创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题92620850
2014年大学生数学建模竞赛B题阅卷情况总结
问题重述必须使用自己的语言重写，不能直接COPY 建模原题中的相关内容。
3.关于论文格式： （1）文字格式的规范性。文字的字体、字号、论文的 各级标题等等要一致。（2）插图、插表、数学公式格 式的规范性。插图、插表最好有图表的序号及标题， 并且格式美观、紧凑。数学公式必须使用WORD或者 WPS自带的公式编辑器输入，不能是使用其它方式输 入的，例如COPY自某个论文或者教材的电子版，或者 COPY自mathematica等能够生成数学公式的软件。 另外不能修改公式编辑器的默认输入格式。（3）必须 按要求标注页码。（4）参考文献及引用的规范性。全 国大学生数学建模竞赛论文格式规范要求：参考文献 的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。
）
文字、格式
3
总体 印象
图表、数学公式 10 参考文献
页码
论文总体工作量
文字、格式的规范性 图表、公式的规范性 4档 参考文献及引用的规范性 页码标注情况 论文总体工作量饱满情况
第1档9 第2档7 第3档5 第4档3
模型方法及结果部分评分参考:(总分80分)
第一问：（35分） 分析过程描述清楚明白、把手处讨论合理（<20cm ）。 方法明确——方程随参数动态变化（角度，钢筋位置）。 求解结果——槽长需求出（<25cm）;边缘线需要有离散点空间坐标，鼓励 写出边缘线方程（参数）表达式。
第三问：（15分） 1.不能改变直线钢筋假设，不能求平面模型，需要注意到桌面边缘线和桌脚 边缘线之间有关系。2.建立模型，给出给定桌面边缘曲线的处理方式，在此 基础上，结合第一问的方法，给出动态的参数方程模型。3.考虑稳定性等， 在动态参数方程基础上，求出最优的设计加工参数，及规格等。4.给出一个 或多个实例及加工参数，每个实例要有至少8张动态变化图。 创新性试卷加分：
数学建模——创意折叠桌
创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。
为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。
根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。
在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。
创意平板折叠桌设计的数学模型
引言 ： 建 立一 个关 于ｘ 轴和ｙ 轴（ 在桌 面上 建 立坐标 轴 ） 对 称 的桌 面边 缘 曲 线和 由两 个 空间 曲面相 交而 成一般 的 桌脚边 缘 线的基 于最 小二 乘 的非线 性规 划 的优 化数 学模 型 。
１理论 分 析
总的 空 槽长 度ｚ ｏ Ｚｄ ， 尽 量小， 但是 空槽 太短， 可能 就会 使得 桌 角倾斜 较大，
教育 时空
啊
ｌ
创 意 平 板 折 叠 桌 设 计 的 数 学 模 型
裴 柳 李建章
４ ０ ０ ０ ７ ４ ） （ 重 庆交 通 大 学 交通 运输 学 院 重 庆
［ 摘 要】 针对客户对创意平板折叠桌高度、 形状 的不同要求， 并且在保证折叠桌稳固性好、 加工方便和用材最 省的条件下， 运用最小二乘的非线性规划的数 学模型， 确定 创 意折 叠桌 的加 工 参数 。 ［ 关键词 ］ 创 意 平板 折 叠 桌 优 化设 计 最 小二 乘 的非 线性 规 划 ｔ ｉ ｎ ｇ ｏ 软 件 ＭＡ ＴＬ ＡＢ 中图 分类 号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １ ． ７ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章编 号 ： １ ０ ０ ９ — ９ １ ４ Ｘ （ ２ ０ １ ５ ） ３ ４ —０ １ ３ ９ — ０ ２
即０ 太小， 稳 固性差 。 而稳 固性 好 ， 就 是要 使折 叠桌 稳定 牢靠 ， 一 方 面要使 折 叠 桌在安 装好 的最后 位置 的钢筋 刚好在 每个 空槽的下 端位置 ， 而 没有再 向下 滑动 的 空间 ， 另一 方面 也 是使折 叠 桌的承 重腿 ， 即使 四条最 外侧 桌腿 尽可 能纵 向垂
值 曲 线 ＝ （ ） 和 ＝ （ ） ， 并设 ｏ， ） ≥０
（ ） ， 一 ｒ Ｙ ｒ 。 以垂 直 向下
数学建模 创意平板折叠桌
B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。
给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。
