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第四章--第四节--三角函数式的求值、化简与证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条 件恒等式. 1.证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左
右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两 边化异为同.
2.条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证 等式之间的联系，选择适当途径对条件等式进行变形， 直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变式， 创造机会代入条件，最终推导出所证等式.
【解】
(2)原式＝
又tan2θ＝
＝－2 解得tanθ＝－ 或tanθ＝
∵π＜2θ＜2π，∴ ＜θ＜π，
∴tanθ＝－ ，故原式＝
＝3＋2
1.化简
解：原式
条件求值问题要仔细观察条件与求式之间的角函数名称 及有关运算之间的差异及联系． 1．由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函
数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”．若 角所在的象限没有确定，则应分类讨论，应注意公式的正 用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要会通过分析 “目标角”与“已知角”之间的关系，灵活拆角或拼角．
等．
4.次数的变化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍 角的余弦公式及其逆向使用.
5.结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组， 或移项，或变除为乘，或求差等.
(1)f(α)＝2tanα－
求f ( )；
(2)已知tan2θ＝－2 ，π＜2θ＜2π，求
的值．
要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或 化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值.
2．如果条件是等式，可将已知式进行变形向求式转化， 或将求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除 已知式与求式之间的种种差异是解这类题的关键． 【注意】 “给值求角”的实质是“给值求值”，求解 的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断 该角对应函数的单调区间，最后求出角．
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络2、三角函数变换的方法总结（1）变换函数名对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。
练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。
练习已知，求的值【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）（3）以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。
“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：（4）和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
三角函数的化简与证明
三角函数的化简与证明三角函数是数学中的重要概念之一，它在解析几何、物理学、工程学等领域中有广泛应用。
在使用三角函数时，我们经常面临的一个问题就是如何将复杂的三角函数化简为简单形式，或者证明两个三角函数之间的等式。
本文将探讨三角函数的化简和证明方法。
一、三角函数的化简1. 三角恒等式三角恒等式是三角函数化简的基础。
它是一种等式关系，使得两个或多个三角函数能够互相转化。
下面是一些常见的三角恒等式：- 余弦函数的平方加正弦函数的平方等于1：$cos^2θ + sin^2θ = 1$- 2倍角公式：$cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ$- 倍角公式：$sin(2θ) = 2sinθcosθ$- 三角和差公式等通过运用这些恒等式，我们可以将复杂的三角函数化简为简单的形式，便于计算和理解。
2. 其他化简方法除了三角恒等式，还有一些其他的化简方法。
例如，使用欧拉公式，将三角函数转化为复指数函数进行化简。
这个方法可以将三角函数的复杂计算转化为简单的指数函数计算，能够提高计算效率。
在实际问题中，我们还可以利用对称性、周期性等性质进行化简。
这需要根据具体问题进行分析和推导，找到合适的化简方法。
二、三角函数的证明1. 等式的证明证明三角函数之间的等式是数学中的重要问题。
通过证明三角函数之间的等式，可以建立它们之间的联系，拓宽我们对三角函数的理解。
在证明三角函数等式时，我们可以运用三角恒等式、代数运算、数学归纳法等方法。
具体的证明过程需要根据问题的要求和条件进行推导。
2. 不等式的证明除了等式的证明，我们还经常需要证明三角函数之间的不等式。
三角函数的不等式证明在数学分析和优化等领域中有广泛应用。
在证明三角函数不等式时，我们可以使用极限、导数、积分和数学归纳法等方法。
通过分析三角函数的性质和变化趋势，找到合适的不等式证明方法。
需要注意的是，在证明过程中，要严谨而准确地推导，避免出现漏洞和错误，确保证明的有效性和可靠性。
g3.1049三角函数的化简、求值与证明doc
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明一、知识回顾1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二、基本训练1、已知θ是第三象限角，且4459sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ）AB、 C 、23 D 、23-2、函数22y sin x x =-+的最小正周期 （ ）A 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－24、已知46sin (4)4m m mαα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
