数学悖论和三次数学危机概述
数学悖论和三次数学危机概述(ppt 35页)
3 罗素悖论与第三次数学危机
第一次数学危机的影响
毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了 沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了, 有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整 个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历 史上称之为第一次数学危机。
第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了 数学及其相关学科的发展。
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝 克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以 表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题： 就无穷小量在当时实际应用而言，它必须 既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这 无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时 的数学界引起了一定的混乱，由此导致了 第二次数学危机的产生。
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹 都曾试图通过完善自己的理论来解决，但 都没有获得完全成功。这使数学家们陷入 了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获 成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾， 即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取 舍上到底何去何从呢？
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题 很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其 中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神 秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本 书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为 计算比如说 x2 的导数，先将 x取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx) 2 ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双 重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的 理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑 无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神 学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。
数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机
数学历史上：三次数学悖论,引发三次数学危机1 什么是悖论日本波岩书店《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。
特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便称为悖论。
即是说，所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可以推出一个命题B，但从这个命题B，却会出现如下自相矛盾的现象：若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。
2 悖论的三种主要形式（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上的自相矛盾。
3 悖论存在的意义悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。
正因为如此，悖论在“荒诞”中蕴涵着哲理，可以给人以启迪，给人以奇异的美感，沿着它所指引的推理思路，可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道，而又使用您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。
但经过破译，将会使您感到回味无穷，并且能从中启发思维，提高能力。
逻辑学家赫兹贝格说：“悖论之所以具有重大意，是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限，……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。
”4 悖论举例1. 上帝全能悖论甲说：“上帝是全能的。
”乙说：“全能就是世界上任何事都能办到。
请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗？”如果说能，则上帝可以被对手击败，并非全能的；如果说不能，则说明上帝并非是全能的。
2. 唐·吉诃德悖论著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞死。
数学悖论与三次数学危机
欧多克
二百年后，大约在公元前 二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的 年 欧多克索斯建立起一套完整的比例论。 欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的 著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《 著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何 原本》一书第五篇中。 原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可 以避开无理数这一“逻辑上的丑闻” 以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住 与之相关的一些结论， 与之相关的一斯的解决方式， 而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式， 是借助几何方法， 是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实 现的。这就生硬地把数和量肢解开来。 现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解 决方案下， 决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许 合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。 的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。 或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符 而不被当作真正的数。 号，而不被当作真正的数。
数学史上把贝克莱的问题称之为“ 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克 莱悖论” 笼统地说， 莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述 无穷小量究竟是否为0”的问题 的问题： 为“无穷小量究竟是否为 的问题：就无穷 小量在当时实际应用而言，它必须既是0， 小量在当时实际应用而言，它必须既是 ， 又不是0。但从形式逻辑而言， 又不是 。但从形式逻辑而言，这无疑是一 个矛盾。 个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引 起了一定的混乱， 起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危 机的产生。 机的产生。