在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。
关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
基于多目标规划的创意平板折叠桌设计数学建模论文
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
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日期：2014 年9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于多目标规划的创意平板折叠桌设计摘要有创意的平板折叠桌相对于传统的桌子来说更加美观、方便以及节省空间。
2014数学建模b题
对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。
另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。
对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。
并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积V为392330cm3。
对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。
我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。
最后，给出了两种桌面的动态变化图。
关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线一、问题重述问题背景某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
2014数学建模B题
折叠桌的设计应做到产品稳固性好（力学性能分析）、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等(再加一个特色的)。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
假设桌面均匀受力。
根据题意，为了提高稳固性，需要做力学性能研究，一个好的设计没有实用性就不能使用，所以我们把力学性能分析放在首要地位。
为了使加工更加方便和用材最少，我们会在稳固性好的前提下减少使用的钢筋数量和选择最优加工参数。
首先对于设计者设计的桌子的力学性能分析。
我们将作品除支撑外的所有木条以及对应的销钉和绞都去掉，得到如下图所示的结构（图中另一侧的两个台脚没有画出，实际存在）。
其对应的两种力学模型如图所示：左图是对应简支梁的弯矩图，若f即摩擦力不足够大，则会导致结构发生变化。
右图则是对应桌脚铰接于地面的图，该结构处于几何可变状态，不能受力。
因此我们选择左图对应的力学模型来分析此问题。
当结构增加了木条连接销钉和桌面，形成如下图所示的结构：根据力学原理，每增加一根木条，该结构的超静定次数便多增加一次，因此该结构为多次超静定结构，采取增加木条的方法来增加超静定次数, 降低受力敏感度，是提高其稳定性的重要因素。
多年的工程实践证明, 采用优良的结构形式, 对抵抗较大幅度的超载、随机外力以及避免脆性破坏或连续破坏有十分重要的意义。
另外，为了尽可能减少摩擦力对整个结构受力的影响，桌脚木条与水平面的夹角应该有所限制。
若杆AB的长度为L, f为摩擦力，N为支持力。
根据力矩平衡，对B点求矩，ΣM B=N∙L∙cosθ−f∙L∙sinθ=0，求得f=N∙cotθ，因此θ角趋向于90°时，也即桌脚与水平面垂直的时候，摩擦力为0，此时摩擦力对桌子结构的影响最小。
但是当考虑整体结构的时候，若桌脚与水平面垂直的时候，其他木条则均处于桌面下侧，并向里侧收缩如图所示：根据受力平衡，对于桌脚木条来说就会受到销钉提供的很大的向外侧的力作用，对于力学性能来说是一个很大的影响，因此对于整体结构来说，桌脚与水平面的夹角为90°并不是最佳角度。
2014数学建模B题第三问思路
第三小问： 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
针对第三小问我们的解题思路是：首先我们考虑如何刻画桌面边缘线的形状大小，当用户给定桌面边缘线的期望形状时，在桌子放平二维平面上，我们可以通过对边缘线上每一点i 距离桌面中心线的距离i m 的计算，来近似描述用户需要的左面边缘线的轮廓。
我们通过用户给定的折叠桌的高度H ，和桌面边缘线的形状大小来来找到一组平板材料的形状尺寸和切实可行的加工参数，去尽量满足用户需要的桌角边缘线的大致形状。
