正弦型函数的图像与性质课件

x 0 2 3 4
1x 2
0

2

3 2
2
sin 2x 0 1
0
-1 0
2. 描点 作图： y=sin1 x
y
2
1
O

2
3
1
y=sinx
4 x
y
y=sin1 x
1
2
2
3
4
O

x
1
y=sinx
y=sin2x
二、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin 1 x
2
1
• O • 7
6
12 3 12
5 • x
6
-3
•
解：求单调增区间，可令
2k 2x 2k
2
3
2
解得： k 5 x k
12
12
求单调减区间，可令
2k 2x 2k 3
2
3
2
解得：k x k 7
3
4
5 2 11 7
x
6 12 3
12
6
2x 0
3
2

3 2
2
sin(2x ) 0
1
0
3
-1
0
y
1

2
y sin(2x )
3
x
O
y sin( 2x )
6wenku.baidu.com
4 1
y=sin2x
四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
例4 作函数y sin(2x ) 及y sin(2x )的图象。
O
y sin( 2x )
6
4 1
y=sin2x
函数y=sin ( x +)( >0且≠1)的图象可以看
作 (当是把﹤y0=时sin)平移x 的图| 象个|向单左位(而当得到>0的时。)或向右
提示：由于我们研究的函数仅限于 >0的情况，
所以只需要判断 的正负即可判断平移方向
新课讲解:
例1 作函数
y 2sin x
及
y

1 sin 2
x
的图象。
解：1.列表
x
0
2

3 2
2
sin x
0
1
0
1
0
2sin x 0
2
0
2
0
1 2
sin
x
0
1 2
0

1 2
0
2. 描点、作图：
y
y=2sinx
2
1
y=sinx
2
O

x
1 y= 1sinx
2
2
周期相同
一、函数y=Asinx(A>0)的图象
思考：函数 y f (x)与 y f (ax b)的图像
有何关系？
问题 :怎样由y sin x的图象得到y Asin(x ) (其中A 0, 0)的图象?
答: (1)先画出函数y sin x的图象;
(2)再把正弦曲线向左(右)平移 个单位长度, 得到函数y sin( x )的图象;
12
12
原函数的单调递增区间为：
k

5
12
,
k


12
单调递减区间为：
k

5
12
,
k

7
12

课后作业: 课本
P50 No.3、4； P62 No.5（3）（4）7.
❖ 世上没有什么天才
❖天才是勤奋的结果
3
4
x


3
8
8
8
5
8
7
8
2x
4
0
2

3 2
2
sin(2x )
4
0
1
0
-1
0
y 1
O
y sin( 2x )
6
4 1

2
y=sin2x
x
四、函数y=sinωx与 y=sin(ωx+φ)图象的关系
y
1
8

2
y sin(2x )
3
x
O

2
3
4
x
1
y=sin2x
y=sinx
y=sin
1 2
x的图象可以看作是把
y=sinx的图象上所
有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。
y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所
有点的横坐标缩短到原来的
1 2
倍（纵坐标不变）。
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1
y
y=2sinx
2
1
O

1
y=
1 2
sinx
A
2 x
函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最 大值 为A，最小值为-A.
36
y sin(1 x ) ②
36
13
2
2
7
x
2
(画法二)利用"五点法"画函数y 2sin(1 x )在
36
一个周期(T

2
1
6 )内的图象.
3
令X 1 x ,则x 3( X ).
36
6
当X取0, , , 3 ,2时,可求得相对应的x和y
3
2、再把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度，得
到
y

sin(1 3
x


6
)
的图像。
2
3、再把所得的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2 倍，
横坐标不变，而得到函数 y 2sin(1 x ) 的图像。
36
y
3
2

y=sin(x-
)①
6
1
o

6
-１
2
-2
y=sinx
-3
y 2sin(1 x ) ③
(3)然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 1 倍,
(纵坐标不变)得到函数y sin(x )的图象;
(4)最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,
(横坐标不变)这时的曲线就是函数y Asin(x )
的图象.
思考：如果先伸缩变换再平移变换，只改变（2）（3）两步
的顺序是否还能得到 y Asin(x )(A 0, 0) ？
思考：函数y f (x)与函数y Af (x)的图象有何关系？
例2 1.
作函数 列表：
y

