求函数零点的几种方法

合集下载

二次函数零点问题题类型方法总结

二次函数零点问题题类型方法总结二次函数是高中数学中的重要内容，求其零点是常见的题目类型之一。

本文将对二次函数零点问题的题型和解题方法进行总结。

题型总结在求解二次函数零点的过程中，常见的题型可以归纳为以下几种：1. 一元二次方程的解法：给定一个一元二次方程，要求求解方程的解。

2. 零点的个数：给定一个二次函数，要求计算其零点的个数。

3. 零点的坐标：给定一个二次函数，要求计算其零点的坐标。

4. 求参数：已知一个二次函数的零点和另外一个点的坐标，要求求解该二次函数的参数。

解题方法总结对于不同的题型，可以采用不同的解题方法来求解二次函数零点问题。

以下是常见的解题方法总结：1. 完全平方公式：对于一元二次方程，可以使用完全平方公式进行求解，即 $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$。

通过代入方程中的系数，即可得到方程的解。

2. 判别式法：通过计算方程的判别式来判断二次函数的零点个数。

若判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 大于0，则方程有两个不相等的实数根；若判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；若判别式小于0，则方程没有实数根。

3. 坐标法：对于求零点坐标的问题，可以通过将二次函数表示为顶点形式，然后根据顶点坐标和其他给定的坐标求解未知参数，进而得到零点的坐标。

4. 求参数法：对于求参数的问题，可以利用已知的零点坐标和另一点的坐标，构建方程组，然后通过解方程组求解未知参数。

总结通过以上的总结，我们可以了解到二次函数零点问题的常见题型和解题方法。

在实际解题中，根据题目要求选择合适的方法，并根据具体情况灵活运用，以获得正确的解答。

希望本文对您理解和解决二次函数零点问题有所帮助。

求函数零点问题的基本方法

[]2012.250【数理化研究】关注新课改使高中课程发生很大的变化，减少和增加了很多内容，其中增加了函数零点问题。

函数零点涉及到很多方法：如等价转化、函数方程、数形结合等思想方法，还有近似求函数零点方法———二分法这些成为求函数零点的基本策略。

一、求函数的零点例1求函数y=x 2-（x<0）2x-1（x 0）{的零点。

解：令x 2-1=0（x<0），解得x=1，2x-1=0（x≥0），解得x=12。

所以原函数的零点为和-1和12。

点评：求函数f （x ）的零点，转化为方程f （x ）=0，通过因式分解把方程转化为一（二）次方程求解。

二、判断函数零点个数例2求f （x ）=x-4x 的零点个数。

解：函数的定义域（-∞，0）∪（0，＋∞）。

令f （x ）=0即x-4x =0，解得：x=2或x=-2。

所以原函数有2个零点。

点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。

三、根据函数零点反求参数例3若方程a x -x-a=0有两个解,求a 的取值范围。

析：方程a x -x-a=0转化为a x =x+a。

由题知，方程a x -x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=a x 与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。

（1）0<a<1。

此种情况不符合题意。

（2）a>1。

直线y=x+a 在y 轴上的截距大于1时，函数y=a x 与函数y=a+x 有两个不同的交点。

所以a<0与0<a<1均不符合题意，故答案为（1，+∞）。

点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。

四、用二分法近似求解零点例4求函数f （x ）=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点（精确到0.1）。

解：（1）第一步确定零点所在的大致区间（a，b ），可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。

（2）列表如下：零点所在区间中点函数值区间长度（1，2）f （1.5）>01（1，1.5）f （1.25）<00.5（1.25,1.5）f （1.375）<00.25（1.375,1.5）f （1.438）>00.125（1.375,1.438）f （1.4065）>00.0625可知区间（1.375，1.438）长度小于0.1，故可在（1.375，1.438）内取1.4065作为函数f （x ）正数的零点的近似值。

函数零点问题

函数零点问题
函数零点问题，又称为函数根搜索问题，是求解一元函数或多元函数的实根的方法。

即在给定的一个区间[a,b]内求解f(x)=0的根，其中f(x)是一个连续函数。

该问题的求解最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。

二分法是一种简单而有效的求解函数零点的方法，它的基本思想是将定义域划分为两个子区间，如果函数在两个子区间的符号不同，则说明该区间存在函数零点，然后再把该区间一分为二，得到新的两个子区间，重复上述步骤，直至找到函数零点的精确位置。

牛顿迭代法是一种根据函数的导数来求函数零点的一种方法，它的基本思想是：令函数f(x)在某点x0上的切线与X轴相交于点P，然后选择P作为下一个迭代点，重复该过程，直至收敛到函数零点。

matlab找零点函数

matlab找零点函数在MATLAB中，要寻找函数的零点，可以使用几种不同的方法，包括二分法、牛顿法、割线法和方程迭代法等。

下面将介绍这些方法的原理和MATLAB中的实现。

1. 二分法（Bisection Method）：对于一个已知的连续函数 f(x)，如果在区间 [a, b] 内 f(a) 和 f(b) 异号，则函数在该区间内至少存在一个零点。

二分法的基本思想是不断将区间二分，直到找到零点的近似解。

可以使用MATLAB内置函数 fzero 来实现二分法。

例如，对于函数 f(x)= x^2 - 4，在区间 [1, 3] 内寻找零点的代码如下：```matlabx = fzero(f, [1, 3]);disp(x);```2. 牛顿法（Newton's Method）：牛顿法基于函数的泰勒级数近似，通过迭代逼近函数的零点。

其基本思想是在当前估计值 x0 处，通过函数f(x) 的导数 f'(x) 来计算下一个估计值 x1、可以使用MATLAB内置函数fzero 来实现牛顿法。

例如，对于函数 f(x) = x^2 - 4，在初始估计值x0 = 2 处寻找零点的代码如下：```matlabx0=2;x = fzero(f, x0);disp(x);```3. 割线法（Secant Method）：割线法是在牛顿法的基础上做了改进，使用两个初始估计值 x0 和 x1 来逼近函数的零点。

割线法的迭代公式为x(n+1) = x(n) - f(x(n)) * (x(n) - x(n-1)) / (f(x(n)) - f(x(n-1)))。

同样，可以使用MATLAB内置函数 fzero 来实现割线法。

例如，对于函数 f(x) = x^2 - 4，在初始估计值 x0 = 1 和 x1 = 2 处寻找零点的代码如下：```matlabx0=1;x1=2;x = fzero(f, [x0, x1]);disp(x);```4. 方程迭代法（Fixed-Point Iteration Method）：方程迭代法是将原方程 f(x) = 0 转化为等价的迭代方程 x = g(x)，通过不断迭代g(x) 来逼近函数的零点。

求函数零点所在区间方法

求函数零点所在区间方法
牛顿迭代法和二分法是求函数零点所在区间上常用的两种方法。

牛顿迭代法是一种属于非线性迭代的方法。

该方法以拟合函数的二次函数进行局部逼近，因此也称为牛顿二次插值法，其核心是基于变分法的单点迭代方法，利用函数的前缀
函数在某点处的导数及势函数在此点处的值，迭代求解函数零点的近似值。

牛顿迭代法的
关键是计算函数的非线性的导数，根据变分法的思想，每次迭代过后，利用两点的差商求
函数的一次近似值。

如果函数是二次函数，则可以利用牛顿迭代法，转换为一次导数等于
0就可以获得最终精确零点。

牛顿迭代法的特点是速度快，收敛性良好，在数值计算中经
常用来求函数零点所在区间，不过，该方法仅能求连续函数的零点，也就是说可以求出连
续函数在某个区间内的零点。

二分法也称为折半法、折半搜索法，与牛顿迭代法很相似，属于单点迭代，效率较低，适用于求函数单调区间上的零点。

其核心思想是：在某个函数区间上，选取点，判断函数
图像在该点是上升或下降，从而在不断缩小范围的基础上，找到函数零点所在的区间，最
终得到函数零点。

牛顿迭代和二分法都是求函数零点的基本方法，牛顿迭代法收敛速度较快，但是只适合连续函数；而二分法使用简单，可以求不连续而且是单调的函数的零点，
是比较常用的求函数零点的方法，但是它的收敛速度相较于牛顿迭代来慢一些。

