高一函数的概念教师版
专题1.1 函数概念及三要素(教师版)
第一讲函数的概念及三要素1．函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数、映射的判断【例1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )（2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x【举一反三】1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是A．M={x|x∈Z},N={y|y∈Z}，对应关系f:x→y,其中y=x2B．M={x|x>0,x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=±2x C．M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2D．M={x|x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=2x2．下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是( )A．B．C．D．考向二函数定义域求法类型一：已知解析式求定义域的定义域是。
【例2-1】（1）函数y=√3−xlgx(x−1)0的定义域是。
（2）函数y=√12+x−x2【举一反三】1．函数()f x =的定义域为 。
2．函数f (x )=√2−x +log 2x 的定义域是 。
第一讲 函数概念及三要素(教师)
第一讲 函数概念及三要素一、知识梳理1、映射的定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任何一个元素,在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。
记作：映射B A f →:。
集合A 中的元素a 对应集合B 中的元素b 叫a 的象，记作)(a f b =，a 叫b 的原象。
若A 中元素m 个，B 中元素n 个，则：A 到B 的映射有m n 个；B 到A 的映射有n m 个. 2、函数的概念：设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作A x x f y ∈=),(。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 }|)({A x x f ∈叫做函数的值域(range)。
3、函数的定义域：函数)(x f y =中，自变量x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域。
由表达式决定的定义域，常见情况有： ①1()f x 要求()0f x ≠； ②n x f 2)(要求0)(≥x f ； ③0)(x f 要求0)(≠x f ； ④log ()a f x 要求0)(>x f 且01a <<； ⑤)(tan x f 要求(),2f x k k ππ≠+∈Ｚ4、函数的值域：函数)(x f y =中，y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数)(x f y =的值域。
求值域的常用方法：单调性法、常数分离法、配方法、 换元法、判别式法、数形结合法、不等式法、有界法、均值不等式等。
5、函数的表达式：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种。
求函数解析式的常用方法：换元法；配凑法；待定系数法；消元法6、分段函数：在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同的函数称为分段函数。
暑假初升高数学衔接讲义 第5讲 函数的概念及定义域(教师版)
第五讲 函数的概念及定义域一、【知识梳理】知识点一 函数的概念1、函数的概念：设,A B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：()y f x =，x A ∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，所有函数值y 的集合B 叫做函数的值域。
注：（1）定义域、值域、对应法则称函数的三要素。
两个函数相同，这三个要素必须相同，缺一不可。
（2）对应法则f ，可以是解析式，可以是图象、表格、文字描述；自变量x 只能是数。
（3）()f x 与()f a 的关系：()f x 是自变量x 的函数，()f a 表示x a =时()f x 的函数值。
2、区间与“无穷大”：设,a b 是两个实数，而且a b <，则（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[],a b ； （2）满足不等a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(),a b ；（3）满足不等式a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b ；（4）实数集R 也可以用区间表示为(,)-∞+∞，其中“∞”读作“无穷大”。
（5）若x a ≤，可表示为],(a -∞,x a ≥ ,可表示为[),a +∞； （6）若a x <,可表示为(,)a -∞,a x > ,可表示为(,)a +∞。
知识点二 映射的概念1、映射的概念：设,A B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作:f A B →2、若:f A B →，且,a Ab B ∈∈,如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a的象，元素a 叫做元素b 的原象。
专题3.1--函数的概念及其表示--教师版
专题3.1函数的概念及其表示练基础1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．24【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为().A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x x=的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()1x f x x=的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x ∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或22-【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：2a =-，故1a =或2-，故答案为：1或2-.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦练提升1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t 51-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =()min 1n m -=.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )=2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.【答案】5112a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21515111022a a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+=+--=---≤ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于01a <<，所以解得112a ≤<.故答案为：112a -≤<9.（2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10.（2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x 的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .练真题1.（山东高考真题）设=s 0<<12−1,≥1,若=+1,则1=（）A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】由≥1时=2−1是增函数可知,若≥1,则≠+1,所以0<<1,由op =o +1)得=2(+1−1),解得=14,则1=o4)=2(4−1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，1的可能取值只能是（）A．3B．3C．3D．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=3，3，0时，此时得到的圆心角为3，6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y，因此只有当此时旋转6，此时满足一个x 只会对应一个y，故选：B．3.（2018年新课标I 卷文）设函数=2−，≤01，>0，则满足+1<2的x 的取值范围是（）A.−∞，−1B.0，+∞C.−1，0D.−∞，0【答案】D【解析】将函数op 的图象画出来，观察图象可知会有2<02<+1，解得<0，所以满足+1<2的x 的取值范围是−∞，0，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5.（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)(1,3](4,)⋃+∞【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。
3.1函数的概念及其表示方法-(必修第一册) (教师版)
