1.1.2简单组合体的结构特征1.2空间几何体的三视图
全品学练考数学高二答案
练习册参考答案第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．1.1柱、锥、台、球的结构特征1．1.2简单组合体的结构特征1．C[解析] 图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥．2．D[解析] ①③中两点的连线可能不在侧面上，因此不一定是母线；②中两点的连线符合母线的条件；④中圆柱任意一条母线与圆柱的轴所在的直线平行，因此圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．3．B[解析] A错误，比如四棱柱；B正确；C错误，还应满足正棱台上下底面中心的连线垂直于底面；D4．C[解析] D与B重合，显然CD∥GH.5．D[解析] 根据纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断正确选项是D.6．B[解析] ①正确；②错误，当以斜边所在的直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．7．D[解析] 根据棱台的定义(侧棱的延长线必交于一点，即棱台可以还原成棱锥)可知，几何体Ω不是棱台．8．①③④[解析] 由图易知①③④正确．9．90°[解析] 如图所示，将平面图折成正方体．很明显点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.10．④[解析] 根据旋转体的定义可知，圆锥的所有轴截面是全等的等腰三角形．11.1712．解：如图所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的三个本质特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这三个特征缺一不可，右图所示的几何体不具备特征③.13．解：当AD＞BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是由底面半径为CD 的圆柱和圆锥拼成的组合体；当AD＝BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是圆柱；当AD＜BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体是从圆柱中挖去一个同底的圆锥而得到的．14．①②③④[解析] 认识棱柱一般要从侧棱与底面是否垂直和底面多边形的形状两个方面去分析，故①③都不准确；②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②不正确；④15．解：(1)有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图(1)所示．(2)需要3个这样的几何体，如图(2)所示．分别为：四棱锥A1CDD1C1，四棱锥A1ABCD，四棱锥A1BCC1B1.1．2 空间几何体的三视图和直观图1．2.1 中心投影与平行投影 1．2.2 空间几何体的三视图 1．2.3 空间几何体的直观图1．C [解析] 由三视图的特点可知选项C 正确．2．A [解析] 由斜二测画法规则知平行性是不变的，长度的变化在平行时相同，故仍平行且相等．3．C [解析] 根据三视图，几何体为一个倒放的三棱柱．4．C [解析] 由直观图易知A ′D ′∥y ′轴．根据斜二测画法规则，可知在原图形中应有AD ⊥BC .又AD 为BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形，且AD 为BC 边上的高，所以AB ，AC 相等且最长，AD 最短．5．C [解析]则AD ＝（2 2）2＋12＝3，所以原图形的周长为8.6．B [解析] 因为BC 垂直于x 轴，所以在直观图中B ′C ′的长度是1，且与O ′x ′轴的夹角是45°，所以B ′到O ′x ′轴的距离是22.7．C [解析] 依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，且上下底边的长分别与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的2 2倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.8．4 [解析] 由斜二测画法知，原三角形为直角三角形，且AO ＝4，BO ＝2，故S ＝12×2×4＝4.9．①②④ [解析] ①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错误；④正确；原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故⑤错误．10．12 [解析] 由三视图可知碟子共三摞，分别为5个，4个，3个，所以碟子共有12个．11．8 2 [解析] 作D ′E ⊥A ′B ′于点E ，C ′F ⊥A ′B ′于点F ， 则A ′E ＝B ′F ＝A ′D ′cos 45°＝1，∴C ′D ′＝EF ＝3.画出原平面图(如图所示)，则原四边形应为直角梯形，∠A ＝90°，AB ＝5，CD ＝3，AD ＝2 2，∴S 四边形ABCD ＝12×(5＋3)×2 2＝8 2.12．解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图(1)所示．画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(2)所示．(2)如图(2)所示，在x ′轴正半轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′正半轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC .(3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．13．解：(1)圆柱；(2)四棱锥；(3)三棱锥，且有一条侧棱与底面垂直．画图略． 14．C [解析] 当M 与F 重合、N 与G 重合、Q 与E 重合、P 与B 1重合时，三棱锥P -MNQ 的俯视图为A ；当M 、N 、Q 、P 是所在线段的中点时，其俯视图为B ；当M 、N 、P 是所在线段的非端点位置，而Q 与B 重合时，三棱锥P -MNQ 的俯视图可能为选项D.故选C.15．解：(1)(2)根据三视图间的关系可得BC ＝2 3. 由俯视图可知三棱锥底面三角形的高为2 3×32＝3. ∵三棱锥的高在底面上的投影是底面的中心，且其到点A 的距离为底面△ABC 高的23，∴底面中心到点A 的距离为23×3＝2，∴侧视图中VA ＝42－22＝2 3，∴S △VBC ＝12×2 3×2 3＝6.1．3 空间几何体的表面积与体积1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1．3.2 球的体积和表面积1．C [解析] 设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.2．C [解析] 设内接正方体的棱长为a ，则球的直径为3a ，所以球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是4π⎝⎛⎭⎫3a 22∶6a 2＝π2. 3．B [解析] 结合三视图可知该几何体是一个圆台，其上，下底面的半径分别为2，1，则该几何的侧面积S ＝π(2×4＋1×4)＝12π.4．B [解析] 该几何体是直三棱柱，其底面三角形的面积为12×1×2＝1，高为3，所以该几何体的体积为3.5．C [解析] 该几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积S ＝2π×1×a ＋π×1×（3）2＋12＋π×12＝2πa ＋3π＝9π，所以a ＝3.6．B [解析] 由题意知球为长方体的外接球．设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋52，∴R 2＝252，∴S 球＝4πR 2＝4π×252＝50π.7．B [解析]体积V ＝12×4×4×4＝32，表面积S ＝2×12×42＋4×(4＋4＋4 2)＝48＋16 2.8．54π [解析] 由几何体的三视图知该几何体是一个底面半径为3，高为6的圆柱，则该几何体的体积V ＝π×32×6＝54π.9．50π [解析] 因为圆锥的侧面展开图半圆的面积即为该圆锥的侧面积，且该半圆的半径即为圆锥的母线长10，所以圆锥的侧面积为12π×102＝50π.10．4 3 [解析] 由题意得正六棱锥的底面边长和高都为2，故该六棱锥的体积为13×34×22×6×2＝4 3.11．16 10 m 2 [解析] 如图所示，取AD 的中点E ，连接VE .∵正四棱锥V -ABCD 的底面的面积为16 m 2，∴AE ＝12AD ＝2 m ．在Rt △VAE 中，VE ＝VA 2－AE 2＝（2 11）2－22＝2 10(m)，∴正四棱锥V -ABCD 的侧面积为12×4×2 10×4＝16 10(m 2)．12．解：由三视图可知，该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝(24＋π)m 2.(2)几何体的体积V ＝23＋12×43π×13＝⎝⎛⎭⎫8＋23πm 3. 13．解：(1)由三视图可知该几何体是三棱柱． (2)直观图如图所示．因为该几何体的底面是边长为4 2 cm ，所以它的表面积S 三棱柱＝2S 底＋S 侧＝2×34×42＋3×4×2＝(24＋8 3)cm 2.14．C [解析] ∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，∴底面外接圆半径r ＝ 2.由正视图中棱锥的高h ＝1，得棱锥的外接球半径R ＝⎝⎛⎭⎫122＋（2）2＝32，故该几何体外接球的体积V ＝43πR 3＝92π.15．解：易知所得的几何体是由一个圆台截去一个圆锥所得的组合体， 且CE ＝DE ＝AD ＝2，BC ＝5，则S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2 2＝60π＋4 2π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(22＋2×5＋52)×4－13π×22×2＝1483π.滚动习题(一)1．D [解析] 由棱台的定义知D 选项正确．2．D [解析] 设球的半径为R .由43πR 3＝323π得R ＝2，∴S 球＝4πR 2＝16π.3．A [解析] 由正投影的定义，看关键点在平面上的投影即可．4．B [解析] 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变，在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)．若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积S ′＝12×22×S＝24S ，又直观图的面积S ′＝a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a 224＝2 2a 2.5．B [解析] 设圆柱的半径为r ，高为h .由题意得h ＝2πr ，∴圆柱的表面积S 表＝2πr 2＋2πr ×h ＝2πr 2＋2πr ×2πr ＝2πr 2(1＋2π)， 圆柱的侧面积S 侧＝2πr ×h ＝2πr ×2πr ＝4π2r 2， 故S 表S 侧＝2πr 2（1＋2π）4π2r 2＝1＋2π2π. 6．