4，∴DF ＝1，∴DB设点F 到BD 的距离为h ，则12•BD •h ＝12•BF •DF ，∴h ，选B 应用4 利用勾股定理证明线段的平方关系例题4 如图，在△ABC 中，AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为点F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则下列关系式中成立的是（）A ．a 2+b 2＝5c 2B ．a 2+b 2＝4c 2C ．a 2+b 2＝3c 2D ．a 2+b 2＝2c 2【解析】设EF ＝x ，DF ＝y ，∵AD ，BE 分别是BC ，AC 边上的中线，∴点F 为△ABC 的重心，AF ＝AC ＝b ，BD ＝a ，∴AF ＝2DF ＝2y ，BF ＝2EF ＝2x ，∵AD ⊥BE ，∴∠AFB ＝∠AFE ＝∠BFD ＝90°，在Rt △AFB 中，4x 2+4y 2＝c 2，①在Rt △AEF 中，4x 2+y 2＝b 2，②；在Rt △BFD 中，x 2+4y 2＝a 2，③②+③得5x 2+5y 2＝（a 2+b 2），∴4x 2+4y 2＝（a 2+b 2），④①﹣④得c 2﹣（a 2+b 2）＝0，即a 2+b 2＝5c 2．选A ．变式8 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC BD 、交于点O ．若24AD BC ==，，则22AB CD +=__________．【解析】∵四边形ABCD 是垂美四边形，∴AC ⊥BD∴∠AOD =∠AOB =∠BOC =∠COD =90°，由勾股定理得，AD 2+BC 2=AO 2+DO 2+BO 2+CO 2AB 2+CD 2=AO 2+BO 2+CO 2+DO 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2，∵AD =2，BC =4∴22AB CD +=AD 2+BC 2=22+42=20变式9 如图，在△ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【解析】过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，∵△ACB 为等腰直角三角形，CD ⊥AB ，∴CD =AD =DB ，∵P A 2=（AD -PD ）2=（CD -PD ）2=CD 2-2CD •PD +PD 2，PB 2=（BD +PD ）2=（CD +PD ）2=CD 2-2CD •PD +PD 2，∴P A 2+PB 2=2CD 2+2PD 2=2（CD 2+PD 2），在Rt △PCD 中，由勾股定理可得PC 2=CD 2+PD 2，∴P A 2+PB 2=2PC 2，应用5 利用勾股定理解决实际问题：求梯子滑落高度例题5 如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了（）米．A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【解析】在Rt △ABC 中，AB =2.5米，BC =1.5米，故AC 米．在Rt △ECD 中，AB =DE =2.5米，CD =（1.5+0.5）米，故EC 米，故AE =AC ﹣CE =2﹣1.5=0.5米．选A ．变式10 如图所示，一架梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，此时梯子下端B 与墙角C 的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米．则梯子顶端A 沿墙下移了______米．【解析】由题意得： 2.5AB =米， 1.5BC =米∴在Rt ACB ∆中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC =2米，∵BD =0.9米，∴CD =2.4米．∵ED AB =∴在Rt ECD ∆中，EC 2=ED 2-CD 2=2.52-2.42=0.49，∴EC =0.7米，∴AE =2-0.7=1.3米．变式11 如图，墙面AC 与地面BC 垂直，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了_____米.【分析】要求下滑的距离,显然需要分别放到两个直角三角形中,运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可【解析】在Rt △ACB 中,AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC =2,∵BD =0.9，∴CD =2.4.在Rt △ECD 中,EC 2=ED 2-CD 2=2.52-2.42=0.49∴.EC =0.7∴AE =AC -EC =2-0.7=1.3应用6 利用勾股定理解决实际问题：求旗杆高度例题6 从电线杆离地面8米处拉一根长为10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【分析】首先根据题意画出图形，得到一个直角三角形．根据勾股定理，即可解答．【解析】由题意得，在Rt △ABC 中，AC ＝8，AB ＝10，所以BC ＝6．选C变式12 如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，此时绳子末端距离地面2m ，则绳子的长度为____m ．【解析】设绳子长度为xm ，则AC AD xm ==，(2)AB x m =-，8BC m =，在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，即222(2)8x x -+=，解得：17x =，绳子的长度为17m ．应用7 利用勾股定理解决实际问题：求蚂蚁爬行距离例题7 如图，圆柱的高为8cm ，底面半径为6πcm ，一只蚂蚁从点A 沿圆柱外壁爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm【解析】底面圆周长为6212ππ=cm ，底面半圆弧长为6cm ，展开图如图所示，连接AB ，∵BC =8cm ，AC =6cm ，∴22226810AB AC BC ，选C 变式13 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A ．13米B ．12米C ．5米D 米【解析】如图所示，过D 点作DE ⊥AB ，垂足为E ,∵AB =13，CD =8，又∵BE =CD ，DE =BC ，∴AE =AB −BE =AB −CD =13−8=5,∴在Rt △ADE 中，DE =BC =12，∴22222512169,AD AE DE =+=+= ∴AD =13（负值舍去）故小鸟飞行的最短路程为13m ，选A应用8 利用勾股定理解决实际问题：求大树折断前的高度例题8“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)()A．3B．5C．4.2D．4【解析】设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42=（10-x）2解得：x=4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺，选C变式14《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺．问折断处高地面的距离为（）A．5.45尺B．4.55尺C．5.8尺D．4.2尺【分析】设折断后的竹子的高为x尺，根据勾股定理列出方程求解即可.【解析】设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，即：x2＋32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，选B.变式15如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：sin380.62,cos380.79,tan380.78︒≈︒≈︒≈）【解析】如图： 3.1,38AC B =∠=︒∴ 3.15sin 0.62AC AB B ===，∴木杆折断之前高度()3.158.1AC AB m =+=+=，故答案为8.1m 应用9 利用勾股定理解决实际问题：求水杯中筷子长度问题例题9 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x 尺．