希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切 相关。因此，我们从勾股定理谈起。 相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是 欧氏几何中最著名的定理之一。 欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒 曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。 曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数 学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用， 学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同 时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。 时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在 我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》 我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中 就已有了关于这一定理的初步认识。不过， 就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我 国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。 国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到 三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证 明。
悖论与数学史上的三次危机
悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。
本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。
1 悖论的历史与悖论的定义悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。
“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。
在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。
公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。
在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。
埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。
在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。
在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。
在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。
这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。
尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。
在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。
特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热潮。
悖论的定义有很多说法，影响较大的有以下几种，如“悖论是指这样一个命题A,由A出发可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可推出←B真,亦即可推出B假。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。
于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
数学三次危机的内容
数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学科学中的三次危机是指在20世纪上半叶发生的一系列重大数学问题，这些问题深刻地影响了数学家们的研究方向和方法论。
这三次危机分别是庞加莱猜想、康托尔难题和哈尔定理。
在这篇文章中，我们将对这三个数学难题进行详细介绍，并探讨它们对数学领域的影响。
让我们来了解一下庞加莱猜想。
庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的一个关于拓扑学的问题。
该猜想的内容是“三维球面是唯一的紧致单连通的拓扑空间”。
庞加莱猜想对数学家们提出了一个挑战，因为在当时，拓扑学还处于发展的初级阶段，很多概念和理论尚未完善。
庞加莱猜想的证明一直是数学界的一个巨大难题，直到2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼通过使用里卡蒂流和流形拓扑学，证明了该猜想。
这一证明不仅解决了庞加莱猜想，也为流形拓扑学的发展提供了新的思路。
让我们来看看康托尔难题。
康托尔难题是德国数学家乔治·康托尔在19世纪末提出的一个极具挑战性的数学难题。
该难题的核心内容是研究无限集合的基数大小。
康托尔提出了连续统假设，即不存在介于自然数和实数之间的集合。
康托尔难题的解决涉及到了极限集合论、集合论和拓扑学等多个领域，成为20世纪数学发展的一个重大挑战。
直到1960年代，由保罗·科恩证明了连续统假设和选择公理的独立性，康托尔难题才得以部分解决。
康托尔难题的解决为数学领域的发展开辟了新的方向，促进了集合论和拓扑学的深入研究。
让我们来谈谈哈尔定理。
哈尔定理是由挪威数学家埃米尔·哈尔于1900年提出的一个著名数学难题。
该定理的内容是“任意一个连续函数序列在闭区间上一致收敛于一个连续函数”，这个定理在分析学中起到了至关重要的作用。
哈尔定理的证明引入了严格的收敛性概念和一致收敛性概念，为数学家们提供了新的研究方法。
哈尔定理的证明通过构造逼近序列和使用极限过程，为数学分析领域的研究提供了新的思路和工具。
史上数学三大危机简介
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------史上数学三大危机简介数学三大危机数学三大危机简述：第一，希帕索斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前 5 世纪）发现了一个腰为 1 的等腰直角三角形的斜边（即根号 2）永远无法用最简整数比（不可公度比）来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。
相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希帕索斯抛入大海；第二，微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻；第三，罗素悖论：S 由一切不是自身元素的集合所组成，那 S 包含 S 吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：我正在撒谎！问小明到底撒谎还是说实话。
罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题万物皆数是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而一切数均可表成整数或整数之比则是这一学派的数学信仰。
1 / 6然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的掘墓人。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生。
小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
第二讲：数学悖论与三次数学危机
危机的彻底解决
由无理数引发的第一次数学危机一直延
续到19世纪。直到1872年，德国数学家戴德
金(Dedekind)从连续性的要求出发，用有理
数的“分割”来定义了无理数，对数系进行
了扩张，使人类认识了实数系，并把实数理
论建立在严格的科学基础上，才结束了无理
数被认为“无理”的时代，危机也才算最终
得到解决，它一共持续了2000多年。
第二讲
数学悖论 与 三次数学危机
前言 一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
1、危机的起因 2、危机的实质 3、危机的解决
二、贝克莱悖论与第二次数学危机
1、危机的引发 2、危机的实质 3、危机的解决 4、成果
三、罗素悖论与第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光——集合论的诞生与发展 2．数学“绝对严格”了？ 3．“基石”动摇——罗素的“集合论悖论”引发危机 4．危机的消除——集合论公理化
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2）危机的出现
毕派成员之一希帕索斯(Hippasis)从正方形中发现了一个惊 人的结论：边长为1的正方形的对角线与边是不可公度的！ 希帕索斯的这一发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞 生，因为对角线长度既不能用整数、也不能用分数表示。 但它却直接动摇和摧毁了毕达哥拉斯学派的数学信仰： 一切数均可表成整数或整数之比！ 进而动摇了局限在可通约量上的关于相似形的所有理论； 动摇了信徒们对毕的信念；动摇了毕在学术界的统治地位。 由于出现了不是有理数的数，故称为“悖论”。 因毕达哥拉斯学派的声望，而多称为“毕达哥拉斯悖论”。 因它触犯了毕氏学派的根本信条，不能被接受，从而导致了 西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。 6