B [解析] 由三视图可知该几何体为平放的四棱柱，且底面为等腰梯形，梯形的上底长为2，下底长为8，梯形的高为4，棱柱的高为10.∴梯形的面积为12×(2＋8)×4＝20，∴棱柱的体积为20×10＝200.7．A [解析] 3，则底面边长为4，所以底面面积为4 3，因此该三棱柱的高为12 3 2 3×3＝6 3.8．A [解析] 1的正方形，所以该四面体的四个顶点一定是正方体的顶点，所以我们可以在正方体中寻找该四面体．如图所示，四面体ABCD 满足题意，所以四面体的外接球即为正方体的外接球．由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径R ＝32，所以该四面体的外接球的表面积S ＝4×π×⎝⎛⎭⎫322＝3π. 9.8π3 [解析] 得到的几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为2，高也为2，故体积V ＝13×π×4×2＝8π3.10．4π＋4 [解析] 由三视图可知，该几何体为上部为半径为12的球，下部为半径为1，高为2的半个圆柱，则几何体的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫122＋2×12×π＋2×(2＋π)＝4π＋4. 11．100π [解析] 由题易知截面圆的半径为4，则球的半径为32＋42＝5，所以球的表面积为4π×52＝100π.12．解：(1)侧视图如图所示，可判断该几何体是一个正六棱锥． (2)由图可知正六棱锥是由六个腰长是2a ，底面边长是a 的等腰三角形与一个底面边长是a 的正六边形围成的．故S 表面＝12a ×（2a ）2－a 22×6＋12a ×a 2－a 22×6＝3 152a 2＋3 32a 2＝3 32(5＋1)a 2.(3)由正视图可知，正六棱锥的高h ＝（2a ）2－a 2＝3a ，底面积S 底＝3 32a 2，∴V ＝13S 底·h ＝13×3 32a 2×3a ＝32a 3.13．解： 所得旋转体是两个底面重合的圆锥，它们高的和AB ＝5，底面半径r ＝125，所以所得旋转体的表面积S ＝π×125×(3＋4)＝845π，体积V ＝13π×1252×5＝485π.14．解：(1)设圆柱形灯笼的母线长为l m ，则l ＝1.2－2r (0<r <0.6)，所以S ＝πr 2＋2πr ·(1.2－2r )＝－3π(r －0.4)2＋0.48π.故当r ＝0.4时，S 取得最大值，最大值约为1.51 m 2. (2)当r ＝0.3时，l ＝0.6.三视图略．第二章 点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1 平面1．B2．A [解析] 由题意得EF 在平面ABC 内，HG 在平面ACD 内，∴EF 与HG 交于点M 一定落在平面ABC 与平面ACD 的交线AC 上．3．D [解析] 经过不共线的三点有且只有一个平面，故①错误；两条相交或平行的直线确定一个平面，故②错误；经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面，故③错误；因为圆上的任意三点都不共线，故④正确．4．B [解析] ①中两条相交直线确定一个平面，第三条直线上的两点在此平面内，故第三条直线在此平面内；②中三条直线两两平行，三条直线可以确定一个平面或三个平面；③中三条直线交于一点，此三条直线确定一个平面或三个平面；④中两条平行线确定一个平面，第三条直线上的两点在此平面内，故第三条直线在此平面内．5．D [解析] 当平面α过平面β与γ的交线时，这3个平面有1条交线；当β∥γ时，α与β和γ各有1条交线，共有2条交线；当β∩γ＝b ，α∩β＝a ，α∩γ＝c 时，这3个平面有3条交线．6．C [解析] 正方体有六个面，所以截面最多有六条边．7．B [解析] 当B ，C ，D 三点共线时，B ，C ，D 三点不能确定平面．A ，B ，C ，D 所在的平面和B ，C ，D ，E 所在的平面可能不同，所以A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面.8．1或2 [解析] 当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；当三个平面交于一条直线时，有一条交线．9．①④ [解析] 对于②，当三条直线是三棱柱的三条棱时，它们平行但不能共面；对于③，三个公共点可能在同一条直线上，此时这两个平面相交．10．相交或重合 [解析] 当三个公共点共线时，两个平面相交或重合；当三个公共点不共线时，两个平面重合．11．6 [解析] 当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P 与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面．12．证明：∵b ∥c ，∴直线b ，c 可以确定一个平面α.设a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ， 则A ∈a ，B ∈a ，A ∈α，B ∈α，即a ⊂α，故直线a ，b ，c 共面．13．证明：连接EF ，GH .因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD＝2，所以EF ∥AC ，HG ∥AC ，且EF ≠GH ， 所以EH ，FG 共面，且EH 与FG 不平行． 不妨设EH ∩FG ＝O ，因为O ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，所以O ∈平面ABD ， 因为O ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以O ∈平面BCD . 又因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以O ∈BD ， 所以EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点O .14．1或4 [解析] 当这四点在同一平面内时，可以确定一个平面；当这四点不共面时，则任意三点可确定一个平面，可确定四个平面．15.解：如图所示，取BB 1的中点M 1∵M ，F 分别是BB 1，CC 1的中点，∴MF ∥B 1C 1. 在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1∥B 1C 1，∴MF ∥A 1D 1，又MF ＝A 1D 1，∴四边形A1MFD1是平行四边形，∴A1M綊D1F.又E，M分别是AA1，BB1的中点，∴A1E綊BM，∴四边形A1EBM为平行四边形，∴EB綊A1M，∴EB綊D1F，∴四边形EBFD1是平行四边形．又Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，∴四边形EBFD1为菱形．2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系1．D[解析] 可以利用长方体的棱所在的直线找到平行、相交、异面的情况．2．D[解析] 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补3．D [解析] 如图所示，在EF 上任取一点M ，直线CD 与点M 确定的平面与直线A 1D 1交于点N ，则直线MN 与这三条直线都相交．由点M 的任意性可知这样的直线有无数条．4．D [解析] 若l 与m 异面，且l 与n 异面，则m 与n 可能异面，可能相交，也可能平行，如图所示．5．D [解析] l 1，l 2在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中即为AB 1，B 1D 1， ∵△AB 1D 1为正三角形，∴∠AB 1D 1＝π3，∴l 1与l 2相交且夹角为π3.6．A [解析] 取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.7．D [解析] 连接AD 1，D 1C ，BC 1.因为M ，N 分别为BC 和CC 1的中点，所以C 1B ∥MN ，又C 1B ∥AD 1，所以AD 1∥MN ，所以∠D 1AC 即为异面直线AC 和MN 所成的角．又△D 1AC 是等边三角形，所以∠D 1AC ＝60°，即异面直线AC 和MN 所成的角为60°.8．③④ [解析] 直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误．③④是正确的．9．三10．①③ [解析] 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，则AB ⊥EF ，EF 与MN 为异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，所以只有①③正确．11．60° [解析] 取AD 的中点N ，连接A 1N ，MN ，则△A 1MN 为等边三角形． 由MN ∥BD ∥B 1D 1可知，∠A 1MN 即为A 1M 与B 1D 1所成的角，故所求角为60°. 12．解：(1)由A ′B ′∥C ′D ′可知，∠BC ′D ′即为异面直线BC ′与A ′B ′所成的角． ∵BC ′⊥C ′D ′，∴异面直线BC ′与A ′B ′所成的角为90°. (2)连接AD ′，AC .由AD ′∥BC ′可知，∠AD ′C 即为异面直线CD ′和BC ′所成的角． ∵△AD ′C 是等边三角形，∴∠AD ′C ＝60°，即异面直线CD ′和BC ′所成的角为60°.13．解：AB ，HE ∥CD ，∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD EFGH 是平行四边形．∵HG ＝12AB ＝6 2，HE ＝12CD ＝2 3，∴HG ·HE ·sin ∠EHG ＝12 6sin ∠EHG ，∴12 6sin ∠EHG ＝12 3，∴sin ∠EHG ＝22，故∠EHG ＝45°，∴直线AB 和CD 所成的角为45°.14．B [解析] 取BD 的中点G ，连接EG ，FG ，则∠EFG (或其补角)为异面直线EF 与BC 所成的角．∵E ，F ，G 分别为AB ，CD ，BD 的中点，∴EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，又AD ＝BC ，∴EG ＝GF .∵AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，∴EG ⊥GF ，∴△EGF 为等腰直角三角形．∴∠EFG ＝45°，即EF 与BC 所成的角为45°.15．解：连接CD 1，AC .由题意得在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ＝2 3，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥CD 1， ∴∠AD 1C 为A 1B 和AD 1所成的角．∵异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°， ∴∠AD 1C ＝90°. ∵在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD 1是等腰直角三角形，∴AD 1＝22AC .∵底面四边形ABCD 是菱形且AB ＝BC ＝2 3，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝2 3×sin 60°×2＝6，∴AD 1＝22AC ＝3 2，∴AA 1＝AD 21－A 1D 21＝ 6.2．