根据题意，可列方程为（）A ．22210(1)x x +=+B ．222(1)5x x -+=C ．2225(1)x x +=+D ．222(1)10x x -+=【解析】设芦苇的长度是x 尺，如下图，则()1OA x =-，5AB =，OB x =在Rt AOB 中，222OA AB OB +=，即()22215x x -+=，选B变式16如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．【解析】如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，∴筷子在圆柱里面的最大长度cm∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm变式17无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．【解析】＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．故答案为5．应用10利用勾股定理解决实际问题：解决航海问题例题10如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B 地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（）．A．北偏东20°方向上B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上D．北偏西40°方向上【解析】∵AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，根据勾股定理的逆定理可知222=AB BC AC +，∴∠ABC =90°，∵∠DAB =70°，AD ∥BE ，∴∠ABE =110°，则∠CBE =110°－90°=20°，即点C 在点B 的北偏西20°方向上，选B变式18 如图，海中有一小岛A ，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．【解析】只要求出A 到BD 的最短距离是否在以A 为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，如图，过A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是A 到BD 的最短距离，∵∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°﹣30°＝30°，∠ABD ＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD ＝∠BAD ， ∴BD ＝AD ＝12海里，∵∠CAD ＝30°，∠ACD ＝90°，∴CD ＝12AD ＝6海里，由勾股定理得：AC （海里），如图，设渔船还需航行x 海里就开始有触礁的危险，即到达点D ′时有触礁的危险，在直角△AD ′C 中，由勾股定理得：（6﹣x ）2+（2＝10.52，解得x ＝4.5渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．变式19 一艘轮船在小岛A 的北偏东60︒方向距小岛60海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45︒的C 处，则该船行驶的速度为_____海里/小时．【解析】如图，过点A 作AD BC ⊥于点D ，由题意得：60,45BAD CAD ∠=︒∠=︒，60AB =海里，在Rt ABD △中，9030B BAD ∠=︒-∠=︒，60AB =海里，1302AD AB ∴==海里，BD = 在Rt ACD △中，45CAD ∠=︒，Rt ACD ∴△是等腰直角三角形，30CD AD ∴==海里，(30BC CD BD ∴=+=+海里，则该船行驶的速度为(103BC =+海里/小时，应用11 利用勾股定理解决实际问题：求河宽例题11 如图，为了测量池塘的宽度DE ，在池塘周围的平地上选择了A 、B 、C 三点，且A 、D 、E 、C 四点在同一条直线上，90C ∠=︒，已测得100m AB =，60m BC =，20m AD =，10m EC =，则池塘的宽度DE （）A ．80mB ．60mC ．50mD ．40m【解析】在Rt △ABC 中，AC 80m所以DE ＝AC −AD −EC ＝80−20−10＝50m ，选C变式20 一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为（）A ．440mB ．460mC ．480mD ．500m【解析】根据已知数据，运用勾股定理求得AB 480m ，答：该河流的宽度为480m ．选C变式21 如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，观测者从测点A 、B 分别测得90BAC ∠=︒，又量得9AC m =，15BC m =，则A 、B 两点之间的距离为（）A ．10mB ．11mC ．12mD ．13m【解析】90BAC ∠=︒，9AC m =，15BC m =，()12AB m ∴===，选C ．应用12 利用勾股定理解决实际问题：求台阶上的地毯长度例题12 地面上铺设了长为20cm ，宽为10cm 的地砖，长方形地毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（）A ．50cmB ．100cmC ．150cmD ．200cm【解析】观察图像可知，地毯长可以看做是10个等腰直角三角形的斜边长度之和则斜边=∴长方形地毯的长为：＝≈141.4cm ，选C变式22 在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要（）A ．13mB ．5mC ．12mD ．17m【解析】由勾股定理，12AC ===，则地毯总长为12+5=17（m ），选D 变式23 一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程为（）A B ．25 C ．30 D ．35【解析】如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3∴蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长AB ．由勾股定理得：2AB =220+()2[233]+⨯=225，解得25AB =，选B 应用13 利用勾股定理解决实际问题：判断是否超速例题13 如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 处的正前方30m 的C 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是__m /s ．【解析】在Rt △ABC 中，AC =30m ，AB =50m ，据勾股定理可得：BC （m ）故小汽车的速度为v=402=20m /s 变式24 《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km /h .如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向B 处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A 正前方30m 处的点C ，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离AB 为50m ，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”）【解析】在Rt ABC ∆中，2222250301600BC AB AC =-=--，所以40m BC =. 因此，小汽车的速度为()4020m/s 2=.20m/s 72km/h 70km/h => 故这辆小汽车超速.变式25 如图，小明家（A ）在小亮家（B ）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D ），一小明行走的路线是A →C →D ，小亮行走的路线是B →C →D ，已知3km AB =，4km BC =，5km CD =，90ABC ∠=︒，已知小明骑自行车速度为a km /分钟，小亮走路，速度为0.1km 分钟。

