2010届高三数学二轮复习教案数列

2010届高三数学二轮复习教案一一数列
一、 考试内容
数列；等差数列及其通项公式，等差数列前 n 项和公式；等比数列及其通项公式，等比
数列前n 项和公式。

二、 考试要求
1 •理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法， 并能根据递推公式写出数列的前几项。

2 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解 答简单的问题。

3 •理解等比数列的概念， 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决 简单的问题。

三、 复习目标
1.
能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前
n 项和公式解题;
2 •能熟练地求一些特殊数列的通项和前
n
项的和；
3•使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实 践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4•通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方 法分析问题与解决问题的能力.
5•在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通 各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力.
6 •培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用 函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、 培养学生主动探索的精神和科学理性的思 维方法.
四、双基透视
1 •可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
2 •判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法：
⑴定义法：对于n 》2的任意自然数，验证a n - a n 」(a n /a n 二)为同一常数。

(2)通项公式法：
① 若
£ =
- + (n-1 ) d= ' + ( n-k ) d ,则' a n 为等差数列;
② 若 「一；
，则：a n ?为等比数列。

的最值问题一一常用邻项变号法求解：
- ° 的项数m 使得九取最大值
<
0牯— ° 的项数m 使得'卅取最小值
,注意转化思想的应用。

裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

五、注意事项
1 •证明数列 d 1是等差或等比数列常用定义，即通过证明
a n1 - a n =a n - a nd 或
⑶中项公式法：验证•「 人’_
'亠 ■「宀"：都成立。

3.在等差数列屯！中,有关S
⑴当'.>0,d<0时，满足
(2)当 二<0,d>0时，满足 在解含绝对值的数列最值问题时
4.数列求和的常用方法：公式法、
a
n - S n 一 S
n 4
空 丑而得。

a n a
n _1
2. 在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法，但有时灵活 地运用性质，可使运算简便。

3. 对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

4. 注意一些特殊数列的求和方法。

5. 注意S n 与a n 之间关系的转化。

如：
n
a
n = a i …二.(a
k - a k 」). k z2
6•数列的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列的概念 和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.
7•解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的 本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.
&通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解 综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力.
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地 位。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

解答题多 为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的 区分度。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式 的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，数学归纳法综合在一起。

探索性问题 是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着 重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数 法等基本数学方法。

应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型， 将现实问题转化为数学问题来解决。

六、范例分析
例1. （08全国卷）设数列:a^?的前n 项和为S n .已知a i = a , a n i = S n ■ 3n , n • N
(I)设b n =Sn -3n ，求数列的通项公式； (n)右a n i > a n , n • N ，求a 的取值范围.
解: (I)依题意，S n 1 -S n 二 a n 1 二 & ' 3“，即 & 1 二 2S n 3“ , 由此得 S n 1 -3n 1 =2(S n -3n ). 因此，所求通项公式为
b n =S n -3n =(a -3)2n 」,n ・ N * •①
n
n 1
*
(n)由①知 Sn =3
(a -3)2 , n ，N ,
于是， 1 n > 2 时,
S i ,
I
S n - S n 二,
=3n (a -3) 2n 」—3nJ! -(a -3) 2n - =2 3nJ - (a -3)2心,
a n 彳一a n =4 3n 丄•(a -3)2心
12・3
2
又 a^ — a i ' 3 a i .
综上，所求的a 的取值范围是〔-9, •：：.
例2. (08山东高考题)将数列:a/f 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数 表：
a i
a 2 a 3
a 4
a 5 a 6
a 7
a 8
a
9
a
10
记表中的第一列数a 1， a 2，
a 4，a 7,l ，l 构成的数列为 ，bi =
a^ 1 .
S n 为数列：的前
(I)证明数列 丄 成等差数列，并求数列 畑？的通项公式;
ISJ
(n)上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，
且公比为
n > 2 时，
2b ^-
=1，
b n S n - S n
n 项和，且满足 2b n
b n S
n -S ：
= 1(n > 2).
同一个正数(I)证明：由已知，当
当n > 2时,
又S n =b i b^ll b n ,所以(S：整膚,"，
即2(Sn-乩)詔,
-S n」S n
所以数列■—'是首项为1，公差为1
1的等差数列. 2
由上可知S T12( n-1)=写
2 2
即S n =
所以当n > 2时, b n = S n - S n 4
n(n 1)
n =1,
n(n 1)
(n)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q 0 .
12 疋13
因为1 ^ir 12 78,
所以表中第1行至第12行共含有数列？a n f的前78项,
故a81在表中第13行第三列,
因此a$1 =b1^_q24 9 1
2
13 14 '
所以q =2 .
记表中第k(k > 3)行所有项的和为S ,
2 k 、 .
2 k(kF (1—2)(k ‘3).当和
表中第k(k
> 3)行所有项的和.
例3. (08宁夏)已知数列｛a n ｝是
(1) 求｛a n ｝的通项a n ；
(2)
求｛a n ｝前n 项和S n 的最大值。