1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2．1.4 平面与平面之间的位置关系1．D [解析] 若直线a ∥平面α，则直线a 与平面α无交点．2．D [解析] 直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内．其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点．3．A4．C [解析] 若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C 项正确．5．A [解析] ∵直线a ⊄α，∴a ∥α或a ∩α＝A .如图所示，显然①②③④都不正确，故选A.6．C [解析] 7．D [解析] ∵a ∥α，∴a 与α无公共点．∵b ∥α，∴b 与α也无公共点，∴a ∥b 或a 与b 异面或a 与b 相交．8．③④ [解析] 可以利用长方体这个模型来判断．易知①②⑤为假命题，③④为真命题．9．2a [解析] 设M 在AC 上，N 点在BC 上，P 点在BD 上．Q 点在AD 上． 设AMCM＝k ，∵截面MNPQ 与AB ，CD 都平行， ∴MN ∥AB ，PQ ∥AB ，MQ ∥CD ，NP ∥CD ， ∴MN AB ＝PQ AB ＝11＋k ，MQ CD ＝NP CD ＝k 1＋k ， ∵AB ＝CD ＝a ，∴MN ＝PQ ＝a 1＋k ，MQ ＝NP ＝ak1＋k，∴截面MNPQ 的周长为MN ＋PQ ＋MQ ＋NP ＝2a 1＋k ＋ak1＋k＝2a .10．相交 [解析] 因为平面α，所以直线m 与n 没有公共点，即直线m 与n 不可能相交．11．平行或在平面内 [解析] 若这条直线在另一个平面外，则平行，否则此直线在平面内．12．解：B 1D 1在平面A 1C 1内，B 1D 1与平面BC 1，AB 1，AD 1，CD 1都相交，B 1D 1与平面AC 平行．13．证明：∵a ∥b ，∴a 和b 可以确定一个平面，不妨设这个平面为β. ∵a ∩α＝P ，∴P ∈a 且P ∈α，∴P ∈β . 从而点P 是平面α与平面β的一个公共点，由此可知平面α与平面β相交于过点P 的一条直线．设α∩β＝c ，则c ⊂α.在平面β内，a ∥b ，a ∩c ＝P ，则b 与c 也相交．设b ∩c ＝Q ，则Q ∈b ，Q ∈c ，∴直线b 与平面α有一个公共点Q .故直线b 与平面α相交．14．三或四 四、六、七或八 [解析] 两个平面平行可分成三部分，相交可分成四部分；三个平面平行可分成四部分，三个平面两两相交，交线只有一条或有两个平面平行且都与第三个平面相交可分成六部分，三个平面两两相交，交线有三条且三条交线平行可分成七部分，三个平面两两相交，交线有三条且三条交线有一个公共点可分成八部分．15．解：(1)如图所示，直线QN 即为直线l . (2)QN ∩A 1B 1＝P ，由已知得△MA 1Q ≌△MAD ，∴A 1Q ＝AD ＝a ＝A 1D 1， ∴A 1是QD 1的中点．又A 1P ∥D 1N ，∴A 1P ＝12D 1N ＝14C 1D 1＝14a ，∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14a ＝34a .2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．2.1 直线与平面平行的判定 2．2.2 平面与平面平行的判定1．D [解析] 由平面与平面平行的判定定理知，若一平面内有两条相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行．2．D[解析] 根据直线与平面的位置关系易判断选项D正确．3．A[解析] 在平面ABC内. ∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴AC∥EF.∵AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF.∴AC∥平面DEF.4．D5.A[解析] 如图所示，要使过点A平行，则经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，故可推出n∥k.由线面平行可进一步推出直线n和直线k与两平面α和β的交线平行，即满足条件的直线m需过点A，且与两平面交线平行，显然这样的直线有且只有一条．6．D[解析] A错，若a∥b，则不能推出α∥β；B错，若A，B，C三点不在β的同一侧，则不能推出α∥β；C错，若a∥b，则不能推出α∥β.7．B8．无数无数9．BC的中点[解析] 当点F是BC的中点时，有直线EF∥平面A1C1D.理由：因为EF∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，又EF⊄平面A1C1D，A1C1⊂平面A1C1D，所以直线EF∥平面A1C1D.10．②[解析] 当l∥m时，平面α与平面β不一定平行，故①错误；②正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故③错误；④中直线m有可能在平面α内，故④错误．11．BD1∥平面AEC[解析] 如图所示，连接BD交AC于点O，连接EO.∵E为DD1的中点，O为BD的中点，∴EO∥BD1.⊂平面AEC，∴BD1∥平面AEC.12．证明：如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO.∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC.13．证明：如图所示，连接B1D1D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.14．B[解析] A错误，过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行；B正确；C错误，如果直线a与平面α内的一条直线平行，那么a∥α或a在α内；D错误，如果平面α与平面β内的无数条直线都平行，那么α∥β或α和β相交．15．证明：(1)∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，且EH ＝12BD .同理，FG ∥BD 且FG ＝12BD ，∴FG ∥EH 且FG ＝EH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，即E ，F ，G ，H 四点共面． (2)易知平面ABD 和平面α有一个公共点A . 设两平面交于过点A 的直线AD ′.∵α∥β，∴AD ′∥BD .∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′. 又AD ′＝平面α∩平面ABD ，EH ⊂平面ABD ， ∴EH ∥平面α.∵EF ∥AC ，∴EF ∥平面α.又EH ∩EF ＝E ，EH ⊂平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴平面EFGH ∥平面α.2．2.3 直线与平面平行的性质 2．2.4 平面与平面平行的性质1．D [解析] 当a ，b 是异面直线，且a ∥α时，b 与α的位置关系是b ∥α或b 与α相交或b ⊂α.2．A 3.B4．A [解析] 直线CE 在下底面内，且与上底面平行，与其他四个平面相交，直线EF 与左右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m ＝4，n ＝4，故选A.5．A6．B [解析] A 中，m ，n 可为相交直线，故A 错误；B 正确；C 中，n 可以平行于β，也可以在β内，故C 错误；D 中，m ，n 也可能异面，故D 错误．7．D [解析] 显然平面D 1EF 与平面ADD 1A 1相交，则在平面ADD 1A 1内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条，这些直线都与平面D 1EF 平行．8．a ∥b [解析] 由平面与平面平行的性质定理可判定a ∥b .9．③ [解析] ①中α可能与β相交；②中直线l 与m 可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m ∥n .10．①③④ [解析] 对于①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状(四棱柱、三棱柱或五棱柱)，且BC 为棱柱的一条侧棱，故①正确；对于②，FG 长度不变，EF 的长度随着容器的倾斜而不断变化，故水面面积也在变化，故②不正确；易知③是正确的；由水的体积的不变性可证得④是正确的. 综上所述，正确说法的序号是①③④.11．1 [解析] ∵BC ∥平面A ′C ′，BC ⊂平面BCC ′B ′， 平面BCC ′B ′∩平面A ′B ′C ′D ′＝B ′C ′，∴BC ∥B ′C ′.在平面A ′C ′上过点P 作EF ∥B ′C ′，则EF ∥BC, ∴过EF ，BC 所确定的平面将木块锯开即可．又此平面唯一确定，∴只有1种方法．12．证明：在四棱锥P -ABCD 中，E ，F 分别为PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD .∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB .∵EF ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴EF ∥平面P AB . 同理EG ∥平面P AB .又EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG ∥平面P AB . ∵AP ⊂平面P AB ，∴AP ∥平面EFG .13．解： 当E 为棱AB 的中点时，DE ∥平面AB 1C 1.证明如下：如图所示，取BB 1的中点F ，连接EF ，FD ，DE . ∵E ，F 分别为AB ，BB 1的中点， ∴EF ∥AB 1. ∵AB 1⊂平面AB 1C 1，EF ⊄平面AB 1C 1，∴EF ∥平面AB 1C 1.同理可证FD ∥平面AB 1C 1. ∵EF ∩FD ＝F ，∴平面EFD ∥平面AB 1C 1. ∵DE ⊂平面EFD ，∴DE ∥平面AB 1C 1.14．①或③ [解析] 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．当填入的条件为②时，若γ∥β，则得不出a ∥b .故应填入的条件为①或③.15．证明：(1)连接FG .∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2.又∵BG ∥A 1E ，∴四边形A 1GBE 为平行四边形，∴A 1G ∥BE . 又∵C 1F ∥B 1G ，C 1F ＝B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形，∴FG ∥C 1B 1∥D 1A 1，FG ＝C 1B 1＝A 1D 1，∴四边形A 1GFD 1是平行四边形， ∴A 1G ∥D 1F ，∴D 1F ∥EB ， ∴E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.∵FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB . 又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .滚动习题(二)1．