第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理(1)(含答案)

第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理（1）选择题1．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6（第1题）（第2题）2．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A． 5 +1 B．- 5 +1 C． 5 -1 D． 5填空题3．如图，半圆的直径AB= ．（第3题）（第4题）（第5题）4．如图，正方体的棱长为 2 cm，用经过A、B、C三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是 cm．（第6题）（第7题）（第12题）5．有一个与地面成30°角的斜坡，如图，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与斜坡成的∠1=度时，电线杆与地面垂直．6．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠a=度．7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．（第13题）（第14题）（第15题）8．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．9．已知等腰△ABC的腰AB=AC=10cm，底边BC=12cm，则△ABC的角平分线AD的长是 cm ．10．已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 cm ．11．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB= cm ．12．在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．13．如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn= 度．14．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所作的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF 为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所作的第n个等腰直角三角形的腰长为．15．图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤…，则第n个等腰直角三角形的斜边长为．16．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是．17．等腰直角三角形的腰长为 2 ，则底边长为．18．等腰直角三角形的底角为度．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AD=10cm，AC=8cm，那么D点到直线AB的距离是 cm．（第19题）（第21题）（第22题）20．已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为．21．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm．22．下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．（第23题）（第24题）（第25题）23．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）24．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是 cm2．（第26题）（第27题）25．如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为．26．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点是D′，则BD′=．27．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么（a+b）2的值是．（第28题）（第29题）28．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是．29．如图，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线L的距离分别是1和2，则正方形的边长是．30．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．答案：选择题1．故选A．考点：勾股定理的证明．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理求出AD的长度，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．解答：解：过D点作DE⊥BC于E．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=BD2−AB2 =52−42 =3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选A．点评：本题利用勾股定理和角平分线的性质．2．故选C．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．解答：解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：12+22 = 5 ，∴-1到A的距离是 5 ，那么点A所表示的数为： 5 -1．故选C．点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．填空题3．故答案为2 2 ．考点：实数与数轴；勾股定理．专题：数形结合．分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．解答：解：连接OC，由图可知：OD=CD=1，由勾股定理可知，OC=OD2+CD2 =12+12 = 2 ，故半圆的直径为2 2 ，故答案为2 2 ．点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．4．故填6厘米．考点：截一个几何体；勾股定理．专题：压轴题．分析：由图可知：所得的截面的周长=AC+BC+AB，正方体中，AC=BC=AB，所以只要求出正方体一面的对角线长度即可得出截面的周长，根据勾股定理，AB=( 2 2)+( 2 2) =2，因此，截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm．解答：解：根据勾股定理，AB=( 2 )2+( 2 )2 =2，∴截面的周长=AB+BC+AC=3AB=6cm，即截面的周长为6厘米．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．要利用本题中截面的特殊性求解．5．故答案为：60．考点：垂线；直角三角形的性质．专题：应用题．分析：将∠1的一边延长，找∠1的对顶角与30°，90°的关系，再根据对顶角相等求∠1．解答：解：如图，要使CB⊥AB，则在△ABC中，∠CBA=90°，∴∠1=∠ACB=90°-30°=60°．故答案为：60．点评：解答本题的关键是构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．6．故答案为：75°．考点：三角形的外角性质；直角三角形的性质．分析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．解答：解：由图可知，∠ACD=∠B+∠BAC=45°∴∠BAC=45°-30°=15°∴∠α=90°-15°=75°．点评：解决此题的关键是熟练运用直角三角形的性质．7．故填6．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB-AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．解答：解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3 2 ，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3 2 ，DE=CD∴EB=AB-AE=6-3 2故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6-3 2 +3 2 =6．点评：此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．8．底边上的高为4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．解答：解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．点评：考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．9．故应填8．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．分析：由已知可以得到等腰三角形被它的顶角的平分线，平分成两个全等的直角三角形，可以利用勾股定理来求解．解答：解：如图，由等腰三角形的“三线合一”性质，知AD⊥BC，且BD=CD，在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=12BC=6，∴AD=AB2−BD2 =102−62 =8（cm）．故应填8．点评：命题立意：此题主要考查等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理．10．故应填 3 cm．．考点：等边三角形的性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解高．解答：解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：22−12 = 3 cm．点评：考查等边三角形的性质及勾股定理，较为简单．11．故填答案：6．考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形的性质即可解答．解答：解：如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A∴∠A+∠B=90°∴∠A=30°，∠B=60°∴BCAB =12，∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．