数理统计课后答案第二章

=
1 n
n
(Xi
i =1
−
X )2
是样
本方差， μ 是常数，证明
∑ 1
n
n
(Xi
i =1
− μ)2
= S2
+ (X
− μ)2
。
2
证
∑ ∑ ∑ ∑ 1
n
n
(Xi
i =1
− μ)2
=
1 n
n i =1
X
2 i
−
2 n
n i =1
Xiμ
+1 n
n
μ2
i =1
∑ =
1 n
n i =1
X
2 i
−
X
2
+
X
2
−
X
2 n+1
⎤ ⎥
⎦
∑ =
n ⎜⎛ 1 n +1⎝ n
n i =1
X
2 i
−
X
2 n
+
n
1 +
1
X
2 n
−
2 n + 1 X n X n+1
+
n
1 +
1
X
2 n+1
⎟⎞ ⎠
=
n n +1
⎡ ⎢⎣
S
2 n
+
1 n +1
(X
n +1
−
X
n
)2
⎤ ⎥⎦
。
2.6 已知总体 ξ 服从指数分布，概率密度为
ϕ (x)
1
（1）求样本均值 X ，修正样本方差 S *2 ，修正样本标准差 S * ，样本方差 S 2 和样本标准 差 S 的观测值； （2）求样本极差 R 和样本中位数 med( X1,L, X n ) 的观测值。
解 （1）用计算器的统计功能可以求得 X = 2.125 ，S *2 = 0.00029333 ，S* = 0.017127 ，
S 2 = 0.000275 ， S = 0.016583 ；
（2）将样本观测值按照从小到大的次序排列，可以求得
R = X (n) − X (1) = X (16) − X (1) = 2.15 − 2.10 = 0.05 ；
med( X1,L, X n ) =
X ( n ) + X ( n +1)
∑ ∑ η ～ N (μ, σ 2 )
的样本，两个样本相互独立，
X
=
1 n
n i =1
Xi
，Y
=
1 n
n
Yi 是
i =1
ξ ，η
的
n
∑ 样本均值，求统计量 ( X i + Yi − X − Y )2 的数学期望。 i =1
=
1 ⎜⎛ n n + 1 ⎝ i=1
Xi
+
X
n+1
⎟⎞ ⎠
=
n n +1 Xn
+
1 n +1
X
n+1
=
(1 −
1 )X n +1
n
+
1 n +1
X n+1
=
Xn
+
1 (X n +1
n+1
−
Xn)
；
（2）
∑ ∑ S 2 n+1
=
n
1 +
1
n+1 i =1
(
X
i
−
X
)2
n+1
=
1 n +1
n+1 i =1
2 Xμ
+
μ2
=
S2
+
(X
−
μ)2
。
∑ ∑ 2.5
设
Xn
=
1 n
n i =1
Xi
和
S
2 n
=
1 n
n i =1
(Xi
−
X n )2
分别是样本 (X1, X 2 ,L, X n ) 的样本
均值和样本方差，现在样本中增加一个新观测值 X n+1 ，相应地，样本均值和样本方差变为
∑ ∑ X n+1
=
1 n +1
n+1 i =1
Xi
和
S2 n+1
=
1 n +1
n+1
(Xi
i =1
−
X n+1 ) 2
，证明：
（1） X n+1
=
Xn
+
n
1 +
1
(
X
n+1
−
Xn)；
（2）
S
2 n+1
=
n
n +
1
⎡ ⎢⎣
S
2 n
+
n
1 +
1
(
X
n+1
−
X
n
)
2
⎤ ⎥⎦
。
∑ ∑ 证
（1）
X n+1
=
1 n+1 n + 1 i=1 X i
习题二
2.1 盒中有大小相同的三个球，其中两个球的标号为 0，另一个球的标号为 1，有放回地从
( ) 盒中随机取球 2 次，记 X 1,X 2 为取到球的标号.
（1）写出总体的分布，并求总体的期望和方差；
( ) （2）写出样本 X 1,X 2 的联合分布；
（3）写出样本均值 X 的分布，并求 X 的期望和方差.
=
⎧λ ⎨
e−λ
x
⎩0
x>0 x≤0
Fra Baidu bibliotek
3
其中，参数 λ > 0 ， ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本， X 是样本均值， S 2 是样本方差，
S *2 是修正样本方差，求 EX ， DX ， E(S 2 ) 和 E(S *2 ) 。
解 因为总体 ξ 服从参数为 λ 的指数分布，所以 Eξ = 1 ， Dξ = 1 。
λ
λ2
由定理 2.1 可知
EX = Eξ = 1 ，DX = Dξ = 1 ，E(S 2 ) = n −1 Dξ = n −1 ，E(S *2 ) = Dξ = 1 。
λ
n nλ2
n
nλ2
λ2
2.7 设 ( X1, X 2 ,L, X n ) 是总体 ξ ～ N (μ, σ 2 ) 的样本， (Y1,Y2 ,L,Yn ) 是总体
解 （1）
X
0
1
P
2
1
3
3
EX
=
1 ,EX 2 3
=
1 ,DX 3
2 =9
;
（2）
X2
0
1
X1
4
2
0
9
9
1
2
1
9
9
(3)
X
0
1
2
1
P
4
4
1
9
9
9
E
(X
)
=
1 ,DX 3
1 =9
.
2.2 从一批铁钉中随机地抽取 16 枚，测得它们的长度（单位：cm）为 2.14， 2.10， 2.13， 2.15， 2.13， 2.12， 2.13， 2.10， 2.15， 2.12， 2.14， 2.10， 2.13， 2.11， 2.14， 2.11。
1 na n
=
X −a b
；
∑ ∑ ∑ （2）
S
2 y
=
1 n
n
(Yi
i =1
−Y )2
=
1 n
n (Xi −a −
i =1
b
X − a)2 b
=
1 nb 2
n
(Xi
i =1
− X)2
=
S
2 x
b2
。
∑ ∑ 2.4
设有样本 ( X1, X 2 ,L, X n ) ， X
=
1 n
n i =1
Xi
是样本均值， S 2
X
=
1 n
n i =1
Xi
与
Y
=1 n
n
Yi
i =1
之间的关系；
∑ ∑ （2）它们的样本方差
S
2 x
=
1 n
n i =1
(Xi
−
X )2
与
S
2 y
=
1 n
n i =1
(Yi
−Y )2
之间的关系。
解
∑ ∑ ∑ （1）Y
=
1 n
n
Yi
i =1
=
1 n
n i =1
Xi −a b
=
1 n
n i =1
Xi − b
X
2 i
−
X2 n+1
∑ =
1 ⎜⎛ n +1⎝
n i =1
X
2 i
+
X
2 n+1
⎟⎞ ⎠
− ⎜⎛ ⎝
n n +1
Xn
+
1 n +1
X
n
+1
⎟⎞ ⎠
2
∑ =
n ⎡1 n + 1 ⎢⎣ n
n i =1
X
2 i
+
1 n
X2 n+1
−
n
n +
1
X
2 n
−
2 n + 1 X n X n+1
−
1 n(n + 1)
2
2
2
=
X (8) + X (9) 2
= 2.13 + 2.13 = 2.13 2
。
2.3 设 ( X1, X 2 ,L, X n ) ， (Y1,Y2 ,L,Yn ) 是两个样本，它们之间有下列关系：
Yi
=
Xi −a b
， i = 1, 2, L, n
，
其中 a ， b ≠ 0 是常数。求：
∑ ∑ （1）它们的样本均值