江苏省南京市高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)

南京市2017－2018学年度第一学期期末调研测试卷

高二数学（理科） 2018.01

注意事项：

1．本试卷共3页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：

圆锥的体积公式：V ＝1

3πr 2h ，侧面积公式：S ＝πrl ，其中r ，h 和l 分别为圆锥的底面半

径，高和母线长．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．

上．

1．命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是 ▲ ．

2．已知复数z 满足 z (1＋i)＝i ，其中i 是虚数单位，则 |z | 为 ▲ ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是 ▲ ．

4．“x 2－3x ＋2＜0”是“－1＜x ＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．

5．已知实数x ，y 满足条件 ⎩

⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥1，2x ＋y －5≤0，则z ＝3x ＋y 的最大值是 ▲ ．

6．函数 f (x )＝x e x 的单调减区间是 ▲ ． 7．如图，直线l 经过点(0，1)，且与曲线y ＝f (x ) 相切 于点(a ，3)．若f ′(a )＝2

3，则实数a 的值是 ▲ ．

8．在平面直角坐标系xOy 中，若圆 (x －a )2＋(y －a )2＝2 与圆 x 2＋(y －6)2＝8相外切，则实数a 的值为 ▲ ．

9．如图，在三棱锥P —ABC 中， M 是侧棱PC 的中点，且BM →＝x AB →＋y AC →＋z AP →

，

x

y

O

a

3 1 y ＝f (x )

l

（第7题图）

A

C

P

M

则x ＋y ＋z 的值为 ▲ ．

10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 23－y 2

＝1的渐近线与

抛物线x 2＝43y 的准线相交于A ，B 两点，则三角形OAB 的面积为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线 3x ＋y －2＝0的距离为

1，则满足条件的点A 的个数为 ▲ ．

12．若函数f (x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0，3) 内有极值，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，

过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ． 若AF 2→＝2F 2C →

，则该椭圆的离心率为 ▲ ．

14．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ，m ∈(0，5]，使得当x ∈[0，m ] 时，f (x )的取值范围是[0，am ]，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

已知复数z ＝2＋4m i

1－i ，（m ∈R ，i 是虚数单位）．

（1）若z 是纯虚数，求m 的值；

（2）设—z 是z 的共轭复数，复数—

z ＋2z 在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值

范围．

16．（本题满分14分）

如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点． （1）求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值； （2）设二面角A —BD —G 的大小为θ，

B 1

D

C

A 1

C 1

D 1

E

F

G

求 |cos θ| 的值．

17．（本题满分14分）

如图，圆锥OO 1的体积为6π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ． （1）试写出S 关于x 的函数关系式；

（2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？

18．（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点A (1，3) ，B (4，2)，且圆心在 直线l ：x －y －1＝0上．

（1）求圆C 的方程；

（2）设P 是圆M ：x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0上任意一点，过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，试求四边形PMCN 面积S 的最小值及对应的点P 坐标．

19．（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条准线方程为x ＝43

3，

离心率为

3

2

． （1）求椭圆C 的方程；

（2）如图，设A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM ，AN ，分别与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线MN 垂直于x 轴．

① 设直线AM ，AN 的斜率分别是k 1， k 2，求k 1k 2的值；

O

O 1

（第17题图）