5、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
三、例题分析例1、化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+例2、设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。
第29课时三角函数式的化简、求值与证明doc
课题：三角函数式的化简、求值与证明教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明. 教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用.（一）主要知识：1三角函数求值问题一般有三种基本类型：1. 给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2. 给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3. 给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角.2. 三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值.3. 三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等•（二）主要方法：1. 寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2. 正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3. 一些常规技巧：“1 ”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等.4. 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化.5. 三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式.①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”：②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等.（三）典例分析：问题1.1已知tan -：14 =2，求22sin ： cos ： cos :的值;1 3tan12 3；2 （cot tan二）（1 tan ： tan】）-问题2.sin 12 （4cos1 212 -2） 2 2 2 '问题3. 1求证：泄2cos「「也；si n^ si n^2 thx Ex'3 COs4X1 —cos4x1 1问题4.已知tan「一2 , tan—1，且0一求2「：的值（四）巩固练习：1.化简1 tan15等于A 鸟1 -ta n15 °JIJI5. tan cotA. -1B. -2C. 1D. 2886. tan 20 4sin 201 7.已知tan ：tan： = 已知〉「均为锐角U 壽"2 =73江5■: 兀亠5兀A.-B. 5C.—或—D.-444 48.已知:「均为锐角，且满足 3sin 2〉• 2sin 2 三, 3sin 2〉-2sin 2： =0 .B.-^C.32D. 12.、1 - sin8 -1 cos8:2A.「sin4B. sin 4C.sin4-2cos4D. 2sin4「cos43. ( 06萍乡模拟) A. .3tan (H a )訂tanB.C. 2.32、3 34.已知sin 八心,m +5 4 -2 mm 5(r 9< “则 tan9= --------------tan - 6 314.已知 sin 2， - - 2sin :,求证：tan - - 3tan ：13.若 COS H " cos :1, sin 「sin 」 23 则 COS=求证： c c TE二亠 2|.：29.已知： tan 2 v - 2tan 2「1，求证：cos2 =1 2cos 2^（五）课后作业：―1 sin 4二】 cos4_：i 10.-1 sin 4二一cos4_：i22cos a 1Tt 2 H2tan( )sin ()44A. cot ；B. cot2_「C. tan _：：；D. tan2a11. （ 05全国川文）2sin 2：1 cos2： 2cos : cos2-：s=A. tan ：； B. tan 2 ； C. 1 ； D.1（六）走向高考:3兀1016. ( 06 安徽)已知',ta n =件 cot ：4 3(I)求tan 二的值;2 口口Ct 2 O.5sin 8sin cos 11cos -8(n)求 22 22的值^2sin fa_nI 2丿15.（ 04全国）已知〉为锐角，且tan 〉=1，求sin 2二 cos: -sin t sin 2 cos 2：的值17. （05福建文）已知n __ . 1 x ::: O,sin x cosx2 5(I)求sin x — cosx 的值;(n)求2 sin 2x 2 sin x1 —ta nx318.（05全国n文）已知：•为第二象限的角，sin ，:为第一象限的角，cos：5求tan（2：--）的值.5 13。
三角函数化简求值的技巧
三角函数化简与求值常用技巧
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由 于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技 巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到 正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、 次数、结构”等几方面着手解决.
一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换 中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.
【例 1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
【变式演练】已知 sin
x－π
4
＝3,则
sin
2x 的值为(
)
5
A．－ 7 25
B. 7 25
C. 9 25
D.16 25
【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－ π )＝1－2sin2(x－ π )＝1－2×(3)2＝ 7 ,选 B.