C[解析] 设α∩β＝l，a∥α，a∥β，则过直线a作与平面α，β都相交的平面γ，记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.2．D [解析] A 中分别连接PS ，QR ，易证PS ∥QR ，∴P ，S ，Q ，R 四点共面；B 中P ，S ，R ，Q 均在截面PSRQ 上，∴P ，S ，R ，Q 四点共面；C 中分别连接PQ ，RS ，易证PQ ∥RS ，∴P ，Q ，R ，S 四点共面．故选D.3．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B. 4．D [解析] 过点A 可作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′∩b ′＝A ，∴直线a ′，b ′可确定一个平面，记为平面α.如果a ⊄α，b ⊄α，则a ∥α，b ∥α.由于平面α可能过直线a ，b 之一，因此，过点A 且同时平行于直线a ，b 的平面可能不存在．5．B [解析] 在选项A 中，l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，则l 1与l 3可以平行也可以相交或异面，借助正方体的棱很容易理解；在选项B 中，l 1⊥l 2，l 2∥l 3，则由异面直线所成角的定义可以推出l 1⊥l 3；在选项C 中，l 1∥l 2∥l 3，三直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱互相平行但不共面；在选项D 中，共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱不共面．6．D [解析] ∵AC ⊥平面BDD 1B 1，BE ⊂平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BE ，故A 正确；∵EF ∥BD ，∴EF ∥平面ABCD ，故B 正确；直线AB 与平面BEF 所成的角即为直线AB 与平面BDD 1B 1所成的角，故为定值，所以C 正确；只有选项D 是错误的．7．C [解析] 连接BC 1.因为BB 1＝BC ，所以BC 1⊥B 1C .又因为D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以D 1C 1⊥CB 1，所以B 1C ⊥平面BD 1C 1，所以PB ⊥B 1C ，所以异面直线PB 与B 1C 所成角为90°.8．C [解析] 由题意得EH 綊12BD ，FG 綊12BD ，∴EH 綊FG .又EF ＝12AC ，AC ＝BD ，∴EF ＝EH ，∴四边形EFGH 为菱形．又∵AC 与BD 所成角的大小为90°，∴EF ⊥EH ，即四边形EFGH 为正方形．9．③④10．平面P AD 、平面PCD [解析] 因为O 为BD 的中点．又∵在△PBD 中，E 为PB 的中点，∴EO ∥PD ，又EO 在平面P AD 、PCD 外，PD 在平面P AD 、PCD 内，所以EO 与平面P AD 、平面PCD 平行．11.245或24 [解析] 如图①所示，∵AC ∩BD ＝P ， ∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD . ∴P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD ，∴BD ＝245.如图②所示，同理可证AB ∥CD ，∴P A PC ＝PB PD ，即63＝BD －88，∴BD ＝24.综上所述，BD 的长为245或24.12．解：∵AE EB ＝CFFB＝2，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ACD .∵EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ，∴EF ∥GH . 又EF ∥AC ，∴AC ∥GH .∴AH HD ＝CGGD＝3，即AH ∶HD ＝3∶1. (2)证明：∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形．设EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴P ∈BD ，∴EH ，FG ，BD 三线共点． 13．解：(1)证明：由题意知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1.又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高．∵四边形ABCD 为正方形，且AB ＝2，∴AC ＝2，∴AO ＝12AC ＝1，又AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD A 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.14.解：(1)证明：连接AC 交BD 于点O 因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为AC 中点．又E 为CC 1中点， 所以OE 为△AC 1C 的中位线， 所以OE ∥AC 1.又OE ⊂平面BDE ， AC 1⊄平面BDE ， 所以AC 1∥平面BDE .(2)由题意知，BD ⊥A 1A .因为BD ⊥AC ， A 1A ∩AC ＝A ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1， AC ⊂平面A 1ACC 1， 所以BD ⊥平面A 1ACC 1. 又因为A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 所以BD ⊥A 1E ，所以A 1E 与BD 所成角为90°.2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1 直线与平面垂直的判定1．D [解析] l 可在平面α内也可在平面α外，在平面α外时l ∥α.2．B [解析] 对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以①②是错误的；易知③④是正确的．3．C [解析] 由正方体的性质得BD ∥B 1D 1，且BD ⊄平面CB 1D 1，所以BD ∥平面CB 1D 1，故A 正确；因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以AC 1⊥BD ，故B 正确；异面直线AD 与CB 1所成的角即为AD 与DA 1所成的角，故为45°，所以D 正确．4．C [解析] 连接AC .因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又MC ⊥平面ABCD ，则BD ⊥MC .因为AC ∩MC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC .又MA ⊂平面AMC ，所以MA ⊥BD .显然直线MA 与直线BD 不共面，因此直线MA 与BD 的位置关系是垂直但不相交．5．D [解析] 对于选项D ，可能还有b ∥α或b 与α相交的情况．6．C [解析] 由异面直线的定义，易知①正确；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线．又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，所以②正确；由面面平行的判定定理知，③正确；④中满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 的位置关系可能是相交、平行或异面，故④不正确．7．D [解析] 对于选项A ，由题意得SD ⊥AC ，AC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面SBD ，故AC ⊥SB ，故A 正确；对于选项B ，∵AB ∥CD ，AB ⊄平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；对于选项C ，由对称性知SA 与平面SBD 所成的角与SC 与平面SBD 所成的角相等，故C 正确．8．AC ⊥BD 或四边形ABCD 为菱形 [解析] 若A 1C ⊥B 1D 1，由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，得AA 1⊥B 1D 1，则B 1D 1⊥平面AA 1C 1C ，所以A 1C 1⊥B 1D 1，即AC ⊥BD ，则四边形ABCD 为菱形．9．30° [解析] 连接BC 1交B 1C 于点M ，连接A 1M ，则BM ⊥B 1C .因为A 1B 1⊥BM ，且A 1B 1∩B 1C ＝B 1，所以BM ⊥平面A 1B 1CD ，因此∠BA 1M 即为直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角．因为A 1B ＝2BM ，∠A 1MB ＝90°，所以∠BA 1M ＝30°.10．45° [解析] 因为三棱锥A - BCD 为正三棱锥，所以AB ＝AD ，AB ⊥CD .又EF ⊥CF ，EF ∥AB ，所以AB ⊥CF ，所以AB ⊥平面ACD ，故直线BD 与平面ACD 所成的角∠BDA ＝45°.11．2 [解析] 因为P A ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA即为PC 与平面ABC 所成的角．在△P AC 中，AC ＝12AB ＝12P A ，所以tan ∠PCA ＝P AAC＝2.12．证明：在△P AD 中，由P A ＝2，AD ＝2，PD ＝2 2，可得P A 2＋AD 2＝PD 2，即AD ⊥P A .又AD ⊥AB ，P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB .13．证明：(1)因为SA ＝SC ，D 为AC 的中点， 所以SD ⊥AC .在Rt △ABC 中，有AD ＝DC ＝DB ，所以△SDB ≌△SDA ，所以∠SDB ＝∠SDA ，所以SD ⊥BD . 又AC ∩BD ＝D ，所以SD ⊥平面ABC .(2)因为AB ＝BC ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC . 又由(1)知SD ⊥BD ，所以BD14．D [解析] 如图所示，O 1，O ，则OO 1⊥B 1D 1，OO 1∥BB 1，O 1O 与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易证得为∠O 1OD 1，在Rt △OO 1D 1中，cos ∠O 1OD 1＝O 1O OD |＝132＝63.15．证明：(1)连接AP ，AB 1.∵四边形ABCD 为正方形，∴A ，P ，C 三点共线． 因为M ，N 为中点，所以MN ∥AB 1.因为MN ⊄平面PB 1C ，AB 1⊂平面PB 1C ，所以MN ∥平面PB 1C .(2)连接D 1B 1，PB .∵D 1D DB ＝PB BB 1＝12，∠D 1DB ＝∠PBB 1＝90°，∴△D 1DB ∽△PBB 1，。
简单组合体与三视图
在一束平行光线的照射下形成的投射，叫做平行投影。 平行投影分正投影和斜投影两种
D A D C d A B C
B
a
a b
d
c
b
c
投射线与投影面相倾 斜的平行投影法 -----斜投影法
投射线与投影面相互垂直 的平行投影法 --------正投影法
思考：直线的平行投影是什么？两条平行线呢？ 相交线呢？
C
D
思考5：由5个小立方块搭成的几何体，其 三视图分别如下，请画出这个几何体.