函数的概念及其表示方法一函数的概念1 概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x) ,x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2 定义域①概念函数自变量x的取值范围.②求函数的定义域主要应考虑以下几点(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；(5)指数为零底不可以等于零；(6)抽象函数的定义域较为复杂.3 值域①概念函数值y的取值范围②求值域的方法(1)配方法(2)数形结合(3) 换元法(4)函数单调性法(5)分离常数法(6)基本不等式法4 区间实数集R表示为(−∞ ,+∞).二函数的表示方法1表格法如上表，我们很容易看到y与r之间的函数关系.在初中刚学画一次函数图像时，第一步就是列表，其实就是用表格法表示一次函数.2 图像法如上图，很清晰的看到某天空气质量指数I与时间t两个变量之间的关系，特别是其趋势.数学中的“数形结合”也就是这回事，它是数学一大思想，在高中解题中识图和画图尤为重要.3 解析式求函数解析式的方法(1)配凑法(2)待定系数法(3)换元法(4)构造方程组法(5)代入法【题型一】函数概念的理解【典题1】设集合M={x|0≤x≤2} ,N={y|0≤y≤2} , 给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )【解析】(本题相当把M={x|0≤x≤2}看成定义域，N={y|0≤y≤2}看成值域)图象A不满足条件，因为当1<x≤2时，N中没有y值与之对应.图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应.图象C 不满足条件，因为对于集合M ={x|0<x ≤2}中的每一个x 值，在集合N 中有2个y 值与之对应，不满足函数的定义.只有D 中的图象满足对于集合M ={x|0≤x ≤2}中的每一个x 值，在N ={y|0≤y ≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应，故选D .【典题2】 给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是( ) ① x 2+y 2=1 ② |x －1|+√y 2−1=0 ③ √x −1+√y −1=1 ④ y =√x −2+√1−x ． A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】①由x 2+y 2=1得y =±√1−x 2，不满足函数的定义， 比如x =0，y =±1，所以①不是函数．②由|x －1|+√y 2−1=0得|x －1|=0，√y 2−1=0， 所以x =1 ,y =±1，所以②不是函数．③由√x −1+√y −1=1得y =(1−√x −1)2+1，满足函数的定义，所以③是函数．④要使函数y =√x −2+√1−x 有意义，则{x −2≥01−x ≥0，解得{x ≥2x ≤1，此时不等式组无解，所以④不是函数．故选：C ．【点拨】函数中自变量x 与函数值y 的关系是“一对一或多对一”的关系，不能是“一对多”.【题型二】求函数的定义域 【典题1】 函数y =√−x 2+2x+3x的定义域是 .【解析】要使函数有意义，则{−x 2+2x +3≥0x ≠0，即{−1≤x ≤3x ≠0.即−1≤x <0或0<x ≤3，即函数的定义域为[−1 ,0)⋃(0 ,3]．【典题2】 下列各组函数中表示的函数不同的是 ( ) A ．f(x)=x ,g(x)=√x 33B ．f(x)=√x 2 ,g(x)=|x|C ．f (x )=x 2−3x ,g (t )=t 2−3tD ．f(x)=x 2−4x−2 ,g(x)=x +2【解析】A ,B ,C 的定义域和对应法则相同，表示同一函数，D中g(x)=x+2的定义域是R，f(x)=x2−4x−2=x+2定义域为{x|x≠2}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：D．【点拨】①判断两个函数是否是同一函数，看函数的定义域和解析式是否均相同；②函数反应的是两个变量的关系，至于用什么字母表示都一样，故选项C的f(x)=x2－3x ,g(t)=t2－3t是同一函数.【典题3】已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2x−1)的定义域.【解析】∵0≤x≤3 ∴−1≤x2−1≤8∴−1≤2x−1≤8 ∴0≤x≤9 2故函数f(2x−1)的定义域是[0 ,92].【点拨】抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，若把题目换成“已知f(x2−1)定义域为[0 ,3]，求f(2t−1)的定义域.”好理解多了，①谨记定义域指的是自变量的取值范围，所以由“f(x2−1)定义域为[0 ,3]”得到的是“0≤x≤3”，“求f(2t−1)的定义域”指的就是求t的范围.②把“x2−1”和“2t−1”都看成整体，它们的范围是相等的这样就有“−1≤x2−1≤8 ⇒−1≤2t−1≤8”.【题型三】求函数的值域方法1 配方法【典题1】求函数y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域.【解析】y=5x 2−4x+1x2=1x2−4x+5=(1x−2)2+1∵x∈[14 ,1] ∴1x∈[1 ,4]，∴1≤(1x−2)2+1≤5，即y=5x 2−4x+1x2在区间x∈[14,1]的值域[1 ,5].【点拨】配方法针对二次函数型的函数值域.方法2 数形结合【典题2】 求函数f (x )={2x −x 2 ,(0≤x ≤3)x 2+6x ,(−2≤x ≤0)的值域.【解析】(这是分段函数，两段函数均为二次函数，其图像易得，故可用数形结合求值域) f (x )=2 x −x 2=−(x −1)2+1，开口向下，最大值为f (1)=1 , 而f(0)=0 ,f(3)=−3 ,f (x )=x 2+6 x =(x +3)2−9 , 开口向上，而f(−2)=−8 ,f(0)=0， 可得到函数图像如右图，易得函数值域为[−8 ,1]. 【点拨】数形结合最大的好处是直观.方法3 换元法【典题3】 求函数f (x )=2x +√1−x 的值域.【解析】令t =√1−x (t ≥0)，(要注意新变量t 的取值范围) 得x =−t 2+1，∴原函数化为y =−2t 2+t +2=−2(t −14)2+178≤178(把函数转化为二次函数值域问题)∴函数f (x )=2 x +√1−x 的值域为(−∞ ,178].【点拨】本题利用换元法把不熟悉函数值域问题转化为熟悉的二次函数值域问题，即求函数f (x )=2x +√1−x 的值域⇔y =−2t 2+t +2 (t ≥0)的值域，其中特别注意t ≥0不能忽略！这正是体现了数学中的“等价转化”思想.【典题4】 函数f(x)=−9−x +(13)x−1+34在[−1 ,+∞)上的值域为 ．【解析】f(x)=−9−x +(13)x−1+34=−(13)2x +3×(13)x +34，(本题主要是注意到了9−x 和(13)x−1均可(13)x 或3x 的形式，故想到换元法) 令t =(13)x ，因为x ∈[－1 ,+∞)，所以t ∈(0 ,3]，原函数的值域等价于函数g(t)=−t 2+3t +34=−(t −32)2+3(0<t ≤3)的值域， 由二次函数的性质可知，f(x)=[34 ,3]，即所求函数的值域为[34 ,3]． 【点拨】① 换元法的本质就是“整体思想”，它能把“不太友善的”表示形式转化为“友善的”，前2题均用换元法把复杂形式函数转化为二次函数，故解题过程中特别要注意式子的结构特征.②换元法要注意换元后变量的取值范围，比如典题3的“t≥0”，典题4中的“t∈(0 ,3]".方法4 函数单调性法【典题5】函数f(x)=2x2−2x+3 ,x∈[0 ,3]的值域为.【解析】由复合函数的单调性可知，函数f(x)在[0 ,1]上单减，在[1 ,3]上单增，又f(0)=23=8 ,f(1)=22=4 ,f(3)=26=64，∴函数值域为[4 ,64]．【点拨】①利用函数单调性是求函数值域最常见的方法，高二还会学到导数，它是一把利器.②复合函数的单调性是"同增异减".方法5 分离常数法【典题6】求函数f(x)=2x 2−1x2+1的值域.【解析】函数f(x)=2x 2−1x2+1=2(x2+1)−3x2+1=2(x2+1)x2+1−3x2+1=2−3x2+1，(在分子2x2−1中“凑出”分母x2+1，最终达到“分式中的分子是个常数3”的目的)∵x2+1≥1 ,∴0<1x2+1≤1⇒−3≤−3x2+1<0⇒−1≤2−3x2+1<2，故函数f(x)=x 2−1x2+1的值域是[－1 ,2).【点拨】形如f(x)=a∙g(x)+bc∙g(x)+d 均可用分离常数法求函数值域，比如求函数y=3x+14x−2,y=3∙2x+42x−1的值域.方法6 基本不等式法(对勾函数法)【典题7】求函数f(x)=x 2+4x+1x2+1(x≥0)的值域.【解析】∵f(x)=x 2+4x+1x2+1=x2+1x2+1+4xx2+1=1+4xx2+1，(也有点分离常数法的感觉)∴①当x=0时，f(x)=1；(x=0这个不能漏)②当x>0时，0<4xx2+1=4x+1x≤4√x⋅1x=2，当且仅当x=1时“=”成立；此时1<f(x)≤3，(利用对勾函数y=x+1x(x>0)的图像求解也可以)∴函数f(x)=x 2+4x+1x 2+1(x ≥0)的值域为[1,3]．【点拨】利用基本不等式法(对勾函数法)能处理二次分式函数y =dx 2+ex+fax 2+bx+c 的值域. 巩固练习1(★) 函数y =f(x −1)与函数y =f(x +1) ( ) A ．是同一个函数 B ．定义域相同 C ．图象重合 D ．值域相同【答案】 D【解析】由于函数y =f(x －1)中x －1的范围与函数y =f(x +1)中x +1的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系f ，故函数y =f(x －1)与函数y =f(x +1)具有相同的值域， 故选：D ．2(★) 函数f(x)=√−x 2+4x +12+1x−4的定义域为 . 【答案】[−2,4)∪(4,6]【解析】解{−x 2+4x +12≥0x −4≠0得，－2≤x ≤6，且x ≠4； ∴f(x)的定义域为：[－2,4)∪(4,6]．