基本不等式知识点总结与例题讲解
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基本不等式知识点总结与例题讲解
一、本节知识点 （1）基本不等式.
（2）利用基本不等式求最值.
（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型
（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解
知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,∈∀b a ,R ,有
22b a +≥ab 2.
当且仅当b a =时,等号成立.
特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得
2
b
a +≥a
b . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式
2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2
b
a +叫做正数
b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.
基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意 重要不等式2
2
b a +≥ab 2与基本不等式
2
b
a +≥a
b 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.
基本不等式的变形
（1）b a +≥ab 2,ab ≤2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.
（2）当0>a 时,a a 1+
≥2,当且仅当a a 1
=,即1=a 时,等号成立; 当0 a 1 +≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立. 实际上,当0 ⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+ a a a a 11. ∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a a 1≥2,∴()⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-,