(正视图)
(左视图)
(俯视图)
思考6：如图是一个物体的三视图，试说出物体 的形状。
正 视 图
侧 视 图
俯 视 图
思考7：你能画出这个几何体的三视图吗？
主视图
左视图
俯视图
如下的三个图中，上面的是一个 长方体截去一个角后所得多面体的直 观图，它的正视图和侧视图在下面画 出(单位：cm)． 在正视图下面，按照画三视图的 要求画出该多面体的俯视图．
四、空间几何体的三视图
物体按正投影法向投影面投影所得到的图形称为视图。 如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到 的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
• 三视图 • 正(主)视图——光线自物体的前面向后投影所
得的投影图
• 侧(左)视图——自左向右投影所得的投影图 • 俯视图——自上向下投影所得的投影图 • 画物体的三视图时,要符合如下原则: • 位置：正视图 侧视图 • 俯视图 • 大小：长对正,高平齐,宽相等.
2、三视图安排位置：正视图与侧视图在水 平线上且正视图在左、侧视图在右，俯视图 在正视图下方。 3、可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓 线用虚线画出。 4、确定正视、俯视、侧视的方向，位置不 同所画三视图很可能不同。
简单组合体的三视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考4:如图，桌子上放着一个长方体和 一个圆柱，若把它们看作一个整体，你 能画出它们的三视图吗？
正视图
侧视图
正视 俯视图
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图， 若已知一个几何体的三视图，我们如何 去想象这个几何体的原形结构，并画出 其示意图呢？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并画出其示意图.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并作适当描述.
正视图 正视图 侧视图
侧视图
俯视图
俯视图理论迁移ຫໍສະໝຸດ 例1 下面物体的三视图有无错误？ 如果有，请指出并改正.
正视图
侧视图
正视 俯视图
例2 将一个长方体挖去两个小长方体 后剩余的部分如图所示，试画出这个组 合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
例3 说出下面的三视图表示的几何体 的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
作业: P15练习：4. P20习题1.2A组：1，2.
知识探究（一）：画简单几何体的三视图
思考1:在简单组合体中，从正视、侧视、 俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看 见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三 视图时怎么处理？
思考2:如图所示，将一 个长方体截去一部分， 这个几何体的三视图是 什么？
正视图
侧视图
正视
俯视图
思考3:观察下列两个实物体，它们的结 构特征如何？你能画出它们的三视图吗？
2011年高中数学必修2各个版本教材区别(终稿)
人教A 人教B 北师大苏教第一单元空间几何体第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征：棱柱、棱锥、四面体、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球1.1.2简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影：投影、投影面、投影线、中心投影、平行投影1.2.2空间几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图1.2.3空间几何体的直观图：斜二测画法1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2球的体积和表面积探究与发现：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积备注：1.三视图的名称；2.人教A没有正（斜、直）棱柱、正棱锥（台的概念）、平行六面体的概念；北师大没斜棱柱、平行六面体的概念的概念；苏教在1.2.3提到平行六面体、直平行六面体。
在1.3.1提到正（直）棱柱、正棱锥（台的概念）；3.北师大版和苏教版没几何体的体积和面积；4.人教B在1.1.2和1.1.3中涉及求基本量求解的题，特别是球.调整时注意增加这方面题5.邀人教B和北师大两个版本.第一单元空间几何体第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征：正（斜、直）棱柱、正棱锥、正棱台1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球：球的大圆、小圆、直角三角形1.1.4投影与直观图：平行投影的性质、斜二测画法的规则、中心投影1.1.5三视图：主视图、俯视图、左视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7棱柱、棱锥、棱台和球的体积第一单元简单几何体、直观图、三视图第一章立体几何初步1.1简单旋转体：球、圆柱、圆锥、圆台1.2简单多面体：棱柱、棱锥、棱台2.1直观图、斜二测画法:中心投影与平行投影1.3三视图1.3.1简单组合体的三视图：①三视图中的虚线；②简单组合体；③简单组合体的三视图：主视图、俯视图、左视图1.3.2有三视图还原成实物图第一单元空间几何体第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影：1.投影与中心投影的含义与特征 2.视图：主视图（正视图）、俯视图、左视图1.1.4直观图的画法：1.消点的定义；2.斜二测画法的规则第二单元线、平面平行的判定及其性质（包含点、线、面间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面：①公理1、2、3；②习题出现公理2（不共线的三点确定一个平面）的3个推论.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系①共面直线（相交直线，平行直线）；②公理4（平行线的传递性）；③等角定理；④异面直线及其夹角.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系①直线在平面内;②直线与平面相交;③直线与平面平行2.1.4平面与平面之间的位置关系①两个平面平行②两个平面相交2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定:判定定理2.2.2平面与平面平行的判定:判定定理2.2.3直线与平面平行的性质:性质定理2.2.4平面与平面平行的性质:性质定理备注：1.人教B没异面直线所成角的概念，北师大提到异面直线所成的角但不要求计算，能观察即可;2.人教B中的①⑤⑥和其他版本有区别.3.北师大和苏教版本单元还有垂直关系.4.人A、人B、苏教用,⊂⊄，北师大用⊂≠、/⊆5,邀人教A，北师大和苏教用人教A第2、3单元调整第二单元平面的基本性质和空间中的平行关系1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论:①点线基本性质：连接两点的线中，线段最短;过两点有且只有一条直线;②平面的三条基本性质（公理）及3条推论③共面与异面直线1.2.2空间中的平行关系:①平行公理②基本性质（公理）4（平行线的传递性）；③等角定理；④直线与平面平行：判定定理与性质定理⑤平面与平面平行：判定定理及推论、性质定理.⑥两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例第二单元空间图形基本关系与公理及平行、垂直关系1.4空间图形的基本关系与公理1.4.1空间图形基本关系的认识:①点与线的位置关系;②点与面的位置关系;③空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面；④面面位置关系：平行、相交.1.4.2空间图形的公理①定理1、2、3、4②习题出现公理2（不共线的三点确定一个平面）的3个推论.③等角定理④异面直线所成的角1.5平行关系1.5.1平行关系的判定①直线与平面平行的判定:判定定理②平面与平面平行的判定:判定定理1.5.2平行关系的性质①直线与平面平行的性质:性质定理②平面与平面平行的性质:性质定理1.6垂直关系1.6.1垂直关系的判定①直线与平面垂直的判定:判定定理②平面与平面垂直的判定:①二面角，二面角的棱，二面角的面，二面角的平面角，直二面角②:判定定理1.6.2垂直关系的性质第二单元空间点、线、面的位置关系1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质①公理1、2、3；②公理3（不共线的三点确定一个平面）的3个推论.1.2.2 空间两条直线的位置关系①公理4:平行直线的传递性②等角定理；③异面直线及其所成的角1.2.3直线与平面的位置关系:①直线与平面平行:判定定理、性质定理;②直线与平面垂直:判定定理、性质定理、点到平面的距离、直线到平面的距离、直线与平面所成的角1.2.4平面与平面的位置关系：①两个平面平行的判定定理②两个平面平行的性质定理、公垂线、公垂线段、两个平行平面间的距离③半平面，二面角，二面角的棱，二面角的面，二面角的平面角，直二面角④平面与平面垂直的判定定理⑤平面与平面垂直的性质定理截式、两点式、截距式②.直线方程的一般形式2.2.3两直线的位置关系①两直线相交、平行与重合的条件：系数判断法、斜率判断法②两直线垂直的条件：系数判断法、斜率判断法2.2.4点到直线的距离①点到直线距离②平行线间的距离第五单元圆与方程第四章圆的方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程4.2.1直线与圆的位置关系：①相交、相切、相离②判断方法：圆心到直线的距离和半径的关系； 判断4.2.2圆与圆的位置关系：①相离、外切、相交、内切、内含②判断方法：圆心距和半径和（差）； 判断4.2.3直线与圆的方程的应用4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式备注：邀人教A第五单元圆与方程2.3.1圆的标准版方程：）2.3.2圆的一般方程：）2.3.3直线与圆的位置关系：①相交、相切、相离②判断方法：圆心到直线的距离和半径的关系；判断2.3.4圆与圆的位置关系：①相离、外切、相交、内切、内含②判断方法：圆心距和半径和（差）； 判断2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点间的距离公式第五单元圆与圆的方程、空间直角坐标系2.2圆与圆的方程2.2.1圆的标准方程:中点坐标2.2.2圆的一般方程2.2.3直线与圆、圆与圆的位置关系2.3.1空间直角坐标系的建立2.3.2空间直角坐标系中点的坐标2.3.3空间两点间的距离公式第五单元圆与方程、空间直角坐标系2.2圆与方程2.2.1圆的方程：圆的标准方程、圆的一般方程2.2.2直线与圆的位置关系：①相交、相切、相离②判断方法：圆心到直线的距离和半径的关系；判断2.2.3圆与圆的位置关系：①相离、外切、相交、内切、内含②判断方法：圆心距和半径和（差）；判断2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离第六单元必修2综合测试。
最新人教版高中数学必修2课时同步测题(全册 共236页 附解析)