认为数是万物的本原，“万物皆数”，——该学派的信条： 万物按照一定的数量比例而构成和谐秩序。 • 代数上： “一切数均可表成整数或整数之比”； • 几何上：“任意两条线段都可公度”；
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
(推荐)数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机
数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机摘要：古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精确的思考，也正是悖论直接导致了三次数学危机，并不断推动数学走向完整与完美。
关键词：数学悖论；三次数学危机；数学的完美1 引言“现在我说一句假话。
”这句话是真是假？“悖论(Paradox)”，也可叫“逆论”或“反论”。
悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。
“一般而言，悖论的某个答案单独看是很有说服力的，而势均力敌的对手之间的‘拉锯战’则使问题保持了生气。
”1悖论有四种主要形式。
1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）3．某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题“悖论是有趣的”是每一个接触过悖论的人的感受；“悖论是极其重要的”接受这一观点的人却少之又少。
但请不要小看悖论，生活中存在悖论，如“涂写一个告示，上书：不准涂写！”2古今中外也有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精确的思考，也正是悖论直接导致了三次数学危机，并不断推动数学走向完美。
2 第一次数学危机“在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
”3这句话很精确地道出了三次数学危机的本质。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
这一个小小的2不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量都“应该”表示成有理数。
可是这一为人们的经验所确信的常识性论断居然被小小的2的存在而推翻了！希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，它成为一场巨大数学风波的导火索，直接触发了第一次数学危机。
三次数学危机和数学悖论读书笔记
三次数学危机和数学悖论读书笔记一、第一次数学危机。
1. 危机的起源。
- 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是整数或整数之比（即有理数）。
当他们研究等腰直角三角形的斜边与直角边的关系时，发现了一个不可公度的量。
例如，对于边长为1的等腰直角三角形，其斜边长度为√(2)，√(2)不能表示为两个整数之比，这与他们的信条产生了冲突。
2. 对数学的影响。
二、第二次数学危机。
1. 危机的起源。
- 17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微积分。
在微积分的早期发展中，存在着一些概念上的模糊性。
例如，牛顿的流数法中，对于无穷小量的定义和处理不够严谨。
在求导过程中，先把一个量看作无穷小量进行运算，最后又把它当作零舍去，这就引发了逻辑上的矛盾。
例如，对于函数y = x^2，求导时(Δ y)/(Δ x)=frac{(x + Δ x)^2-x^2}{Δ x}=2x+Δ x，当Δ x趋近于0时，牛顿把Δ x既当作非零的量进行运算，最后又当作零舍去得到y' = 2x。
2. 对数学的影响。
- 这次危机促使数学家们对微积分的基础进行深入的思考和研究。
柯西、魏尔斯特拉斯等数学家通过极限理论等方式来完善微积分的基础。
柯西提出了极限的ε - δ定义，使得微积分中的概念如导数、积分等有了严格的定义基础。
魏尔斯特拉斯进一步完善了极限理论，消除了无穷小量概念的模糊性，从而使微积分建立在严格的逻辑基础之上，推动了分析学的蓬勃发展，也为现代数学分析等学科的发展奠定了坚实的基础。
三、第三次数学危机。
1. 危机的起源。
- 19世纪末，集合论成为了数学的基础。
康托尔创立的集合论在处理无穷集合等问题上取得了巨大的成功。
罗素提出了著名的罗素悖论。
考虑集合S={xx∉ x}，如果S∈ S，根据S的定义，S∉ S；如果S∉ S，同样根据定义S∈ S，这就产生了矛盾。
这个悖论表明集合论本身存在着逻辑漏洞。
2. 对数学的影响。
- 第三次数学危机引发了数学界的巨大震动。
数学发展史上三次数学危机
数学发展史上三次数学危机第一次数学危机“无理数的产生”第一次危机发生在公元前580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为 1 的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数” 产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机。
第二次数学危机“微积分工具”18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。
危机的起源因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。
1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。
这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
第三次数学危机“罗素悖论”到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。
集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。
但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。
康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。
数学悖论与三次数学危机
数学悖论与三次数学危机数学，作为一门精确的科学，自古以来一直受到人们的推崇和喜爱。
然而，数学也并非完美无缺，它也存在着一些悖论和危机，这些问题挑战着人们对数学的认知和理解。
本文将探讨数学悖论与三次数学危机，并着重讨论数学领域中的挑战和问题。
一、数学悖论1. 贝塞尔悖论：贝塞尔曲线在数学和科学领域中广泛应用，它是一种描述曲线形状的数学工具。
然而，贝塞尔悖论指出，贝塞尔曲线的某些性质与直觉相悖。
例如，当贝塞尔曲线被细分为越来越多的段落时，曲线并不会平滑地收敛到给定的目标形状。
这一悖论引发了对曲线近似和计算的许多挑战。
2. 伯克霍夫悖论：伯克霍夫悖论涉及到在无限次迭代的情况下，计算某些概率的困难性。
例如，如果我们有一枚硬币，每次抛掷，正面朝上的概率为1/2。
那么，如果我们连续无限次抛掷硬币，正面朝上的次数相对于总次数的比例又是多少呢？直觉上，这个比例应该是1/2，但根据伯克霍夫悖论，这个比例实际上是一个不确定的值。
3. 瑕疵统计：瑕疵统计是指在无限时间和空间中的某些分布，存在着某些奇怪的性质。
例如，考虑一个线段，我们可以通过在中间随机选择一个点，然后将剩余部分一分为二。
重复此过程，我们将得到一系列长度不断减小的线段。
然而，根据瑕疵统计，最终我们会得到一个长度为零的线段。
这种现象挑战着我们对无穷的理解。
二、三次数学危机1. 黑洞信息悖论：黑洞是宇宙中最神秘而又引人入胜的天体之一。
然而，根据黑洞信息悖论，当物质进入黑洞时，所有关于该物质的信息都将永久性地丢失。
这一结果与量子力学的基本原理相矛盾，其中信息是不可破坏的。
黑洞信息悖论挑战了我们对信息保存和宇宙进化的理解。
2. 艾伦-克拉曼恩悖论：在数学中，一个凯莱集合是指具有类似于实数线的长度，但没有定义的集合。
这种存在令人惊讶，因为对于实数而言，我们可以精确地描述和测量其长度。
然而，艾伦-克拉曼恩悖论指出，某些特殊的凯莱集合存在于一个叫做超计算的理论计算机中。
数学历史上三大危机
数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。
其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。
这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。
一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。
自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。
然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。
这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。