求函数零点的方法

求函数零点的方法
1. 图像法：将函数的图像画出来，零点即为函数与x轴交点。

2. 代数法：将函数化简并解方程，使函数等于0，求出解即为零点。

3. 迭代法：根据函数的单调性不断逼近零点，直至满足精度要求。

4. 数值逼近法：利用数值计算方法，对函数进行逼近，求出函数的近似零点。

5. 正交多项式法：将函数展开成正交多项式的形式，利用正交多项式的性质求出函数的零点。

6. 差分法：利用函数在不同点上的取值差别，逼近求出函数的零点。

7. 导数法：利用导数的定义和性质，求出函数的导数，并找出导数为0的点，即为函数的零点。

快速判断复变函数零点和极点的几种方法

快速判断复变函数零点和极点的几种方法要快速判断复变函数的零点和极点，可以使用以下几种方法：
1.零点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的表达式置为零，求解方程得到零点。

(2)图形法：将复变函数表达式代入计算机软件绘制图形，找出所有
与x轴相交的点即为零点。

(3)求导法：对复变函数进行求导，零点出现在函数图像的极小值和
极大值处。

(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模为零的
解即为零点。

2.极点的判断方法：
(1)方程求解法：将复变函数的分母置为零，求解方程得到极点。

(2)求导法：对复变函数进行求导，极点出现在导函数无定义的点处。

(3)裂项法：将复变函数的表达式进行裂项，对每一个裂项进行求解，求得不可简化的分母即为极点。

(4)复数取模法：将复变函数的表达式进行复数取模，求解模趋近于
无穷大的解即为极点。

需要注意的是，以上方法仅仅是初步判断复变函数的零点和极点，并
不能保证找到所有的零点和极点。

对于更复杂的函数表达式，可能需要借
助计算机软件进行辅助计算。

此外，还有一些特殊的复变函数可以直接得到它的零点和极点：
-幂函数：复变函数形如f(z)=z^n，其中n为正整数。

这种函数的零
点就是原点z=0，而没有极点。

-指数函数：复变函数形如f(z)=e^z，其中e为自然对数的底数。

这
种函数的零点不存在，而它的极点在虚轴上的所有点。

总之，判断复变函数的零点和极点需要综合运用方程求解、函数图像、导数和复数的性质等方法，具体情况需要具体分析。

二次函数的零点求解

二次函数的零点求解二次函数是高中数学中常见的一种函数形式，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。

在解决实际问题或求函数图像时，经常需要求解二次函数的零点，也即函数的解。

一、二次函数零点的定义二次函数的零点即函数图像与x轴交点的横坐标值。

换句话说，就是使函数值等于零的x值。

二、求解二次函数零点的方法1. 因式分解法：当二次函数可以因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过将每个因式等于零来求解零点。

例如：y=x^2-9，可以分解为y=(x+3)(x-3)，通过(x+3)=0和(x-3)=0，我们可以得到x=-3和x=3，即二次函数的零点为x=-3和x=3。

2. 公式法：当二次函数无法因式分解时，我们可以利用二次函数的根公式来求解零点。

根公式为：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中，a、b、c为二次函数的系数，注意判别式b^2-4ac的值决定了根的情况。

a. 当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；b. 当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；c. 当判别式小于0时，方程无实根。

例如：y=x^2-5x+6，根据根公式，我们可以计算出判别式为(-5)^2-4\times1\times6=1，判别式大于0，因此方程有两个不相等的实根。

使用根公式计算可得：x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}，化简后得到x=3和x=2，即二次函数的零点为x=3和x=2。

三、求解二次函数零点的示例以一个具体的例子来说明二次函数零点的求解过程。

例题：求解二次函数y=2x^2-5x+3的零点。

解：根据公式法，我们可以计算出判别式为(-5)^2-4\times2\times3=1，判别式大于0，因此方程有两个不相等的实根。

使用根公式计算可得：x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{4}，化简后得到x=3和x=\frac{1}{2}，即二次函数的零点为x=3和x=\frac{1}{2}。

牛顿法求零点的方法

牛顿法求零点的方法牛顿法，也被称为牛顿-拉弗逊方法，是一种用于求解方程零点或找到函数极值的迭代方法。

下面将展开详细描述50条关于牛顿法求零点的方法：1. 函数定义：牛顿法需要求解的函数f(x)在某一区间内具有连续的一阶和二阶导数。

2. 选择初始值：从初始值x₀开始迭代求解，初始值的选取对收敛速度有重要影响。

3. 迭代公式：根据牛顿法的迭代公式xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ)/f'(xᵢ)进行迭代计算，直至满足精度要求。

4. 收敛性分析：对于给定初始值，需要分析函数性质，判断牛顿法求解是否会收敛到目标零点。

5. 判断收敛：通过设定迭代次数限制或者迭代精度要求来判断牛顿法的求解是否已经收敛。

6. 求解零点：当收敛判据满足后，将得到一个近似的函数零点作为结果输出。

7. 牛顿法的收敛速度：根据函数的性质和初始值的选择来分析牛顿法的收敛速度，可以采取一些加速收敛的方法来提高求解效率。

8. 收敛域的设定：针对特定的函数，可以设定合适的收敛域，加快算法的收敛速度。

9. 牛顿法的误差分析：对于连续函数，可分析牛顿法的误差收敛性，了解迭代逼近零点的精确度。

10. 稳定性分析：牛顿法的稳定性受初始值和函数性质的影响，需要进行稳定性分析，确保算法的可靠性。

11. 牛顿法的优化：可以对牛顿法进行改进，减小迭代次数或增加收敛速度，提高算法的效率。

12. 牛顿法与其他方法的比较：分析牛顿法与二分法、割线法等其他求根方法的优劣，选择合适的方法来求解。

13. 牛顿法的推广：对于多元函数或非线性方程组，可以推广牛顿法来求解多元函数的零点。

14. 牛顿法的受限条件：在实际应用中，需要考虑函数的定义域和受限条件，对牛顿法进行适当的调整。

15. 牛顿法的数值稳定性：需要考虑数值计算过程中的舍入误差和数值不稳定性，保证计算结果的准确性。

16. 牛顿法的局部收敛性：牛顿法的局部收敛性可能受到函数的振荡和奇点等因素的影响，需要加以分析和处理。

二次函数的零点求解技巧

二次函数的零点求解技巧二次函数是高中数学中的重要内容之一，求解二次函数的零点是解析几何和数学建模等领域中常见的问题。

本文将介绍几种常用的二次函数零点求解技巧，希望能够帮助读者更好地理解和应用。

一、一般形式的二次函数求解一般形式的二次函数可表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

要求解该二次函数的零点，可通过以下步骤进行：1. 判断判别式的值判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次方程的解的情况。

当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数根；当Δ小于0时，方程没有实数根。

2. 利用求根公式求解根据一元二次方程的求根公式，实数根的公式可以表示为：x1 = (-b + √Δ) / (2a) 或 x2 = (-b - √Δ) / (2a)如果有两个实数根，可以分别求解x1和x2；如果有一个实数根，那么x1和x2的值相等。

二、顶点形式的二次函数求解顶点形式的二次函数可表示为y = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k为常数，(h, k)表示抛物线的顶点坐标。

