【大学物理】§5.3 角动量守恒定律解析
角动量守恒定律_概述及解释说明
角动量守恒定律概述及解释说明1. 引言1.1 概述角动量守恒定律是物理学中一个重要的基本原理，它描述了在不受外力或转矩作用下，系统的总角动量将保持不变。
这一定律有着广泛的应用，在自然界和工程领域中都扮演着至关重要的角色。
1.2 文章结构本文将首先介绍角动量守恒定律的基本概念，包括角动量的定义和性质，以及角动量守恒的原理和在自然界中的应用。
接着我们会详细解释数学原理，包括刚体系统和非刚体系统中角动量守恒的推导过程，并探讨转矩与角动量之间的关系。
然后，我们将通过经典实例分析实验来验证角动量守恒定律，并探讨其应用和验证方法。
最后，我们会对角动量守恒定律的重要性进行总结，并回顾其在物理领域中的广泛应用，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在全面介绍角动量守恒定律，并深入探讨其数学原理、实验验证以及在实际应用中的案例。
通过对角动量守恒定律的深入理解，能够帮助读者更好地理解物理学中的基本原理，同时也有助于激发读者对未来研究方向的思考。
2. 角动量守恒定律的基本概念2.1 角动量的定义和性质角动量是刻画旋转运动的物理量，它与物体的质量、速度以及距离有关。
角动量的定义为一个物体在给定参考点周围旋转时所具有的动力学特性。
其数学表达式为L = r x p，其中L表示角动量，r表示从参考点到物体质心位置矢量，p表示物体的线性动量。
根据右手法则，可以确定角动量的方向与线性动量和半径之间的关系。
角动量具有以下几个重要性质：1) 角动量是矢量，在运算中需要考虑其方向；2) 角动量大小与速度、质量及距离之间的积相关；3) 在封闭系统中，总角动量守恒。
2.2 角动量守恒的原理角动量守恒指在一个封闭系统中，如果没有外力或外力矩作用于该系统，则系统总角动量将保持不变。
这意味着在不受外界干扰的情况下，系统内各个部分相对于共同参考点的角动量之和保持不变。
这一原理可以通过牛顿第二定律和牛顿第三定律的推导来解释。
根据牛顿第二定律，一个物体的角动量变化率等于作用在该物体上的转矩。
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
《角动量守恒定律》课件
05
角动量守恒定律的拓展学习
与角动量相关的其他定律
角动量定理
描述角动量随时间变化的 规律，即角动量定理。
拉格朗日定理
与角动量守恒定律相关的 另一个重要定理，它描述 了系统在保守力作用下的 运动规律。
公式
L=r×p，其中L表示角动量，r表 示位置矢量，p表示动量。
Байду номын сангаас
角动量守恒的条件
无外力矩作用
系统内力的力矩相互抵消，或者系统受到的外力矩为零。
孤立系统
系统与外界没有能量交换或相互作用，即系统处于孤立状态 。
角动量守恒定律的应用场景
01
02
03
天体运动
行星绕太阳的旋转运动、 卫星绕地球的运动等都遵 循角动量守恒定律。
哈密顿原理
一个描述系统在保守力作 用下最短路径的原理，与 角动量守恒定律有密切联 系。
角动量守恒定律的深入学习资源
《经典力学》教材
深入探讨角动量守恒定律的理论 基础和应用，包括数学推导和实
例分析。
网络公开课
一些在线教育平台提供关于角动量 守恒定律的深入学习课程，可以作 为辅助学习资料。
学术论文
查阅相关学术论文，了解角动量守 恒定律在前沿科学研究中的应用和 最新研究成果。
们更好地设计和控制卫星轨道。
分子运动实例
总结词
分子转动是微观领域中角动量守恒的实例，对于理解化学反应机理和分子结构具有重要意义。
详细描述
分子转动是指分子中的原子或基团绕分子轴线的旋转运动。在分子转动过程中，分子的角动量是守恒的。这是因 为分子内部没有摩擦力矩，从而保证了角动量的守恒。了解和利用角动量守恒定律，可以帮助我们更好地理解和 预测化学反应机理和分子结构。
大学物理 角动量 角动量守恒定律课件
1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0
t
t0
L Mdt dL L L0 L
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
大学物理课件角动量守恒定律
