创意平板折叠桌的数学模型数学建模B题92620850

创意平板折叠桌的数学模型

摘要

本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB 进行模型求解。

针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB 解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度i K ，三维空间桌脚边缘线。

针对问题二，本文建立模型Ⅱ——设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必须达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径R 确定：

①决策变量：1a （桌面最外侧木条的半长），1 （最外侧桌腿的竖直偏角），p （最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值） ②目标函数 :K (开槽总长度)，S 长方形木板面积

用MATLAB 求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。

针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度1a 来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型Ⅱ的基础上改动来实现。

关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK

1.问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型讨论下列问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽

2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

2.问题分析

2.1问题一的分析

问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。

2.2问题二的分析

问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLAB确定最优设计加工参数。

2.3问题三的分析

问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型易于求解。

3.模型的假设

假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响

假设二：桌腿钢筋不会发生形变

假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点

假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好

假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响

4.问题一模型的建立与求解

4.1符号说明：

4.2模型Ⅰ的建立（数据单位均为cm）

根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最外侧桌腿为第一根桌腿1L，其桌面木条的半长为1a，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见图1）

图1

根据问题一所给尺寸计算出：

第一根桌腿：腿长1160a L -=

第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离11tan a H b +=α 桌腿与竖直方向的夹角1

1120100

arccos

a -=α

钢筋位置到桌子竖直对称面距离()1221150602

1a a m +--=

钢筋位置距桌面高度25=h

图2

图3

根据图2和图3计算可以得出：

第i 根桌面木条的半长()[]2

2

1215.22525---+=i a a i

桌面外接圆半径2

1225a R += 第i 根桌腿腿长i i a L -=60

第i 根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离i i a m m -=1 第i 根桌腿的竖直夹角h m i

i arctan =α 第i 根桌腿钢筋位置以上长度i

i h

l αcos =

第i 根桌腿底部距地面的高度i i i L H H αcos -=

第i 根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离i i i i L a S αsin +=

桌腿底部坐标⎪⎩⎪

⎨⎧==-=i i

i i i H

Z i Y S b X 5.2

为了得出每根木条的开槽长度i K ，利用第i 根桌腿钢筋位置以上长度i l 减去桌子平铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：

()i i i a l K --=30

4.3模型Ⅰ的求解

根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长1a 为3，用