首先我们遵循第二小问中的三条约束条件，钢筋位置约束1r a l<<，开槽长度约束max00x s l r =<<-，还有桌子高度约束()max x r H z l =±≤≤。
其次，关于对称性的约束，为了满足折叠桌能顺利展开和稳定摆放，我们必须考虑其对称性，即要求客户对桌面边缘的要求必须是关于桌子的中线是对称的，且还需要是左右对称的。
为了尽量满足用户对桌角边缘线的要求，我们设计了第四个目标条件：2241min ((a,)y )((a,))n i i i i i T y l z l z =⎧⎫⎡⎤=-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 其中y i 和i z 代表了，其表示了在桌子立起来时的稳定状态下，用户需要的桌角边缘线中每一点i 的y 和z 坐标值，(a,)i y l 和(a,)i z l 分别代表了我们进行优化选择的平板尺寸和加工参数之后的桌子立起来的稳定状态下的桌角边缘线的每一点i 的y 和z 坐标值。
当4T 越趋近于0时，我们可以说此时选取的平板尺寸和加工参数加工出来的桌子，在立起来稳定的时候所产生的桌角边缘线可以更好地满足客户对桌角边缘线的要求。
数学建模2010-2015试题
数学建模2010-2015试题2015年A: 太阳影⼦定位如何确定视频的拍摄地点和拍摄⽇期是视频数据分析的重要⽅⾯，太阳影⼦定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影⼦变化，确定视频拍摄的地点和⽇期的⼀种⽅法。
1.建⽴影⼦长度变化的数学模型，分析影⼦长度关于各个参数的变化规律，并应⽤你们建⽴的模型画出2015年10⽉22⽇北京时间9:00-15:00之间天安门⼴场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3⽶⾼的直杆的太阳影⼦长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在⽔平地⾯上的太阳影⼦顶点坐标数据，建⽴数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应⽤于附件1的影⼦顶点坐标数据，给出若⼲个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在⽔平地⾯上的太阳影⼦顶点坐标数据，建⽴数学模型确定直杆所处的地点和⽇期。
将你们的模型分别应⽤于附件2和附件3的影⼦顶点坐标数据，给出若⼲个可能的地点与⽇期。
4．附件4为⼀根直杆在太阳下的影⼦变化的视频，并且已通过某种⽅式估计出直杆的⾼度为2⽶。
请建⽴确定视频拍摄地点的数学模型，并应⽤你们的模型给出若⼲个可能的拍摄地点。
如果拍摄⽇期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与⽇期？B：“互联⽹+”时代的出租车资源配置出租车是市民出⾏的重要交通⼯具之⼀，“打车难”是⼈们关注的⼀个社会热点问题。
随着“互联⽹+”时代的到来，有多家公司依托移动互联⽹建⽴了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴⽅案。
请你们搜集相关数据，建⽴数学模型研究如下问题：(1) 试建⽴合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。
(2) 分析各公司的出租车补贴⽅案是否对“缓解打车难”有帮助？(3) 如果要创建⼀个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴⽅案，并论证其合理性。
2014年A:嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12⽉2⽇1时30分成功发射，12⽉6⽇抵达⽉球轨道。
创意平板折叠桌的数学模型
作者： 郑路通 郭志鹏 牛星月 李亚琴 孙国伟
作者机构： 运城学院应用数学系,山西运城044000
出版物刊名： 运城学院学报
页码： 31-35页
年卷期： 2014年 第5期
主题词： 平板折叠桌 参数方程 桌脚边缘线 桌面边缘线
摘要：本文研究平板折叠桌的制作原理,通过数学模型来描述平板折叠桌的设计参数及动态变化过程。
利用空间位置关系和相似三角形,用桌面边缘线的参量与状态变量表示钢筋与木条接触点、木条高低两端的坐标,获得桌脚线在动态过程中的含参变量方程。
同时利用获得的坐标关系求出开槽长度。
并从材料价格、开槽费用及稳定性三方面,分析优化的折叠桌设计加工参数,从而提高折叠桌的稳定性,并使其加工方便且用材最少。
创意平板折叠桌数学模型数学建模B题92620850