求解该二次函数的零点，可通过以下步骤进行：1. 将函数转化为一般形式将顶点形式的二次函数展开，可得到一般形式的二次函数，再按照一般形式的求解方法进行操作。

2. 利用顶点坐标求解根据顶点坐标的特性，顶点坐标(h, k)是抛物线的最低（或最高）点，也是零点的对称轴。

因此，求得抛物线的顶点坐标后，可以直接得到零点。

三、配方法求解对于无法直接因式分解或利用求根公式求解的二次函数，可以考虑使用配方法（即完成平方）来求解。

配方法的步骤如下：1. 将二次项分解将二次项的系数拆成两个数的乘积，使得这两个数之和等于一次项的系数b。

2. 完成平方根据配方法的原理，将一次项的系数b除以2，然后平方得到一个常数。

3. 移项求解将原二次函数利用配方法进行变形，将一次项的b拆分成两个数，然后完成平方，并将其移项到等式的另一侧。

数学-精品专题----七种零点问题

题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间 (3)一、单选题 (3)二、多选题 (6)三、填空题 (9)四、解答题 (14)题型二：方程法判断零点个数 (16)一、单选题 (16)二、多选题 (18)三、填空题 (20)四、解答题 (22)题型三：数形结合法判段函数零点个数 (24)一、单选题 (24)二、多选题 (28)三、填空题 (31)四、解答题 (34)题型四：转化法判断函数零点个数 (39)一、单选题 (39)二、多选题 (42)三、填空题 (44)四、解答题 (46)题型五：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数 (48)一、单选题 (48)二、多选题 (50)三、解答题 (53)题型六：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围 (57)一、单选题 (57)二、多选题 (59)三、填空题 (61)四、解答题 (62)题型七：利用函数的交点（交点个数）求参数 (63)一、单选题 (63)二、多选题 (66)三、填空题 (68)四、解答题 (71)1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断.3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.5.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．6.对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间一、单选题【分析】结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案. 【详解】1133log 4log 10a =<=，3372,12b b =<<<，对于函数()()2ln 0f x x x x=->， ()f x 在()0,∞+上递增，()()22ln 210,e 10ef f =-<=->，所以()f x 存在唯一零点x c =，()2,e c ∈，使()0f c =，所以对于2ln c c=，有()2,e c ∈，所以a b c <<.故选：AA ．3,4（）B ．4,5（）C ．5,6（）D ．8,9（）【答案】B【分析】根据零点存在定理，先判断函数的单调性，再计算函数在端点处的函数值，即可得到答案.【详解】()12ln 3f x x x=-- ,由对数函数和幂函数的性质可知，函数在,()0x ∈+∞时为单调增函数，11(3)2ln332 1.0993033f =--≈⨯--<， 11(4)4ln2340.69330.478044f =--≈⨯--=-<，11(5)2ln532 1.60930.018055f =--≈⨯--=>，11(6)2ln632(ln 2ln3)2 1.7926630.4140f =--=+≈⨯--=>，因为()f x 在,()0x ∈+∞内是递增，故(8)0,(9)0f f >> ，函数是连续函数，由零点判断定理知，()f x 的零点在区间(4,5)内，故选：B ．【分析】先根据题意解方程，解出5e 910k-=，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.【详解】将200,5,20A t L ===代入()()1e kt L t A -=-，解得：5e 910k-=，其中5e x y -=单调递减，而414e e --⎛⎫= ⎪⎝⎭，4910000e 106561-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，而4y x -=在()0,∞+上单调递减，所以115204ee910-⨯-=<，结合单调性可知1113249<<e e 10e ---<，即1115551015209<0e e e 1-⨯-⨯-⨯<<，而050e 91e 10-⨯==>，其中5e xy -=为连续函数，故记忆率k 所在区间为1(0,)20. 故选：A【分析】根据零点存在性定理进行求解.【详解】易知()f x 在R 上单调递增且连续．由于()1440163f -=-<，()122043f -=-<，()111023f -=->，当0x >时，()0f x >，所以()02,1x ∈--．故选：B【分析】求出c 的值，利用零点存在定理得出31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后比较a 、b 、c 的大小关系，结合函数()f x 的单调性可得出结论.【详解】因为()f x 的定义域为()0,∞+，()1e 0xf x x'=+>，则函数()f x 在其定义域上为增函数，3e 16>，则32e 4>，则3233e ln 4022f ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，因为()1e 40f =-<，由零点存在定理可知31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()2310g x x x '=--=可得1=x 2=x .当x <或x >时，()0g x '>x <<()0g x '<.所以，1c =<.因为2223log log 3log 422a =<=<=，所以，01cb a <<<<，故()()()f a f b fc >>.故选：A.6．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（）【分析】依据函数零点存在定理去判断2()log f x x x =+的零点所在的区间即可. 【详解】2()log f x x x =+为(0,)+∞上的递增函数， 222111112log log 3log 03333332f ⎛⎫=+=-<-< ⎪⎝⎭=-，21111log 02222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()22222251log log 353log 333333f ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭()221log 32log 2703=->()()22222333511log log 354log 3log log 04444443281f ⎛⎫=+=-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，则函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为12,23⎛⎫⎪⎝⎭故选：B二、多选题【分析】由题可得4()e x f x a x π-'=-，由()14f π=-可知，()04f π'=，进而可求1a =，然后再证明即得；再利用数形结合可得()'f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即得.【详解】∵4()e 1x f x a x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵4()e x f x a x π-'=-+，又函数4()e 1x f x a x π-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为1-，∵函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，又44()e 1144f a ππππ-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵4x π=时，函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上取得最小值，可得原条件的一个必要条件()04f π'=，∵44()e 1044f a a ππππ-'=-=-+=，即1a =，下面证明充分性：当1a =时，4()e 1xf x x π-=-，4()e xf x x π-'=-，令()4e xg x x π-=-，则()4os exx g x π-'=>，∵函数()'f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又44(0)e 0,()e 02f f πππ-''=-<=->，∵函数()'f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点4x π=，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '<，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x '>，∵函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为()14f π=-，综上，1a =故A 正确；∵4()e xf x x π-'=-+，令4()e 0x f x x=π-'=-，得4e x x π-，由函数图象可知4e x ,y y x π-==在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个交点，即存在唯一0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得040e x x π-，又3243()e 10,()e 04f >f ππππ--''=-+=-<，故03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当()0,x x π∈时，()0f x '<，∵在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x 唯一的极大值点0x ，040000()e 11x f x x x x π-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭02sin 14x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵03,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，03,424x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∵00()2sin 12114f x x π⎛⎫=--<-= ⎪⎝⎭.故CD 正确.故选：ACD.8．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x =的定义域为R ，如果存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“类周期函数”，T 为函数()y f x =的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（）A ．函数()x f x -=3是“类周期函数”B ．函数()3f x x =是“类周期函数”C ．如果函数()cos f x x ω=是“类周期函数”，那么“k ωπ=，Z k ∈”D ．如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数【答案】ACD【分析】根据类周期函数的定义，分别进行判断即可．【详解】解：对于A ，若函数()xf x -=3是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即33x T x T ---=⋅，即(3)30T x T ---⋅=，即30T T --=，令()3Tg T T -=-，因为()()1200110,11033g g =-=-<=-=>，且函数()g T 在0,1上连续，所以函数()3Tg T T -=-在0,1上存在零点，即方程30T T --=在0,1上有解，即存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，所以函数()x f x -=3是“类周期函数”，故A 正确；对于B ，若函数()3f x x =是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即()33x T T x+=⋅，则()33x T T x+=，即1x T Tx x+=+对任意的x 恒成立，则0T =，矛盾，所以不存在常数()0T T ≠，对于任意x ∈R ，都有()()f x T T f x +=⋅，所以函数()3f x x =不是“类周期函数”，故B 错误.对于C ，若函数()cos f x x ω=是“类周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即cos()cos x T T x ωωω+=；故1T =或1T =-，当1T =时，cos()cos x x ωωω+=，由诱导公式得2k ωπ=，k Z ∈；当1T =-时，cos()cos x x ωωω+=-，由诱导公式得()21k ωπ=+，k Z ∈；故“k ωπ=，k Z ∈”，故C 正确；对于D ，如果“类周期函数”()y f x =的“类周期”为1-，则(1)()f x f x -=-，即(1)()((1))(1)f x f x f x f x -=-=--+=+；故它是周期为2的周期函数；故D 正确.9．（2021·江西·模拟预测）已知实数1m n <<，设方程()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--=的两个实数根分别为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（）A ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集为12(,)x xB ．不等式()()()(1)()(1)0x m x n x m x x n x --+--+--<的解集可能为空集C ．121x m x n <<<<D ．121m x n x <<<< 【答案】AD【分析】构造二次函数()()()(1)()()()1x m x n x m x x n x x f --+--+--=，分析函数()f x 的图象特征即可判断作答.