所以 a^a 1 - (n - 1)d = -2n 5 .
(n) S n 二 n&
豊-九=一n 2
4n =4 — (n 一2)2
.
所以n = 2时，S n 取到最大值4 .
1
例 4. (08 广东)设数列｛a n ｝
满足印=1, a ? =2 , a n =-(a n 」• 2a n
/)
3
数列｛b n ｝满足D =1,b n (n = 2, 3川)是非零整数，且对任意的正整数 m 和自然数k ，都有 -1
一 b m * b m 1 V k - 1。

(1)求数列｛务｝和｛b n ｝的通项公式;
(2)记 c n =na n b n (n =1,2, ||()，求数列｛C n ｝的前 n 项和 S n 。

1 2
解: (
1)由 a^-(a
nj -a
n^)得 a n -a n4 = -3依4 -a n/)(n > 3)
3 3
又 a 2-a 1=1 工 0,
2
•••数列｛a n+1-a n ｝是首项为1公比为 的等比数列,
3
a n 1 _a n
a n =a i +(a 2-a i )+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+ …+(a n -a n-1 )
11 / 、n _2
1
—
2^彳
一一I =1+—— < 3丿
/ 2
2
—— I 3 丿
_8
1 - 5
3
n -4 3 ' 2 1
———I
< 3)，
n -4
91时，求上
个等差数列，且 a ? =1 , a 5 =-5。

解: (I)设曲的公差为d ，由已知条件，6 7"
q.4d — 5，解出昉3， d - -2
(n = 3,4，川)。

则S 普
1 2 1
一1 _ S b 2 -1 由
｛ —1兰b 2兰1 得
b 2=-1，由《
i b 2 E Z, b 2 式 0
同理可得当n 为偶数时，b n =-1 ;当n 为
奇数时，b n =1;
S n = C l + C 2 + C 3+C 4+…+c 当n 为奇数时，
当n 为奇数时
-1
当n 为偶数时
因此bn=
(2) C n 二na n b n
8 n 5 8
n
5
3「2丫，
n - 5 3
3 n 当n 为奇数时 当n 为偶数时
一1 _ b 2 b 3 _
-1< b 3 乞 1
得 b 3=1，…
b
3 *
Z
, b 3 = 0
Sn =(8 -2 8 3 8 -4 8 ...
5 5 5
5
-
1X L (3丿
+耗门
<3；
仆
5 -
13 丿
当n 为偶数时
n -1
8-8.8 Sn =(8 -2 8 3 8 -4 8 .
5
+ 8n)斗 5 51
+ 3汇
—T n =1 3 3
4n 5
1 '
①-②得：一T n = 1 + —
3
<3
f 1
:' r.n -1
2 '!
-I
13丿
Ln
3
2
3
2
令 T n =1
3 3
(3丿
13
丿
3
'2 )
得
=9 一(9 3n)-
于駅
例 6•数列 G n '中，a i - 8, a^ - 2且满足 a n 2 - 2a n 1 - a n ⑴求数列：
a n
1的通项公式；
⑵设 S n #1 | - |a 2 - |a n |，求 S n ； 1 *
⑶设 b n =
(n N ),T n 二 b 1 b 2
b n (n
n(12 -a )
1』 -^-n 1上
3
(…逍
T n
因此 4n -23
9(n I)
5
5 S= $
5 5 I 3
丿“
| 4n 十27 丄 9(n +3)(2 f -5 5
3
例5.设二次方程a n x 2
(1)试用a n 表示a n 1 ；
2
⑵W ：数列｛耳与｝是等比数列;
a n +1x+1=0(n € N)有两根a 和3 ,且满足 6 a -2 a 3 +6 3 =3.
⑶当町二*时，求数列｛%｝的通项公式. 解⑴根据韦达定理•得a + B
-2d 3 +6P =3,得
6* — = — = 3,故务+i 二*务
1 3'
9
1
1
⑵证明因为如-分札冷
1
h
~ 3
所以 a
n+l
故数列 21
an_ 3 2i 1
外是公比为肿尊比数列. ⑶当听飞吋.
an-|
N )，是否存在最大的整数
，均有T n -—成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理
32
「 「 rm * 若T n 对任意n • N 成立，即
32
n * 1 （n N ）的最小值是-
m
对任意n N 成立,
n 1 16 m 1 ,• m 的最大整数值是 16 2* m
n N ，均有 T n ..w.w.k.s.5.u.c.o.
32
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。