创意平板折叠桌的数学模型大纲本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行解析和优化并为公司开发设计折叠桌软件供应数学模型，为解决这些问题建立不同样的数学模型并用 MATLAB进行模型求解。
针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动向变化及数学描述模型。
利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完好张开过程中转过的角度来描述折叠桌动向变化过程，并在此基础上用 MATLAB解出设计加工参数 : 桌腿木条开槽长度 K i，三维空间桌脚边缘线。
针对问题二，本文建立模型Ⅱ ——设计加工参数模型。
采用多目标决策解析方法使产品到达坚固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必定达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径 R 确定：①决策变量： a1〔桌面最外侧木条的半长〕， 1 〔最外侧桌腿的竖直偏角〕，p 〔最外侧折叠处到钢筋地址距离与最外侧桌腿的比值〕②目标函数 : K ( 开槽总长度 ) ， S 长方形木板面积用 MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。
针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。
依照客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户供应三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8〞字形桌面。
对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上经过增大最外侧桌面木条的长度a1来实现；对于“8〞字形桌面那么可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解即可在模型Ⅱ 的基础上改动来实现。
要点词：解析几何MATLAB 多目标决策解析EXLINK1.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动能够平摊成一张平板。
桌腿由假设干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌子外形由直纹曲面组成，造型雅观。
试建立数学模型谈论以下问题：1.给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm ，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心地址，折叠后桌子的高度为53 cm。
创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型
作者： 杨兆兰
作者机构： 兰州文理学院师范学院,甘肃兰州730000
出版物刊名： 求知导刊
页码： 25-26页
年卷期： 2016年 第9期
主题词： 平板折叠桌 开槽长度 直纹曲面 旋转运动
摘要：随着住宅空间的变小,越来越多折叠家具出现,因此许多设计公司制造出了各式各样的折叠家具以满足市场需求,折叠桌作为一种低碳、环保、节能、健康的使用家具,在不少家庭迅中速推广与普及.本文用数学模型模拟出折叠桌的动态变化过程,对折叠桌的设计加工给出了具体的数学描述.。
创意平板桌建模
关键词：平板折叠桌、最优设计、数学模型、多目标优化、压杆稳定、AutoCAD、MATLAB、Lingo
一.问题重述
1.1背景
某公司生产了一种平板折叠桌，为了增大有效使用面积,设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面,又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木梁,每个木梁的长度为宽到圆上一点的距离,分别用两根全属棒贯穿两侧的木条。操作简单，外形美观，具有创意性。为进一步开发这种新型平板折叠桌的价值，我们需要综合考虑该产品的生产成本以及其稳定性和适用性。
最后，在平板折叠桌的外观要求全部由顾客制定时，我们建立数学模型将平板折叠桌分为三大类，桌面形状分为凸形、凹形和凹凸结合性。对于每一类，制定不同的平板处理方法，在确定一些满足桌子实用性和美观性基本要求的设计参数的取值范围后，我们给出相应的设计参数最优解的求解步骤。再利用我们所设计的数学模型结合CAD绘图，给出一种个性设计的创意平板折叠桌的动态变化图示。
