第三章 受弯构件(2)

应指出的是：受弯构件承载力的计算是
以适筋梁第Ⅲa状态的应力状态为计算依据的，
又假定受拉区混凝土开裂不参加工作，拉力完 全由钢筋承担，所以受拉区的形状对受弯构件 承载力没有任何影响。

图3.19所示的矩形、十字形、倒T形、花
篮形四个截面虽然受拉区截面形状各不相同， 但其截面高度、受压区宽度和受拉钢筋完全相 同。所以，只要受压区判断为矩形截面，则无 论受拉区形状如何，都应按矩形截面计算。





受压区高度符合要求。得 Mu=α1fcbx(h0-x/2)=85.2×106N· mm =85.2kN· m＞M=80kN· m(安全） ③ 验算最小配筋率 ρ=As/bh×100%=0.89%＞ρmin=0.2% 满足要求。
图3.18 例3.4某学校教室梁截面尺寸及配筋图
（2）计算纵向受力钢筋的数量
h0=h-25=80-25=55mm
x h0 2M h 55 1 f c b
2 0
2 2.974 10 6 55 1.0 9.6 1000
2
=5.95mm＜ξbh0=0.614×55=33.77mm 不属超筋梁。
As=α1fcbx/fy=1.0×9.6×1000×5.95/210=272mm2
x h0
2M 2 h0 510 1 f c b
2 148 .165 10 6 510 2 1.0 9.6 250
=140.4mm＜ξbh0=0.550×510=280.5mm
不属超筋梁。 4. 计算As，并判断是否少筋 As=α1fcbx/fy=1.0×9.6×250×140.4/300=1123.2mm2
跨度2m，采用C20级混凝土，HPB235级钢筋。试确定纵
向受力钢筋的数量。
【解】查表得楼面均布活荷载=2.5kN/m2，fc=9.6N/mm2，
ft =1.10N/mm2，fy =210N/mm2， b =0.614，α1=1.0，
结构重要性系数γ0=1.0（教学楼安全等级为二级），可
变荷载组合值系数Ψc=0.7
室内正常环境下的梁、板as的近似值（㎜）
构件种类
纵向受力 钢筋层数
混凝土强度等级 ≤C20 ≥C25
梁
一层
二层
40
65
35
60
板
一层
25
20
②计算混凝土受压区高度x，并判断是否属超筋梁
2M 1 f c b 若x≤ξ bh0，则不属超筋梁。否则为超筋梁，应加大截面尺寸， x h0
2 h0
0.45ft/fy =0.45×1.27/360=0.16%＜0.2%，取 ρmin=0.2% As，min=0.2%×200×450=180mm2＜ As=601.6mm2 不属少筋梁。
4. 选配钢筋
选配4 14（As=615mm2），如图所示。
【例3.2】某教学楼钢筋混凝土矩形截面简支梁，
安全等级为二级，截面尺寸 b×h=250×550mm，
x
As f y
1 f c b
，且 x h b 0 ，为适筋梁；
若
As min bh
若x＞ h b 0
，为超筋梁；
若As＜ρmin bh，为少筋梁。
③计算截面受弯承载力Mu
适筋梁
M u As f y h0 x 2
M u,max 1 f c bh02 b (1 0.5 b )
3.3 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算