例7•如图，在y 轴的正半轴上依次有点 A,A 2,…，A n ,… 其 中点 A 1(0,1),A 2(0,10)，且
| A n 」A n |=3|A n A n 1 |( n =2,3,4,),在射线 y =x(x — 0)
上依次有点B 1,B 2,…，B n ,… 点B 1的坐标为(3, 3),且
|OB n 冃 OB n 」| 2 2 (n = 2,3,4,)
⑴用含n 的式子表示| A n A , q | ； ⑵用含n 的式子表示 A n ,B n 的坐标； ⑶求四边形A n A n 1B n 1B n 面积的最大值。

解: (1) ； 1 AnAn 11 =1,且 | AA |=10 - 1 =9 ,
1 A
n 4 A n
| 3
-| A n A n !円 A 1A 2 |(£)2 =9(2)n4 =(£)2
3
3
3
1 n 」27 1 1 n 」 亠 亠（） （）n
3 2 2 3
点A n 的坐标（0,27-1（丄）心）,|OB n |-|OB n/=2、、2且 |OB 1 h3.2
2 2 3
-{| OB n |}是以2为首项，2 2为公差的等差数列
由。

解：（1 ）由题意，a n 2 由题意得2 =8 3d =
-a * .1二a * 1-a *, . {a *}为等差数列，设公差为 d - -2 , . a n =8 -2(
n -1) =10 一2n . (2) 若 10-2 n _0则 n 乞5 , n _ 5时,S n =|a 1 | ■ |a 2 ^J a n | 8+10—2 n 2 =a-i a 2 a n n = 9n - n ,
2 n 丄6时，S n = a 1 ■ a2 '' a^ —a^ —a 7' -S 5)
= 2S 5 " S n
n 乞5 2 - (S n -n 2
--a n 2
=n -9n 40 - 9n 40
1
n(12-a n ) 2n(n T)
1 1111 T n [(1 )-( )(
2 2 2
3 3 丄，
1 2 1 —) n 1
1 1
川…卷(一 n -1 n
(
7
n 2(n 1)
m ，使得对任意n •二N 7。

即存在最大整数 m = 7,使对任意 (2 )由(1 )得 | A 1A 2 | | A 2A 3 | •…• | A n
_,A n ^9 31
A . 4 : 3
B . 3 :
2
2. 一个首项为正数的等差数列中，前 最大时，n 等于.
A . 5
B . 6
3. 若数列a ，中，d =3，且a n 1 4 .设
在等比数列、a n 坤， 5.根据下面各个
1
(
C. 7 : 4 D . 78 : 71
3项的和等于前11项的和，当这个数列的前
(
n 项和 )
C. 7
D . 8
n 2
(n ・N )，则数列的通项a n -
a 1 a n - 66, a ? a n - 128, S n = 126,求 n 及 q
的首项和递推关系，求其通项公式
.|OB n ^3.2 (n -1)2、一 2 = (2n 1) . 2 .B n 的坐标为(2n 1,2n ・1)
(3)连接A n B n 1，设四边形 A n A n 1 B n 1 B n 的面积为S n ，贝U
S S
S 1[(1
、n ；i
(2n
3) 1
2 2 [29 27 (1)nJ ]
2
S
n
=S .A n A n1B n1 S
B n B n 1A^ = ~[(3)
] (2n 3)
? 2'2 [三
jg)
29 9n 3 -6n p,.
石 0,即 S n1 ::: Sn , . ｛ S n ｝单调递减•
2
3
3 29
47 ■ Sn 的最大值为
S 1
9
.
2
2
说明：本例为数列与几何的综合题。