故填答案：6．点评：此题较简单，只要熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．12．故填130°．考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：根据直角三角形的两个锐角互余和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和的性质计算．解答：解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠BDC=∠AEB=90°∴∠ABE=90°-50°=40°∴∠BPC=∠ABE+∠BDP=40+90=130°．故填130°．点评：本题考查了直角三角形的性质，及三角形的内角和定理及其三角形外角的性质．13．故应填2n-2．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般化规律，进而可得出S n 的表达式．解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=解答：解：根据直角三角形的面积公式，得S 1=12=2-1；根据勾股定理，得：AB= 2 ，则S 2=1=20；A 1B=2，则S 3=21，依此类推，发现：S n =2n -2．点评：本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．14．故应填( 2 2 )n ．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：通过直角三角形的性质特点，斜边上的高等于斜边的一半，再分析规律，便能计算出答案了．解答：解：∵等腰直角△ABC 直角边长为1， ∴斜边长为12+12 = 2 ．斜边上的高也是斜边上的中线，应该等于斜边的一半．那么第一个等腰直角三角形的腰长为 2 2； ∴第二个等腰直角三角形的斜边长=2×( 2 2 )2 =1． ∴第二个等腰直角三角形的腰长=12 =( 2 2)2，那么第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ．故第n 个等腰直角三角形的腰长为( 2 2)n ．点评：解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质得到其他等腰直角三角形的表示规律．15．故答案为：2n．考点：等腰直角三角形．专题：压轴题；规律型．分析：利用勾股定理，分别把图中直角三角形的斜边求出，从中即可发现规律．解答：解：根据勾股定理，在①中，斜边是 2 ，在②中，斜边是2+2 =22，在③中，斜边是4+4 =23，以此类推，则第n个等腰直角三角形中的斜边是2n．点评：此题要结合图形熟练运用勾股定理计算几个具体值，从中发现规律．16．故答案为：等腰直角三角形．考点：等腰直角三角形．分析：已知△ABC是轴对称图形，则△ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故△ABC是直角三角形；故△ABC的形状是等腰直角三角形．解答：解：△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△ABC的形状是等腰直角三角形．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．17．故答案为：2．考点：等腰直角三角形．分析：已知等腰直角三角形的腰长为 2 ，则根据等腰直角三角形的性质及直角三角形的性质即可求得底边的长．解答：解：∵等腰直角三角形的腰长为 2 ，∴底边长为( 2 )2+( 2 )2 =2．点评：主要考查等腰三角形的性质及直角三角形的性质．18．故答案为：45°．考点：等腰直角三角形．分析：根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理解答．解答：解：∵∠C=90°，AC=AB∴∠A=∠B=45°．点评：此题较简单，只要熟知根据等腰直角三角形的两底角相等且互余即可解答．19．故答案为：6cm．考点：勾股定理；角平分线的性质．分析：首先根据勾股定理求得CD的长，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得D到AB得距离等于CD的长．解答：解：∵AD=10cm，AC=8cm∴CD=6cm∵AD平分∠CAB∴D点到直线AB的距离=CD=6cm点评：运用了勾股定理以及角平分线的性质．20．故答案为：5或7 ．考点：勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解答：解：设第三边为x，（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，所以x=7 ；所以第三边的长为5或7 ．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．21．故答案为：4cm．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．解答：解：根据等腰三角形的三线合一可得：BD=12BC=12×6=3cm，在直角三角形ABD中，由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，所以，AD=AB2−BD2 =52−32 =4cm．点评：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理．关键要熟知等腰三角形的三线合一可得．22．故答案为：76．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．解答：解：设将AC延长到点D，连接BD，根据题意，得CD=6×2=12，BC=5．∵∠BCD=90°∴BC2+CD2=BD2，即52+122=BD2∴BD=13∴AD+BD=6+13=19∴这个风车的外围周长是19×4=76．点评：本题主要考查勾股定理的应用及识图能力．23．故答案为：6.71，考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE 于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB=BE2+DE2 =62+32 =45 ≈6.71，∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．24．故答案为：27．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．解答：解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，AC AB =12，cos∠ABC=cos30°=BCAB=32，∴AB=BE=2AC=2DE=2×6=12，BC = 32×AB=32×12 = 6 3 ，∴BD=6 3 ，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，∴DFBD = DF6 3=12， DF=3 3 ，∴S△B C D=12BC•DF=12×6 3 ×3 3 =27cm2．故答案为：27．点评：本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题，求高DF 除上述方法外，还可根据面积法列方程解答．25．故答案为：2 3 ．考点：勾股定理；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：作DF⊥CE于F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可．解答：解：过D作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF=1．在直角三角形CDF中，根据勾股定理，得：DF2=3．在直角三角形BDF中，BF=BC+CF=2+1=3，根据勾股定理得：BD=9+3 =2 3 ．点评：熟练运用等腰三角形的三线合一和勾股定理．26．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；轴对称的性质．专题：压轴题．分析：根据已知条件发现等腰直角三角形ABC，再根据轴对称的性质得到等腰直角三角形DCD′，最后根据勾股定理计算B D′的长．解答：解：根据题意，得∠ACB=45°再根据轴对称的性质，得△CDD′是等腰直角三角形．则CD′=CD=1，在直角三角形BCD′中，根据勾股定理，得BD′= 5 ．点评：此题考查了勾股定理，以及轴对称的基本性质，难易程度适中．27．故答案为：25．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．解答：解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×12ab=13-1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故答案为：25．点评：注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．28．故答案为：a2．考点：勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理知，以两条直角边为边作出的两个正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积．解答：解：如图，由勾股定理可知，正方形A与B 的面积和等于正方形M的面积．正方形C与D的面积和等于正方形N的面积．并且正方形M与N的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=a2．点评：本题考查了勾股定理的意义及应用．29．故答案为： 5 ．考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．专题：压轴题．分析：两直角三角形的斜边是正方形的两边，相等；有一直角对应相等；再根据正方形的角为直角，可得到有一锐角对应相等，易得两直角三角形全等，由三角形全等的性质可把2，1，正方形的边长组合到直角三角形内得正方形边长为22+12 = 5 ．解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°，而AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，∴△AMB≌△BCN，∴BM=CN，∴AB为22+12 = 5 ．点评：本题考查勾股定理及三角形全等的性质应用．30．故答案为：30cm2．考点：勾股定理．分析：直角三角形的面积的计算方法是两直角边乘积的一半，因而由勾股定理先求出另外一条直角边，再求面积．解答：解：∵另一条直角边长=12cm∴三角形的面积是=12×12×5=30cm2．点评：本题考查了勾股定理，面积的计算公式是解题的关键．。