【详解】令()()()(1)()()()1x m x n x m x x n x x f --+--+--=，R x ∈，因1m n <<，则函数()f x 的图象对称轴1(,1)3m n x m ++=∈，且()f x 在1(,)3m n ++-∞上递减，在1(,)3m n +++∞上递增，又()(1)()0m n f m m --=>，()(1)()0n m f n n --=<，(1)(0()1)1m f n -->=，于是得函数()f x 有两个零点1212,()x x x x <，且满足121m x n x <<<<，不等式()0f x <的解集为12(,)x x ，所以A 正确，B 不正确，C 不正确，D 正确.故选：AD三、填空题在ABC 中，函数y x =+若命题“x ∃∈若函数()f x 【答案】∵∵∵【分析】∵利用大边对大角和正弦定理可证；∵变形后利用基本不等式进行求解最大值；∵先把命题否定，得到对x R ∀∈，2(3)10ax a x +-+>恒成立，分0a =与0a ≠两种情况求出a的取值范围；∵先根据(1)2af =-得到32a b c =--，得到(2)f a c =-，接下来分0c >与0c ≤，利用零点存在性定理得到答案.【详解】在ABC 中，因为A B >，所以a b >，由正弦定理得：sin sin a bA B=，所以sin sin A B >，同理可证，当sin sin A B >时，A B >，故在ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件，∵正确；因为1x <，所以10x -<，201x ，所以()221111111y x x x x ⎡⎤=-++=--++≤-⎢⎥--⎣⎦，当且仅当()211x x -=-，即1x =等号成立，所以函数2(1)1y x x x =+<-的最大值是1-∵错误；命题“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题，则对x R ∀∈，2(3)10ax a x +-+>恒成立，当0a =时，310x -+>不恒成立，当0a ≠时，只需0Δ0a >⎧⎨<⎩，解得：19a <<，综上：若命题“x R ∃∈，使得2(3)10ax a x +-+≤”是假命题，则19a <<；∵正确；(1)2a b c a f ++==-，所以32ab c =--，因为(0)f c =，3(2)42422a f a b c a c c a c ⎛⎫=++=+--+=- ⎪⎝⎭，当0c >时，(0)0f c =>，因为0a >，所以(1)02af =-<，故()(0)10f f <，由零点存在性定理得：在区间()0,1上，至少存在一个零点，当0c ≤，(2)0f a c =->，()(2)10f f <，由零点存在性定理得：在区间()1,2上至少存在一个零点，综上：函数()f x 在区间(0,2)内必有零点，∵正确. 故答案为：∵∵∵11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2e x f x ax x =+-，且2a >-，()f x '为()f x 的导函数，下列命题：∵存在实数a ，使得导函数()f x '为增函数； ∵当0a >时，函数()f x 不单调；∵当21a -<≤-时，函数()f x 在R 上单调递减； ∵当1a =时，函数()f x 有极值．在以上命题中，正确的命题序号是______．【答案】∵∵∵∵【分析】求()f x '，令0a =可判断∵；根据零点存性定理可判断022,0x a ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭使得()00f x '=，可判断∵；令()()g x f x '=，求()g x '，由()g x '的符号判断()g x 的单调性，可求得()0g x ≤恒成立即()0f x '<恒成立可判断∵；求()f x '的单调性，根据零点存在性定理可知()00,1x ∃∈，使得()00f x '=可判断∵，进而可得正确答案.【详解】由()()2e xf x ax x =+-可得()()2e 1x f x ax a '=++-，对于∵，若0a =时，()2e 1xf x '=-为增函数，故∵对；对于∵，若0a >时，2222e 10af a a --⎛⎫'--=--< ⎪⎝⎭，()010f a '=+>，022,0x a ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，所以函数()f x 不单调，故∵对；对于∵，令()()2e 1x g x ax a =++-，则()()22e xg x ax a '=++，当21a -<≤-时，由()0g x '>得22x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭，由()0g x '<得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭所以()g x 在2,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭上单调递增，在22,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()22max e1a g x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--，要使220e 1a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-≤-，则令22t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则112t a =--，所以e 12t t ≤+，令()()e 1102t t m t t =---≤≤，()1e 2t m t '=-，则()m t 在11,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，而()11110e 2m -=+-<，()00e 010m =--=所以()0m t ≤恒成立，从而()22max e10a g x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--≤，即()0f x '≤恒成立，即()f x 在R 上单调减．故∵正确；对于∵，当1a =时，()()3e 1x f x x '=+-，()()4e x f x x ''=+，可知()()3e 1xf x x '=+-在(),4-∞-单调递减，在()4,-+∞单调递增，因为()020f '=>，()2110ef '-=-<，()00,1x ∃∈，使得()00f x '=，所以函数()f x 有极值，故∵对．综上所述：∵∵∵∵都正确，故答案为：∵∵∵∵. 12．（2021·福建·三明一中高三学业考试）已知函数()23x f x x =--的零点()()0,1x k k k Z ∈+∈，则k =__________．【答案】-3或2【分析】对函数()f x 求导，借助导数探讨其单调性，再用零点存在性定理分析计算即得.【详解】对函数()23x f x x =--求导得：()2ln 21x f x '=-，由()0f x '=得22log xe =，解得22log (log )x e =，当22log (log )x e <时，()0f x '<，当22log (log )x e >时，()0f x '>，于是得()f x 在22(,log (log ))e -∞上递减，在22(log (log ),)e +∞上递增，显然，13(3)0,(2)084f f -=>-=-<，则函数()f x 在区间(3,2)--上存在一个零点，又(2)10,(3)20f f =-<=>，即函数()f x 在区间(2,3)上存在一个零点，因函数()23x f x x =--的零点()()0,1x k k k Z ∈+∈，则3k =-或2k =，所以3k =-或2k =.故答案为：-3或2【分析】令21()()log 2x f x x =-，利用零点存在性定理可得a ∈，1(0,)2b ∈，从而可得12a b <- 【详解】令21()()log 2x f x x =-，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为f （1）110022=-=>，111()log ()0222f =-=-<，21()log 2a a =，所以a ∈.122log b b =，0b >，21b ∴>，1(0,)2b ∴∈，∴12a b <- ∵：ln()a b -可能小于等于0，∴∵错误，∵：0b a -<，0221b a -∴<=，∴∵正确， ∵：0a b >>，∴11a b <，11a b∴->-，∴∵正确，∵：(1,2)a ∈，2log 0a ∴>， 1(0,)2b ∈，2log 0b ∴<，22log 0log a b ∴>>.∴∵正确，故答案为：∵∵∵.【分析】对于选项∵∵∵，直接代入求解即可判断；对于选项∵∵，先根据条件构造函数，判断函数的单调性，利用零点存在性定理判断即可.【详解】∵()224f x x x x =+-=，得240x x x +-=⇒=x =满足条件，故∵满足题意；∵()22,132,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，当1x ≤时，220x x x =⇒=或12x =；当1x >时，()2232321x x x x x -=⇒-=⇒=或3x =，即3x =；满足条件，故∵满足题意；∵()()21x f x e x x =+-=，令()2xg x e x =+-，易知()g x 为R 上的增函数，又()()010020,1120g e g e =+-<=+->，由零点存在性定理得()g x 在区间()0,1存在唯一的零点.故∵满足题意；∵()ln f x ax x a =--（01a <<），()ln ln 10ax x a x x a x a --=⇒+-+=，令()()ln 1h x x a x a =+-+，又01a <<，则10a ->，易知()h x 为()0,∞+上的增函数，又()()11131ln 12ln 20,1ln111044444h a a a h a a ⎛⎫=+-+=-++<=+-+=> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理得()h x 在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一的零点.故∵满足题意；∵()220f x x x x x=+=⇒=无实数解，故∵满足题意；故答案为：∵∵∵∵.【点睛】本题主要考查了对布劳威尔不动点定理的理解，考查了零点存在性定理；考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力.属于中档题.【分析】分别求出f (x )、g (x )零点所在区间，即可得到f (x ＋3)、g (x －4)的零点所在区间，结合题意，即可得到b －a 的最小值.【详解】∵f (x )＝1＋x －22x ＋33x ，∵'2()1f x x x =-+，∵'2213()1()024f x x x x =-+=-+>恒成立，∵f (x )＝1＋x －22x ＋33x 在R 上是单调递增函数.∵f (0)＝1>0，f (－1)＝506-<，∵f (x )在区间[－1，0]上存在唯一零点，∵f (x ＋3)在区间[－4，－3]上存在唯一零点；又∵g (x )＝1－x ＋22x －33x ，∵'2()1g x x x =-+-，∵'2213()1()024g x x x x =-+-=---<恒成立，∵g (x )＝1－x ＋22x －33x 在R 上是单调递减函数，∵g (2)＝503-<，g (1)＝106>，∵g (x )在区间[1，2]上存在唯一零点，∵g (x －4)在区间[5，6]上存在唯一零点，由F (x )＝f (x ＋3)g (x －4)＝0，得f (x ＋3)＝0或g (x －4)＝0，故函数F (x )的零点均在[－4，6]内，则b －a 的最小值为10.故答案为：10.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、函数零点与方程，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.四、解答题16．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知函数22()e x f x ax -=-（e 为自然对数的底数，R a ∈）.(1)若1a =-，求证：()'f x 在区间()0,1内有唯一零点； (2)若()f x 在其定义域上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)[0,2e].【分析】（1）把1a =-代入，求出()'f x 并探讨其单调性，再结合零点存在性定理判断作答. （2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.(1)当1a =-时，()22e xf x x -=+，求导得：2()2e 2x f x x -'=-+，令2()2e 2x x x ϕ-=-+，则2()4e 20x x ϕ-'=+>，则函数()ϕx 在R 上单调递增，即函数()'f x 在R 上单调递增，而(0)20f '=-<，221(1)2e 22(1)0e f -'=-+=->，由函数零点存在性定理知，存在唯一0(0,1)x ∈，有0()0f x '=，所以()'f x 在区间()0,1内有唯一零点.(2)函数22()e x f x ax -=-的定义域是R ，依题意，R x ∀∈，2()2e 20x f x ax -'=--≤成立，当0x =时，20-≤成立，R a ∈，当0x >时，2e x a x -≥-，令2e ()xg x x -=-，0x >，2221()0e x x g x x +'=>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又当0x >时，()0g x <恒成立，于是得0a ≥，当0x <时，2e x a x -≤-，令2e ()xh x x -=-，0x <，2221()e x x h x x +'=，当12x <-时，()0h x '<，当102x -<<时，()0h x '>，因此，()h x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,0)2-上单调递增，当12x =-时，min 1()()2e 2h x h =-=，于是得2e a ≤，综上得：02e a ≤≤，所以a 的取值范围是[0,2e].【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.f x 零点的个数；，求a 的取值范围答案见解析；(2)6a ≤【分析】（1）对()f x 求导有()()(1)e (0)xf x x x a x '=-->，再研究()e (0)xg x a x x -=>的单调性，结合()01f '=及零点存在性定理，讨论a 的范围判断f x 零点的个数.