4抛物线的参数方程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线的参数方程
y M(x,y)
α
o
α ∈ (−
x
π π
, ) 2 2
设 抛 物 线 的 普 通 方 程 为 y 2 = 2 px ...........(5) 因 为 点 M 在 α的 终 边 上 ， 根 据 三 角 函 数 的 y 定义可得 = tan α ..................................(6) x 2p x = tan 2 α (α 为 参 数 ） 由(5),(6)解 出 x , y， 得 到 y = 2p tan α 这 就 是 抛 物 线(5)(不 包 括 顶 点)的 参 数 方 程
α ∈ (−
π π
, ) 2 2
1 , t ∈ ( −∞ , 0) ∪ (0, +∞ ), 则 有 如果令t = tan α x = 2 pt 2 ( t为 参 数 ) y = 2 pt 当 t = 0时 ， 由 参 数 方 程 表 示 的 点 正 好 就 是 抛 物 线 的 顶 点(0, 0)因 此 当 t ∈ ( −∞ , +∞ )时 ， 参 数 方 程 就 表 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
x = 2 pt 2 1.若曲线 ( t为参数)上异于原点的不同 y = 2 pt 两点M 1，M 2所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦 M 1 M 2 所 在 直 线 的 斜 率 是( C ) A、t1 + t 2 , 1 C、 , t1 + t 2 B、t1 − t 2 1 D、 t1 − t 2
2 2 px( t 2 − t12 ) + 2 py( t 2 − t1 ) = 0
→
→
→
→
所以x ( t1 + t 2 ) + y = 0, y 即t1 + t 2 = − ( x ≠ 0)................................(9) x 因为 AM = ( x − 2 pt12 , y − 2 pt1 ), MB = (2 pt − x , 2 pt 2 − y )且A, M , B三点共线，
2 2 → →
2 所以( x − 2 pt12 )(2 pt 2 − y ) = (2 pt 2 − x )( y − 2 pt1 )
化简，得y( t1 + t 2 ) − 2 pt1 t 2 − x = 0...............(10) 将(8),(9)代入(10), 得到பைடு நூலகம்y y( − ) + 2 p − x = 0 x 2 2 即x + y − 2 px = 0( x ≠ 0) 这就是点M的轨迹方程
4. 见教材P 35第4题）已知A, B , C 是抛物线 ( y 2 = 2 px ( p > 0)上的三个点，且BC 与x轴垂直， 直线AB , AC 分别与抛物线的轴交于D，E 两点. 求证：抛物线的顶点平分线段DE .
5.(见教材P 35第5题)经过抛物线y 2 = 2 px ( p > 0) 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB ,以直 线OA的斜率k为参数, 求线段AB的中点M的轨迹 的 参数 方 程.
2 1 2 2
例 2.设 M 为 抛 物 线 y = 2 x 上 的 动 点 , 给
2
定 点 M 0 ( − 1, 0), 点 P 为 线 段 M 0 M 的 中 点 , 求 点 P的 轨 迹 方 程 。
例 3.如 图 O是 直 角 坐 标 原 点, A, B是 抛 物 线 y 2 = 2 px ( p > 0)上 异 于 顶 点 的 两 动 点 , 且 OA ⊥ OB , OM ⊥ AB并 于 AB相 交 于 点 M ， 求 点 M的 轨 迹 方 程 。
小节： 小节： 1、抛物线的参数方程的形式 、 2、抛物线参数的意义 、
t12 + 1
2 t2 + 1
所 以 ， ∆ AOB的 面 积 为 S ∆ AOB = 2 p 2 t1 t 2
2 ( t12 + 1) ⋅ ( t 2 + 1) 2 = 2 p 2 t12 + t 2 + 2 = 2 p 2 ( t1 + t 2 ) 2 + 4 ≥ 4 p 2
当 且 仅 当 t1 = − t 2， 即 当 点 A , B 关 于 x 轴 对 称 时 ， ∆ AOB的 面 积 最 小 ， 最 小 值 为 4 p 2 .
说明： 简化运算。 说明：设出参数能大大 简化运算。
探 究 ： 在 例 3中 , 点 A , B 在 什 么 位 置 时 , ∆ AOB的 面 积 最 小 ？ 最 小 值 是 多 少 ?