3(★★) 已知函数f(x +1)定义域为[1 ,4]，则函数f(x －1)的定义域为 . 【答案】[3 ,6]【解析】∵f(x +1)的定义域为[1,4]；∴1≤x ≤4；∴2≤x +1≤5； ∴f(x)的定义域为[2,5]；∴f(x －1)满足：2≤x －1≤5；∴3≤x ≤6； ∴f(x －1)的定义域为[3,6]．4(★★) 函数y =2−√−x 2+4x 的值域是为 . 【答案】 [0,2]【解析】∵0≤－x 2+4x ≤4，∴0≤√−x 2+4x ≤2， ∴0≤2−√−x 2+4x ≤2，故函数y =2−√−x 2+4x 的值域是[0,2]．5(★★) 函数y =√x −1+√x +1,(x ≥1)的值域为 . 【答案】[√2,+∞]【解析】函数y =√x −1+√x +1显然在 x ≥ 1上是增函数，所以函数值域为[√2,+∞]. 6(★★) 函数f(x)=x−1x+3(x ≥1)的值域为 . 【答案】 [0,1)【解析】f(x)=x+3−4x+3=x+3x+3−4x+3=1−4x+3， 则当x ≥1时，f(x)为增函数， 则f(1)≤f(x)＜1，即0≤f(x)＜1， 即函数的值域为[0,1)．7(★★) 函数y =4x +2x+1+3的值域为 . 【答案】(3 ,+∞) 【解析】令t =2x (t >0)，∴函数y =4x +2x+1+3(x ∈R)化为f(t)=t 2+2t +3=(t +1)2+2(t >0), ∴f(t)>3，即函数y =4x +2x+1+3的值域为(3,+∞)． 8(★★★) 求函数y =2x 2−x+12x−1(x >12)的值域.【答案】[12+√2 ,+∞) 【解析】 y =2x 2−x+12x−1=x(2 x−1)+12 x−1=x +12 x−1=x −12+12 x−1+12∵ x >12， ∴ x −12>0 ∴ x −12+12x−12≥2 √( x −12)×12x−12=√2当且仅当 x −12=12x−12时，即x =1+√22时等号成立，∴ y ≥√2+12 ，所以原函数的值域为 [12+√2,+∞) .【题型四】分段函数【典题1】设函数f(x)={x 2+2 (x ≤2)2x (x >2)，若f(x 0)=8，则x 0= ．【解析】由题意，得①当x 0≤2时，有x 02+2=8，解之得x 0=±√6， 而√6>2不符合，所以x 0=−√6；②当x 0>2时，有2x 0=8，解之得x 0=4． 综上所述，得x 0=4或−√6．【典题２】已知函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0，若互不相等的实数x 1 ,x 2 ,x 3满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围为 .【解析】(乍眼一看，不太理解题意，设f (x 1)=t ，本题就函数y =t 与y =f(x)交点横坐标的问题，自然想到数形结合)函数f(x)={x 2−6x +6 ,x ≥03x +4 ,x <0的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2 ,x 3关于直线x =3对称，故x 2+x 3=6， 且x 1满足−73<x 1<0；则x 1+x 2+x 3的取值范围是−73+6<x 1+x 2+x 3<0+6； 即x 1+x 2+x 3∈(113 ,6)．【点拨】分段函数本质上是“分类讨论”，特别要注意“每段函数”的定义域. 处理分段函数的性质问题(值域、交点等)常常用数形结合的方法.【题型五】求函数解析式 方法1 配凑法【典题1】已知f(x +1x )=x 2+1x 2(x >0) , 求f(x)的解析式. 【解析】 ∵x >0 ∴x +1x ≥2∵ f (x +1x )=(x +1x )2−2 , ∴ f(x)=x 2−2 (x ≥2) (注意函数的定义域)【点拨】本题主要是观察到x +1x 与x 2+1x 2之间存在“完成平方”的关系.方法2 待定系数法【典题２】已知函数f(x)是二次函数，若f(0)=0 ,且f(x +1)=f(x)+x +1，求f(x)的解析式． 【解析】依题意可设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0)，若f(0)=0，且f(x +1)=f(x)+x +1，∴c =0且a (x +1)2+b (x +1)+c =ax 2+bx +c +x +1 即c =0且(2a +b )x +a +b +c =(b +1)x +c +1， ∴{c =02a +b =b +1a +b +c =c +1，解得a =12,b =12,c =0． ∴f(x)=x 2+x2；【点拨】当函数的类型已知，利用待定系数法可求函数解析式.方法3 换元法【典题３】已知f(√x +1)=x +2√x , 求f(x +1). 【解析】令t =√x +1，则t ≥1 , x =(t −1)2，∵ f(√x +1)=x +2√x∴ f(t)=(t −1)2+2(t −1)=t 2−1，∴ f (x )=x 2−1 (x ≥1) ∴ f (x +1)=(x +1)2−1=x 2+2x (x ≥0). 【点拨】② 用换元法时注意新变量的取值范围.② 用配凑法f(√x +1)=x +2√x =(√x +1)2−1⇒f (x )=x 2−1 (x ≥1)，但要求观察力足够好.方法4 构造方程组法【典题４】设f(x)满足f(x)−2 f(1x )=x , 求f(x)的解析式. 【解析】∵ f(x)−2 f(1x )=x ①显然x ≠ 0，将x 换成1x，得：f(1x)−2 f(x)=1x②解①②联立的方程组，得：f(x)=−x 3−23x .方法5 代入法【典题５】与函数y =x 2−3x +2的图象关于点(0,1)对称的函数是 . 【解析】设P(x ,y)为所求函数图象上的任意一点，它关于点(0,1)对称的点是Q(−x ,2−y)．由题意知点Q(−x ,2−y)在函数y =x 2−3x +2的图象上，则2−y =x 2+3x +2，化简得y =−x 2−3x ．【点拨】① 由下图可对本题有个更清晰的理解.② 求与一已知函数关于点对称或轴对称的函数解析式均可以用“代入法”.若把本题的函数y =x 2−3x +2换成y =2x 或者把“关于点(0,1)对称”换成“关于y =−1对称”，其解题过程大同小异.巩固练习1(★) 已知函数y ={x 2+1(x ≤0)2x(x >0)，若f(a)=10，则a 的值是 ． 【答案】 －3或5【解析】由题意，当x ≤0时，f (x )=x 2+1=5，得x =±2，又x ≤0，所以x =−2；当x >0时，f (x )=−2x =5，得x =−52，舍去．2 (★★) 已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(−∞ ,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．【答案】 [38 ,12) 【解析】若函数f(x)={(2a −1)x +7a −2(x <1)a x (x ≥1)在(－∞,+∞)上单调递减 则{2a −1<00<a <1(2a −1)+7a −2≥a解得：38≤a <12 故答案为：[38,12)3(★★) 已知一次函数f(x)满足条件f(x +1)+f(x)=2x ，则函数f(x)的解析式为 ．【答案】 f(x)=x −12【解析】设f(x)=kx+b，k≠0，∵f(x+1)+f(x)=2x，∴k(x+1)+b+kx+b=2x，即2kx+k+2b=2x，∴{2k=2k+2b=0，解可得k=1，b=−1 2，∴f(x)=x−12.4(★★)已知f(√x)=x2−2x，则函数f(x)的解析式为．【答案】f(x)=x4－2x2(x≥0)【解析】f(√x)=x2−2x=(√x)4−2(√x)2，∴f(x)=x4－2x2(x≥0)．5(★★★) 已知f(0)=1，对于任意实数x ,y，等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)，求f(x)的解析式. 【答案】f(x)=x2+x+1【解析】对于任意实数x、y,等式f(x−y)=f(x)−y(2x−y+1)恒成立，不妨令x=0,则有f(−y)=f(0)−y(−y+1)=1+y(y−1)=y2−y+1再令−y=x,得函数解析式为f(x)=x2+x+1 .。
6函数的概念、定义域、值域求法-教师版
教学内容概要教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设A B 、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的定义域、值域、对应法则；当两个函数的定义域、对应法则分别相同时，那么这两个函数是同一函数。
3、函数的表示方法一般有解析法、列表法、图像法当图像满足和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点时才可作为函数图像。
分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
4、函数的运算：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，设φ≠⋂=21D D D 把函数()()()D x x g x f ∈+叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的和函数 把函数()()()D x x g x f ∈叫做函数()()1D x x f y ∈=与()()2D x x g y ∈=的积函数 6、复合函数：对于两个函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=，若满足()1D x g ∈的x 的取值范围为E ，设φ≠⋂=2D E D ，把函数()()x g f y =叫做函数()()1D x x f y ∈=，()()2D x x g y ∈=的复合函数，x 是复合函数()()x g f y =的自变量，定义域为D ，()x g 叫做内函数，()x f 叫做外函数。
统编人教A版数学高中必修第一册《3.1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计
1＋x
所以所求函数的值域为(－1,1].
