数学建模四版第十章答案

在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为

。4=b

a

初始兵力00y x 与相同。(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。（2） 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。 解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为：

()()⎪

⎪⎩⎪

⎪⎨⎧==-=-=0

00,0

,y y x x bx dt dy ay dt dx

现求(1)的解：(1)的系数矩阵为⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡--=00b a A

ab ab b a

A E ±==-==

-1,22则 .0λλλ

λλ

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-12，12对应的特征向量分别为，21λλ ()()()。1212的通解为121ab

t

ab e

C e

C t y t x -

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

再由初始条件，得

() 220000t

ab t

ab e y x e

y x t x -

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

.又

ay

bx

dx dy = 其解为

而 ,202022bx ay k k bx ay -==-

(1) ()()

。

2

3

1时，0当00202011y a b y a bx ay a

k t y t x =-=-==

= 即乙方取胜时的剩余兵力数为

.2

3

0y 又令()

.022又知

,01

1

00001=-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x

注意到0

00020022,1

x y y x e

y x t ab -+=

=得. .43

ln 则 ,3得12

1

b

t e

t ab =

= (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则

()⎪

⎪⎩⎪

⎪⎨⎧==-=+-=0

00,)0( y y x x bx dt dy r ay dt dx

.即,则

rdy aydy bxdx bx

r

ay dy dx -=-+-= 相轨线为,222k bx ry ay =-- .2222

20

.02

k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝

⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了

.a r

乙方取胜的条件为。42亦即,02

2202

0a r x a b a r y k +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-