由题意知 ｛| A ,A n , |｝为等比，｛| OB n |｝为等差，(3)
利用函数单调性求最值。

例8.设正数数列｛a n ｝为一等比数列，且 a 2 =4, a 4 =16.
1卫匹住f 二凸电・
介矗亠X
口
解设数列｛亚｝的公比为6显然q 丸 ~ = q 2=4?由于^>0,
a
2
n€ N,故q=2・于是ai = —= 2> 故a = a, * q lvl =2^.因此 q
+…+1驴加1严+lg 严+1莎
n
心+心+…+叫药
3n a +n
说明：本题涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式， 等差数列前n 项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识， 以及综合运用数学知识的能力.
七、强化训练
1 .设S n 和T n 分别为两个等差数列的前 n 项和，若对任意n € N ,
都有勒二贝悌一个数列的第11项与第二个姻啲馴项的比是
\
411 + 27
原式=1 im
IX
亠g L 2n
• lg2 = l.g 2 • 1
®° +n) * — $ 尬 -------- =^lg2 .
…丄 2
1
⑴ a i 二 1,a n 1 二 a * 2n(n N ) ⑵ a i = 1© i 二——a n （nN ）
n +1
1 *
⑶ a 1 =1,a n 1 a n 1 （nN ）
2
6.数列'a n /的前n 项和S n = 1 • ra n （r 为不等于0, 1的常数），求其通项公式a n
7 •某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到
2001年底全县的绿化率已达
30%。

从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的 16%将被绿化，与此
同时，由于各种原因，原有绿化面积的 4%又被沙化。

3
（1）设全县面积为1，2001年底绿化面积为a 1
,经过n 年绿化总面积为a n.1. 10
4
4 求证a n 1
a n . 25 5
（2）至少需要多少年（年取整数，lg 2二0.3010）的努力，才能使全县的绿化率达到 60%
？
八、参考答案
即
a4+a1 仁…=a7+a8=0,
故当 n=7 时，a7> 0, a8v 0 .选择 C . 解选择题注意发挥合理推理和估值的作用.
2 2 2
2 2
2“ _1
2“ _1
3 •解：多次运用迭代，可得 3n = （3n J.） ［（012）］ （01 J2） ⑻）
3
4 .解： a 2 a n 4 =128,. a^n -128，又 & • a n =66，由以上二式得
1 印=2,a n = 64 或 a 1 二 64,
a n = 2 ；由此得 n = 6, g = 2 或.
2
说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。

5•解：（1）幕 a n ^an 2n , ■ a. 1 -a . =2n ,
a n =a 1
(a 2 —aj • (a 3 -a 2)… (a . -a n_i )
=1 2 1 2 2
2 (n -1)
=1 n (n -1) = n 2 - n 1
1 .解：设这两个等差数列分别为
{an}和{bn}.
1
㊁（％十％"）
2^11-］ S 21
因为
扌(业 + 幻z) (2口 -1) s
_
~1
T 护十也伽-1) 叫 7* 21 + 1 2n-l
4
,故选择A .
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项 内在联系. 2•解：依题意知•数列单调递减，公差
d v 0 •因为
S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11
a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0
所以
an 与前2n-1项和S2n-1的 所以
1
又解：由题意，（n 1）a n 1 =na n 对一切自然数n 成立，• n a n = （n- 1）a n4 =(2) a n 1 a n n 1 . a 2 a3 ... an 1 2 a n = a 1 ...................... = 1 * a 1 a 2 a n 4 2 3
=1©=1
1 1 (3)； a n 1 a n • 1. a n 1 -
2 (a n -2). {a n -2}是首项为 a i -2 = -1 2 2
公比为1的等比数列，.an-2 = -1〈丄)：.a“2-(丄)心
2 2 2
说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。

S n = 1 ' ra n 可得当 n 亠 2 时 S n J = 1 ' ra n _1 , - S n - S n 」=r (a n _ a n J ), 4， lg 2
, , * 故n
1 4，故使得上式成立的最小 n • N 为5,
1 -3lg
2 故最少需要经过 5年的努力，才能使全县的绿化率达到
60%. .w.w.k.s.5.u.c.o.
m 6 .解：由 a n - ra n -ra n! , - a n (r -1) = ra .二，• r = 1,
a n =—r , r = 0 , {a n }是 an J r -1 r
1 的等比数列.又当n = 1时，S^1 ra 1 , . a^ 1 - r 公比为 r -1 —(—严。

1 -r r -1
本例复习由有关S n a n 说明: 7. (1)证明：由已知可得 4 a n 1 =80%a n +16%= 5 与a n 递推式求a n ,关键是利用S n 与a .的关系进行转化。

a n 确定后， 4 a n + -
25 n ? a n 1表示如下: a n 1 =a n (1 - 4%) * (1 - a n ) 16%
(2) 4
解：由 a n 1 = a n + 5 4 4 一可得:
25 a n 1 (a 」-彳)=••• 5 5 4 n - =(n (a^-) 5 5
1 4 故有 a n 1=
2 5 两边同时取对数可得 4芒 ，右 a n 1 5 _lg2 _ (n -1)(2lg2 _lg5) = (n _ 1)(3lg2 _1) -i-则有。