最新人教版高中数学必修2课时同步测题（全册共236页附解析）目录1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1.2.3 空间几何体的直观图1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积章末复习课第一单元评估验收卷(一)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质章末复习课第二单元评估验收卷(二)第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB 所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．5.一个四棱锥S-ABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥V-ABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝14×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝16π≈163，所以米堆的体积V＝14×13πr2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶ 2 B．1∶ 3C．2∶ 2 D．3∶ 6解析：棱锥B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π.答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )A ．3倍B ．3 3 倍C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是()A．4π＋24 B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3.答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3. 答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π， 因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π. 10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5， 解得：R ＝1.5 (cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.B 级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O -ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5， 所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3，所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32. 答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ， 所以R ＝334πa ，r ＝312πa ， 所以S 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3. 所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B。
1.1.2简单组合体的结构特征
4.如图，长方体被截去一部分，其中EH∥FG ∥ A′D′. 剩下的几何体是什么？截去的几何体是什 么？你能说出它们的名称吗？
D’
G
A’
F
H
D
E
C
A
B
探究：如图，长方体被截去一部分，其中
EH∥FG ∥ A′D′. 剩下的几何体是什么？你能说
出它们的名称吗？
D’
G
A’
F
E
A’
F
D A
A
D’
GB
HH
．
．．
．
．
A. ①③
① B. ②④
② C. ①②③
③
④
D. ②③④
第
一 种
·
截
面
正
方
体
内 接
第
于
二
球
种
截
·
面
第
三 种
·
截
面
斜截面
探究：如图所示，一个正方体内接于一个球， 过球 心作一截面，则截面的可能图形是 （ ）
．
．
．
．
．
A. ①③
① B. ②④
② C. ①②③
③
④
D. ②③④
7.探究:正方体和球还能组成哪些特殊的组 合体？
探索新知 例4 下面这个几何体是由 哪些简单几何体构成的？
这个零件的外观是一 个大圆柱挖掉了一个小圆 柱.
例5 下面这个几何体是由 探索新知 哪些简单几何体构成的？
这个几何体的外观是一个大棱柱 挖掉了一个小棱柱.
合作探究
探究1：下列几何体是由哪些简单几何体组合而成 的?
（1）
四棱锥和长方体 拼接而成
1.1.2空间几何体的三视图
正方体的三视图
俯
侧
长方体的三视图
俯
侧
长方体
圆柱的三视图
俯
侧
圆柱
圆锥的三视图
俯
侧
圆锥
球的三视图
俯
侧
球体
三视图有关概念 “视图”是将物体按正投影法向投影面投射 时所得到的投影图． 光线自物体的前面向后投影所得的投影图 称为“正视图” ，自左向右投影所得的投影图 称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图 称为“俯视图”．
这种现象我们把它称为是投影.
一、投影的概念
在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影．其 中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．
投射线可由一点发出，也可是一束与投影面成一定角度 的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影.
二、中心投影
光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．其投影 线交于一点(投影中心)．
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较
方便，在作图中应用最广泛．
斜投影在实际中用得比较少，其特点是直观性强，但作
图比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为 一种辅助图样．
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.
1.正投影：投影线与投影面垂直 2.斜投影：投影线与投影面斜交
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体 一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
四棱锥
1.1.2简单组合体的结构特征
简单组合体的结构特征
1.2空间几何体的三视图和直观图
y
F
M
E
y
A
B
O
D
C
x
A
B
F M E
N
O
D
C
x
N
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E
从正面看
主视图
下图中哪一幅是左视图？
左视图
俯视图
主视图
甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形 桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他 看到的是“6”，乙说他看到的是“ ”，丙说他 看到的是“ ”，丁说他看到的是“9”，则下 列说法正确的是 ( ) B A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边 B.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边 C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁 D.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
能看见的轮廓和棱用实线表示， 不能看见的轮廓和棱用虚线表示。
(2)长对正， 高平齐， 宽相等。
请画出以下几何体的三视图，并标出长、宽、高。 4 6
5
6 5 4 4 5
6
画出如图上、下底为正方形的棱台的三视图: 4 4 8 6 4 6
63
4
6
6
画出棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC的三视图。 S
有一个正方体，在它的各个面上分别标上字 母A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同 学从不同的方向去观察其正方体，观察结果 如图所示.问这个正方体各个面上的字母对 面各是什么字母？
小结:
1、三个视图的位置
简单组合体的三视图2
俯 梯 形 楔
正 视 图
侧 视 图
正
三 棱 柱
视图
根据三视图画出实物草图（几何体的直观图） 根据三视图画出实物草图（几何体的直观图） 根据三视图想像物体原形，并画出物体的实物草图： 根据三视图想像物体原形，并画出物体的实物草图： (1)三视图图 三视图图11.1-13(a)； 三视图图 ； (2)三视图图 三视图图11.1-13(b) 三视图图
H B A G C I 侧视 B A C
【解析】解题时 解析】 在图2的右边放扇墙 在图 的右边放扇墙 (心中有墙 心中有墙), 心中有墙 可得答案A. E 可得答案
D F 图1 B
E F B B 图2
D
B
E A． ．
E B． ．
E C． ．
E D． ．
练习
P158 变式3， 变式4 变式 ， 变式
（三） 画法
1. 斜二测画法的规则： 斜二测画法的规则： （1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴 ）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴OX、 、 OY，再取OZ轴，使 ∠XOZ = 90° ，且 ∠YOZ = 90°; ，再取 轴 （2）画直观图时，把它们画成对应的轴 O ′X ′ 、O ′Y ′ 、 ）画直观图时， （ ° O ′Z ′ ，使 ∠X ′O ′Y ′ = 45° 或135°）,∠X ′O ′Z ′ = 90° . 所确定的平面表示水平平面; X ′O ′Y ′ 所确定的平面表示水平平面 轴的线段， （2）已知图形中平行于 轴、Y轴、Z轴的线段，在直 ）已知图形中平行于X轴 轴 轴的线段 轴的线段； 观图中分别画成平行于 X ′轴、Y ′ 轴或 Z ′ 轴的线段； 轴和Z轴的线段 （3）已知图形中平行于 轴和 轴的线段，在直观图中 ）已知图形中平行于X轴和 轴的线段， 保持长度不变，平行于Y轴的线段长度为原来的一半 保持长度不变，平行于 轴的线段长度为原来的一半 ;
教师资格证考试高中数学必修2思维导图
1.2.3 空间几何体的直观图
1）提出如何绘制几何体直观图问题。 2）用斜二测画法作出正六边形、长方体、简单组合体直观图。
探究：（1）奖杯三视图，能否想象出它的几何结构特征，并画出它的直观图？（2）三视图和直观图能够从不同侧面、不同角度 认识几何体的结构，它们各有哪些特点？二者关系如何？
1）课程导入方法：回顾前面已学的几何体结构特征和视图方面知识，导入将要学习的知识。
3）探究：如图（板书绘制四面体图），已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
2.3.3 直线与平面垂直的性质
1）思考：①如图（板书绘图），长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'，所在的直线都垂直于平面ABCD， 它们之间具有什么位置关系？②如图（板书绘图），已知直线a，b和平面α。如果a⊥α，b⊥α，那么，直线a，b一定平行吗？
2.2.3 直线与平面平行的性质
1）思考：①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置关系？ ②教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？
2）通过绘图解决思考中的问题，引出相应定理，并通过例子掌握该定理的运用。
2.2.4 平面与平面平行的性质
3）通过生活实例（展示照相机三脚架和测量用的平板仪图片）引入：公理2。
4）思考：如图，把三角板的一个角立在课桌表面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？
5）分析思考问题，并观察长方体相交平面，从而引入：公理3及其符号表示。 通过例子掌握点、直线、平面之间位置关系的符号表示方法。
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1[1].2 空间几何体的三视图和直观图第二课时 简单组合体的三视图1
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正视图
侧视图
正视 俯视图
例2 将一个长方体挖去两个小长方体 后剩余的部分如图所示，试画出这个组 合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
例3 说出下面的三视图表示的几何体 的结构特征.