（2）讨论0a ≤、0e a <<、e a =、e a >，结合fx 的符号研究()f x 的单调性并结合(1)ef =求参数a 的范围.(1)()()()2e (1)(1)e (0)x xf x x x a x x x a x '=---=-->，令()e (0)x g x a x x -=>，则()(1)e 0x g x x '=+>，故()g x 在(0,)+∞上单调递增，而()01f '=，当0a ≤时，e x x a =无解；当0e a <<时，由(0)0g a =-<，(1)e 0g a =->，故e x x a =有一个在(0,1)上的解；当e a =时，由(1)0g =，故e x x a =的解为1；当e a >时，由(1)e 0g a =-<，()(e 1)0a g a a -=>，故e x x a =有一个在(1,)+∞上的解；综上，当0a ≤或e a =时，导函数f x 只有一个零点.当0e a <<或e a >时，导函数f x 有两个零点.(2)当0a ≤时，e 0x x a ->，则函数()f x 在1x =处取得最小值(1)e f =.当0a >时，由（1）知：()g x 在(0,)+∞上单调递增，则必存在正数0x 使得00e 0xx a -=.若e a >则01x >，在(0,1)上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在0(1,)x 上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在()0,x +∞上00e 0x x a ->，则()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和()0,x +∞上单调递增，在()01,x 上单调递减，又(1)e f =，不合题意.若e a =则01x =，在(0,)+∞上0f x ，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)e f =，不合题意.若0e a <<则001x <<，在0(0,)x 上00e 0x x a -<，则()0f x '>，在0(),1x 上00e 0x x a ->，则()0f x '<，在()1,+∞上00e 0x x a ->，则()0f x '>，所以()f x 在()00,x 和(1,)+∞上单调递增，在()0,1x 上单调递减，则(0)3(1)e 2a f f =-≥=，解得62e a ≤-，即062e a <≤-.综上，62e a ≤-.题型二：方程法判断零点个数一、单选题【分析】由奇偶性定义可判断出A 正确；令()0f x =可确定B 正确；根据()f x 定义域为R ，()112f =-，可知若最小值为12-，则1x =是()f x 的一个极小值点，根据()10f '≠可知C 错误；由0x =时，cos x π取得最大值，21x +取得最小值可确定D 正确. 【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()()()()22cos cos 11x xf x f x x x ππ--===+-+， ()f x ∴为偶函数，A 正确；对于B ，令()0f x =，即cos π0x ，()2x k k πππ∴=+∈Z ，解得：()12x k k =+∈Z ， ()f x ∴有无数个零点，B 正确；对于C ，()112f =-，∴若()f x 的最小值为12-，则1x =是()f x 的一个极小值点，则()10f '=； ()()()222sin 2cos 1xx x xf x xππππ++'=-+，()2sin 2cos 11042f πππ+'∴==-≠，1x ∴=不是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，1cos 1x π-≤≤，211x +≥；则当cos 1x π=，211x +=，即0x =时，()f x 取得最大值1，D 正确.故选：C. 2．（2022·北京·模拟预测）已知函数()cos 2cos f x x x =+，且[]0,2πx ∈，则()f x 的零点个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】解三角方程求得()f x 的零点即可解决【详解】由()()2cos 2cos 2cos cos 1cos 12cos 10x x x x x x +=+-=+-=可得cos 1x =-或1cos 2x =，又[]0,2πx ∈，则πx =，或π3x =，或5π3x =则()f x 的零点个数为3故选：C【分析】利用()()f x a f a x +=-知()f x 关于直线x a =对称的性质验证A ；求得3102f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭可判断B ；化简()sin (1cos )f x x x =+，令()0f x =，得()x k k Z π=∈，进而判断C ；利用导数研究函数的单调性可判断D.【详解】对于A ，由已知得11()sin()sin 2()sin sin 222f x x x x x πππ-=-+-=-，即()()π-≠f x f x ，故()f x 不关于2x π=对称，故A 错误；对于B ，331sin sin 310222f πππ⎛⎫=+=-≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，利用二倍角公式知()sin (1cos )f x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 1x =-，即()x k k Z π=∈，所以该函数在区间[]0,10内有4个零点，故C 错误；对于D ，求导2()cos cos22cos cos 1f x x x x x '=+=+-，令cos x t =，由57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，知1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2()21g t t t =+-，利用二次函数性质知()0g t ≥，即()0f x '≥，可知()f x 在区间57,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)={|x |+2,x <1,x +2x ,x ≥1.，则函数()||y f x x =-零点个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】当1x <时和1≥x 时，分别化简函数()||y f x x =-的解析式可直接判断零点的个数.【详解】当1x <时，22y x x =+-=，所以不存在零点；当1≥x 时，220t x x x x=+-=>，也不存在零点，所以函数()||y f x x =-的零点个数为0.故选：A.二、多选题【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A ：()f x 的定义域为{}0x x ≠，A 错误；对B ：()()11x x f x f x x x-++-==-=--，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，B 正确；对C ：当0x >时，()111x f x x x+==+，单调递减，C 正确；对D ：因为0x ≠，10x +>，所以()0f x =无解，即()f x 没有零点，D 错误．故选：BC .【分析】写出()f x 的分段函数形式，A 应用正余弦函数的性质判断()f x 的周期性，B 由已知可得12cos 2cos 21x x ==，则112x k π=，222x k π=（12,k k Z ∈），即可判断正误；根据解析式，应用特殊值法判断C 、D 的正误.【详解】将函数()f x 化作分段函数，即cos 2,sin cos ()cos 2,sin cos x x x f x x x x -≥⎧=⎨<⎩，A ，(2)[sin(2)cos(2)]sin(2)cos(2)()f x x x x x f x πππππ+=+++⋅+-+=，()f x 是周期为2π的函数，对；B ，由12()()2f x f x +=得12|()||()|1f x f x ==，则12cos 2cos 21x x ==，此时112x k π=，222x k π=（12,k k Z ∈），可得1212()2k k x x π++=，对； C ，由解析式得(0)()12f f π==，()f x 在[,]22ππ-上不单调，错；D ，由解析式知3()()12f f ππ==-，即()()1g x f x =+在[0,2]π上至少有两个零点，错.故选：AB.7．（2022·全国·高三专题练习）若()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解，则下列式子中可以为()g f x ⎡⎤⎣⎦的是（） A ．22x x + B ．1x + C ．cos x e D ．ln(||1)x +【答案】ACD【分析】由方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解可得(){}()g f g x g x =⎡⎤⎣⎦，再用x 替代()g x ，即 []()x g f x =有解，逐个判断选项即可得出答案.【详解】由方程()f g x x =⎡⎤⎣⎦有实数解可得(){}()g f g x g x =⎡⎤⎣⎦，再用x 替代()g x ，即 []()x g f x =有解.对于A ，22x x x =+，即20x x +=，方程有解，故A 正确；对于B ，1x x =+，即01=，方程无解，故B 错误；对于C ，当cos ,x e x =令cos ()x h x e x =-，因为(0)0f e =>，1022f ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由零点的存在性定理可知，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，所以方程有解，故选项C 正确；对于D ，当ln(||1)x x +=时，0x =为方程的解，所以方程有解，故选项D 正确.故选：ACD.【分析】对A ：根据偶函数的定义即可作出判断；对B ：由有界性0|cos |1x ≤≤，1sin ||1x -≤≤，且32x π=时sin |||cos |1x x +=-即可作出判断；对C ：当[]0,2x π∈时，sin cos ,023()sin cos ,223sin cos ,22x x x f x x x x x x x πππππ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+<⎪⎩，可得函数()f x 有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D ：当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，利用三角函数的图象与性质即可作出判断.【详解】解：对A ：因为()sin |||cos()|sin |||cos |()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，故选项A 正确；对B ：因为0|cos |1x ≤≤，1sin ||1x -≤≤，所以sin |||cos |1x x +≥-，而32x π=时sin |||cos |1x x +=-，所以()f x 的最小值为1-，故选项B 正确；对C ：当[]0,2x π∈时，sin cos ,023()sin cos ,223sin cos ,22x x x f x x x x x x x πππππ⎧+≤⎪⎪⎪=-<⎨⎪⎪+<⎪⎩，令()0f x =，可得54=x π，74π，又由A 知函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在区间[]2,0π-上也有两个零点54π-，74π-，所以函数()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点，故选项C 正确；对D ：当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为2x ππ<<，所以3444x πππ<-<，而sin y x =在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选项D 错误.故选：ABC.三、填空题【答案】42ω<<或22ω<≤.【分析】先求出零点的一般形式，再根据()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点可得关于整数k 的不等式组，从而可求ω的取值范围.【详解】令()0f x =，则1sin 62x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故()1,66k x k k Z ππωπ-=+-∈，故()166kk x πππω+-+=，因为()f x 在区间(4π，23π)上恰有2个零点，所以存在整数k ，使得： ()()()()()()()123421116666213166663k k k k k k k k ππππππωωππππππππωω+++⎧+-+++-+⎪≤⎪⎪⎨⎪++-+++-+⎪<⎩<≤⎪，若k 为偶数，则()()()13233423k k k k πππωωπππωππω⎧+⎪+≤⎪⎪⎨⎪+++⎪<⎩<≤⎪，整理得到：()444433733232k k k k ωω⎧+≤<+⎪⎪⎨⎛⎫⎪+<≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩∵，因为0>ω，故0k ≥，当2k ≥时，4394322k k +>+，故∵无解，当0k =时，有4437922ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩即742ω<<.若k 为奇数，则()()()42313323k k k k πππππωωπππωω⎧++⎪≤<≤⎪⎪⎨⎪+++⎪<⎪⎩，整理得到：()444333102223k k k k ωω⎧⎛⎫≤<+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+<≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩∵，因为0>ω，故1k ≥-，当3k ≥时，3452k k >+，故∵无解，当1k =-时，有4433722ωω⎧-≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，无解.当1k =时，有284391322ωω⎧≤<⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，故91322ω<≤.综上，742ω<<或91322ω<≤.故答案为：742ω<<或91322ω<≤. 