2
4
5 25
法二、依题意得 2(sin x－cos x)＝3,1(sin x－cos x)2＝ 9 ,1－sin 2x＝18,sin 2x＝ 7 ,选
C、
9 13
D、
13 9
【例
1】已 知α、 β为 锐角,cos α＝
3 5
,tan (α−β)＝−
1 3
,则
tan β＝(
)
A、
1 3
B、 3
C、
9 13
D、
13 9
【分析】依题意,可求得 tan α＝
三角函数式的化简.docx
三角函数式的化简三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将 较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：（1）能求出 数值的要求出数值；（2）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；（3）分式中的分母尽量 不含根式等.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成 同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降 低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中 的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.(一) 知识点 1、辅助角公式tzsin a+bcos a =yja + /72sin(«+cp),"cos (p= _______________ ,其中v si“0= ------------------------ ，btan 一， V Y a2、降幕公式：・2sins= _________________, cos a= _________________ （二）例题讲解⑴求./（X ）的最小正周期；（2）当«e[0,兀]时，若./（«） = 1,求a 的值.审题视角（1）在/（X ）的表达式中，有平方、有乘积，而且还表现为有不同角，所以要考虑到化同角、 降幕等转化方法.（2）当/（x ）=dsinx+方cosx 的形式时，可考虑辅助角公式.=-\/3cos 2r+sin xcos x —萌 siiFx+sin xcos 兀所以最小正周期T=n.(2)由 /((X )— 1,得 2sin (2a+守=1,厂 *7又 aW[0,兀],所以 2c (+je 专，-y 所以2a+|=y 或2°+申=晋,角卩称为辅助角.sin a cos a - ___________xcos x.[2分][6分][8分]例1、（12分）已知函数y （x ）=2cosin 2x+sin ⑴因为X%)=2cossin 2x+sin xcosx1 • (2010-福建)计算 sin 43°cos 13°B 誓—cos 43°sin 13。
三角函数式的化简与证明
高中数学：三角函数式的化简与证明(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝12cos2x . 解析：原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . (2)证明：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.证明：因为α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，所以sin α＋sin β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＋α－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2 ＝sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2＋sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2＝2sin α＋β2cos α－β2.1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．2．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．3．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．(1)化简：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．解：原式＝sin (2α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos (α＋β)sin α＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)－2sin αcos (α＋β)sin α＝cos αsin (α＋β)－sin αcos (α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. (2)证明：cos θ－cos φ＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.证明：因为θ＝θ＋φ2＋θ－φ2，φ＝θ＋φ2－θ－φ2，所以cos θ－cos φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2＋θ－φ2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋φ2－θ－φ2 ＝cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2－cos θ＋φ2cos θ－φ2－sin θ＋φ2sin θ－φ2＝－2sin θ＋φ2sin θ－φ2.。
第讲三角函数的求值化简与证明
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝ 2cosisn2xx＋－2ππ4＋1. (1)求 f(x)的定义域； (2)若角 α 在第一象限且 cosα＝35，求 f(α)．
∴3<2sinx＋π6＋4≤6.即函数f(x)的值域为(3,6]．
易错、易混、易漏 11．三角函数中的二次函数问题，忽视了自变量范围的研究 例题：已知函数 f(x)＝2ssiinnxxc＋oscxo＋sx5，x∈0，2π.
(1)求 sinx＋cosx 的取值范围； (2)求函数3
C．0
D．1
－1 5．sin17°cos47°－sin73°cos43°＝_____2__.
考点1 三角函数式的化简
例1：(2011年北京)已知函数f(x)＝4cosxsinx＋π6－1. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1
1．转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、 函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角公式中次数和角 的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α ＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α.