sin
2x
及
y

sin
1 2
x
的图象。
x
0


4
2
3
4

2x
0
2

3
2
2
sin 2x 0
2. 描点： 2 y 连线: 1
O
1
0
1
0
y=sinx
2
3 x
1
2
y=sin2x
1. 列表
时)或伸长(当0<<1时) 到原来的 1 倍(纵坐标
不变) 而得到的。
思考：函数y f (x）与函数y f (k x)的图象有何关系？
练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1) y sin 4x (2) y sin 1 x 3
例3 作函数y sin(x ) 及y sin(x )的图象。
函数
y=Asin(x+)的图象
高一数学组
物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都 是常数）.
函数y＝Asin(ωx＋φ)， (其中A>0, ω >0)表 示一个振动量时，
7
5 13 x
-2 2
2
2
( ,0),(2 ,2),(7 ,0),(5 ,2),(13 ,0)
2
2
2
(3)连线 :
数学应用:
例题 若函数y 3sin(2x ) 表示一个振动量：
3
⑴求这个振动的振幅、周期、初相；
⑵不用计算机和图形计算器，画出该函数的简图；
⑶根据函数的简图，写出函数的单调区间.
22 的值,得到"五点",再描. 点作图. 然. 后 将 简 图再, "描 点五"作点图
X0

2
3 2
2
x 2 7 5 13
2
2
2
y 0 2 0 2 0
(1)列表 :
X0
2

3 2
2
y
x 2 7 5 13
2
2
2
y 0 2 0 2 0
2
(2)描点 :
O 2
A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离，通常称为这个振动的振幅；
往复一次所需的时间 T 2 ，称为这个
振动的周期；
单位时间内往复振动的次数 f 1 ，
T 2
称为振动的频率；
x 称为相位；x=0时的相位φ称为初相。
知识y回顾:
1-
y sin x x[0,2]
3
4
5 4 11 7
x
36
3
6
3
x 0
3
2

3 2
2
sin(x ) 0
1
0
3
-1
0
1y
y sin(x )

3
2
4
O


x
1y

3
sin(
x


)
4
三、函数y=sin(x+φ)图象
1
y sin(x )
3
2
4
O


x
1 3
y sin(x )
36
3、把所得的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3 倍，
横坐标不变，而得到函数 y 2sin(1 x ) 的图像。
36
例1 画出函数y 2sin(1 x )的简图.
36
解：（画法一）
1、先把后者所有点的横坐标伸长为原来的
变，得到 y sin 1 x 的图像。
3倍，纵坐标不
解：设 X 2x ,则 x 3X
(1)列表 :
3
6
X
0

2

3
2
2
x

7 5
6 12
3
12
6
y 0 3 0 3 0
（2）描点
( , 0), ( ,3), ( , 0), (7 , 3), (5 , 0)
6 12 3 12
6
（3）连线
y
3•
答: (1)先画出函数y sin x的图象; (3)然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 1 倍,
(纵坐标不变)得到函数y sin(x )的图象;
(2)再把正弦曲线向左(右)平移 个单位长度, 得到函数y sin( x )的图象;
(4)最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,
(横坐标不变)这时的曲线就是函数y Asin(x )
的图象.
y sin x
向左或向右平
移 ||个单位
纵坐标不变，横坐标
变为原来的 1 倍

y sin(x )
y sinx
纵坐标不变，横坐标
变为原来的 1 倍
y sin(x )
向左或向右平

移| |个单位

4
函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的
图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)
平移|φ|个单位而得到的。
思考：函数y=f(x)与函数t=f(x+φ)的图像有何关系？
四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系
例4 作函数y sin(2x ) 及y sin(2x )的图象。
-
-1
o
6


3
2
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点： ( ,1)
2
最低点：
(
3 2
,1)
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
横坐标不变，纵坐标 变为原来的A倍
y Asin(x )
例1 画出函数y 2sin(1 x )的简图.
36
解：（画法一）
1、先把正弦曲线上所有的点向右平移 个单位长度，得
到 y sin(x )的图像。
6
6
2、把后者所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不
变，得到 y sin(1 x )的图像。