简易逻辑教案

四种命题

教学目标

1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2．会分析四种命题之间的相互关系．

3．会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假．

重点难点

教学重点：四种命题的关系．

教学难点：在命题的四种形式中，判断其中两个命题的关系．

教学过程

师：在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题 . 无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理 . 因此，本章我们将从命题及其关系入手，学习四种命题的相互关系、充分条件和必要条件，学习逻辑用语，了解数理逻辑的有关知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁. 在学习过程中我们应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，而应该通过具体、生动的实例来使学生体会常用的逻辑用语，学习使用常用的逻辑用语，掌握常用逻辑用语，并在使用过程中纠正出现的逻辑错误 .

师：下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？

（1）矩形的对角线相等；

（ 2） 3 12 ；

（ 3） 3 12 吗？

（4）8是 24的约数；

（5）两条直线相交，有且只有一个交点；

（ 6）他成绩很好 .

生：（ 1）、（ 2）、（4）（5）、（ 6）这些语句都是陈述句，能够判断真假，（3）是一个问句，不能够判断真假

师：像（1）、（2）、（4）（5）这样，能够判断真假的语句，我们把它叫做命题 .大家还能举出其他命题的例子吗？

生： .

师：既然命题是可以判断真假的语句，也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件 . 其中，我们把判断为真的语句叫做真命题，把判断为假的语句叫做假命题，上述 5 个命题中，（2）是假命题，其它 4个都是真命题 .

师：请大家举出一些命题，并判断它们的真假 . （学生举手发言或者教师点名发言）.

生：回答.

师：请大家来看下面 4 个命题：

（1）如果两个三角形全等 , 那么它们的面积相等；

（2）如果两个三角形的面积相等 , 那么它们全等；

（3）如果两个三角形不全等 , 那么它们的面积不相等；

（4）如果两个三角形的面积不相等 , 那么它们不全等 .

师：上面的命题都是“如果…，那么…”形式的命题，可记为“若P,则q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论.

请分析以上4个命题的条件和结论，并改写成“若p，则q”的形式.

生：（1）若两个三角形全等 , 则它们的面积相等；

（2）若两个三角形的面积相等 , 则它们全等；

（3）若两个三角形不全等 , 则它们的面积不相等；

（4）若两个三角形的面积不相等 ,则它们不全等 .

师：请大家观察一下，命题（ 2）、（3）、（4）和命题（ 1）有什么样的关系？

先请同学来回答一下命题（ 2）与命题（ 1）有之间的关系？

生：命题（ 2）的条件和结论分别是命题（ 1）的结论和条件；

师：回答的非常好，若我们把命题（ 1）叫做原命题，则命题（ 2）叫做命题（ 1）的逆命题，称这两个命题为互逆命题 .

一般地，设“若P,则q”为原命题，那么“若q,则P”就叫做原命题的逆命题．例如，如果原命题是：① 同位角相等，两直线平行；

它的逆命题就是：② 两直线平行，同位角相等•

师：再请一个同学来回答一下命题（ 3）与命题（ 1）有之间的关系？生：命题（ 3）的条件和结论分别是命题（ 1）的条件和结论的否定．

师：回答正确，我们把命题（ 3）叫做命题（1）的否命题，称这两个命题为互否命题.

设“若P,则q”为原命题，那么“若非P,则非q”就叫做原命题的否命题. 例如，①、②命题的否命题分别为：③同位角不相等，两直线不平行；

④两直线不平行，同位角不相等.

师：命题（ 4）与命题（ 1）有之间有什么关系呢？生：命题（ 4）的条件和结论分别是命题（ 1）的结论和条件的否定．师：我们把命题（4）叫做命题（1）的逆否命题，这两个命题称为互为逆否命题 .

设“若p,则q”为原命题，那么“若非q,则非p”就叫做原命题的逆否命题．例如，①、④互为逆否命题，②、③互为逆否命题.

概括地说：设命题①为原命题，则命题②为逆命题；命题③为否命题；命题

④为逆否命题 .

师：如果原命题用“若P,贝U q”表示，p和q的否定分别用？ p和？ q表示，四种命题的形式就是：原命题若p，则q；

逆命题若q，则p；否命题若？p，贝U?q；

逆否命题若? q，则？p.

例1写出命题：“若a = 0,则ab= 0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的

真假．

解：原命题：若a= 0，则ab= 0；（真命题）逆命题：若ab= 0，则a= 0；（假命题）否命题：若a z0，则ab M0；（假命题）逆否命题：若ab M0，则a M0；（真命题）

例2把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（ 1）全等三角形的对应边相等；

（ 2）四条边相等的四边形是正方形．

（ 3）负数的平方是正数；

解：（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等．（真）逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；

（真）否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形对应边不相等；（真）逆否命题：若两个三角形对应边不相等，则这两个三角形不全等．（真）

（ 2）原命题可以写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；（假）逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；（真）否命题：若一个四边形的四条边不全等，则它不是正方形；（真）逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．（假）（3）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；（真）逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；（假）否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；（假）逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数 . （真）另解：原命题可写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数；（真）逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方；（假）否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数；（假）逆否命题：若一个数不是正数，则它不是负数的平方 .

（真）

师：结合上述命题真假的讨论，你能发现原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系吗？

生：（ 1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．

（ 2）原命题为真，它的否命题不一定为真．（ 3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．原命题为假时类似 . 从而可得：原命题和其逆否命题同真同假，原命题的逆命题和否命题也同真同假 .

师：两个互为逆否的命题是等价的，即它们同真或同假.而且四种命题间的关系如图一1所示：所以原命题和它的逆否命题同真或同假，逆命题和否命题同真或同假，两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.