删繁就简化难为易——谈因式分解的几种另类用法

删繁就简化难为易——谈因式分解的几种另类用法

【关键词】初中数学因式分解解题

“因式分解”在初中数学解题中应用十分广泛，在其他领域中也有一些独特的使用。本文通过探究其在不同题型中的不同运用，加强知识间的联系，帮助学生学会灵活运用“因式分解法”解题。

一、提取公因式法求算式的值

初中数学求算式的值的题一般都是含有字母的代数式，重点考查学生运用简便方法求值的能力。因式分解就是一种重要的简便方法，用得较多的如提取公因式法，其本质就是乘法分配律的逆用。

【例1】计算10052-502×2010。

分析：这道题如果直接计算的话，计算量是比较大的。观察式子中的数字，可以发现1005与2010之间有联系，将2010拆成2×1005，这道题的计算就变得容易多了。

原式＝10052－502×2×1005

＝1005×（1005-1004）

＝1005。

提取公因式也是因式分解中的一种。在计算过程中，通过提取公因式能减少计算步骤，降低计算量，使计算过程变得简洁且不容易出错。

在平时的教学和练习中，教师一定要重视培养学生寻找简便方法的意识，提高学生综合运用知识灵活解题的能力。

二、逐次分解法求代数式的值

在求代数式的值这类题型中，我们可以运用因式分解先化简再求值，这样不但可以减少运算量，还可以提高解题的正确率，提高解题速度。特别是在一些含有分式的题型当中，通常先对分式进行约分，以降低计算的难度，把一些繁难的代数式计算变得简洁和容易。

【例2】m=-4时，求m4-34m2+225的值。

分析：如果把m=-4直接代入式中进行计算，计算量较大，而且没有达到题目的考查目的。所以应该想办法把代数式简化，可先用十字相乘法分解因式，再进一步进行化简。

解：m4-34m2+225

=（m2-9）（m2-25）

=（m+3）（m-3）（m+5）（m-5），

把m=-4代入，原式＝-63。

像这种求代数式的值的题，一般先观察代数式，尝试用能想到的方法去分解，经过第一次分解之后，再观察是否可以继续分解，直到代数式化到最简为止。本例经过第一步的因式分解之后，发现还可以再运

用平方差公式进行化简。

三、转化条件法求待定系数的值

一般求待定系数的值的题都是给出一个含有该系数的代数式或等式，结合其他条件，要求该待定系数的值。待定系数不一定就是一个数，也可能是一个式子。这类题目不要求把式子中的每个未知数都求出来，只需要通过变形或化简，把待求的字母或式子从原式中分离出来并确定它的值。

【例3】二次多项式x2+2mx－3m2能被x－1整除，求m的值。

分析：原式中含有两个未知数，如果直接把未知数求出来确定m的值，是不可取的。根据已知条件可以知道x－1是二次多项式x2+2mx-3m2中的一个因式，可以先把这个二次多项式进行因式分解，再观察每部分与x-1的关系，进一步求值。

解：x2+2mx－3m2＝（x+3m）（x-m），

又∵x2+2mx－3m2能被x－1整除，

∴x+3m＝x-1或x-m=x-1，由此得m=-或m=1。

因式分解用于求待定系数的值是一种常见的解题方法，学生对这种方法的运用要敏感。特别是对于一些有特殊条件如“被……整除”的题，要用心思考出题的初衷，才能知道如何把题目条件转化成与因式相关

联的已知条件。

四、变形分解法求取函数的最值

在求函数最值问题中运用因式分解，主要是通过因式分解把一些特殊的、较复杂的函数转化为较普通的、简单的函数来求最值，这样可以解除原函数不能直接求最值的困惑。

【例4】已知ｘ为实数，求函数y=－（x2-4）（x2-10x+21）-100的最值。

分析：这道题中的函数已不是一个二次函数，不能直接使用公式求最值，但通过观察可以发现，组成函数的某些因式可以进行因式分解，所以应先尝试对函数进行因式分解和变形。

解：y＝-（x2-4）（x2-10x+21）-100

=-（x+2）(x-2)(x-3)(x-7)-100

=-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-100

=-(x2-5x)2+8(x2-5x)-16

=-(x2-5x-4)2≤0。

因此，x为任何数时，y都只有最大值0。

这是一道比较复杂的综合题，考查的不仅是有关函数的最值问题，更