只在截面的受拉区配
有纵向受力钢筋的矩形截面，
称为单筋矩形截面，见图
3.12所示。

钢筋混凝土受弯构件的
正截面承载力计算，应以适 筋梁第Ⅲa阶段为依据。
图3.12 单筋矩形截面
3.3.1 计算基本假定
为了简化计算，根据试验分析结果，规范规 定，受弯构件正截面承载力应按下列基本假定进行 计算： （1） 梁弯曲变形后正截面应变仍保持平面； （2） 不考虑受拉区混凝土参加工作； （3） 采用理想化的混凝土 — 关系； （4）采用理想化的钢筋的 — 关系
或提高混凝土强度等级，或改用双筋截面。 ③计算钢筋截面面积As，并判断是否属少筋梁
As 1 f c bx / f y
若As≥ρ
min
bh，则不属少筋梁。否则为少筋梁，应
As=ρ
minbh
。
④选配钢筋 2）复核己知截面的承载力
己知：构件截面尺寸b、h，钢筋截面面积As ，混凝土强度等级，
钢筋级别，弯矩设计值M 求：复核截面是否安全 计算步骤： ①确定截面有效高度h0 ②判断梁的类型
由活荷载控制的跨中弯矩为
γ0（γGMgk+γQMq k）=1.0× （1.2×60.471+1.4×54） =148.165kN· m 取较大值得跨中弯矩设计值M=148.165kN· m。
2. 计算h0
假定受力钢筋排一层，则h0=h-40=550-40=510mm 3. 计算x，并判断是否属超筋梁
0.45ft/fy =0.45×1.10/300=0.17%＜0.2%，取 ρmin=0.2% ρmin bh=0.2%×250×550=275mm2＜ As =1123.2mm2
不属少筋梁。
5.选配钢筋 选配2 18+2 20（As=1137mm2），如图。
【例3.3】如图3.2.7所示，某教学楼现浇钢筋混凝土走 道板，厚度h=80mm，板面做20mm水泥砂浆面层，计算
M As f y h0 x 2
截面高度 ：h 截面有效高度 ：h0 受压区高度 ： 相对受压区 高度： 界限相对 受压区高度：
x h0 xb b h0
x
3.3.4.1 正截面承载力计算——适用条件
防止超筋的条件：
x xb b h0
b
防止少筋的条件： min
AS AS ,min min bh
单筋矩形截面所能承受的最大弯矩的表达式：
M u,max 1 f c bh b (1 0.5 b )
2 0
混凝土受压区高度计算式： x
h0
2M h 1 f c b
2 0
适筋梁与超筋梁的界限——界限相对受压区高度
适筋梁的破坏—受拉钢筋屈服后混凝土压碎； 超筋梁的破坏—混凝土压碎时，受拉钢筋尚未屈服； 界限配筋梁的破坏—受拉钢筋屈服的同时混凝土压碎。
为
gk=10+0.25×0.55×25=13.438kN/m 简支梁在恒荷载标准值作用下的跨中弯矩为 Mgk=gk l02/8=13.438×62/8=60.471kN. m
简支梁在活荷载标准值作用下的跨中弯矩为：
Mqk=qk l02/8=12×62/8=54kN· m 由恒载控制的跨中弯矩为 γ0 （γGMgk+γQΨcMq k） =1.0×（1.35×60.471+1.4×0.7×54）=134.556kN· m
超筋梁
对少筋梁，应将其受弯承载力降低使用（已
建成工程）或修改设计。
④判断截面是否安全
若M≤Mu，则截面安全。
正截面承载力计算框图
【例3.1】 某钢筋混凝土矩形截面简支梁，跨中
弯 矩 设 计 值 M=80kN· ， 梁 的 截 面 尺 寸 m
b×h=200×450mm ， 采 用 C25 级 混 凝 土 ，
kN/m γ0（1.2gk+1.4qk）=1.0（1.2×2.04+1.4×2.5）=5.948kN/m γ0（1.35gk+1.4qkΨc）=1.0（1.35×2.04+1.4×0.7×2.5） =5.204kN/m 取较大值得板上荷载设计值q=5.948 kN/m 板跨中弯矩设计值为 M=q l02/8=5.948×22/8=2.974kN· m

混凝土等级
1 1
≤C50
C55
C55~C80
C80
0.8
1.0
0.79
0.99
中间
插值
0.74
0.94
图3.14 受弯构件正截面应力图
(a) 横截面；(b) 实际应力图;(c) 等效应力图；(d) 计算截面
3.3.4 正截面承载力计算——基本公式
1 f cbx f y As
M 1 f cbx h0 x 2
图3.18所示，弯矩设计值M=80kN· m，混凝 土强度等级为C20，HRB335级钢筋。验算 此梁是否安全。