＝212cos50°－co2s35s0i°n50°sin70°
＝2sin30°cos50°－cocso5s03°0°sin50°sin70°
＝－2sicno2s05°0s°in70°＝－2sicno2s05°0c°os20°
三角函数的化简详解.docx
A B C B【例4] 在中，若sin2_2 +sin2y +sin2y =cos2_2 ,tan—• tan —=-.2 2 3B 满足关系式：V3 (tan a • t^n B +a) +tan a =0,则tan B 二c- f(1+a)D- T(1~a) A. V3 (1+a) B. V3 (1 —爲)三角函数的化简1、三角函数式的化简：(1)常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
(2)化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如& =(© + "丿—0,2Q =(Q +"丿+ (©-0丿等，把所求角用含己知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察, 发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
一、化简［例求值.2sin2(P + cosl0o + tan20。
sin 10°esc 40° + cot 80°2 cos 40° + cosl 0°(1 + tan60°tanl 0°) Jl + cosl0°【例2】（三兄弟）已知s 阮普，"罟,求畔翥卫的值【变式】（05天津）已知sin （&） =晋,COS 2*£,【例3］（最值辅助角）已知函数A^）=2asin 2T —273 asinxcosA+a+b —1,（弘b 为常数，a<0）,它的定 义域为［0,兰］,值域为［ — 3,1］,试求禺b 的值。
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
§5 三角函数式的求值、化简与证明
C A 3 2 【例 8】 在△ ABC 中，若 sinA·cos 2 ＋sinC·cos 2 ＝ 2 sinB，
2
求证：sinA＋sinC＝2 sinB．
C 3 2 A 证明：∵sinA·cos ＋sinC·cos ＝ sinB 2 2 2 1 cos C 1 cos A 3 ∴sinA· ＋sinC· ＝ sinB 2 2 2
2 sin 2 sin 2 解：∵ 2 sin cos ∴k＝2sinαcosα 1 tan
∵(sinα－cosα)2＝1－k
又∵α∈(
4 2 ,
) ,∴sinα－cosα＝ 1 k
12．在△ABC 中， sin A cos A 求 tan A 的值和△ABC 的面积． 解：∵sinA＋cosA＝ 从而 cosA＜0
2 2 ,
． ] ，则 x＝ －αrcsin0.3322 （用反三角函数表示） arccos ．
1 ②已知 cos x ，且 x [0, ] ，则 x＝ 3
1 x ，若 ( , ) ，则 f (cos ) 2 1 x 2 4 9． cos2α＋6 sin 2 －8 sin 2 ＝ cosα ．
sin 5 sin 3 证明：左边＝ cos 5 cos 3 cos 2 cos 4 sin 8 4 sin 2 cos 2 cos 4 ＝ cos 5 cos 3 cos 2 cos 4 cos 5 cos 3 cos 2 cos 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 ＝ cos 4 cos 5 cos 3 cos 2 cos 4
2 2 ,
]、[0，π]、 （
三角函数化简求值常用技巧
三角函数化简求值常用技巧三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一。
掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍。
这也是解决三解函数问题的前提和出发点。
一、切割化弦例1、已知 )2(cot tan22≥=+m m x x ，求xx 4cos 14cos 3-+的值。
解： 24cos 14cos 34cos 1)4cos 3(24cos 12cos 444cos 1)2cos 1(484cos 12sin 48)4cos 1(812sin 2112sin 412sin 2112sin 41cos sin 2)cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin 2cot tan 2222222222222244222222m x x m x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+∴=-+=-+=---=--=--=-=-+=+=+∴=+Θ 点评：由已知式与待求式的差异知，若选择“从已知到未知”，必定要“切切割化弦”；利用降幂公式实现已知与未知的统一。
二、统一配凑例2、已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值. 解：注意到2α= (α－β)+(α+β)，于是可用配凑法求解。
∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=点评：本题以凑角的形式来实现未知与已知的统一，这是三角函数化简求值的常用技巧之一。
三、异角化同例3、已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:22=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ 点评：本题求解关键是将如何将已知条件中的角与目标关系式中的角统一起来。
三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题.docx
浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。
下面尝试进行探讨一下：一、关于sin a ± cos sin a cos a(或sin2a)的关系的推广应用：1、由丁•(sin G 土cos a) 2 = sin2 o + cos? a±2sinacosa = 1 ±2smacosa故知道(sina±cosa), 必可推出sin a cos a(或sin 2a), 例如：h例1 已知sin& — cos& 二——，求sin'&-cos‘&。
分析：由于sin' &-COS? & = (sin& - cos&Xsin? & + sin&cos^ + cos2 &)=(sin 0 - cos ^)[(sin 6 - cos 0)2 +3sin&cos&]其中，sin0-cos G已知，只要求出sincos0即可,此题是典型的知sin&-cos&,求sin&cos&的题型。