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
1.定义
3.1.1 函数的概念
例1 例2
例3 例4
例5
2.区间
七、作业
课本 67 页练习、72 页 1-5
本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的
题型三
区间
例 3 已知集合 A={x|5-x≥0},集合 B={x||x|-3≠0},则 A∩B 用区间可表示为
.
【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
【解析】∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3 或-3<x<3 或 3<x≤5},
.
x＋1
x＋1
x＋1
6
∵
4
≠0，∴y≠3，
x＋1
3x－1
∴y＝
的值域为{y|y∈R 且 y≠3}．
x＋1
12 15
2
2
④(换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0 且 x＝t ＋1，所以 y＝2(t ＋1)－t＝2 t－ ＋ ，由 t≥0，再结合函
4 8
15
数的图象(如图)，可得函数的值域为 ，＋∞.
1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=
√x
x
x
,g(x)=x-1;
x
②f(x)= ,g(x)= ;
√x
2
③f(x)=√(x + 3) ,g(x)=x+3;
北师大版高一数学必修一函数的概念说课稿
北师大版高一数学必修一函数的概念说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是函数的概念。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材《函数的概念》选自北师大版必修一第2章第二节，函数是高中数学学习的一条主线，对整个高中阶段的学习起着至关重要的作用。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，在初中阶段，学生已经根据变量的观点初步探讨函数的概念,高中也学习了集合的相关知识,这为学生重新定义函数的概念提供了必要的知识储备.三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1、理解函数的概念，了解构成函数的要素，能去简单函数的定义域。
2、学生经过讨论和思考的过程，提高发现问题和解决问题的能力。
3、提升学生数学抽象素养和数学运算素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为理解函数单调性的概念。
教学难点为理解f（x）的含义，从具体实例中抽象出函数的概念。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行1、新课导入：我将向学生提出问题：在初中所学的一次函数，反比例函数，一元二次函数，这些函数的基本特征是什么。
对于每一个x的取值，都有唯一确定的y值与之对应，这是函数的基本特征。
《函数的概念》教学设计
《函数的概念》教学设计人教版《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》第一章概述：《函数的概念》的教学需要两课时，本节课是第一课时，是一节函数的概念课.如何上好一节概念课，概念不是由老师讲出，而是让学生去发现，并归纳概括出概念呢？从而让学生更好的理解概念，熟练的去应用概念解决问题.在本节课的教学中，我以学生作为活动的主体，创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，大胆探索，从而去发现问题、提出问题和解决问题.注重培养他们的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维能力及抽象概括能力.运用新课标的理念，我从以下几个方面加以说明：教材内容分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学评价分析【教材内容分析】1.教材的地位及作用函数的概念是人教版数学必修①第一章第二节的内容，它不仅对前面研究的集合作了巩固和发展，而且是学好后继知识的基础和工具．本节的主要内容就是函数的概念和函数的三个要素，研究了本小节后，为以后研究其他类型的函数打下扎实的基础。
由于函数反映出的数学思想渗透到数学的各个领域并且它在物理﹑化学及生物等其他领域也有广泛的应用．因此，函数概念是中学数学最重要的基本概念之一。
2.学情分析在学生研究用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，且比较惯的用解析式表示函数，但这是对函数很不全面的认识。
由于函数的概念比较抽象，学生思维不成熟、不严密，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。
【教学目标分析】根据上述教材内容分析，并结合学生的研究心理和认知结构，我将教学目标分成三部分进行说明：知识与技能：1、从集合与对应的观点动身，加深对函数观点的理解2、理解函数的三要素：定义域、值域和对应法则3、理解函数符号的含义。
过程与方法：在丰富的实例中，通过关键词的强调和引导，使学生发现、概括出它们的共同特征，在此基础上再用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
高中数学第三章函数概念与性质3.1.1函数的概念教师用书新人教A版必修第一册
3．1.1 函数的概念考点学习目标核心素养函数的概念理解函数的概念，了解构成函数的三要素数学抽象求函数的定义域会求一些简单函数的定义域，并会用区间表示数学运算同一个函数掌握同一个函数，并会判断数学抽象求函数值和值域会求简单函数的函数值和值域，并会用区间表示值域数学运算问题导学预习教材P60－P66，并思考以下问题：1．函数的定义是什么？2．函数的自变量、定义域是如何定义的？3．函数的值域是如何定义的？4．区间的概念是什么？如何用区间表示数集？1．函数的有关概念■名师点拨对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间的概念及表示(1)区间定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b} 闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a≤x<b} 半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b} 半开半闭区间(a，b](2)无穷概念及无穷区间表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) ■名师点拨关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( )(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )(4)区间可以表示任何集合．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：选C.因为g(x)＝2x2－1，所以g(1)＝2－1＝1.函数f(x)＝14－x的定义域是( )A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选A.由4－x>0，解得x<4，所以此函数的定义域为(－∞，4)．已知全集U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁U A用区间表示为________．解析：∁U A＝{x|x≤1或x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)下图中能表示函数关系的是________．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数． 答案：①②④函数的概念(1)如图可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )(2)下列三个说法：①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素； ②若f (x )＝5(x ∈R )，则f (π)＝5一定成立； ③函数就是两个集合之间的对应关系． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(3)已知集合A ＝[0，8]，集合B ＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A 到B 的函数关系的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x【解析】 (1)观察图象可知，A ，B ，C 中任取一个x 的值，y 有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D 中图象是函数图象．(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素； ②正确．因为f (x )＝5，这个数值不随x 的变化而变化，所以f (π)＝5； ③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．(3)对于A 中的任意一个元素，在对应关系f ：x →y ＝18x ；f ：x →y ＝14x ；f ：x →y ＝12x 下，在B 中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A 中的元素8，在对应关系f ：x →y＝x 下，在B 中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．【答案】 (1)D (2)B (3)D(1)判断所给对应关系是否为函数的方法 ①先观察两个数集A ，B 是否非空；②验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性． (2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C.由函数的定义知选C.2．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．解析：②显然正确，由于①中的集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而①③不正确．答案：②求函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝3－x |x |－5.【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，|x |－5≠0，解得x ≤3，且x ≠－5，即函数的定义域为{x |x ≤3，且x ≠－5}．(1)求函数定义域的常用方法①若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； ②若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；③若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； ④若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； ⑤若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．(2)第(1)题易出现化简y ＝x ＋1－1－x ，错求定义域为{x |x ≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．求下列函数的定义域．(1)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (2)y ＝（x ＋1）|x |－x ；(3)f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. 解：(1)要使此函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4，所以此函数的定义域是{x |1≤x ≤4}． (2)因为00无意义，所以x ＋1≠0， 即x ≠－1.①作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负， 所以|x |－x >0，即x <0.②由①②可得函数y ＝（x ＋1）|x |－x 的定义域是{x |x <0且x ≠－1}．(3)要使此函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，x ≠－2⇒x ≥－3且x ≠－2.所以f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}．同一个函数(1)给出下列三个说法：①f (x )＝x 0与g (x )＝1是同一个函数；②y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 可能是同一个函数；③y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (t )，t ∈R 是同一个函数．其中正确说法的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3.其中表示同一个函数的是________(填上所有同一个函数的序号)．【解析】 (1)①错误．函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，函数g (x )＝1的定义域是R ，不是同一个函数；②正确．y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有2个．(2)①定义域不同，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为R .不相等． ②对应关系不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .不是同一个函数．③定义域、对应关系都相同．同一个函数．④对应关系不同，f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝x ＋3.不是同一个函数． 