无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。
为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。
无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。
二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。
在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。
然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。
例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。
为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。
19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。
极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。
三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。
19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。
然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。
数学三大危机简介
数学三大危机简介数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。
今天小编在这给大家整理了数学三大危机资料，接下来随着小编一起来看看吧!数学三大危机第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。
小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机出现第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
数学的三大危机和悖论
•
现 得 很 优 秀 ︒
数 学 体 系 ︐ 尽 管 很 多 方 面 表
机 ︐ 就 没 能 完 全 形 成 真 正 的
大 国 ︐ 因 为 没 有 这 次 数 学 危
向 不 同 的 路 ︐ 像 中 国 这 样 的
使 得 东 西 方 数 学 体 系 完 全 走
大 定 律 ︒ 正 是 因 为 这 次 危 机 ︐
• 下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。
第一次数学文化
第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟 精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要 精确到一定程序就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学 派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a 和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理 数。但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像 不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直 角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不 满足这个条件。这个证明起来其实很简单，但是对于 当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接 受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶 妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到 海里面去了。这就是典型的学术迫害啊。
数学的三大危机和悖论
• 在数学的历史上，有过三次比较重大的危机。
• 第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数 学王朝推翻。 • 第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间 的契合的问题。
• 第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到 了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重 来。
的 地 位 下 降 ︐ 几 何 学 的 地 位
第 一 次 数 学 危 机 使 得 纯 代 数
多 的 学 者 发 现
一 个 希 帕 索 斯 ︐ ︐ 自 然 会 ︐ 有 更 ︔ √2 √3 √5
数学三次危机的内容
数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学三次危机，是指19世纪末20世纪初数学领域内的三次危机，分别是克里斯托弗·沃尔夫（Christopher Wolfe）在美国《数学评论》上提到的第一次危机、大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提到的第二次危机以及数学家布朗在1960年代关于数学逻辑基础的研究中提出的第三次危机。
第一次危机是指19世纪末20世纪初，数学家们对欧几里得几何学的基础进行重新审视的过程。
欧几里得几何学是古希腊数学家欧几里得创立的一种几何学体系，至今被广泛运用。
19世纪末出现了一些疑问，比如平行公设、非欧几何学等问题，这些问题对欧几里得几何学的基础提出了挑战。
数学家们面临的困境是如何从最基础的公设出发重新建立几何学的基础。
数学家们开始重新思考几何学的基础，试图通过推导出新的公设来建立一个更加完善的几何学体系。
第二次危机是在1900年，当时大卫·希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上提出了23个重要的数学问题，其中有一些问题一直未能得到解决。
这些问题涉及到了数学领域的各个方面，如代数、几何、数论等。
这些问题的存在引发了数学家们对数学的基础是否牢固的疑问，希尔伯特提出的这些问题为后来20世纪的数学家们提供了方向。
第三次危机是在1960年代，数学家布朗在研究数学逻辑基础时提出了关于数学的第三次危机。
他指出，数学家们面临的一个重要问题是如何确立数学的基础，并且确定数学体系的完备性。
这些问题涉及到了尤里·奈斯特林和阿尔弗雷德·特斯克勒等数学家们提出的不完全定理。
这些定理表明，数学体系内部存在无法证明的命题，这对数学的基础产生了挑战。
数学家们为了解决这些问题，开始研究递归理论、模型论等新的理论方法，以确保数学的基础是牢固的。
数学三次危机是数学领域内的三次挑战，数学家们通过不断的努力和研究，逐渐解决了这些问题，使得数学体系更加完善和牢固。
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❖ 数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展
史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐 的，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础 上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者 是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的 等价式。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为 它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉 及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀 疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的 产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的 动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个 典型的数学悖论引起的。本讲回顾了历史上发生的三次数学危 机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。
第一次数学危机的影响
❖ 毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生 了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇 了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了 整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱， 历史上称之为第一次数学危机。 ❖ 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动 了数学及其相关学科的发展。