解：•/ (sin&-cos&)2 = l-2sin&cos&故：l-2sin&cos& = = — => sin^cos^ =—3 3 3sin3&一cos3 & = (sin& — cos&)[(sin& — cos^)2 +3sin&cos&]=^2+3X1 73X1=4^3 3 3 3 3 92、关于tg&+ctg& 与sin& 土cos& , sin & cos & 的关系应用:由于 tg&+ctg"泌 + 致 jiL + COS & 二cosO sm& sin & cos 0 sm& cos&故：tg&+ctg&, sin&土cos&, sin&cos&三者中矢II 其一可推出其余式子的值。
三角函数的化简与推导
三角函数的化简与推导三角函数是数学中常见的函数类型，广泛应用于几何、物理等领域。
在解题过程中，为了简化计算和推导，需要进行三角函数的化简和推导。
本文将介绍常用的三角函数化简和推导方法。
一、三角函数的基本关系三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数。
它们之间存在一些基本关系：1. 正切函数与正弦函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ2. 余切函数与余弦函数的关系：cotθ = cosθ / sinθ3. 正弦函数和余弦函数的平方和恒等于1：sin^2θ + cos^2θ = 1这是三角恒等式中的一个，由于其重要性，被称为“勾股定理”。
二、三角函数化简的常用方法1. 和差化积：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这些公式可用于将和差形式的三角函数化为乘积形式，从而简化计算。
2. 二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1这些公式可将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数，方便推导和计算。
3. 半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]这些公式可将一个角的三角函数表示为半角的三角函数，常用于解题和化简。
三、三角函数的推导方法三角函数的导数是求解各种问题中常见的步骤。
下面列出几个常用的三角函数导数公式：1. 正弦函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)2. 余弦函数的导数：d/dx(cos(x)) = -sin(x)3. 正切函数的导数：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)4. 余切函数的导数：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)这些公式可以用于求解函数的导数，对于复杂的函数关系，可以通过链式法则以及基本的三角函数导数公式来推导导数。
三角函数化简的方法技巧
三角函数化简的方法技巧三角函数是数学中常见的函数，它们在许多领域中都有广泛的应用。
化简三角函数是数学中的重要技巧，它可以简化复杂的表达式，使计算更加简单和直观。
以下是一些常用的三角函数化简方法和技巧。
1. 基本公式使用三角函数的基本公式是化简的基础。
例如，正弦函数的基本公式是：$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$这个公式可以用来化简包含正弦函数的表达式。
根据需要，还可以使用余弦函数、正切函数和余切函数的基本公式。
2. 和差化积公式和差化积公式是一种常见的化简方法。
对于两个角度$\alpha$ 和 $\beta$，我们有以下的和差化积公式：$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$$这些公式可以用来化简包含和差角的三角函数表达式，并将它们转化为乘积形式。
3. 二倍角公式二倍角公式是化简三角函数的另一种常用方法。
对于角度$\theta$，我们有以下的二倍角公式：$$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$$$\cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$这些公式可以用来将包含二倍角的三角函数表达式转化为简单的乘积形式。
4. 三倍角公式类似于二倍角公式，三倍角公式也是化简三角函数的方法之一。
对于角度 $\theta$，我们有以下的三倍角公式：$$\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$$$$\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$$这些公式可以用来将包含三倍角的三角函数表达式转化为简单的表达形式。
三角函数的求值与化简
三角函数的求值与化简一 三角函数式的化简与证明 1．两角和与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S α＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(S α－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(C α＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(C α－β) tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(T α＋β)tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β(T α－β)2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α) tan 2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α)3．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan (α＋β)/(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan (α－β)/(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式 sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.5．角的拆分与组合 (1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3. 例1化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝________.即时训练1化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝________.例24cos 50°－tan 40°＝( ) A.2B.2＋32C.3D.22－1 (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－513，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝45且0<β<π2<α<π，则sin(α＋β)的值为________．即时训练2．(1)已知α为锐角，且sin α(1＋3tan 10°)＝1，则α的值为________． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．。
