试验优化第七章

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1 2 2 1 试验号 1 2 3 4 列号 1 1 1 -1 -1 2 1 -1 1 -1 3 1 -1 -1 1
1
1 1 2 2
2
1 2 1 2

一次回归正交设计表是把二水平正交表中的“1”、“2” 分别改写为“1”和“-1”而得到的，这种变化又称为 “正交性变换”。 回归正交表正交性的体现
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三、试验方案



一次回归正交设计的试验方案设计与正交设计类似， 即根据试验因素的个数以及需要考察的交互作用个数 （方程中交互项数）选择合适的二水平正交表，并将 该正交表改写成回归正交表 因素水平编码 按正交表的交互作用表进行表头设计，并按表中水平 组合进行试验 如果需要对回归方程进行失拟检验，则在正交表的基 础上增加m次（至少二次）零水平试验
zkj
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xkj x0 j j
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二、因素水平编码

编码后，因素水平x1j、x0j、x2j分别转换成-1、0和1。 xj称为自然变量，zj称为规范变量。


编码后的因素水平编码表
因素水平编码表
规范变量zj 下水平（－1） 上水平（＋1） 变化区间 零水平（0） 自然变量xj x1 x11 x21 Δ1 x01 x2 x12 x22 Δ2 x02 … … … … … xp x1p x2p Δp x0p

失拟检验
FLf QLf / f Lf Qe / f e ~ F ( f Lf ，f e )

回归方程与偏回归系数显著性检验
Q剩 QLf Qe，f 剩 f Lf f e F F j U / fU ~ F ( fU，f 剩 ) Q剩 / f 剩 Uj Q剩 / f 剩 ~ F (1，f 剩 )
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二、因素水平编码

确定因素的变化范围：对因素xj，首先确定其水平的上 限和下限，分别记作x2j和x1j，它们又称为因素的上水 平和下水平。

计算零水平和变化区间：
1 x0 j ( x1 j x2 j ) 2 j ( x2 j x1 j ) 2

编码：编码的目的是对因素的实际试验水平进行“正 交性”变换。将x1j、x0j、x2j分别转换成z1j、z0j、z2j。
试验号 z0 z1 z2 z1z2 z3 z 1z 3 z 2z 3 y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0
1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0
1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0
wk.baidu.com
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0
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三、试验方案

如考虑因素x1、x2、x3以及它们的交互作用x1x2、x1x3、 x2x3，可以选用L8(27)。表头设计如下：
三因素一次回归正交设计方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 列号 1(z1) 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 2(z2) 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 3(z1z2) 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 4(z3) 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 5(z1z3) 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0 6(z2z3) 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0
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六、一次回归正交设计实例
2 45 . 8 SST 2.12 2.32 4.32 30.376 ，fT 9 10 1.失拟检验：


1 Qe (4.32 4.52 ) (4.3 4.5) 2 0.02，f e 1 2 各交互项的平方和都很 小，因而都并入剩余平 方和中，因此， 用规范变量表示的回归 方程为 ˆ 4.58 1.7 z1 0.88z 2 0.3z3 y 该方程的总回归平方和 U 23.12 6.13 0.72 29.97，fU 3 QLf SST U Qe 30.376 29.97 0.02 0.386 ，f Lf 9 3 1 5 FLf QLf / f Lf Qe / f e 0.386/ 5 3.86 F0.1 (5， 1) 57.24 0.02 / 1
b
p
kj k
z zj
nm B0 b0 ，B0 yi，d 0 n m d0 i 1
bj bkj
Bj dj
2 ，B j zij yi，d j zij ，j 1 ， 2， ，p i 1 i 1
nm
nm
Bkj d kj
，Bkj ( z k z j )i yi，d kj ( z k z j )i ，j k，k 1 ， 2， ，p 1
nm i n 1 2 y i
1 yi ， f e m 1 m i n 1
nm
2
QLf l yy U Qe，f Lf n m 1 fU f e n fU
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五、回归方程的统计检验
一次回归正交表 因素水平编码 试验方案 回归方程建立 回归方程的统计检验
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一、一次回归正交表

一次回归正交设计（Linear Orthogonal Regression Design)可 以得到下列形式的回归方程
ˆ b0 b j x j y
j 1 p p 1
k 1 j k 1
b
p
kj k
x xj