正视图
侧视图
俯视图
作业: P15练习：4. P20习题1.2A组：1，2.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考4:如图，桌子上放着一个长方体和 一个圆柱，若把它们看作一个整体，你 能画出它们的三视图吗？
正视图
侧视图
正视 俯视图
知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图， 若已知一个几何体的三视图，我们如何 去想象这个几何体的原形结构，并画出 其示意图呢？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并画出其示意图.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
思考2:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并作适当描述.
正视图 正视图 侧视图
侧视图
俯视图
俯视图
理论迁移
例1 下面物体的三视图有无错误？ 如果有，请指出并改正.
1.2
空间几何体的三视图和直观图
第二课时
简单组合体的三视图
问题提出
1.柱、锥、台、球是最基本、最简单的 几何体，由这些几何体可以组成各种各 样的组合体，怎样画简单组合体的三视 图就成为研究的课题. 2.另一方面，将几何体的三视图还原几 何体的结构特征，也是我们需要研究的 问题.
知识探究（一）：画简单几何体的三视图
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 经典课件(最新)
图 12
高中数学课件
【反思·升华】 三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的正前方、 正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，主视图反映了物体的长度和高度；俯视图反 映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体的宽度和高度，由此得到：主俯长对正，主 左高平齐，俯左宽相等．
(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项：①注意正视图、侧视图和俯视图对应 的观察方向；②注意能看到的线用实线画，被挡住的线用虚线画；③画出的三视图要符 合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征；
高中数学课件
空间几何体的结构特征及三视图和直观图 课件
高中数学课件
1．空间几何体
【最新考纲】
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构．
Hale Waihona Puke (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，
能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画法画出它们的直观图．
高中数学课件
(3)旋转体的展开图 ①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线 长； ②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周 长； ③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长．
注：圆锥和圆台的侧面积公式 S 圆锥侧＝21cl 和 S 圆台侧＝21(c′＋c)l 与三角形和梯形的面积 公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．
答案：D
高中数学课件
高频考点 2 空间几何体的三视图 【例 2.1】 (2018 年高考·课标全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构 件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图 8 中木构件右边的小长方体是榫头．若如图 摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图 可以是( )
1.2空间几何体的三视图和直观图
1 V ( S S S S )h 3
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S S V 1 Sh 1 V ( S S S S )h 3 3
S为底面面积， h为锥体高
S , S 分别为上、下
底面面积，h 为台体 高
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
锥体体积
h
椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
由此可知， 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是 底面面积乘高； 棱锥与圆锥的体积公式类似，都是 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
台体（棱台、圆台）的体积公式
考向二 空间几何体的三视图
【例2 】►(2012·湖南) 某几何体的正视图和侧视图均如图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 俯 视 图 不 可 能 是 ( )．
[审题视点] 根据正视图和侧视图相同逐一判断．
正视图
侧视图
圆台
俯视图
根据三视图想象它们表示的几何体的结构特征
正视图
侧视图
正四棱台 俯视图
简单组合体的三视图
水平直观图
正方形的水平直观图
y y
0 0
x
x
1. 水平方向线段长度不变;
变化 规则
2. 竖直方向的线段向右倾斜450，长度减半;
3. 平行线段仍然平行.
水平直观图
正三角形的水平直观图
由三视图求几何体的相关量
若一个正三棱柱的三视图如图所示， 求这个三棱 柱的高和底面边长以及左视图的面积．
高中数学立体几何三视图课件
正 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 长 度
侧 视 图 反 映 了 物 体 的 高 度 和 宽 度
俯 视 图 反 映 了 物 体 的 长 度 和 宽 度
c（高） b（宽） a(长)
判断下列三视图的正误:
长未对正
宽不相等
高不平齐
例1: 圆柱的三视图
俯
正视图
侧视图
侧
俯视图
圆柱 正
例2: 圆锥的三视图
侧视图 四 棱 台
正视图
俯 视 图
正
不同的几何体可能有某一,两个视图相同.所以我们 只有通过全部三个视图才能全面准确的反映一个几 何体的特征。
三视图还原立体几何简单与否因人而 异,空间想象力强的人,一眼便能看出是什么 样的图形.我就觉得这种题目还是挺简单的, 哈哈. 首先我给你几个最常见的例子.1.三面都是 长方,就是长方体；2.上面看圆,两个侧面看 长方,就是圆柱；3.上面看圆,两侧面看三角, 就是圆锥；4.上面看多边形,两侧面看三角, 就是棱锥；5.上面看多边形,两侧看长方,就 是棱柱；6.上面看圆,两侧看梯形,就是圆台 ；7.三面都是圆,就是球.
①圆柱可以由 矩形 绕其一边所在直线旋转得到.
②圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 所在直线旋转得到. 直角腰 ③圆台可以由直角梯形绕 所在直线或等腰梯形绕上、下 底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截 圆锥得到. ④球可以由半圆或圆绕直径 所在直线旋转得到.
答案
2.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是 正投影 得到，这种投影下与投影面
•
其次要注意的是,三视图显示了图形的 长宽高,从上方看的图显示了长宽或者直 径之类的东西,从侧面看的图显示了长和 高,或者宽和高,或者直径和高之类的. 第三要是你空间想象力不强,那么就得 多练习.至于方法,我觉得多锻炼逆向思维 能力是最好的.你可以随便想象出一个立 体图形,然后自己给那个图形画三视图,然 后再只看你的三视图想象你刚才想的图形 ,反复练习,多总结,我想你会有启发、收获 的.
20071127高一数学(1.2-2简单组合体的三视图)
思考4:用手电筒照射一个与投影面平行 思考4:用手电筒照射一个与投影面平行 4: 的不透明物体， 的不透明物体，在投影面上形成的影子 与原物体的形状、大小有什么关系？ 与原物体的形状、大小有什么关系？当 物体与手电筒的距离发生变化时， 物体与手电筒的距离发生变化时，影子 的大小会有变化吗？ 的大小会有变化吗？
1.2
空间几何体的三视图和直观图
第一课时
投影与三视图
知识探究（ 知识探究（一）：中心投影与平行投影
光是直线传播的， 光是直线传播的，一个不透明物体在 光的照射下， 光的照射下，在物体后面的屏幕上会留 投影. 下这个物体的影子，这种现象叫做投影 下这个物体的影子，这种现象叫做投影. 其中的光线叫做投影线 投影线， 其中的光线叫做投影线，留下物体影子 的屏幕叫做投影面 投影面. 的屏幕叫做投影面. 思考1:不同的光源发出的光线是有差异 思考1:不同的光源发出的光线是有差异 1: 的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出 的光线有什么不同？ 的光线有什么不同？
正视
正视
正视图
侧视图
正视 俯视图
正视图
侧视图
正视 俯视图
能看见的轮廓线和棱用实线表示， 能看见的轮廓线和棱用实线表示， 实线表示 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 虚线表示 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示
1.2
空间几何体的三视图和直观图
第二课时
简单组合体的三视图
问题提出
1.柱 1.柱、锥、台、球是最基本、最简单的 球是最基本、 几何体， 几何体，由这些几何体可以组成各种各 样的组合体， 样的组合体，怎样画简单组合体的三视 图就成为研究的课题. 图就成为研究的课题. 2.另一方面， 2.另一方面，将几何体的三视图还原几 另一方面 何体的结构特征， 何体的结构特征，也是我们需要研究的 问题. 问题.
高中政治-1.2空间几何体的三视图 推荐
画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线 表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.
2.简单几何体的三视图(看书P16)
一方面要求化三视图精确; 一方面要知道三视图两两间的关系; 一方面要能 从三视图想象出空间几何体的模型. 要注意书上的思考和探究问题,注意发挥其响应 的功能.
பைடு நூலகம்
1.2.2 空间几何体的三视图
1.柱、锥、台、球的三视图 把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一 个图形,但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌. 因此,我们需要从多个角度进行投影，才能较好地把握 几何体的形状和大小.