只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统 只要整个系统受到的合外力矩为 ， 的总角动量守恒， 的总角动量守恒，即： 恒量 比如：当研究质点与刚体的碰撞问题 质点与刚体的碰撞问题时 比如：当研究质点与刚体的碰撞问题时，可以把质 点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中， 点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受 的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒 系统的角动量守恒。 的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。
刚体定轴转动的角动量定理 三、刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 ，则
当刚体受到的合外力矩为0 时，其角动量保持不变。 其角动量保持不变。 当刚体受到的合外力矩为 讨论 Ø 内力矩不改变系统的角动量。 内力矩不改变系统的角动量。 Ø 在冲击等问题中 冲击等问题中 常量
Ø 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。
可得：质点系的角动量守恒定律： 可得：质点系的角动量守恒定律： 若： 则： 或：
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。 当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
二、刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律 质点对点的角动量： 质点对点的角动量： 作圆周运动的质点的角动量： 作圆周运动的质点的角动量： 1、刚体定轴转动的角动量
（ 海豚 Ⅱ ）
（支奴干 CH47)
装置反向转动的双旋翼产生 反向角动量而相互抵消
用两个对转的顶浆
自然界中存在多种守恒定律 2 动量守恒定律 2 能量守恒定律 2 角动量守恒定律 2 电荷守恒定律 2 质量守恒定律 2 宇称守恒定律等
例：人与转盘的转动惯量J0，伸臂时 人与转盘的转动惯量 ， 臂长为 l1，收臂时臂长为 l2。人站在 ， 。 不计摩擦的自由转动的圆盘中心上， 不计摩擦的自由转动的圆盘中心上， 的哑铃。 每只手抓有质量为 m的哑铃。伸臂时 的哑铃 转动角速度为 1， ， 求：收臂时的角速度 2 。 解：整个过程合外力矩为0， 整个过程合外力矩为 ， 角动量守恒， 角动量守恒，
第五章 角动量角动量守恒定理解读
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
什么是角动量守恒定律
什么是角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学中的基本定律之一。
它描述了一个物体或系统的角动量在没有外力作用下的守恒性质。
本文将通过对角动量守恒定律的概念、应用和实例的探讨，详细阐述什么是角动量守恒定律。
角动量守恒定律是基于物体的转动性质而产生的定律。
角动量表示物体绕某个轴旋转时的运动状态，它与物体的质量、转动轴离轴距离和物体的角速度有关。
角动量守恒定律提出，当一个物体或一个系统不受外力矩作用时，其总角动量将保持不变。
具体而言，对于一个孤立系统或一个不受外部扰动的物体，其初始角动量与最终角动量相等。
也就是说，如果在没有外力作用下，物体的转动轴保持不变，那么它的角动量将始终保持不变。
这表明，物体在转动过程中，无论是改变转动速度还是转动轴的位置，总角动量都将保持恒定。
角动量守恒定律可以通过转动动力学原理来解释。
当一个物体受到作用力时，根据转动动力学原理，作用力和物体受力点之间的力矩将导致物体发生角加速度，从而改变物体的角动量。
然而，在不受外力的情况下，物体的角动量将保持不变，因为没有力矩可以改变物体的角动量。
角动量守恒定律在实际应用中有着广泛的意义。
首先，在天体物理学中，它可以用来解释和预测行星、卫星等天体的运动。
例如，当卫星绕地球旋转时，由于不受外力的作用，卫星的角动量保持恒定，这使得我们能够理解卫星的运动轨迹和速度变化。
此外，角动量守恒定律还可以应用于机械系统中，如陀螺仪的运动理论分析、转子动力学等等。
值得一提的是，角动量守恒定律与动量守恒定律密切相关。
动量守恒定律指出在没有外力作用下，物体的动量保持不变。
而角动量守恒定律可以被视为动量守恒定律在转动系统中的体现。
因为角动量等于动量与物体到转动轴距离的乘积，所以角动量守恒定律实际上是动量守恒定律在转动系统中的推论。