【答案】 (1)B (2)③判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝1与g (x )＝(x ＋1)0C ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x 2－1x －1解析：选A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)；C 项中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；D 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．B ，C ，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是相等函数．故选A.求函数值和值域已知f (x )＝12－x (x ∈R ，x ≠2)，g (x )＝x ＋4(x ∈R )．(1)求f (1)，g (1)的值； (2)求f (g (x ))．【解】 (1)f (1)＝12－1＝1，g (1)＝1＋4＝5.(2)f (g (x ))＝f (x ＋4)＝12－（x ＋4）＝1－2－x ＝－1x ＋2(x ∈R ，且x ≠－2)．1．(变设问)在本例条件下，求g (f (1))的值及f (2x ＋1)的表达式． 解：g (f (1))＝g (1)＝1＋4＝5.f (2x ＋1)＝12－（2x ＋1）＝－12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，且x ≠12. 2．(变条件)若将本例g (x )的定义域改为{0，1，2，3}，求g (x )的值域．解：因为g (x )＝x ＋4，x ∈{0，1，2，3}，所以g (0)＝4，g (1)＝5，g (2)＝6，g (3)＝7.所以g (x )的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定出函数的对应关系f 的具体含义；②然后将变量取值代入解析式计算，对于f (g (x ))型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．1．已知函数f (x )＝x －1，且f (a )＝3，则a ＝________． 解析：因为f (x )＝x －1， 所以f (a )＝a －1. 又因为f (a )＝3， 所以a －1＝3，a ＝16. 答案：162．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝x ＋x .解：(1)因为x ∈R ，所以2x ＋1∈R ， 即函数的值域为R .(2)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，因为x ∈[1，5)，如图所示．所以所求函数的值域为[2，11)． (3)借助反比例函数的特征求．y ＝3（x ＋1）－4x ＋1＝3－4x ＋1(x ≠－1)， 显然4x ＋1可取0以外的一切实数， 即所求函数的值域为{y |y ≠3}． (4)设u ＝x (x ≥0)，则x ＝u 2(u ≥0)，y ＝u 2＋u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋122－14(u ≥0)．由u ≥0，可知⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋122≥14，所以y ≥0.所以函数y ＝x ＋x 的值域为[0，＋∞)．1．若f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2D ．10解析：选A.因为f (x )＝x ＋1，所以f (3)＝3＋1＝2. 2．对于函数f ：A →B ，若a ∈A ，则下列说法错误的是( ) A ．f (a )∈BB ．f (a )有且只有一个C ．若f (a )＝f (b )，则a ＝bD ．若a ＝b ，则f (a )＝f (b )解析：选C.根据函数的定义可知，A ，B ，D 正确；C 错误． 3．若[0，3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a －1>0，解得a >13，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞4．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________．答案：(1)[1，＋∞) (2)(2，4] (3)(－1，2)∪(2，＋∞) 5．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4.(1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)； (2)求f (－1)，f (12)的值．解：(1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，所以x ≥－4且x ≠1， 即函数f (x )的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.[A 基础达标]1．下列对应关系是从集合M 到集合N 的函数的是( ) A ．M ＝R ，N ＝{x ∈R |x >0}，f ：x →|x | B ．M ＝N ，N ＝N *，f ：x →|x －1| C ．M ＝{x ∈R |x >0}，N ＝R ，f ：x →x 2D ．M ＝R ，N ＝{x ∈R |x ≥0}，f ：x →x解析：选C.对于A ，集合M 中x ＝0时，|x |＝0，但集合N 中没有0；对于B ，集合M 中x ＝1时，|x －1|＝0，但集合N 中没有0；对于D ，集合M 中x 为负数时，集合N 中没有元素与之对应；分析知C 中对应是集合M 到集合N 的函数．2．下列四个图中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )解析：选C.根据函数定义，可知对自变量x 的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A ，B ，D 满足函数的定义，而选项C 不满足，故选C.3．区间(－3，2]用集合可表示为( ) A ．{－2，－1，0，1，2} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |－3<x ≤2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：选C.由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x |－3<x ≤2}，故选C.4．已知函数f (x )＝x 21＋|x －1|，则f (－2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.由题意知f (－2)＝（－2）21＋|－2－1|＝44＝1.故选C.5．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为( )A ．{－2，0，4}B ．{－2，0，2，4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3} 解析：选A.依题意，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－2；当x ＝3时，y ＝0，所以函数y ＝x 2－3x 的值域为{－2，0，4}．6．将函数y ＝31－1－x 的定义域用区间表示为________． 解析：由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得x ≤1且x ≠0， 用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．答案：(－∞，0)∪(0，1]7．若f (x )＝5x x 2＋1，且f (a )＝2，且a ＝________． 解析：令5a a 2＋1＝2，即2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12或a ＝2，故a 的值为12或2. 答案：12或2 8．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ，故函数值域为{1，2，3，4}．答案：{1，2，3，4}9．已知f (x )＝1－x 1＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )． (1)求f (2)，g (3)的值；(2)求f (g (3))的值及f (g (x ))．解：(1)因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (2)＝1－21＋2＝－13. 因为g (x )＝x 2－1，所以g (3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f (g (3))＝f (8)＝1－81＋8＝－79， f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ）＝1－（x 2－1）1＋（x 2－1）＝2－x 2x2(x ≠0)． 10．已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值． 解：函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解．当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ， 因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.[B 能力提升]11．已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( )A ．p ＋qB ．3p ＋2qC ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2 解析：选B.因为f (ab )＝f (a )＋f (b )，所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ， f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .12．若函数f (x )的定义域为[－2，1]，则g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤1. 故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1，1]．答案：[－1，1]13．求下列函数的值域．(1)y ＝x －1(x ≥4)；(2)y ＝2x ＋1，x ∈{1，2，3，4，5}；(3)y ＝x ＋2x －1；(4)y ＝x 2－2x －3(x ∈[－1，2])．解：(1)因为x ≥4，所以x ≥2，所以x －1≥1，所以y ∈[1，＋∞)．(2)y ＝{3，5，7，9，11}．(3)设u ＝2x －1，则u ≥0，且x ＝1＋u 22， 于是，y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12， 所以y ＝x ＋2x －1的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (4)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，因为x ∈[－1，2]，作出其图象(图略)可得值域为[－4，0]．14．已知函数f (x )＝x 2－mx ＋n ，且f (1)＝－1，f (n )＝m ，求f (－1)，f (f (－1))的值及f (f (x ))的表达式．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝－1，n 2－mn ＋n ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1，所以f (x )＝x 2－x －1，故f (－1)＝1，f (f (－1))＝－1，f (f (x ))＝f (x 2－x －1)＝(x 2－x －1)2－(x 2－x －1)－1＝x 4－2x 3－2x 2＋3x ＋1.[C 拓展探究]15．(2019·石家庄检测)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？并证明你的发现． (3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018的值．解：(1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下： f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值．(3)由(2)知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1， 因为f (1)＋f (1)＝1，f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1， … f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝1， 所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝2 018.。
高一数学教案《函数概念》
高一数学教案《函数概念》高一数学教案《函数概念》作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。
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高一数学教案《函数概念》1教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B 中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳) Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2. 文章来高一数学教案《函数概念》2教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期222324252627282930新增确诊病例数10610589103113126981521013.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的'有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
高一第四讲函数的概念课件人教新课标
4.已学函数的定义域和值域 ⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0) 定义域R，值域R.