【解】确定计算数据： fc=9.6N/mm2, fy=300N/mm2, As=804mm2, h0=(450-35)mm=415mm, ξb=0.550, α1=1.0, ρmin=0.2% ① 求x, x=fyAs/(α1fcb)=126mm ② 求Mu x=126mm＜ξbh0=0.550×415mm=228mm
2. 计算x，并判断是否为超筋梁
x h0 2M 2 h0 = 1 f c b
2 80 10 6 415 415 2 1.0 11.9 200
=91.0㎜＜
b h0 =0.517×415=215.0mm
不属超筋梁。
3. 计算As ，并判断是否为少筋梁
As 1 f c bx f y =1.0×11.9×200×91.0/360=601.6mm2
（1）计算跨中弯矩设计值M
钢筋混凝土和水泥砂浆重度分别为25kN/m3 和20kN/m3，故作用
在板上的恒荷载标准值为 80mm厚钢筋混凝土板 20mm水泥砂浆面层 0.08×25=2 kN/m2 0.02×20=0.04 gk=2.04kN/m2
取1m板宽作为计算单元，即b=1000mm，则gk=2.04kN/m，qk=2.5
0.45ft/fy =0.45×1.10/210=0.24%＞0.2%，取 ρmin=0.24% ρmin bh=0.24%×1000×80=192mm2＜ As =272mm2
不属少筋梁。
受力钢筋选用φ8@180（As=279mm2 ），分布钢筋按构造要求 选用φ6@250。
【例3.4】某学校教室梁截面尺寸及配筋如


fc

fy
0
0
砼
cu
0
fy 钢筋

3.3.2 等效矩形应力图形
受弯构件正截面承载力是以适筋梁第Ⅲa 状态及其图形作为依据的。根据上面的基本假 定，为了计算方便，规范规定，受弯构件、偏 心受力构件正截面受压区混凝土的应力图形可 简化为等效的矩形应力图形。 简化原则是：压应力合力大小相等，合力 作用位置不变。经折算，矩形应力图形的混凝 土受压区高度x=β1x0，x0为实际受压区高度，β1 为系数。 受弯构件正截面应力图见图3.14所示。
HRB400级钢筋。试确定跨中截面纵向受力钢筋
的数量。(一类环境，安全等级为二级）
【解】查表得fc=11.9 N/mm2，ft=1.27 N/mm2，fy =360 N/mm2，
α1=1.0，ξb=0.517 1. 确定截面有效高度h0
假设纵向受力钢筋为单层，则h0=h-35=450-35=415mm
ft 45 ，且不小于0.2 fy
§3.3.4.2
正截面承载力计算
1）截面设计
己知：弯矩设计值M，混凝土强度等级，钢筋级别，
构件截面尺寸b、h
求：所需受拉钢筋截面面积As
计算步骤：
Байду номын сангаас
①确定截面有效高度h0
h0=h-as
式中h—梁的截面高度；
as—受拉钢筋合力点到截面受拉边缘的距离。承载力计算时， 室内正常环境下的梁、板，as可近似按下表取用。
0.214% 例如：现有一钢筋混凝土梁，混凝土强度等级采用C30， 配置HRB335钢筋作为纵向受力钢筋，最小配筋率为（ ）？ 钢筋混凝土结构构件中纵向受力钢筋的最小配筋率（％ ）
受力类型 受压构件 全部纵向钢筋 一侧纵向钢筋 最小配筋百分率 0.6 0.2
受弯构件、偏心受拉、 轴心受拉一侧的受拉钢筋
承受恒载标准值10kN/m（不包括梁的自重），
活荷载标准值12kN/m，计算跨度=6m，采用C20
级混凝土，HRB335级钢筋。试确定纵向受力钢
筋的数量。
【解】查表得fc=9.6N/mm2，ft =1.10N/mm2，fy =300N/mm2， ξb=0.550，α1=1.0，结构重要性系数γ0=1.0，可变荷载组合值系 数Ψc=0.7 １. 计算弯矩设计值M 钢筋混凝土重度为25kN/m3 ，故作用在梁上的恒荷载标准值
b
b b
钢筋级别
不超筋
超筋
b
≤C50 C80
HPB235
HRB335 HRB400 RRB400
0.614
0.550 0.518
-0.493 0.463
适筋梁与少筋梁的界限——截面最小配筋率
min
min 不少筋 min 少筋
min
ft max( 0.45 ,0.2%) fy