直角三角形的性质

直角三角形的性质直角三角形是指一个角为90度的三角形。

直角三角形有以下几个性质：性质一：勾股定理直角三角形中，较长的一边叫做斜边，较短的两边叫做直角边。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。

即假设直角边分别为a和b，斜边为c，则有c²=a²+b²。

性质二：两个尖角的和等于90度直角三角形中，除了直角外还有两个尖角。

这两个尖角的和等于90度。

也就是说，如果一个三角形中的两个角的和等于90度，那么这个三角形就是直角三角形。

性质三：直角三角形的两个锐角互余直角三角形中，两个锐角互余，即两个锐角的和等于90度。

例如，如果一个三角形中一个角为30度，那么另外一个角就是60度，它们的和为90度。

性质四：直角三角形的高与边的关系直角三角形中，以斜边为底的高等于直角边的乘积的一半。

即假设直角边为a和b，斜边为c，高为h，则有h=(a*b)/c。

性质五：直角三角形的面积直角三角形的面积等于直角边的乘积的一半。

即假设直角边为a和b，面积为S，则有S=(a*b)/2。

性质六：直角三角形的边比例在直角三角形中，两个直角边的比值和它们与斜边的比值相等。

即假设直角边分别为a和b，斜边为c，那么有a/c=b/c。

以上是直角三角形的一些基本性质，可以帮助我们在解决相关问题时进行推理和计算。

在实际应用中，直角三角形的性质被广泛运用在航海、测量、建筑等领域。

通过运用这些性质，我们可以解决直角三角形相关的长度、角度和面积等问题，帮助我们更好地理解和应用几何知识。

第3讲直角三角形的性质应用（2012）

第3讲直角三角形与勾股定理一、内容提要1、理解直角三角形的有关概念；2、掌握直角三角形中两锐角互余的性质，会根据一个角、两个角的大小关系来判定直角三角形；3、掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质和直角三角形全等的HL 判定定理的应用；其它性质：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°. 4、掌握勾股定理及逆定理的应用二、热身练习【A 】组题1. 1. 下列说法错误的是（下列说法错误的是（下列说法错误的是（））A.A.有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B. B. B.有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形C.C.直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高D. D. D.任何一个三角形中，最大角不小于任何一个三角形中，最大角不小于60度 2．如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（为（） A ．21B ．2 C ．3 D ．4 3．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是（为点）是（）A2m B.3m C.6m D.9m 4．若△．若△ABC ABC 三边长a,b,c 满足满足|a+b |a+b |a+b－－7|+|a 7|+|a－－b －1|+1|+（（c －5）2=0=0，，则△则△ABC ABC 是（是（）） A ．等腰三角形．等腰三角形 B B B．等边三角形．等边三角形．等边三角形 C C C．直角三角形．直角三角形．直角三角形 D D D．等腰直角三角形．等腰直角三角形．等腰直角三角形 5、如图，△、如图，△ABC ABC 中，∠中，∠C=90C=90C=90°，°，°，AB AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=10AB=10，，AC=6AC=6，则△，则△ACD 的周长为（的周长为（）） A 、16 B 16 B、、14 C 14 C、、20 D 20 D、、186、已知直角三角形的两边长为3cm 和4cm 4cm，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是，则斜边上的中线长是 cm cm cm，斜边上的高为，斜边上的高为，斜边上的高为7、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为、有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为O （第3题图）题图）的值是三、例题分析：例1、如图，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两直角边长分别是6 EFF BD CEAcC D A C E 第5题 13 3 4 第8题★★例4、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：、某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=q （0°＜q＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1. ①q= 度；度；②若记小棒A2n-1A2n的长度为a n（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出a n（用含n的式子表示）. 图甲图甲活动二：活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1. 数学思考：数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1q= ，2q= ，3q= ；（用含q的式子表示）式子表示）（4）若只能．．摆放4根小棒，求q的范围. AEFBCDMN 第3题图乙图乙四、思维提升【B 】组题1、如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为点D 0．过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为点D 1；再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为点D 2；又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为点D 3；……；这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，……，则线段D n-1D n 的长为_ _ （n 为正整数）．2、在Rt ABC △中，90A Ð=°，BD 平分ABC Ð，交AC 于点D ，且4,5AB BD ==，则点D 到BC 的距离是：的距离是：Ａ.3 Ｂ.4 Ｃ.5 Ｄ.6 3、如图所示，90E F Ð=Ð=，B C Ð=Ð，AE AF =，结论：①EM FN =；②C D D N =；③FAN EAM Ð=Ð；④ACN ABM △≌△．其中正确的有．其中正确的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的段直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．5、如图，以Rt Rt△△ABC 的三边a 、b 、c 为边向外作三个正方形，面积分别是S 1 ，S 2 ， S 3，根据勾股定理可得，勾股定理可得，S S 1 +S 2=S 3DA C 第2题B BA第1题D 1 D 5 D 2D 3 D 4D 0C1第4题C A S 2 S3 S 1 B BC于E，，请说明AG=AB。