问题二：若仅知桌子的高度为70cm，圆形桌面的直径为80cm，从产品稳固性、加工简便性和材料节省性三个角度，确定最优的设计加工参数。
问题三：构建一个设计软件的数学模型，使得该设计软件可以根据客户任意给出的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，计算出所需平板材料的形状尺寸和最优设计。
全国数学建模获奖作品(创意折叠桌)
创意平板桌摘要本题目中提供了若干折叠桌的图片，需要利用数学软件进行创意设计。
对本文中的三个问题，利用MATLAB软件(由美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分，详细介绍请见附录1)，对图片进行灰度分析，转化为数据分析，并通过对matlab编程，在matlab中选出最优解，最后利用3dmax绘图，实现平板桌的设计。
本文根据题目所给知识，利用运筹学基础理论、相关的数学建模知识以及相应的计算机软件，解决了如下问题：问题1：由对每根木条长度的精确计算，建立折叠桌的动态模型，并计算出桌腿木条开槽的长度和桌脚边缘线等折叠桌的设计参数。
针对图中创意折叠桌：利用MATLAB对图片进行处理，转变为具体的空间直角坐标系，其中蓝色代表木条，棕色代表桌面，红色代表桌角边缘线（详细介绍请见附录2），空间直角坐标系中由最后数字的确立，即为视频中最后一张图片的演示结果。
利用勾股定理法，使用CAD语言程序统计出剩下第一张图片和最后一张图片的所有木条个数，使其折叠桌的设计原理更加鲜明。
建立由MATLAB进行编辑的的数学模型，木条分别为L1，L2，……，L20，再重复利用上述算法，找出折叠桌的各项参数。
问题2：先对桌子进行与问题1相同的参数计算。
但由于要在70 cm，桌面直径80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。
在计算的时候应考虑更多的稳固性、加工方面、用材的信息。
这里除了计算参数外，另外引用折叠结构设计基本几何参数这个概念进行再次验证，以减小误差。
最后再对得到的桌子参数进行人工验证(人工干预)，最大程度减小误差。
问题3：在问题二的理论分析验证的基础上，已经建立起最优化的数学模型，为了满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，应用MATLAB进行不断更新换算程序，得出八个时刻八张动态折叠桌折叠过程，（详细介绍请见附录3），使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
数学建模 创意平板折叠桌
B题创意平板折叠桌摘要本文针对折叠桌得特点，将其抽象成简单得数学模型，按题目中得要求，应用立体几何图形与运筹学得方法建立数学模型并求解。
对问题一,依据题目中得数据应用Mａtlaｂ与SolidＷorkｓ软件，对折叠桌得运动过程进行动态模拟与分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法与向量法，对折叠桌得桌腿长与桌腿木条开槽得长度进行求解得到开槽长度为:对问题二,折叠桌放置在地面，不考虑木条得形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿得力为零.假设折叠桌与木地面有一定得摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力，就是二力杆,根据木头间得摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向得最大角度。
给折叠桌一个稳定安全因数，便可得到折叠桌得安全角度.根据大小，桌面高度与圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长得总长，因此得到优化目标为加工得木条槽长最短，当桌高７0 cm，桌面直径8０ cm 时，解得木板长ａ=167、41６cm钢筋距边缘桌腿末端得距离为cm针对问题三,我们在问题一得基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线得形状，大小出发，给出软件设计得模型。
在该模型设计得基础上,我们根据自己设定得参数,相应地应用SｏlｉdＷｏｒｋs设计新型得平板折叠桌，其中有菱形桌面与椭圆型桌面，见图6～图1２。
关键字：立体几何图形动态模拟自锁 SolｉｄWorks一、问题得重述某公司生产一种可折叠得桌子，桌面呈圆形,桌腿随着铰链得活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示)。