4.已学函数的定义域和值域 ⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0) 定义域R，值域R.
⑵ 反比例函数f ( x) k (k 0)
x
4.已学函数的定义域和值域 ⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0) 定义域R，值域R.
定义域问题是重点，考试常考！！
2010山西高考数学题
函数f (x) xx -1 x的定义域为（）
6.判断是否为同一函数问题
当定义域、对应法则和值域完全 一致时，两个函数才相同.
例2下列哪个函数与y = x是同一函数？
⑴ y ( x )2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
ab ab
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用 不等式怎样表示？
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a
的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合 如何用区间符号表示？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
新课
示例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到 地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且 炮弹距地面的高度h (单位：m)随时间t (单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2.
示例2：近几十年来，大气层中的臭氧迅 速减少，因而出现了臭氧层空沿问题. 下 图中的曲线显示了南极上空臭氧层空泛 的面积从1979～2001年的变化情况.
x
（4）定义域不同，值域不同，不是同一函数
例3下列各组中的两个函数是否为相同的 函数？
⑴
y1
(x
初升高数学暑假衔接(人教版)第09讲 函数的概念及其表示(教师版)
第9讲函数的概念及其表示1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素；2．能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域；3．掌握函数的三种表示法—解析法、图象法、列表法；4．了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数；5．会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。
一、函数的定义及概念概念1、函数的定义：设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x 值，必须有且仅有唯一的y 值与之对应。
（1）特殊性：定义的集合A ，B 必须是两个非空数集；（2）任意性：A 中任意一个数都要考虑到；（3）唯一性：每一个自变量都在B 中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A →B2、函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、函数的三要素的理解（1）定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围；（2）对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形态，f 可以看作是对“x ”施加的某种运算或法则。
例如：2()f x x =，f 就是对自变量x 求平方。
（3）值域：对应关系f 对自变量x 在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，()y f x =表示“y 是x 的函数”，指的是y 为x 在对应关系f 下的对应值。
4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。
1高一函数初步定义域、解析式(教师版)
函数初步一、 教学目标1． 理解映射、函数的概念 2． 了解求函数解析式的几种方法 3． 会求具体函数、抽象函数定义域二、 教学重难点重点：求函数解析式、定义域的方法 难点：复合函数解析式、抽象函数定义域问题三、 基础知识必备（一）映射的定义：映射定义：设A,B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一．．元素与之对应，这样的对应叫做从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →:(注：A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多;注意关键词)在映射B A f →:中，集合A 叫做映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。
补充：映射有“三性”：①“有序性”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ②“存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应； ③“唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的. （二）函数的概念： 1．函数的定义设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x)，x A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2. 映射与函数的关系函数是映射，但映射不一定是函数。
由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C ⊆B ．3．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.（三）函数的表示法 1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 3．对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y四、 典型例题分析 考点一：映射与函数（一）映射例1. ①A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；②*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；③{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 上述三个对应_____是A 到B 的映射． 例2.已知映射B A f →:,其中A B R ==,对应法则x x y f 2:2+-=,对于实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 ( )A.1>kB.1≥kC. 1<kD. 1≤k练习: 1.已知}{,,A a b c =，}{0,1B =，映射:f A B →.满足：()()()f a f b f c =，则这样的映射有（ ）个A. 0B. 2C. 3D. 42、给定映射),(),(y x y x y x f -+→，则点（1,2）在f 下的象是 点（1,2）的原象是（二） 函数概念例3. 下列各组函数是否表示同一个函数？ (1)(2)(3)(4)例4. 函数的图象与直线的公共点数目是( )A ．B ．C ．或D ．或（三）复合函数与分段函数例5. 设231,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩,22,1()2,1x x g x x ⎧-≤=⎨>⎩求1[(3)],[()]2f g g f -的值例6. 已知函数2,[1,1](),[1,1]x f x x x ∈-⎧=⎨∉-⎩，若[()]2f f x =，则x 的取值范围是( )A ．φB ．[－1,1]C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．{}2[1,1]-例7. 设函数()21|||4|f x x x ＝＋－－. 解不等式()2f x ＞ ；练习：1.已知21()(1)x f x f x +⎧=⎨+⎩11x x ≥<，求)2(-f2. 已知函数 221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若((0))4f f a =,则实数a 等于（ ）A.21 B. 54C. 2D. 9 考点二：函数的定义域求函数的定义域（x 的取值范围）的方法①如果)(x f 为分式，其定义域是使分母不为0的实数集；②如果)(x f 是二次根式（偶次根式），其定义域使根号内的式子不小于0的实数集合；③如果)(x f 是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；④0)(x x f =的定义域是}.0|{≠∈x R x ⑤实际问题中要考虑实际意义； (一)给出函数解析式，求其定义域 例8. ① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③xx x f -++=211)( ④14)(2--=x x f练习：求下列函数的定义域373132+++-=x x y例9. 求下列函数的定义域，并用区间法表示： （1）2143)(2-+--=x x x x f （2）=)(x f x11111++（3） x x x x f -+=0)1()(（二）抽象函数的定义域：例10. 已知函数()f x 的定义域是[]0,9，求函数()2f x 的定义域例11. 已知函数()32f x +的定义域是(],3-∞，求函数()f x 的定义域。
高一数学教案：函数的概念4篇
高一数学教案：函数的概念高一数学教案：函数的概念精选4篇（一）教案标题：函数的概念教学目标：1. 理解函数的基本概念；2. 能够根据给定的函数定义进行函数值的计算；3. 能够掌握函数的图像表示方法。
教学准备：1. PowerPoint或黑板；2. 教材《高中数学》；3. 教学PPT或教学黑板稿。
教学步骤：步骤一：引入问题（5分钟）1. 通过生活中的例子引导学生思考“什么是函数？”；2. 引导学生记忆和理解“自变量”和“因变量”的概念。
步骤二：函数的定义（10分钟）1. 引导学生学习教科书上的函数定义；2. 解释函数的定义中自变量、因变量和对应规律的含义；3. 通过一些例子帮助学生理解函数的定义。
步骤三：函数的表示方法（10分钟）1. 引导学生学习函数的表示方法；2. 介绍函数的表格表示和解析式表示；3. 通过具体例子的计算来展示函数的表示方法。
步骤四：函数值的计算（15分钟）1. 引导学生学习函数值的计算方法；2. 通过给定函数和自变量求因变量的例子来演示函数值的计算。
步骤五：函数的图像表示（15分钟）1. 引导学生学习函数的图像表示方法；2. 通过函数表格和坐标系画出函数的图像；3. 解释图像上自变量和因变量的含义；4. 引导学生发现函数图像的特点，如单调性和奇偶性。
步骤六：练习与总结（10分钟）1. 给学生提供一些练习题，加深对函数的理解和掌握；2. 回顾课堂内容，让学生总结函数的概念和表示方法。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究函数的性质，如定义域、值域、单调性等；2. 引导学生学习更复杂的函数概念，如反函数、复合函数等。
教学反思：通过讲解函数的概念和表示方法，学生能够初步理解函数的含义和计算方法。
在教学过程中，可以适当增加一些生动的例子和练习，培养学生的兴趣和动手能力。
在教学结束前，可以布置一些相关的课后作业，巩固学生的学习成果。
高一数学教案：函数的概念精选4篇（二）教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的基本性质；2. 掌握函数的表示法：显式表示法、隐式表示法和参数表示法；3. 能够根据题目要求选择适当的函数表示法。
高中数学必修一 《3 1 函数的概念及其表示》优秀教案教学设计
【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。
2.掌握判定函数和函数相等的方法。
3.学会求函数的定义域与函数值。
数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。
重点：函数的概念，函数的三要素。
难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。
高一数学函数的概念与性质的优秀教案范本
高一数学函数的概念与性质的优秀教案范本一、教学目标1. 理解函数的定义及其相关概念。
2. 掌握函数的性质，包括定义域、值域、单调性等。
3. 能够应用函数的性质解决实际问题。
4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 函数的定义及相关概念的理解与运用。
2. 函数性质的整体把握及灵活应用。
三、教学准备1. 教师准备：教案、白板、彩色粉笔、课件等。
2. 学生准备：教材、笔记、习题等。
四、教学过程【导入】1. 通过展示一个某商品的价格与着装人数的关系图，引导学生思考这两种量的关系如何表示。
2. 引导学生回忆什么是映射，然后引入函数的概念。
【概念讲解】1. 函数的定义：函数是一个集合，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。
2. 函数的符号表示：y = f(x)，其中 y 是函数值，x 是自变量。
3. 自变量和因变量的概念解析。
4. 定义域和值域的概念及意义。
【性质讲解】1. 单调性：定义以及单调递增和单调递减的概念。
2. 奇偶性：定义以及奇函数和偶函数的概念。
3. 周期性：定义以及周期函数的概念。
4. 映射图和函数图像的关系。
5. 函数的有界性。
6. 线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等特殊函数的性质介绍。
【例题演练】1. 针对不同的函数性质，设计一些例题进行演练，以巩固学生对函数性质的理解与掌握。
2. 着重培养学生运用性质解决实际问题的能力。