第一次数学危机的影响
❖ 首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数 的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究 了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有 理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数 理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学 危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠 的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公 理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在 这时候应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学 的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数 学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。
牛顿
莱布尼兹
贝克莱
2 贝克莱悖论与第具的使用。伴 随❖ 着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几 乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为 牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世， 就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这 一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱 布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的 理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本 概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而， 从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其 中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
❖ 什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程： 它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很 多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由 它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它 为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点， 因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。 ❖ 如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波 会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的 普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致 “数学危机”的产生。按照习惯的说法，在数学发展 史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。
1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
❖ 然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发 现了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线 长并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为1， 并设其对角线长为d，依勾股定理应有d2=12+12=2，即 d2=2，那么d是多少呢？显然d不是整数，那它必是两整数 之比。希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果 没找着，反而找到了两数不可通约性的证明，用反证法证 明如下：设Rt△ABC，两直角边为a=b，则由勾股定理有 c2=2a2，设已将a和c中的公约数约去，即a、c已经互素， 于是c为偶数，a为奇数，不妨令c=2m，则有(2m)2=2a2， a2=2m2，于是a为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。这一 发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。
❖ 数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现 悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可 靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数 学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和 失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望， 促进了数学的繁荣。危机产生、解决、又产生的无穷 反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数 学思想获得重要发展的过程。
毕达哥拉斯
1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机
❖ 公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕 达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真 理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的 哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐。他们 认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约 的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别 的数，即是说世界上只有整数或分数。 ❖ 毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了 毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理。勾股 定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a2+b2=c2， a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c表示斜边。
2 贝克莱悖论与第二次数学危机
1734年，贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题 很长的书《分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其 中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神 秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理》。在这本 书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为 计算比如说 x2 的导数，先将 x取一个不为0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx) 2 ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是“依靠双 重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的 理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑 无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神 学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。