桌腿由若干根木条组成，分成两组,每组各用一根钢筋将木条连接,钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧得两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动得自由度（见图3）。
桌子外形由直纹曲面构成,造型美观。
附件视频展示了折叠桌得动态变化过程.试建立数学模型讨论下列问题：1、给定长方形平板尺寸为1２0 cm ×5０ cm × 3 cm,每根木条宽2、5 cm，连接桌腿木条得钢筋固定在桌腿最外侧木条得中心位置，折叠后桌子得高度为53 cm。
全国大学生数学建模B题解题思路
1、已知平板尺寸和高度，如何将抽象的描述动态变化过程这一问题数学化？
动态变化过程可以表述为曲线方程问题，其要点是参量的选取，哪些变量在整个折叠过程中是变化的？通过这些变量就能清晰的了解平板变化到桌子的过程。
在此基础上，给出设计加工参数。
开槽长度和桌角边缘线是肯定的描述的，同时可以引入其他变量，如角度等等，可以参照剪式铰的公式增加需要的参量。
第一问切记，要用数学模型和数学描述。
2、三个目标：稳固性好、加工方便、用材最少。
任意给定桌子高度和桌面直径，求平板尺寸和折叠桌的最优加工参数，切记，是最优加工参数；用哪些指标呢？简单举例：平板尺寸（材料最少）、钢筋位置（稳固性好）、开槽长度（加工方便），也可以根据需要自己增加；多目标规划问题，可以用很多方法来解，函数表达式要合理。
3、已知高度和桌面边缘线、桌角边缘线，求解平板尺寸和加工参数。
第三问需要在前两问的基础上进行整合，并建立数学模型。
自己设计的创意折叠桌就各凭本领了。
贯穿3个问题的主线是桌子的基本构架：长方形平板的尺寸和桌子的高度，这两个参量肯定存在着某种联系，而这两个参量的联系又与稳固性好、加工方便、用材最少密不可分。
具体到怎么做，就要看各个参赛队伍的想法了。
B题建模很重要，主要看模型，所以在模型上要多下功夫。
同时，也不要忽视了桌子本身的结构、角度、力学原理等问题，都可能扩展做题思路。
(参考资料)折叠类家具设计的数学模型
为了建立模型的方便，我们引入如下假设： 1、假设不考虑桌脚的若干木条之间的间隙； 2、假设钢筋与木条的空槽之间光滑，没有摩擦； 3、假设钢筋的直径小于木板的厚度； 4、假设钢筋质量良好，不会发生弯曲或者变形； 5、假设桌脚之间光滑，不影响桌子正常展开； 6、假设木板厚度均匀，且设计时所用平板材料的厚度不变，为 3cm ；
针对问题一，分析可知，木条的运动实质上是旋转，每根木条都绕着各自的铰链旋转，因 此，建立空间直角坐标系，给出了描述折叠桌动态变化过程的模型。紧接着，利用 MATLAB 绘出了折叠桌在 xoz 平面的运动轨迹，然后计算出钢筋在每条桌脚木条中的初始位置和最终位 置，两者做差即可求出每根桌脚木条的所需的开槽长度（见表 2）。同时，在 xoz 平面的运动轨 迹的基础上，建立了桌脚边缘线的参数方程（见方程组 5）。
表 3 四分之一折叠桌的每条桌脚的开槽长度（cm ）
A1B 1
A2B 2
A3B 3
A4B 4
A5B 5
A6B 6
A7B 7
A8B 8
A9B 9 A10B 10
0
4.30 8.40 11.25 13.40 15.05 16.31 17.24 17.90 18.75
另外，除了之前对动态过程的数学描述，我们还给出了折叠过程中几个状态的示意图，见 图 4。
2 OA1
OAn
直线方程(3)与钢筋初始点轨迹方程联立即可求出 Dn 坐标：
y'n
h 2
x'n OAn
A1B1 2
h2 2
2 OA1
OAn
(4)
(x'n OAn )2 y'n 2 AnCn 2
综 上 所 述 ， 桌 脚 长 度 即 为 An Bn ， 开 槽 长 度 即 为 D1Dn ， 钢 筋 位 置 即 为 点
创意平板折叠桌的设计
创意平板折叠桌的设计
张鸿锋;梁斌梦;卢结玲;李健
【期刊名称】《汕头大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(030)003
【摘要】本文是对2014年全国大学生数学建模竞赛B题的解答,通过建立解析几何和多目标规划模型,对折叠桌的外形、动态变化过程等进行数学描述,并求出了给定形状和高度的折叠桌的最优设计参数.在问题1中,将折叠桌抽象为几何图形,利用解析几何知识建立理论模型,再根据实际桌子的情况,对理论模型进行修正.在问题2中,先对三个目标进行量化,并根据实际情况确定约束条件,建立多目标规划模型,然后分别采用权系数法和进化算法NSGA-Ⅱ求出多目标规划的最优解,得到给定折叠桌的最优设计参数.在问题3中,先用数学方程描述桌面边缘线和桌脚边缘线的形状,再利用问题1的理论模型得到符合客户要求的桌子,最后沿用问题2的目标建立多目标规划模型,求出最优设计加工参数和平板材料的形状尺寸,使其既满足客户期望又满足产品的设计指标.