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第三讲
一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧
1、网络
2、三角函数变换的方法总结
（1）变换函数名
对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需
变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通
过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例 1】已知θ同时满足和,且 a、b 均不为 0，求 a、b 的关系。
练习：已知sin（α＋β ）＝，cos（α－β）＝，求的值。
2）变换角的形式
对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相
表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／ 2 可看作α／ 4 的倍角；（45°＋α）可看成（ 90°＋ 2α）的半角等等。
【例 2】求 sin（θ＋ 75°）＋ cos（θ＋ 45°）－cos（θ＋ 15°）的值。
练习已知，求的值
【例 3】已知 sinα＝Ａ sin（α＋β）（其中cosβ≠ A），试证明：tan（α
＋β）＝
提示： sin[（α＋β）－β ]＝Ａ sin （α＋β）
（3）以式代值
利用特殊角的三角函数值以及含有 1 的三角公式，将原式中的 1 或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。
这其中以“1”的变换为最常
见且最灵活。
“ 1”可以看作是
222222 sin x＋cos x,sec x －tan x,csc x －cot x，
tanxcotx, secxcosx, tan45 °等，根据解题的需要，适时地将“ 1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例 4】化简：
（4）和积互化
积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化
的特殊情形。
这往往用到倍、半角公式。
【例 5】解三角方程： sin 2 x＋ sin 22x＝ sin 23x
（5）添补法
与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。
将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。
【例 6】求证：＝
（6）代数方法
三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置
换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。
这其中有设元转化、利用不等式等方法。
【例 7】锐角α、β满足条件，则下列结论中正确的是（）
A. α+β≠
B.α+β＜
C. α+β＞
D.α+β＝
（7）数形结合
有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，
两者交融，则可开辟解题捷径。
利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方
程等方法都是数形结合的思想。
【例 9】已知：，，求的值。
5.非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究
非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。
【题目】求的值。
练习
1 若，则的值为（）
A. B.
C. D.
2 函数的值域是（）
A. B. C. D.
3. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（）
A. B. C. D.
4.等于（）
A. － 1
B. 1
C. 2
D. －2
二、辅助角公式及其应用
辅助角公式
对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：
y=asinx=bcosx
22a b。
a b (sin x·a2b2cos x·a2b2
)
1求周期
例 1 求函数y 2cos(x x)3 sin2x 的最小正周期。
44
2.求最值
例 2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。
若x[ 0, ] ，求f(x)的最大值和最小值。
2
3求值域
例 4.求函数f x6k16k1
( ) cos(
3
2x) cos( 2 x) 2 3 sin(2x)
33
( x R, k Z) 的值域。
4图象对称问题
例 6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=( )
8
（ A） 2 （B）2（C）1（D）-1
5.图象变换
例 7 已知函数y 1 cos23
sin x cos x1, x R。
该函数的图象可由y sin x( x R)的22
图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
6.求值
例 8.已知函数 f(x)= 3 sin2 x +sinxcosx。
设α∈（0，π），f()= 1
3，求 sin α
242的值。
7.求系数
例 9.若函数 f(x)= 1 cos2x a sin x
cos(
x
) 的最大值为2，试确定常数 a 的值。
4 sin(x )22
2
8.解三角不等式
例 10.已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x[0,2 ] ，求使f(x)为正值的x 的集合。