第十三讲从勾股定理谈起(含答案)-

第十三讲从勾股定理谈起勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，大约在公元前1100多年前，商高已经证明了普通意义下的勾股定理，在国外把勾股定理称为“毕达哥拉斯定理”．勾股定理是平面几何中一个重要定理，其广泛的应用体现在：勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段．直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用．30例题求解【例1】如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在CD 的同侧，若AB=2，则BE= ．(2001年重庆市中考题)思路点拨因BE 不是直角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，需找出与BE 相等的线段转化问题．注千百年来，勾股定理的证明吸引着数学爱好者，目前有400多种证法，许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明，美国第20任总统加菲尔德(1831—1881)曾给出一个简单证法．勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征，有人建议，将来与“外星人”交往，可以把勾股定理转化为光电讯号，传向异域，他们一定懂得勾股定理．现已确定的2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案．BCDA【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为( )A ．13B ．19C ．25D ．169 (2003年山东省中考题)思路点拨利用勾股定理、面积关系建立a 、b 的方程组．【例3】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数． (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨不可能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，解本例的关键是由条件构造出含30°角的直角三角形．B CAPBCDA【例4】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB=c ，CD=h ．求证：（1）222111hb a =+；(2) h c b a +<+ ；(3) 以b a +、h 、h c +为边的三角形，是直角三角形．思路点拨 (1)只需证明1)11(222=+b a h ，从左边推导到右边；（2）证明(22)()(h c b a +<+；(3)证明222)()(h c h h a +=++．在证明过程中，注意面积关系式ch ab =的应用．【例5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由． (2003年北京市竞赛题)思路点拨假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a 、b 、c ，其中c 为斜边，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2222ab c b a c b a ，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．注当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．从代数角度，考察方程222z y x =+的正整数解，古代中国人发现了“勾三股，四弦五”，古希腊人找到了这个方程的全部整数解（用代数式表示的勾股数组）．17世纪，法国数学家费尔马提出猜想：当n ≥3时，方程n n n z y x =+无正整数解． 1994年，曼国普林斯顿大学堆尔斯教授历尽艰辛证明了这个猜想，被誉为20世纪最伟大的成果．一般地，在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60°或90°，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散的条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路．学历训练1．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ACD 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC ′与BC 之间的数量关系是．(2001年山西省中考题)BCDAC 'BCDAPB CDA（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP'重合，若AP ＝3，则PP ′的长等于．3．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD ⊥BC 于D ，则AD= ． (2001年武汉市选拔赛试题)4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC=4cm ，CD=12㎝，DA=13cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是 cm 2．BCDABCDA（第4题）（第5题）（第7题）5．如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离( )A ．等于1米B ．大于l 米C ．小于l 米D ．不确定. (2002年宁波市中考题) 6．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定7．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=( ) A ．4 B ．5 C ．23 D ．338 8．在由单位正方形组成的网格图中标出了AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A ．CD ，EF ，GHB ．AB ，CD ，EFC ．AB ，CD ，GH D ．AB ，EF ，GH(2003年北京市竞赛题)BCD A GHF E（第8题）（第9题）9．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为3，22，5；(2)使三角形为钝角三角形且面积为4． (2002年吉林省中考题)10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，MN 垂直平分AB ，求证：CM=2BM ． (2002年南道市中考题)BCANM11．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF +=．BCDAFE12．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长为．(2002年湖北省预赛试题)BCDAB CAP1997（第12题）（第13题）（第14题）13．如图，设P 是等边△ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB 的度数是． 14．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为．15．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件：c b a c b a 262410338222++=+++，则这个三角形最长边上的高为．BCDAGFE（第17题）（第19题）16．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是( )A ．2<c<4B ．2< c ≤3C ． 2< c ＜108< c ＜10。

2020年中考数学必考考点专题18解直角三角形问题含解析

专题18 解直角三角形问题一、勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理）5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

6.直角三角形的判定：(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边2.特殊值的三角函数：专题知识回顾三、仰角、俯角、坡度概念 1．仰角：视线在水平线上方的角； 2．俯角：视线在水平线下方的角。

3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即hi l=。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

四、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=AAcos sin专题典型题考法及解析【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P 点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝．【答案】2或2或2．【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．∵AO＝OB＝2，∴当BP＝2时，∠APB＝90°，当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，∴BP＝＝2，当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，∴BP＝OB•tan∠1＝2，故答案为：2或2或2．【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【答案】D【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sinB＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出C D．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．专题典型训练题一、选择题1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（）A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6【答案】A．【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（）A ．，，B．32，42，52C ．D．0.3，0.4，0.5【答案】D．【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。