【总页数】12页(P31-42)
【作者】张鸿锋;梁斌梦;卢结玲;李健
【作者单位】汕头大学数学系,广东汕头515063;汕头大学数学系,广东汕头515063;汕头大学数学系,广东汕头515063;汕头大学数学系,广东汕头515063【正文语种】中文
【中图分类】O29
【相关文献】
1.创意平板折叠桌参数化设计 [J], 高云璐;牛哲浩;赫俊辉
2.创意平板折叠桌数学模型的设计与研究 [J], 李婉婷
3.创意平板折叠桌的建模设计 [J], 鲁晓晓;王子延
4.创意平板折叠桌的优化设计 [J], 王二耀;陈培军;王欣洁;卫慧慧
5.基于数学模型下平板折叠桌的创意设计 [J], 覃雪清;翁世有
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创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB 进行模型求解。
针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。
利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB 解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度i K ，三维空间桌脚边缘线。
针对问题二，本文建立模型Ⅱ——设计加工参数模型。
采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必须达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径R 确定：①决策变量：1a （桌面最外侧木条的半长），1 （最外侧桌腿的竖直偏角），p （最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值） ②目标函数 :K (开槽总长度)，S 长方形木板面积用MATLAB 求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。
针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。
根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8”字形桌面。
对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度1a 来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型Ⅱ的基础上改动来实现。
关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK1.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。
2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。
给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
2.问题分析2.1问题一的分析问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。
2.2问题二的分析问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。
由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLAB确定最优设计加工参数。
2.3问题三的分析问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型易于求解。
3.模型的假设假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响假设二：桌腿钢筋不会发生形变假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响4.问题一模型的建立与求解4.1符号说明：4.2模型Ⅰ的建立（数据单位均为cm）根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最外侧桌腿为第一根桌腿1L，其桌面木条的半长为1a，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见图1）图1根据问题一所给尺寸计算出：第一根桌腿：腿长1160a L -=第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离11tan a H b +=α 桌腿与竖直方向的夹角11120100arccosa -=α钢筋位置到桌子竖直对称面距离()12211506021a a m +--=钢筋位置距桌面高度25=h图2图3根据图2和图3计算可以得出：第i 根桌面木条的半长()[]221215.22525---+=i a a i桌面外接圆半径21225a R += 第i 根桌腿腿长i i a L -=60第i 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离i i a m m -=1 第i 根桌腿的竖直夹角h m ii arctan =α 第i 根桌腿钢筋位置以上长度ii hl αcos =第i 根桌腿底部距地面的高度i i i L H H αcos -=第i 根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离i i i i L a S αsin +=桌腿底部坐标⎪⎩⎪⎨⎧==-=i ii i i HZ i Y S b X 5.2为了得出每根木条的开槽长度i K ，利用第i 根桌腿钢筋位置以上长度i l 减去桌子平铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：()i i i a l K --=304.3模型Ⅰ的求解根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长1a 为3，用MATLAB编程进行求解，程序见附录一通过EXLINK导出桌面与竖直方向夹角α，制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿与竖直方向夹α28.6944 12.14763106 3.175225706 -3.250758279 桌腿动态变化转过的角度θ61.3056 77.85236894 86.82477429 93.