由 例 3可 得 OA ＝ (2 pt12 ) 2 + (2 pt1 ) 2 = 2 p t1 OB =
2 (2 pt 2 ) 2 + (2 pt 2 ) 2 = 2 p t 2
AB = (2 p( t − t ), 2 p( t 2 − t1 ))
2 2 2 1
→
因为 OA ⊥ OB , 所以 OA⋅ OB = 0,即 (2 pt1t 2 )2 + (2 p )2 t1t 2 = 0, 所以t1t 2 = −1...........(8)
→
→
→
→
因为 OM ⊥ AB , 所以 OM ⋅ OB = 0, 即
y o
A M
x
B
解 : 根据条件, 设点M , A, B的坐标分别为( x , y ),
2 (2 pt12 , 2 pt1 ),(2 pt 2 , 2 pt 2 )( t1 ≠ t 2 , 且t1 ⋅ t 2 ≠ 0) 2 则 OM = ( x , y ), OA = (2 pt12 , 2 pt1 ), OB = (2 pt 2 , 2 pt 2 ) → → →
解：由于M 1 , M 2 两点对应的参数方程分 别是t1和t 2，则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt , 2 pt1 ), M 2 (2 pt , 2 pt 2 ) ∴ k M1 M 2 2 pt1 − 2 pt 2 1 = = 2 2 2 pt1 − 2 pt 2 t1 + t 2
y M(x,y)
α
o
α ∈ (−
x
π π
, ) 2 2
设 抛 物 线 的 普 通 方 程 为 y 2 = 2 px ...........(5) 因 为 点 M 在 α的 终 边 上 ， 根 据 三 角 函 数 的 y 定义可得 = tan α ..................................(6) x 2p x = tan 2 α (α 为 参 数 ） 由(5),(6)解 出 x , y， 得 到 y = 2p tan α 这 就 是 抛 物 线(5)(不 包 括 顶 点)的 参 数 方 程
α ∈ (−
π π
, ) 2 2
1 , t ∈ ( −∞ , 0) ∪ (0, +∞ ), 则 有 如果令t = tan α x = 2 pt 2 ( t为 参 数 ) y = 2 pt 当 t = 0时 ， 由 参 数 方 程 表 示 的 点 正 好 就 是 抛 物 线 的 顶 点(0, 0)因 此 当 t ∈ ( −∞ , +∞ )时 ， 参 数 方 程 就 表 示抛物线。参数t表示抛物线上除顶点外的任意 一点与原点连线的斜率的倒数。
x = 2 pt 2 1.若曲线 ( t为参数)上异于原点的不同 y = 2 pt 两点M 1，M 2所对应的参数分别是t1 , t 2 , 则弦 M 1 M 2 所 在 直 线 的 斜 率 是( C ) A、t1 + t 2 , 1 C、 , t1 + t 2 B、t1 − t 2 1 D、 t1 − t 2
2 2 px( t 2 − t12 ) + 2 py( t 2 − t1 ) = 0
→
→
→
→
所以x ( t1 + t 2 ) + y = 0, y 即t1 + t 2 = − ( x ≠ 0)................................(9) x 因为 AM = ( x − 2 pt12 , y − 2 pt1 ), MB = (2 pt − x , 2 pt 2 − y )且A, M , B三点共线，
2 2 → →
2 所以( x − 2 pt12 )(2 pt 2 − y ) = (2 pt 2 − x )( y − 2 pt1 )
化简，得y( t1 + t 2 ) − 2 pt1 t 2 − x = 0...............(10) 将(8),(9)代入(10), 得到பைடு நூலகம்y y( − ) + 2 p − x = 0 x 2 2 即x + y − 2 px = 0( x ≠ 0) 这就是点M的轨迹方程
4. 见教材P 35第4题）已知A, B , C 是抛物线 ( y 2 = 2 px ( p > 0)上的三个点，且BC 与x轴垂直， 直线AB , AC 分别与抛物线的轴交于D，E 两点. 求证：抛物线的顶点平分线段DE .
5.(见教材P 35第5题)经过抛物线y 2 = 2 px ( p > 0) 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB ,以直 线OA的斜率k为参数, 求线段AB的中点M的轨迹 的 参数 方 程.
2 1 2 2
例 2.设 M 为 抛 物 线 y = 2 x 上 的 动 点 , 给
2
定 点 M 0 ( − 1, 0), 点 P 为 线 段 M 0 M 的 中 点 , 求 点 P的 轨 迹 方 程 。
例 3.如 图 O是 直 角 坐 标 原 点, A, B是 抛 物 线 y 2 = 2 px ( p > 0)上 异 于 顶 点 的 两 动 点 , 且 OA ⊥ OB , OM ⊥ AB并 于 AB相 交 于 点 M ， 求 点 M的 轨 迹 方 程 。
小节： 小节： 1、抛物线的参数方程的形式 、 2、抛物线参数的意义 、
t12 + 1
2 t2 + 1
所 以 ， ∆ AOB的 面 积 为 S ∆ AOB = 2 p 2 t1 t 2
2 ( t12 + 1) ⋅ ( t 2 + 1) 2 = 2 p 2 t12 + t 2 + 2 = 2 p 2 ( t1 + t 2 ) 2 + 4 ≥ 4 p 2
当 且 仅 当 t1 = − t 2， 即 当 点 A , B 关 于 x 轴 对 称 时 ， ∆ AOB的 面 积 最 小 ， 最 小 值 为 4 p 2 .
说明： 简化运算。 说明：设出参数能大大 简化运算。
探 究 ： 在 例 3中 , 点 A , B 在 什 么 位 置 时 , ∆ AOB的 面 积 最 小 ？ 最 小 值 是 多 少 ?
由 例 3可 得 OA ＝ (2 pt12 ) 2 + (2 pt1 ) 2 = 2 p t1 OB =
2 (2 pt 2 ) 2 + (2 pt 2 ) 2 = 2 p t 2
AB = (2 p( t − t ), 2 p( t 2 − t1 ))
2 2 2 1
→
因为 OA ⊥ OB , 所以 OA⋅ OB = 0,即 (2 pt1t 2 )2 + (2 p )2 t1t 2 = 0, 所以t1t 2 = −1...........(8)
→
→
→
→
因为 OM ⊥ AB , 所以 OM ⋅ OB = 0, 即
y o
A M
x
B
解 : 根据条件, 设点M , A, B的坐标分别为( x , y ),
2 (2 pt12 , 2 pt1 ),(2 pt 2 , 2 pt 2 )( t1 ≠ t 2 , 且t1 ⋅ t 2 ≠ 0) 2 则 OM = ( x , y ), OA = (2 pt12 , 2 pt1 ), OB = (2 pt 2 , 2 pt 2 ) → → →
解：由于M 1 , M 2 两点对应的参数方程分 别是t1和t 2，则可得点M 1和M 2的坐标分别为 M 1 (2 pt , 2 pt1 ), M 2 (2 pt , 2 pt 2 ) ∴ k M1 M 2 2 pt1 − 2 pt 2 1 = = 2 2 2 pt1 − 2 pt 2 t1 + t 2