【点睛】思路点睛：对于正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数k 的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.【分析】根据m 的范围分类讨论f (x )的零点即可.【详解】∵m ＝0时，f (x )={x 2+3x,x ≤0,x −1,x >0，令f (x )＝0，则x ＝0或x ＝－3或x ＝1，即f (x )有三个零点，满足题意；∵m ≠0时，令f (x )＝0，则x ＞0时，101mx x +-=+，则21x m =-(*)， x≤0时，230x x m ++=(**)，显然x ≤0时的方程(**)最多有两个负根，而x ＞0时的方程(*)最多只有一正根，为了满足题意，则x ＞0时必有1根，则1－m ＞0，且根为x ∵m ＜1；x ≤0时方程必然有两个负根，则Δ094090004m m m m ⎧>->⎧⇒⇒<<⎨⎨>>⎩⎩， ∵0＜m ＜1；综上所述，m ∵[)0,1.故答案为：[)0,1.四、解答题【分析】（1）求得11e f x ax a x =+-+，分0a =、0a <、0a >三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由()0f x =可得出20ax x a -+=，由102a <<结合判别式可判断出方程20ax x a -+=的根的个数，由此可证得结论成立.(1)解：函数()f x 的定义域为R ，()()()()2211e 11e x x f x ax a x a ax a x '⎡⎤=+-+-=+-+⎣⎦.当0a =时，则()()1e xf x x '=-+，由()0f x '<可得1x >-，由()0f x '>可得1x <-，此时函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,-+∞；当0a ≠时，由()0f x '=可得11=-x a或1x =-. ∵当0a <时，111a-<-，由()0f x '<可得11x a <-或1x >-，由()0f x '>可得111x a -<<-，此时函数()f x 的单调递减区间为1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()1,-+∞，单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；∵当0a >时，111a ->-，由()0f x '<可得111x a -<<-，由()0f x '>可得1x <-或11x a >-，此时函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭、()1,-+∞，单调递增区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,-+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-、11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(2)解：由()0f x =可得20ax x a -+=，因为102a <<，则()()21412120a a a ∆=-=-+>，即关于x 的方程20ax x a -+=有两个不等的实根，所以，当102a <<时，()f x 在R 上有且仅有两个零点.【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：（1）求导后看最高次项系数是否为0，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.【答案】(1)2个(2)存在，且a 的取值范围是0,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）解方程()0f x =，即可得解；（2）由()00f =，分析可知当2x <且0x ≠时，由()0f x ≤可得()2310ax a +-≤，分0a =、0a <、0a >三种情况分析，结合一次函数的基本性质可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围.(1)解：当3a =时，()()3221f x x x x x =+=+，令()0f x =，可得0x =或1x =-，此时函数()f x 有2个零点.(2)解：当(),2x ∈-∞时，由()()32111032f x ax a x =+-≤.当0x =时，对任意的R a ∈，()00f =，满足题意；当2x <且0x ≠时，由()0f x ≤可得()2310ax a +-≤，若0a =，则有30-≤，合乎题意；若0a <，当3302ax a-<<时，()2310ax a +->，则()2310ax a +-≤对任意的()(),00,2x ∈-∞⋃不可能恒成立，舍去；若0a >，则有()4310a a +-≤，解得37a ≤，此时307a <≤.综上所述，当307a ≤≤时，当(),2x ∈-∞时，()0f x ≤恒成立. 题型三：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（）． ①当时，函数没有零点；②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数； ③当时，函数有两个不同零点；④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1． A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【分析】画出函数图象即可判断①，令解方程即可判断③，将零点问题转化成函数图象交点的问题，利用数形结合即可判断②和④.【详解】当时，，函数图象如下图所示， ()1,0ln ,0x a x f x x x a x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()f x 0a =()f x 02a <<()f x 2a =()f x 2a >()f x ()0f x =0a =()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩由此可知该函数只有一个零点，故①不正确；当时，则函数的零点为和， ∵函数有两个不同零点，∴由函数的图象可知，解得，当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点，则函数有两不同零点时的取值范围是，设对应的两个零点为，，即或，解得，，则，所以它们互为倒数，故②正确；当时，函数解析式为，令，解得，令，解得或，由此可知函数有三个零点，故③不正确；当时，则函数的零点为和， ∵函数有四个不同零点，∴由函数的图象可知，解得，当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点；0a >()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩20a -<-<02a <<0a <()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()f x a 02a <<1x 2x 1ln x a =2ln x a =-1e a x =21e e aax -==121x x ⋅=2a =()12,0ln 2,0x x f x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩()1200x x x++=<1x =-()ln 200x x -=>2e x =21e x =0a >()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x ()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩2a -<-2a >0a <()f x ()10x a x x+=-<()ln 0x a x =>()f x设对应的两个零点为，，，，即或，解得，，当时，整理得，当时，，则该方程存在两个不等的实数根和，由韦达定理得，所以，则故④正确；故选：.2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（） A ．且 B ．且 C ．且 D ．且【答案】C【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.【详解】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程有7个不同实数解，则关于u 的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得. 所以且. 故选：C.1x 2x 3x 4x 1ln x a =2ln x a =-1e a x =21e e aax -==10x a x++=210x ax ++=2a >0∆>3x 4x 341x x ⋅=12341e 11e aax x x x =⋅⋅=C ()221xf x =--x ()()20f x mf x n ++=7,m n 0m >0n >0m <0n >01m <<0n =10m -<<0n =()u f x =20u mu n ++=1u 2u ()f x 10u =2u m =-()u f x =()u f x=20u mu n ++=1u u =2u u =1u u =()u f x =()()20f x mf x n ++=20u mu n ++=10u =0n =20u mu +=2u m =-2u u =()u f x =10m -<-<01m <<01m <<0n =3．（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a 的取值范围是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解. 【详解】解：令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：若有4个零点，则实数a 的取值范围是，故选：A4．（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】B【分析】结合函数的对称性求得正确答案.【详解】令，得，图象关于对称，在上递减. ，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增，所以与有两个交点，()2ln ,02,0x x f x x x x ⎧>=⎨--≤⎩()()g x f x a =-()0,1(]0,1[]0,1[)1,+∞(),y f x y a ==()()g x f x a =-()()0g x f x a =-=()f x a =(),y f x y a ==()()g x f x a =-()0,1()112e e 1x xf x x --=---()112e e 01x xf x x --=--=-112e e 1x x x ---=-()21g x x =-()1,0()(),1,1,-∞+∞()11e e ,x x h x --=-()()()()1e e ,e e x x x x H x h x H x H x --=+=--=-=-()H x ()h x ()1,0()10h =()1ee e x xh x -=-R ()h x ()g x两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为. 故选：B二、多选题5．（2022·广东·普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（）A ．任取，都有B ．，其中；C ．对一切恒成立；D ．函数有个零点；【答案】ACD【分析】作出函数的图象.对于A ：利用图象求出，即可判断；对于B ：直接求出，即可判断；对于C ：由，求得，即可判断；对于D ：作出和的图象，判断出函数有3个零点.【详解】作出函数的图象如图所示.所以.()1,0()112e e 1x xf x x --=---2sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩12,[1,)x x ∈+∞123()()2f x f x -≤11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭k ∈N ()2(2)()k f x f x k k N *=+∈[0,)x ∈+∞()ln(1)y f x x =--3sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩max min (),()f x f x 1511222222k f f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1()(2)2f x f x =-()2(2)k f x f x k =+()y f x =ln(1)y x =-()ln(1)y f x x =--sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩max min ()1,()1f x f x ==-对于A ：任取，都有.故A 正确；对于B ：因为，所以.故B 错误；对于C ：由，得到，即.故C 正确；对于D ：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：当时,;当时,函数与函数的图象有一个交点; 当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D 正确. 故选：ACD6．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R 上的偶函数，且对任意，有，当时，，则（）A ．是以2为周期的周期函数B ．点是函数的一个对称中心12,[1,)x x ∈+∞()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=1151111,,222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112215112121222212kkf f f k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-1()(2)2f x f x =-1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2(2)kf x f x k =+()ln(1)y f x x =--()1,+∞()y f x =ln(1)y x =-2x =sin2ln10y π=-=12x <<()y f x =()ln 1y x =-2x >2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫⎝>=⎭()y f x =()ln 1y x =-()ln(1)y f x x =--()f x x ∈R ()()11f x f x -=-+[]0,1x ∈()22f x x x =+-()f x ()3,0-()f x。