【拓展应用】1. 设计一些拓展问题，让学生能够在新的情境中应用所学的函数性质解决问题。
2. 鼓励学生自行思考、探索，并与同学分享自己的思路和方法。
【归纳总结】1. 学生归纳总结函数的定义及其性质。
2. 教师对学生的总结进行点评和补充。
【学生练习】1. 让学生完成课堂练习题，巩固所学的概念与性质。
2. 对学生的答题进行批改和讲解。
五、课堂小结本节课我们学习了函数的基本概念和性质，包括定义域、值域、单调性等。
通过运用所学的知识解决实际问题，培养了学生的数学思维和解决问题的能力。
初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习5.2 三角函数的概念(教师版)
5.2三角函数的概念【知识梳理】知识点一任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．知识点四同角三角函数的基本关系1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sinαcosα＝tanα，其中α≠kπ＋π2(k∈Z)．【基础自测】1．已知点P(sinα，cosα)在第三象限，则角α的终边在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C2．已知tanα＝2，则3sinα－cosαsinα＋2cosα等于()A.54B ．－54C.53D ．－53A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2αC ．sin α＝－1－cos 2αD ．tan α＝cos αsin α5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y ＝________.【例题详解】一、任意角三角函数的定义及应用例1已知角α的终边经过点(,P x ，（0x ≠），且3cos 6x α=，求cos sin sin αα+的值.跟踪训练1已知角α的终边上有一点的坐标是()3,4P a a ，其中0a ≠，求sin ,cos ,tan ααα.＝＝＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝；0时，r ＝－＝－，＝－，＝.＝，＝，＝或＝－，＝－，＝.本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力二、三角函数值符号的运用例2(1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)设α角属于第二象限，且cos cos 22αα=-，则2α角属于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限跟踪训练2已知()cos305sin305,P，则点P 在第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】首先判断305 位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可.【详解】解：因为270305360<< ，所以305 为第四象限角，所以0cos305> ，0sin305< ，所以点()cos305sin305,P位于第四象限；故选：D三、公式一的应用例3计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos 1110°＋cos(－1020°)sin 750°；cos12π5tan 4π.跟踪训练3(1)已知()R sin ,Q cos ,Q x x f x x x ∈⎧=⎨∈⎩ð（Q 为有理数集），则2021π[()]2f f =（）A ．2πB ．1C ．-1D ．0(2)已知角x 的终边经过点()3,4P ．（1）求()tan 6α-π+的值；（2）求()()()()sin 4sin 2cos 2cos 6αααα-π⋅-π⋅π+π+的值四、已知一个三角函数值求另两个三角函数值例4已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．跟踪训练4求解下列各题.(1)已知1sin2α=,且α为第一象限角,求cosα,tanα;(2)已知4cos5α=-,且α为第三象限角,求sinα,tanα;(3)已知3tan4α=-,且α为第四象限角,求sinα,cosα;(4)已知1sin3α=,且α为第二象限角,求cosα,tanα.题型五、正、余弦齐次式的计算例5(1)已知tan 2α=，求下列各式的值.①1sin cos αα；②111sin 1sin αα+.(2)若tan 2α=，则225sin 3cos 1αα-+的值为（）A ．175B ．4C ．225D ．285跟踪训练5已知3π4απ<<，110ta tan n 3a α=-＋.(1)求tan α的值；(2)求sin cos sin cos αααα+-的值；(3)求222sin sin co 3co s s αααα--.的值题型六、sin θ±cos θ型求值问题例6已知(0,π)θ∈,且1sin cos 3θθ+=,（1）求sin cos θθ的值.（2）求sin cos θθ-的值（3）求tan θ的值跟踪训练6已知A 为三角形的内角，且7sin cos 13A A +=，则tan A =（）A ．125-B ．512-C ．512D ．125题型七、化简求值与恒等式的证明例7已知()f αα是第四象限角．(1)化简()f α；(2)若()4fα=，求sinα，cosα．跟踪训练7（1）已知α（2）化简：4444 1sin cos 1sin cosθθ--例8求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααα--=跟踪训练8求证：cos1sin1sin cosαααα+=-．【课堂巩固】1．sin405= （）A．1B．12-C．32D．22【答案】D【分析】根据诱导公式即可求解.2．若sin 0α>且tan 0α<，则2α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或第三象限D ．第三象限或第四象限3．已知cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是（）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角【答案】C【详解】∵cos tan 0θθ⋅<，∴当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，故选C ．4．已知1sin cos 5αα+=，且()0,πα∈，sin cos αα-=（）A ．75±B ．75-C ．75D ．49255．已知角α的终边在直线340x y +=上，则2sin cos αα+的值为________.6．比较大小：cos 4π⎛⎫- ⎪______cos 5π⎛⎫- ⎪．7．已知1sin cos 5αα+=-，()0,απ∈，则sin cos αα⋅=__________，tan α=_________.8．已知4cos 5θ=-，（1）若[)0,θπ∈，求sin tan θθ、的值；（2）若[)0,2θ∈π，求sin tan θθ、的值.9．已知tan 2θ=-，求下列各式的值sin cos θθ+(2)22222sin cos cos sin θθθθ+-；(3)22sin 2cos θθ-.10．（1）化简：22cos sin tan 2sin cos tan αααααα⋅++⋅.（2）求证：tan sin tan sintan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅.【课时作业】1．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-2．已知sin cos 2x x +=，则tan tan x x +=（）A ．6-B ．7-C ．8-D ．9-3．已知角α的终边过点()8,6sin30P m︒--，且4cos5α=-，则m的值为()A．12-B．12C．D．24．已知函数26()3xf x a-=+（0a>且1a≠）的图像经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin cosθθθθ-=+（）A．17-B．0C．7D．175．若cos0θ<且tan0θ<，则2θ终边在A．第一象限B．第二象限C．第一或第三象限D．第三或第四象限6．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．（多选）已知sin α，cos α是关于x 的方程2310x ax +-=的两根，则实数a 的值可以是（）A ．3BC ．D ．3-8．的值可能为（）．A．0B．1C．2D．39．已知角α的终边上一点(),0P y y≠，且sinyα=，则cosα=______，tanα=______10．已知55sin ,cos66P ππ⎛⎫ ⎪是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______.11．已知1sin cos 3θθ=，则44sin cos +=θθ_________.12．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则33sin cos cos sin θθθθ+的值为____13．已知23sin 4sin cos 10ααα-+=．(1)求tan α的值；(2)求2sin cos 1cos αα的值．14．已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=.(1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值.15．求证：tan sin tan sin θθ⋅＝1cos sin θ+.。
函数(一)教师版
函数及其表示1、 函数的概念：2、 三要素：3、 分段函数：基础自测1. 与函数f (x )=|x |是相同函数的有 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y =2x2.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则能表示y 是x 的函数的图象是 （填序号）.答案 ②③3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x x x x f ,则f (-1)的值为 . 答案 34.函数f (x )=x x -132 +lg(3x +1)的定义域是 . 答案 （-31，1） 5、 画出函数的图象； f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x x x x x 函数性质：1、 单调性：2、 最值：3、 奇偶性：4、 周期性：基础自测1.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 .答案 ［1，3］2.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 . 答案 03.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 .答案 0 4、已知2()21x x a f x +=+是奇函数，则a =5.已知函数f (x )=x 2-2x +3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 .答案 ［1，2］例1（1）已知函数f (x )=a x +12+-x x (a ＞1). 证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.（2）讨论函数f （x ）=x +x a （a ＞0）的单调性.例2（16分）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x +2)=-f (x ) .（1）求证：f (x )是周期函数；（2）若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,求使f (x )=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数. （1）证明 ≧f （x +2）=-f （x ），≨f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2分≨f （x ）是以4为周期的周期函数， 4分（2）解 当0≤x ≤1时，f (x )=21x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,≨f （-x ）=21（-x ）=-21x . ≧f (x )是奇函数，≨f （-x ）=-f （x ）,≨-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x . 7分 故f (x )= 21x (-1≤x ≤1) 8分 又设1＜x ＜3,则-1＜x -2＜1,≨f (x -2)= 21(x -2), 10分 又≧f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ），≨-f （x ）=21（x -2）， ≨f （x ）=-21（x -2）（1＜x ＜3）. 11分 ≨f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x 12分 由f (x )=- 21,解得x =-1. ≧f （x ）是以4为周期的周期函数.≨f (x )=- 21的所有x =4n -1 (n ∈Z ). 14分 令0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051, 又≧n ∈Z ，≨1≤n ≤502 （n ∈Z ）,≨在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 16分作业：1.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16, ϕ (1)=8,则 ϕ(x )= .答案 3x +x5 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是 （填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根③没有实根 ④必有惟一的实根答案 ①③3.