勾股定理知识详解+典型例题

勾股定理（一）学习目标：1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．知识要点：一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，例：1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．三、直角三角形的性质1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．2.直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．四、勾股定理的应用：1．已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2．用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．例题：一、与勾股定理有关的证明1、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2二、与勾股定理有关的线段长2、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6三、与勾股定理有关的面积计算3、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．6 B．5 C．11 D．16四、利用勾股定理解决实际问题4、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？练习一．选择题1．在△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝15，则△ABC的面积等于（）A．108 B．90 C．180 D．542．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米D．12或（7+）厘米3．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( ) A．12米 B．10米 C．8米 D．6米4．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则的值为( )A．8 B．4 C．6 D．无法计算5．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )A．4 B．6 C．8 D．56．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A．150 B．200 C．225 D．无法计算二．填空题7．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4，乙往南走了3，此时甲、乙两人相距____．8．一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米9．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，计算两圆孔中心A和B的距离为 mm．10．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______．11．如图，直线经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是6、8，则正方形的边长是______．12．如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽2．4m，高3．2m，长15m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积是 m2．13.如图A ，一圆柱体的底面周长为24cm ，高BD 为4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是14.长方体的长、宽、高分别为8cm ，4cm ，5cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．则蚂蚁爬行的最短路径的长是 cm ．15.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？16.某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为米17．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从 A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm ．（结果保留π）A BC三．解答题18．如图四边形ABCD的周长为42，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，求BC的长．19.如图，中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．20．已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．21、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC•于M ，交AB 于N ，若AC=4，MB=2MC ，求AB 的长．22、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。

八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)

直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

三、角平分线的性质定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴ CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.3.关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图4四、勾股定理的证明及应用１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cbaHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

直角三角形

特别常见的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 6,8,10；提 8，15，17；7，24，25；9，40，41等醒
勾股定理的逆定理
【例1】如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，
连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论； (2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由. 【思路点拨】(1) (2)由勾股定理的逆定理判别即可.
解：作AD ⊥ BF ∵由已知可得：∠ FBA=300 ∴ AD=1/2AB=150KM 而 150＜200 ∴ A城会受到台风的影响
北 D F 600 B 东
A
思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不受台风影响至少离B地多远？
C级检测
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°.以AB为斜边作Rt△ABD（D、 C在AB同侧，且不重合），（1）M为AB中点，连结CD，延长AD、BC相交于E。设CD的中点为N，连结MN。 MN和CD有什么位置关系？请说明理由。
勾股定理
◆中考指数：★★★☆☆ 勾股定理的三个应用
知 1．已知直角三角形的两边求第三条边；识 2．已知直角三角形的一边及另两边关系求另两边，一般设点睛未知数； 3．解决有关线段平方的问题. 特勾股定理是直角三角形特有的性质，利用勾股定理的前提条别件是：在直角三角形中，并且所求或所用的线段是直角三角提醒形的边.
借助勾股定理列出方程求解，这一方法在解决折叠问题时经常使用.
勾股定理的逆定理
◆中考指数： ★★☆☆☆ 运用勾股定理逆定理判定直角三角形的三个步骤: 知 1.确定最长边；识 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和；点睛 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.

直角三角形与勾股定理

FI直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形．2、勾股定理逆定理．二、直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数．简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41．【典例精析】一、勾股定理的证明例1、《几何原本》中关于勾股定理的证明方法：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，分别以a ，b ，c 为边长向外作正方形，求证：a 2＋b 2＝c 2变式练习：CD 是△ABC 中AB 边上的高，且CD 2=AD •DB ，试说明∠ACB=︒90AA CB AO YB D 例2、如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=︒30，∠ADC=︒60，AD=DC ．证明：222BC AB BD +=二、勾股定理的应用特殊直角三角形的三边之比三边之比为三边之比为例3、在△ABC 中，∠B=︒45，∠A=︒105，AC=6，求AB 的长．变式练习：如图，已知∠XOY=︒60，M 是∠XOY 内的一点，它到边OX 的距离MA=2，到边OY 的距离MB=11，求OM 的长．DA BBC 例4、如图所示，P 为△ABC 边BC 上一点，且PB PC 2=，已知∠ABC=︒45，∠APC=︒60，求∠ACB 的度数例5、如图，△ABC 三边长分别是BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC 内的点P 向△ABC 的三条边分别作垂线PD 、PE 、PF(D 、E 、F 为垂足)，且BD+CE+AF=27，求BD+BF 的长．三、勾股定理的逆定理例6、在△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状（按角分类）．（1）当△ABC 三边分别为6、8、9时△ABC 为三角形；当△ABC 三边分别为6、8、11时△ABC 为三角形.（2）猜想：当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2 c 2时，△ABC 为钝角三角形．（3）判断当24==a b ，时，三角形△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．M CD A B B'变式练习：已知△ABC 中，a BC b AC c AB ===，，，BC 边的高为a h ，b h AC 边的高为，b a h b h a ≤≤，且有求△ABC 的三个内角度数．四、用勾股定理建立方程，用方程思想解决实际问题例7、如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，B ’为CD 边上的点，B ’C=3，将纸片沿某一条直线折叠，使点B 落在B ’处，点A 的对应点为A ’，折痕分别与AD 、BC 边交于点M 、N ，求BN 和AM 的长．变式练习1、如图，矩形中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，求AP 的长为.五、综合运用例8、已知△ABC 中，AC AB例9、在直线l 上摆放着三个正方形，（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a ，b ，斜着放置的正方形的面积为S= ，两个直角三角形的面积之和为；（均用a ，b 表示）（2）如图2，小正方形面积S 1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积1m 和2m ，并给出图中四个三角形的面积关系；（3）如图3是由五个正方形所搭成的平面图，T 与S 分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T 与S 的关系式，并说明理由．例10、求9)12(422+-++a a 的最小值B C DAP CD A1997过关测试1．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD'重合，若AP ＝3，则PD 的长等于．2．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=3．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC4．如图，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边的长为．5．在锐角△ABC 中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是CDA6．如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求AC 的长．7．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD ，求证：BD 2=AB 2+BC 2．BDA。