二次函数零点位置的确定方法

二次函数零点位置的确定方法要确定一个二次函数的零点位置，需要通过以下几个步骤进行推导和计算。

首先，我们来回顾一下什么是二次函数。

二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c是实数常数，且a不等于0。

二次函数的图像为一条抛物线，它的形状由参数a的正负和大小决定。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数f(x)等于0的点。

为了确定二次函数的零点位置，我们可以采用以下三种方法。

方法一：二次函数的求解公式对于任意一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以利用求根公式来确定其零点位置。

求根公式就是人们所熟悉的“一元二次方程的解法”。

根据一元二次方程的解法，我们可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点位置公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，根据b^2-4ac的符号来决定解的类型。

如果b^2-4ac大于0，则有两个不相等的实数解；如果b^2-4ac等于0，则有两个相等的实数解；如果b^2-4ac小于0，则无实数解，也就是二次函数在实数域中没有零点。

因此，我们可以通过带入a、b、c的值计算上述公式，来得到二次函数的零点位置。

方法二：特殊二次函数的零点位置对于特殊的二次函数，我们可以直接通过观察其形式或者性质，确定其零点位置。

1. 当二次函数为f(x) = a(x-h)^2 + k形式时，其中h和k为常数。

这种形式的二次函数称为顶点形式。

它的图像是一个抛物线，并且顶点坐标为(h, k)。

由于抛物线在顶点处与x轴相切，所以顶点即为零点。

因此，这种形式的二次函数的零点位置为x=h。

2. 当二次函数为f(x) = a(x-p)(x-q)形式时，其中p和q为常数。

这种形式的二次函数称为因式分解形式。

它的图像是一个抛物线，相对于原点对称，并且与x 轴交于点(p,0)和(q,0)。

计算二次函数的零点

计算二次函数的零点二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

在数学中，零点也称为函数的根或者方程的解，即函数取值为0的输入值。

要计算二次函数的零点，有两种常用的方法：配方法和求根公式法。

下面将分别介绍这两种方法。

一、配方法：对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法将其转化为平方的形式来求解零点。

1. 首先，将函数f(x)写成完全平方的形式：f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c= a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c2. 然后，将该函数转化为零点的形式：f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}3. 令f(x) = 0，我们可以得到方程：a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a}4. 再进行变形，得到：(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}5. 最后，对方程两边开平方，可得：x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}通过配方法，我们可以得到二次函数的零点公式。

二、求根公式法：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点也可以通过求根公式来计算。

求根公式给出了一般二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。

解决二次函数零点问题的方法

解决二次函数零点问题的方法二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的零点指的是使得函数取值为0的x值，也就是满足方程ax² + bx + c = 0的解。

解决二次函数零点问题的常用方法包括公式法、配方法和图像法。

下面将分别介绍这些方法的具体步骤。

一、公式法公式法是解决二次函数零点问题最简单直接的方法。

根据二次方程的求根公式，一元二次方程ax² + bx + c = 0的根可以通过以下公式得到：x₁ = (-b + √(b² - 4ac))/2ax₂ = (-b - √(b² - 4ac))/2a其中，√表示开方运算。

步骤如下：1. 根据给定的二次函数，确定方程中的a、b、c的值；2. 将a、b、c的值带入上述公式，计算出x₁和x₂的值；3. 得到两个根后，即可得到二次函数的零点解。

二、配方法配方法也称为完全平方公式法，适用于当一元二次方程无法直接使用公式法解时。

其基本思路是通过变换，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，从而便于求解。

步骤如下：1. 将二次函数的一般形式ax² + bx + c完全平方，即进行配方；2. 将配方后的二次函数转化为完全平方形式后，将其写成(x + p)² + q的形式；3. 令(x + p)² + q = 0，并求解出x的值。

三、图像法图像法是通过观察二次函数的图像，找出函数与x轴相交的点，从而得到零点的方法。

这种方法相对直观，适合对函数的整体形态有一定了解的情况下使用。

步骤如下：1. 将二次函数的方程转化为标准形式，并确定a、b、c的值；2. 绘制出二次函数的函数图像；3. 观察函数图像与x轴的交点，即为零点的值。

在使用图像法时，如果很难准确判断二次函数与x轴的交点时，可以借助计算机绘图软件进行辅助，以提高求解的准确性。

不能用二分法求零点的函数

不能用二分法求零点的函数一、引言函数零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的解。

求函数的零点是数学中的一个重要问题，它在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。

常用的方法有二分法、牛顿法、割线法等。

二分法是求函数零点的一种经典方法，简单易懂，容易实现。

然而，并非所有的函数都适合用二分法来求解。

本文将围绕这一问题展开阐述，探讨不能用二分法求零点的函数，并介绍一些可行的替代方法。

二、二分法求零点的基本原理二分法的基本思想是将区间逐步缩小，在每一步中，找到区间的中点，然后根据中点的值与零点的大小比较，将零点所在的区间一分为二、重复此过程，最终将区间缩小到足够小，以满足所需精度。

三、二分法的使用条件1.函数在所选区间上连续且单调。

这是二分法的基本要求，因为二分法的核心在于通过比较中点与零点的大小关系来缩小区间。

2.函数在所选区间上无穷次可微。

这是为了确保二分法的收敛性，即区间不断缩小，最终趋于零点。

四、不能用二分法求解的函数1.零点不唯一的函数。

对于零点不唯一的函数，二分法无法确定具体的零点所在位置。

例如，函数f(x) = sin(x)在区间[0, 2π]上有无穷多个零点，二分法无法准确求得其中的任何一个零点。

2.函数图像与x轴相切的情况。

当函数与x轴相切时，函数的图像在切点处的斜率为零。

由于二分法的核心在于通过比较中点与零点的大小关系来缩小区间，而函数图像的斜率为零的点无法通过这种比较来找到精确的零点位置。

3.函数图像有极小值或极大值的情况。

对于具有极小值或极大值的函数，二分法可能陷入局部最小值或最大值，并错失零点。

例如，函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上有一个极小值点，但该区间内没有零点，因此二分法无法求得函数的零点。

