高一函数的概念教师版

课题：函数的概念（一）

函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：

(),y f x x A =∈

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

（3）反比例函数(0)k

y k x

=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。

（二）区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；

这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P 17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞

(](),,,b b -∞-∞。

巩固练习：

用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0}

（三）例题讲解：

例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域

例2．已知函数1

()2f x x =+，

（1） 求()()2

(3),(),33

f f f f --的值；

（2） 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。

（四）课堂练习：

1． 用区间表示下列集合：

{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或

2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；

课题：函数的概念（二）

一、复习准备：

1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y ＝x

x 2

3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？

2. 用区间表示函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）、y ＝x

k

(k ≠0)的定义域与值域。

二、讲授新课：

（一）函数定义域的求法：

函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定

义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。 例1：求下列函数的定义域（用区间表示） ⑴ f(x)=

2

32--x x ； ⑵

f(x)= ⑶ f(x)=1+x －

x

x -2；

说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

求法：由a

例3．已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域： （1

）()f x =； （2）1()11f x x

=

+

2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域； （2）已知函数f(2x-1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。 （二）函数相同的判别方法：

函数是否相同，看定义域和对应法则。 例5．（课本P 18例2）下列函数中哪个与函数y=x 相等？

（1）2

y=；（2）y=

（3）y=（4）

2

x

y

x =。

课题：函数的表示法（一）

一、复习准备：

1．提问：函数的概念？函数的三要素？

2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

（一）函数的三种表示方法：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系；

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图；列车时刻表；银行利率表等。

例1．某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．

例2：（课本P20例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

甲98 87 91 92 88 95

乙90 76 88 75 86 80

丙68 65 73 72 75 82

班平均分88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

（二）分段函数的教学：

分段函数的定义：

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：

（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；

（2）．分段函数只是一个函数，只不过x的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。