一次回归正交设计严格按照一次回归正交表来安排试 验。 上述回归方程中的各个偏回归系数可以通过回归正交 表很方便地求出。
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一、一次回归正交表
L4(23)正交表
列号 试验号 1 2 3 4
二因素一次回归正交设计表
U1 23.12 F1 341.67 F0.01 (1,6) 13.75 Q剩 / f 剩 0.406/ 6 F2 F3 U2 6.13 90.59 F0.01 (1,6) 13.75 Q剩 / f 剩 0.406/ 6 U3 0.72 10.64 F0.05 (1,6) 5.99 Q剩 / f 剩 0.406/ 6
第七章 回归正交设计(Orthogonal Regression Design)

主要内容：一次回归正交设计、二次回归正交 组合设计、二次回归正交旋转设计 重 点：回归正交表、因素水平编码、回归 方程的建立及其显著性检验

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第一节 一次回归正交设计

检验结果表明，回归方 程极显著( P 0.01)，回归系数b1、b2极显著( P 0.01) 回归系数b3显著( P 0.05)。
2 i 1 i 1
nm
nm
zij 是 回 归 正 交 表 中 z j列 的 水 平 编 码 值 ( zk z j )i 是 回 归 正 交 表 中 zk z j 列 的 水 平 编 码 值
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四、回归方程的建立
三因素一次回归正交设计结果计算表
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bj和Bkj dj和dkj bj和bkj 10 8 8 8 8 8 8 z0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 z2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 z1z2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 z1z3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0 z 2z 3 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10
因素水平编码公式 z1
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x 55 x1 85 x 30 ，z2 2 ，z3 3 10 10 10
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六、一次回归正交设计实例
三因素一次回归正交设计实例
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bj和Bkj dj和dkj bj和bkj Uj和Ukj z0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45.8 10 4.58 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 -13.6 8 -1.7 23.12 z2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 -7.0 8 -0.88 6.13 z1z2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 1.2 8 0.15 0.18 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 -2.4 8 -0.3 0.72 z1z3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0 0.6 8 0.075 0.045 z 2z 3 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 0.8 8 0.1 0.08 y 2.1 2.3 3.3 4.0 5.0 5.6 6.9 7.8 4.5 4.3
1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0
1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0
y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10
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四、回归方程的建立
ˆ b0 b j z j y
j 1 p p 1 k 1 j k 1

第7列为三因素交互作用列，不予考虑；为进行失拟检 验，增加了2次零水平试验
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三、试验方案

为了便于数据处理，满足b0的计算需要，在上面的表中增加z0列， 该列各数值均为1（该列并不参与试验方案的构成），这样就得到 一个完整的三因素一次回归正交设计资料表
三因素一次回归正交设计资料表（n=8，m=2）
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二、因素水平编码

回归正交设计的数据处理方法： 1.利用回归正交表计算得到用规范变量表示的回归方程
ˆ b0 b j z j y
j 1 p p 1 k 1 j k 1
b
p
kj k
z zj
2.在规范变量基础上对回归方程和各个偏回归系数进行 显著性检验 3.将规范变量转换成自然变量，得到试验所需的回归方 程。
这表明，回归方程拟合 情况很好。
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六、一次回归正交设计实例
2.方程显著性及偏回归系 数检验： Q剩 SST U 30.376 29.97 0.406 ，f 剩 9 3 6 F U / fU 29.97 / 3 147.64 F0.01 (3,6) 9.78 Q剩 / f 剩 0.406/ 6
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六、一次回归正交设计实例

为了研究小麦高产栽培技术，选择影响小麦产量的三个主要因素： 水分状况、追氮肥量和种植密度进行试验，试验指标为小区产量。 试进行一次回归正交试验并分析试验结果。
因素水平编码表
因素 水平 上水平（＋1） 下水平（－1） 零水平（0） 变化区间Δj 水分状况 x1(%) 95 75 85 10 追氮肥量 x2(kg/亩） 40 20 30 10 种植密度 x3（万株/亩） 65 45 55 10
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五、回归方程的统计检验
1 yi 2 nm 2 2 B B j kj 2 U j b j B j nb2 ， U b B nb j kj kj kj kj 2 2 U U j U kj，fU f j f kj l yy yi2 Qe