五、替代方法1.牛顿法牛顿法是解决非线性方程的一种迭代方法，用于求解函数的零点。

牛顿法通过不断逼近切线与x轴的交点，实现零点的近似求解。

对于那些无法用二分法求解的函数，牛顿法是一种较好的替代方法。

牛顿法求零点的方法

牛顿法求零点的方法牛顿法是一种用来求解方程零点的迭代方法，其基本思想是利用函数的局部线性近似来不断逼近零点。

下面详细介绍50条关于牛顿法求零点的方法：1. 选择一个初始值作为零点的初始近似值，记为x0。

2. 计算函数在x0处的导数，记为f'(x0)，这是牛顿法迭代的关键步骤。

3. 接下来，计算初始值x0处的函数值f(x0)。

4. 利用初始值x0和函数值f(x0)以及导数f'(x0)来构建下一个近似值x1，即x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)。

5. 用x1代替x0，重复以上步骤，直到满足迭代精度要求或达到指定迭代次数。

6. 牛顿法的迭代公式可以表示为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)。

7. 牛顿法对于一些简单的函数可以快速收敛，但对于某些复杂函数可能会出现收敛慢或不收敛的情况。

8. 牛顿法可以用于求解单变量方程的零点，也可以推广到多变量函数的情况。

9. 在使用牛顿法时，需要注意选择初始值，避免选择导数为零的点，否则会导致迭代失败。

10. 牛顿法对于某些特殊情况可能会出现振荡或者不稳定的现象，需要谨慎选择使用。

11. 牛顿法在实际应用中经常结合其他方法使用，以提高求解效率和稳定性。

12. 牛顿法的收敛速度通常是二阶的，即每次迭代可以在误差上减少平方的量级。

13. 当函数的导数不易计算时，可以使用数值近似的方法计算导数，例如有限差分法。

14. 牛顿法可以用于求解超越方程的零点，例如对数、指数、三角函数等。

15. 牛顿法可以通过对迭代公式进行近似线性化来理解其收敛性。

16. 对于特定的函数，可以通过分析其导数的情况来预测牛顿法的收敛性。

17. 牛顿法的优点之一是可以在迭代过程中不断逼近零点，对于需要高精度的求解问题有很好的效果。

18. 牛顿法的迭代过程可以通过绘制函数图和零点逼近路径来直观展示。

19. 对于非光滑函数或者包含了噪声的函数，牛顿法可能需要结合其他方法使用。

判断函数零点个数的三种方法

判断函数零点个数的三种方法函数零点是指使得函数值为零的输入值。

判断函数零点个数对于数学问题的解答和实际应用都有重要意义。

以下将介绍三种常用的方法来判断函数零点个数，分别是图像法、代数法和数值法。

一、图像法：该方法通过绘制函数的图像来判断函数零点的个数。

这是视觉直观且易于理解的方法，适合于简单的函数或图像。

具体步骤如下：1.将函数表示为y=f(x)的形式；2.根据给定的定义域，在直角坐标系中绘制函数的图像；3.观察函数的图像，找到所有使得y=0的点；4.计算这些点的个数，即为函数的零点个数。

例如，考虑函数f(x)=x^2-4的零点个数。

我们将函数图像绘制在直角坐标系中，发现函数有两个交点使得y=0，因此该函数有两个零点。

二、代数法：该方法通过对函数进行代数运算和分析来判断零点个数。

这种方法适用于各种类型的函数，但对于复杂的函数可能需要一些数学技巧。

具体步骤如下：1.将函数表示为f(x)=0的形式；2.根据函数的定义域的性质分析函数；3.运用代数运算技巧，如因式分解、配方法和配方等，将函数转化为更简单的形式；4.根据简化后的函数形式，判断函数的零点个数。

例如，考虑函数f(x)=x^2-4的零点个数。

我们将函数等式转化为x^2-4=0，并应用因式分解技巧得到(x+2)(x-2)=0。

观察到方程的解是x=-2和x=2，因此函数有两个零点。

三、数值法：该方法通过数值计算来逼近函数的零点，然后根据计算结果判断零点的个数。

这种方法适用于无法通过代数法或图像法直接求解的复杂函数。

具体步骤如下：1.根据函数的定义域确定一个区间，该区间包含了可能的零点；2.在这个区间内选取一些特定的点，计算对应的函数值；3.根据函数值的符号变化来确定零点的位置；4.根据计算出的零点位置和符号变化情况来判断函数的零点个数。

例如，考虑函数f(x)=x^2-4的零点个数。

我们选择区间[-3,3]，在这个区间内选取一些特定的点进行计算，如x=-3,-2,-1,0,1,2,3、计算得到相应的函数值为5,0,-3,-4,-3,0,5、根据函数值的符号变化，我们发现由负变为正，再由正变为负，因此函数有两个零点。

函数零点问题的题型归类及解题策略

函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。

根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。

对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。

2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。

对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。

3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。

对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。

4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。

对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。

二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。

例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。

2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。

有关函数零点判定的几种常用方法-论文

所以 cos < n1, n2 > =
- 1 =2# 5
1100.
由图 5可知, 二面角 C - AE - B 为锐角, 所
以二面角 C - AE - B 的大小为 arccos 10. 10
点评: 向量法求二面角关键是找两个平面的法向量, 并注意根据题目情况确定二面角的平面角是锐角还是钝角.
贵州省金沙县第一中学 ( 551800)
时,
f(x ) = -
2
2x + 3x -
1=
0]
2
2x -
3x + 1 =
0即 ( 2x - 1) # ( x - 1) = 0, 所以 x = 1 或 1 I 2
[ 0, 1] 即函数 f (x ) 在 [ 0, 1] 上有 2个零点, 不
符合题意.
综上所述, 所求实数 a 的取值范围为:
a > - 2或 a = - 9. 4
三、零点存在判定法则
零点存在判定法则: 如果函数 y = f ( x) 在
区间 [ a, b] 上的图像是连续不断的一条曲线,
并且有 f ( a ) # f ( b) < 0, 那么函数 y = f (x ) 在
一、解方程求根法对于函数 y = f ( x), 使 f (x ) = 0的实数 x叫函数 y = f (x ) 的零点. 即函数 y = f ( x) 的零点就是方程 f ( x) = 0的实数根. 要注意零点并不是点, 而是一个实数. 方程 f (x ) = 0有实数根 Z 函数 y = f (x ) 与 x轴有交点 Z 函数 y = f (x ) 有零点. 例 1 求下列函数的零点. ( 1)f ( x) = x - 3; ( 2)f ( x) = x2 - 5x + 4; ( 3)f ( x) = x3 - 2x2 + x ( 4)f ( x) = 2|x | - 2 分析: 根据函数零点的定义可知, 函数 f (x ) 的零点就是方程 f ( x) = 0的根, 因此判断一个函数是否有零点, 有几个零点, 就是判断方程 f (x ) = 0是否有实数根, 有几个实数根的问题. 解: ( 1) 令 f ( x) = 0, 即 x = 3, 故所求函数的零点为 3. ( 2) 令 f( x ) = x2 - 5x + 4 = 0] ( x - 1) # (x - 4) = 0即 x = 1或 4 . 所以, 所求函数的零点为 1或 4. ( 3) 令 f ( x) = x3 - 2x2 + x = 0] x (x - 1) 2 = 0即 x = 0或 1. 所以函数的零点为 0或 1. ( 4) 令 f (x ) = 2|x | - 2 = 0] 2|x | = 2] x = ? 1. 所求函数的零点为 - 1或 1. 评注: 求函数 f ( x) 的零点, 就是求该函数对应的方程 f( x) = 0的实数根. 一般可以借助求根公式或因式分解等办法求出方程的根, 从而得到函数的零点. 另外对于函数 f ( x) = x2 2x + 1, 在求函数的零点时, 令 f ( x) = 0, 即 ( x -

函数的零点与解析问题及例题分析

函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。

求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。

求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。

下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。

例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。

解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。

2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。

3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。

4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。

2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。

解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。

解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。

以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。

- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。

解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。

3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。

解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。

即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。

因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。

以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。

希望对您有所帮助！。