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x x x a x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 .答案 ［71，31） 4.若函数f (x )=(m -1)x 2+mx +3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 .答案 ［0，+∞）5.已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是 .答案 (-)32,21 6.设函数f (x )=(x +1)(x +a )为偶函数，则a = .答案 -17.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x -1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为 . 答案 28.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）.①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =x ·f (x );④y =f (x )+x .答案 ②④9.(2009· 徐州六县一区联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= .答案 -110.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为 .答案 f(x)=x (|x |-2)11.已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = . 答案 412.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )= .答案 -b +413.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解 ≧f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),≨f (0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),≨-f （x ）=x lg （2+x ）， 即f （x ）=-x lg （2+x ） （x ＞0）.≨f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x 即f (x )=-x lg(2+|x |) (x ∈R ).14.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R .(1)试判断f (x )的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ), 此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1,f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数.（2）当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43, ≧a ≤21,故函数f (x )在（-≦，a ］上单调递减， 从而函数f (x )在（-≦，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1.当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43, ≧a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+≦）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+≦)上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，x 2＋mx ， x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )的区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
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课题：函数的概念（一）函数的定义：设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。
显然，值域是集合B 的子集。
（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
（3）反比例函数(0)ky k x=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。
（二）区间及写法：设a 、b 是两个实数，且a<b ，则： （1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）； （3） 满足不等式a x b a x b≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。
（数轴表示见课本P 17表格）符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。
巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0}（三）例题讲解：例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
变式：求函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域例2．已知函数1()2f x x =+，（1） 求()()2(3),(),33f f f f --的值；（2） 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。
（四）课堂练习：1． 用区间表示下列集合：{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；课题：函数的概念（二）一、复习准备：1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y ＝xx 23与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？2. 用区间表示函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）、y ＝xk(k ≠0)的定义域与值域。
二、讲授新课：（一）函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域（用区间表示） ⑴ f(x)=232--x x ； ⑵f(x)= ⑶ f(x)=1+x －xx -2；说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）*复合函数的定义域求法：（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；求法：由a<x<b ，知a<g(x)<b ，解得的x 的取值范围即是f(g(x))的定义域。
（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b ），求f(x)的定义域；求法：由a<x<b ，得g(x)的取值范围即是f(x)的定义域。
例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。
例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。
巩固练习：1．求下列函数定义域： （1）()f x =； （2）1()11f x x=+2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域； （2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。
（二）函数相同的判别方法：函数是否相同，看定义域和对应法则。
例5．（课本P 18例2）下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）2y=；（2）y=（3）y=（4）2xyx =。
课题：函数的表示法（一）一、复习准备：1．提问：函数的概念？函数的三要素？2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.二、讲授新课：（一）函数的三种表示方法：解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系；优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。
例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．例2：（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲98 87 91 92 88 95乙90 76 88 75 86 80丙68 65 73 72 75 82班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．（二）分段函数的教学：分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。
说明：（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。
例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
例4．已知f(x)＝⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+),0[,12)0,(,322x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值（三）课堂练习：1．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。
试用三种方法表示此实例中的函数。
2．某水果批发店，100kg 内单价1元／kg ，500kg 内、100kg 及以上0.8元／kg ，500kg 及以上0.6元／kg 。
试用三种方法表示批发x 千克与应付的钱数y （元）之间的函数y=f(x)。
归纳小结：本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。
课题：函数的表示法（二）一、复习准备：1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点P 和它对应；对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对(x ,y )和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping ）。
二、讲授新课：（一） 映射的概念教学： 定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）。
记作：:f A B →讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？ 例1．（课本P 22例7）以下给出的对应是不是从A 到集合B 的映射？ （1） 集合A ={P | P 是数轴上的点}，集合B =R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2） 集合A ={P | P 是平面直角坐标系中的点}，B = {}(,),x y x R y R ∈∈，对应关系f ： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （3） 集合A ={x | x 是三角形}，集合B ={x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4） 集合A ={x | x 是新华中学的班级}，集合B ={x | x 是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。
例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。
（二）求函数的解析式：常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
例3．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。
（待定系数法）例4．已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。
（配凑法或换元法）例5．已知函数f(x)满足1()2()f x f x x-=，求函数f(x)的解析式。
（消去法）例6．已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。
（三）课堂练习：1．已知 2211()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。
2．已知2211()f x x x x+=+，求函数f(x)的解析式。
3．已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。
课题：函数的表示法（三）一、复习准备：1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。
2. 讨论：函数图象有什么特点？ 二、讲授新课：例1．画出下列各函数的图象：（1）()22(22)f x x x =--<≤ （2）2()243(03)f x x x x =--≤< ；例2．（课本P 21例5）画出函数()f x x =的图象。
例3．设(),x ∈-∞+∞，求函数()213f x x x =--的解析式，并画出它的图象。