通常,总是选择三种正投影:一种是光线从几何体的前 面向后面正投影,得到投影图,这种投影图叫做几何体的 正视图;一种是光线从几何体的左面向右面正投影,得到 投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图;第三种是光线 从几何体的上面向下面正投影,得到投影图,这种投影图 叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图、俯视图 统称为几何体的三视图.
我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 平行投影．平行投影的投影线是平行的．在平行投影 中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做 斜投影．
在平行投影之下,与投影面平行的平面图形留下的 影子,与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.(看 课本P13图)
可以用平行投影的方法画出空间几何体的三视图 和直观图.
我们常用三视图和直观图表示空间几何体.三视图 是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出 的图形;直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何 体而画出的图形.
1.2.1 中心投影与平行投影
我们知道,光是沿直线传播的.由于光的照射,在不 透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这 种 现象叫做投影.其中,我们把光线叫做投影线,把留下物 体影我子们的把屏光幕由叫一做点投向影外面散.射形成的投影,叫做中心投影. 中心投影的投影线交于一点.
1.2空间几何体的三视图
正视图
侧视图
俯视图
考考你
正视图（ 侧视图 （ 俯视图 （
A） A
B
）
）
A
B
C
正视图 （
B
B C
）
侧视图 （
）
俯视图（
）
A
B
C
思考题:一个玻璃正方体如图所示,红线表示两根嵌在
正方体内的铁丝, ,请画出它的正视图、侧视图和俯视图 ,并用彩色笔标明铁丝的位置.
正视图
侧视图
俯视图
在买房时, 从房子的平面图就可以知道 房子的结构,从而决定是否买房
家庭在装潢时总是请设计工程师先画出家具的图 纸，这些事情说明现实生活、生产中离不开图形 （立体与平面）,而空间物体的立体图形需要通过 平面图形从不同角度去刻画.
F-22，是美国空军委托洛克希 德、波音以及通用动力公司合 作研制的新一代战斗机，也是 专家们所指的目前唯一面世的 “第四代战斗机”，它将成为 本世纪初叶的主战机种。主要 用途是压取战区制空权，因而 也是F-15的后继型号.
俯
侧
正四棱台
棱锥的三视图
俯
侧
四棱锥
圆柱的三视图
俯
侧
圆柱
圆锥的三视图
俯
侧
圆锥
点不要漏画哦！
圆台的三视图
俯
侧
圆台
球的三视图
俯
侧
球体
简单组合体的三视图 例3：画出下面几何体的三视图。
简单组合体的三视图
正视图 侧视图
俯视图
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出。
简单组合体的三视图
正视图 侧视图
俯视图
由于光的照射,在不透明物 体后面的屏幕上可以留下 这个物体的影子,这种现象 叫做投影.其中,我们把光 线叫做投影线,把留下物体 影子的屏幕叫做投影面.
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简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？ 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特 征是什么？
简单组合体
D
A B a b C D A B C
d
c a b
d
c
投射线与投影面 相倾斜的平行投 影法 -----斜投影法
平行投影法
投射线与投影面相互垂 直的平行投影法 ----------正投影法。
中心投影形成的直观图能非常逼真地反映原来的物 体，主要运用于绘画领域。
平行投影形成的直观图则能比较精确地反映原来物体 的形状和特征。因此更多应用于工程制图或技术图样
正视图
侧视图
俯视图
四棱柱
由三视图想象几何体
下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
正视图
左视图
圆锥 俯视图
由三视图想象几何体
一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?
四棱锥
回忆初中已经学过的正方体、长方体、圆 柱、圆锥、球的三视图．
正方体的三视图
俯
左
长方体的三视图
俯
左
长方体
圆柱的三视图
俯
左
圆柱
圆锥的三视图
俯
左
圆锥
球的三视图
俯
左
球体
小节三视图有关概念
“视图”是将物体按正投影法向投影面投射 时所得到的投影图． 光线自物体的前面向后投影所得的投影图 称为“正视图” ，自左向右投影所得的投影图 称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图 称为“俯视图”．
把光由一点向外散射形成的投影，叫 做中心投影。
中心投影法
投射线
投射中心
物体 投影
投影面
物体位置改变，投 影大小也改变
在中心投影下，空间的点的投影是点，直线的投影是直线。 S D A B d a b c C
中心投影法
人的视觉，照片，美术作品等都是中心投影。
摄影作品
美术作品
在一束平行光线的照射下形成的投射，叫做平行投影。 平行投影分正投影和斜投影两种。
B
C
D
正方体的表面展开图
6、下图不是棱柱的展开图的是( C )
A
B
7、正方体的六个面分别涂有红,蓝,黄,绿,黑,白六种颜色， 根据下图所示，绿色面的相对面是_______色 蓝色
红
黄
绿
黄
黑
蓝
8、一个长，宽，高分别为5cm，4cm，3cm的长方体木 块，有一只蚂蚁经木快表面从顶点A爬行到C，最短的路 程是多少？
基本几何体三视图
上一节学习的棱柱、棱锥、棱台以及圆台 的三视图是怎样的？
棱柱的三视图
俯
左
六棱柱
棱锥的三视图
俯
左
正三棱锥
棱锥的三视图
俯
左
正四棱锥
棱台的三视图
俯
左
正四棱台
圆台的三视图
俯
左
圆台
圆台的三视图
俯
左
圆台
由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图，请根据视 图说出立体图形的名称:
从左向右正对着物体观察，画出左视图，布 置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和 高及左右两个面的实形. 三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.
三视图的特点
高平齐
长对正
宽相等
三视图的对应规律
正视图和俯视图
----长对正 正视图和左视图 ----高平齐 俯视图和左视图
----宽相等
基本几何体的三视图
2. 在主视图、左视图上都体现形体的高 度，且高度在水平方向上是平齐的，我们称之 为高平齐。
3. 在左视图、俯视图上都体现形体的宽 度，且是同一形体的宽度，是相等的，我们称 之为宽相等。
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出主视图，主 视图反映了物体的长和高及前后两个面的实 形。
主视图反映：上、下
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特 征呢？
简单组合体
蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的主要几 何结构特征是什么？
简单组合体
居民的住宅又有什么主要几何结构特征？
简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的 主要几何结构特征吗？
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而 成的吗？
、左、右
从上向下正对着物体观察，画出俯视 图，布置在主视图的正下方，俯视图反映 了物体的长和宽及上下两个面的实形。
俯视图反映：前、后 、左、右
从左向右正对着物体观察，画出左视图， 布置在主视图的正右方，左视图反映了物体的 宽和高及左右两个面的实形。
左视图反映：上、下 、前、后
三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。
知识小结
中心投影:投射线交于一点. 投影的分类: 平行投影
斜投影
正投影(本节主要学习利用正投影绘制
空间图形的三视图,并能根据所给的三视图 了解该空间图形的基本特征.)
那什么是空间图形的三视图呢?
概念:视图是指将物体按正投影向投影面 投射所得到的图形. 1.光线自物体的前面向后投射所得 三 到的投影称为主视图或正视图. 视 2.自上向下的称为俯视图. 图 3. 自左向右的称为左视图.
三视图的形成
V
W侧立投影面
V正立投影面 H水平投影面
三视图的形成
W V
V正视图
H俯视图
W侧视图
H
三视图的形成
正 视 图
左视图 俯视图
三视图表达的意义
从前面正对着物体观察，画出正视图，正视 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形． 从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布 置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和 宽及上下两个面的实形．
74cm
C
A
1.2空间几何体的三视图和直观图
皮影戏表演
手影表演
手影表演
手影表演
手影表演
请同学们看下面几个常见的自然 现象,考虑它们是怎样得到的?
这种现象我们把它称为是投影.
通过观察和自己的认识 , 你是怎 样来理解投影的含义的?
投影是光线(投射线)通过物体,向选定 的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
用这三种视图即可刻划空间物体的几何结 构，这种图称之为“三视图”．即向三个互相 垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊 平在一个平面上，则就是三视图．
那怎样画一个空间几何体的三 视图呢?请同学们看底下图的三视图.
V
1. 在主视图、俯 视图中都体现形体的长 度，且长度在竖直方向 上是对正的，我们称之 为长对正。
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
这顶可爱的草帽又是由什么样的曲线旋转而成的 呢？这个轮胎呢？
生活与数学
数学在生活中无处不在，培养在生活中不断的用 数学的眼光看问题，会逐渐激发学数学的兴趣，增强 数学地分析问题、解决问题的能力．
5、下列图中，不是正方体的表面展开图的是( C )
A