第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能一、本章知识内容归纳1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。

（1）重视勾股定理的叙述形式：①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

（2）定理的作用：①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

,2……的无理数线段的几③作长为n的线段。

（利用勾股定理探究长度为,3何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。

）2、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。

（2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

（3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。

要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤如下：①首先确定最大的边（如c）②验证22b a +与2c 是否具有相等关系：若222c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。

若222c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。

补充知识：当222c b a >+时，则是锐角三角形；当222c b a <+时，则是钝角三角形。

（4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。

如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。

勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2222的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,1222++++n n n n n （1>n 的整数） ③柏拉图发现的：1,1,222+-n n n （1>n 的整数）3、勾股定理与勾股定理逆定理的关系（1）注意分清应用条件：勾股定理是由直角得到三条边的关系，勾股定理逆定理则是由边的关系来判断一个角是否为直角。

直角三角形

教学内容知识点讲解/梳理知识点一、直角三角形的性质1、直角三角形的性质定理2、定理：1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1. 在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为____。

考点：直角三角形的性质，三角形内角和。

分析：利用直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，即可算出。

解答：解：根据直角三角形性质，两个锐角互余；题目已知条件已经给出其中一个锐角为52°，即：90°-52°=48°点评：熟悉掌握直角三角形的性质，是解题的关键。

例2、在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。

考点：直角三角形的性质，等腰三角形的性质。

分析：利用直角、等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半和等腰三角形两底角相等，即可算出。

解答：解：因为△ABC为直角三角形，并且CE为斜边AB的中线，根据直角三角形性质可得，CE=AE=BE。

∴△ACE和△CBE是等腰三角形，即∠A=∠ACE；又∵∠A=35°，∠ECB=∠B,则∠AEC=110°，而∠AEC=∠ECB+∠B 即∠ECB=55°。

点评：熟悉掌握直角三角形和等腰三角形的性质，是解题的关键。

即时训练：1、已知，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=；2、在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A与∠B；3、在△ABC中，若∠B与∠C互余，则△ABC是三角形。

4.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=（）A.66°B.36°C.56°D.46° 5.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，CD ＝4 cm ，则AB ＝________cm.。

勾股定理经典例题(含答案)

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC=AD－CD=13－12=25 ∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得 AB=AC－BC=5－3=16 ∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P.求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

直角三角形的特征与性质

性质：三边关系满足勾股定理，即直角边平方和等于斜边平方
应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
角度特性：三个锐角互余，即两个锐角的和等于第三个角
钝角三角形
定义：有一个角大于90度的三角形
角度特性：钝角三角形有一个钝角，其余两个角为锐角
钝角三角形的性质：钝角三角形的三条边满足勾股定理
钝角三角形的判定：如果一个三角形有一个角大于90度，则它是钝角三角形
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直角三角形的特征与性质
目录
01
直角三角形的定义与分类
02
直角三角形的角度特性
03
直角三角形的边长关系
04
直角三角形的性质
05
直角三角形的应用
01
直角三角形的定义与分类源自定义直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
直角三角形中，直角所对的边最长
利用直角三角形的斜边中线性质解决实际问题
数学中的解题技巧
利用直角三角形的勾股定理进行解题
利用三角函数进行角度和边长的计算
利用三角形的相似性质进行比例和面积的计算
利用三角形的全等性质证明相关命题
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面积计算
直角三角形面积公式：面积 = (底 × 高) / 2
面积与角度的关系：在直角三角形中，角度越大，对应的边长越长，面积越大
面积与斜边长的关系：斜边长与面积成正比，斜边越长，面积越大
面积与直角边长的关系：面积随着直角边长的增大而增大
斜边中线性质
斜边中线长度等于斜边的一半
斜边中线性质在几何证明中有着广泛应用
斜边中线性质是直角三角形的一个重要性质
斜边中线与直角三角形两直角边平行

直角三角形性质应用(勾股定理、互余、特殊角)(含答案)

专题20 勾股定理(解析版)

直角三角形性质应用(勾股定理、互余、特殊角)(含答案)

直角三角形的性质及其证明（含勾股定理）初二

勾股定理的十五种应用题型梳理

第3章《勾股定理》 ：3.1 勾股定理(1)(含答案)

直角三角形的性质

第3讲直角三角形的性质应用（2012）

第十三讲 从勾股定理谈起(含答案)-

2020年中考数学必考考点专题18解直角三角形问题含解析

勾股定理知识详解+典型例题

八年级数学直角三角形(教师讲义带答案)

直角三角形

直角三角形与勾股定理

第十七章勾股定理知识与题型总结及测试题含答案

直角三角形

勾股定理经典例题(含答案)

直角三角形的特征与性质

第3章《勾股定理》：3.1 勾股定理(1)(含答案)

第十三讲从勾股定理谈起(含答案)-