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.059088678 -11.69189002 -14.41203732 -16.38860657 -17.73218288 -18.5126221 98.05908868 101.69189 104.4120373 106.3886066 107.7321829 108.5126221表1用MATLAB画出桌脚边缘线（见图3），程序见附录二图4桌脚边缘线各点坐标参数如下表：X 0.0000 3.7833 7.5603 9.6053 10.6861Y 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000 12.5000Z 0.0000 2.3931 5.3657 8.1713 10.6166X 11.2054 11.4070 11.4441 11.4135 11.3740Y 15.0000 17.5000 20.0000 22.5000 25.0000Z 12.6489 14.2694 15.4976 16.3561 16.8632表2用EXLINK 导出设计加工参数：桌面外接圆半径1794.2525212=+=a R 桌腿开槽长度见下表：表3开槽位置见下表：4.问题二模型的建立与求解5.1符号说明：5.2模型Ⅱ的建立（数据单位均为cm ）采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必须达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径R 确定最优设计加工参数，即输入桌高H 及桌面直径R 得出最优加工参数开槽长度K 以及所需长方木板长L 和宽d由问题一中图1解得第一根桌腿长度2211a L l -=,设最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值为p根据图1和图2得出第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离pH h =，桌宽2124a R d -=，第i 根桌面木条的半长为()[]2215.24---=i d R a i 第i 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离()i i a h pl m --=221第i 根桌腿钢筋位置以上长度22i i m h f +=所以可求出第i 根桌腿的槽长⎪⎭⎫⎝⎛--=i i i a Lp f K 2，即得出桌腿的总槽长∑==1614i i K K ，从而有：①决策变量：1a （桌面最外侧木条的半长），1α（最外侧桌腿的竖直偏角），p （最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）②目标函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∑=21216142a R L S K K i i长方形平板的面积开槽长度5.3模型Ⅱ的求解根据题中所给的图和问题一中木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长1a 等于3，用MATLAB 求解出多组方案。
对折叠桌进行力学分析可得，当折叠桌的外侧桌腿垂直于地面时，折叠桌能承受的正压力是最大的，此时能承受的侧向压力是最小的。
当桌腿未完全展开时，其抗侧压力性能强于抗正压力，若使折叠桌既能有较好的抗正压力和抗侧压力，则桌腿要与地面保持合适的夹角。
通过对问题一中折叠桌支撑腿与竖直方向的夹角1α约等于28°，并结合现实生活中实际情况为使折叠桌的稳定性好，1α不能过小或过大，假设 301=α由已知桌高70=H ,桌面直径80=R ,输入p ,1a 的值，输出K S d L ,,,,方案如下表:方案p1aLd SK1 0.4 1 163.66 79.97 13088.55 847.752 0.4 2 165.66 79.90 13236.07 865.323 0.4 3 167.65 79.77 13374.87 882.17 4 0.4 4 169.66 79.60 13504.61 898.16 5 0.5 1 163.66 79.97 13088.55 979.54 6 0.5 2 165.66 79.90 13236.07 999.28 7 0.5 3 167.66 79.77 13374.87 1018.19 8 0.5 4 169.66 79.60 13504.61 1036.14 9 0.6 1 163.66 79.97 13088.55 1078.37 10 0.6 2 165.66 79.90 13236.07 1099.64 11 0.6 3 167.66 79.77 13374.87 1120.12 12 0.6 4 169.66 79.60 13504.61 1139.65 13 0.7 1 163.66 79.97 13088.55 1149.04 14 0.7 2 165.66 79.90 13236.07 1171.46 15 0.7 3 167.66 79.77 13374.87 1193.22 16 0.7 4 169.66 79.60 13504.61 1214.15 17 0.8 1 163.66 79.97 13088.55 1197.77 18 0.8 2 165.66 79.90 13236.07 1221.13 19 0.8 3 167.66 79.77 13374.87 1244.09 200.8 4169.66 79.60 13504.61 1266.45表4图5实际情况中，桌面直径和每根木条的宽度是定量，所以1a 不可能很小，满足44221d R a -≥，由上表数据计算得当211或=a 时，方案无效。