为了更好地理解角动量守恒定律，让我们通过一个实际的例子来具体说明。
考虑一个自行车车轮的旋转运动。
当骑手在自行车上进行转动操作时，车轮开始加速旋转。
角动量及其守恒ppt课件.ppt
解 两个圆柱体并不是绕同一固定轴
在转动,虽然外力矩为零,但角动
量不守恒,用角动量定理
t
0 R1 fdt J1( 1 1 )
J1
1 2
M 1 R12
t
0 R2 fdt J 2( 2 2 )
J2
1 2
M 2 R22
最后两个圆柱体接触点的线速度相等 1R1 2 R2
1
M1R11 M 2 R2 2
与杆碰前速度
h
h
v0 2gh0
v0 2gh0
2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）
c
角动量守恒 mlv0 J mlv
m
l
动能不变
1 2
mv02
1 2
mv2
1 2
J 2
h
h
v
1 2
v0
3v0
2l
3）碰后杆上摆，机械能守恒（杆，地球）
1 2
J 2
mghc
h
2hc
3 2
h0
1. 质点角动量
质点在垂直于 z 轴平面上
以角速度 作半径为 的r
z
圆运动.
or
mv
➢ 质 点角动量（相对圆心） 90
A
L r p r mv
大小 L rmvsin
z L mv
L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则
r
2. 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
(A) 只有（2）是正确的;
(B)（1）、（2）是正确的;
(C)（2）、（3）是正确的;
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的.
练习
人造地球卫星, 绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：
大学物理角动量 角动量守恒定律
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
1 mv0 ml 12 4 l
2
m( ) 4 l
2
12 v 0 7 l
5 – 3 角动量 角动量守恒定律
12 v 0 7 l
第五章 刚体的转动
由角动量定理
M dL dt d ( J ) dt dJ dt
第五章 刚体的转动
v A (v0 v ) 1 v B 1709 m s
mM m R h
2
2
1 2
飞船在 A点喷出气体后, 在到 达月球的过程中, 机械能守恒
1 2 m v A G 1 2
2
vB
B
vA
v0
R
O h
v
u
2
A
m v B G
2
2
mM m
质点的角动量定理和角动量守恒定律
pi
pj
5 – 3 角动量 角动量守恒定律
第五章 刚体的转动
1 质点的角动量 质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r ，质点相对于原 点的角动量
L
z
v
r
o
L r p r mv 大小 L rm v sin
第五章 刚体的转动
二
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
L
i
m i ri v i ( m i ri )
2 i
z
O ri
mi
L J
2 刚体定轴转动的角动量定理
物理学中的角动量守恒定律解析
物理学中的角动量守恒定律解析在物理学中，角动量守恒定律是一个重要的基本原理，描述了在没有外力矩作用下，系统的角动量将保持恒定。
角动量守恒是物理学中的一大基石，广泛应用于天体物理、量子力学、机械学等领域。
首先，让我们来了解一下角动量的概念。
角动量是描述物体自旋和绕轴旋转的能力，量纲为动力学量的乘积，常用 L 表示。
对于质点的角动量，可以用质点的质量 m、速度 v 和距离 r 表示为 L = mvr。
对于刚体，角动量可以表示为L = Iω，其中 I 是刚体的转动惯量，ω 是刚体的角速度。
角动量守恒定律的表述如下：在没有外力矩作用的情况下，系统的总角动量保持不变。
这意味着，系统内任意物体的角动量之和保持不变，即 L初始 = L最终。
角动量守恒定律可以通过数学推导和实验证明。
首先，我们通过数学推导来解析一维情况下的角动量守恒定律。
考虑一个质量为 m 的质点，在一维空间内沿着直线运动。
质点的角动量 L = mvr，其中 v 是质点的速度，r 是质点到某一参考点的距离。
在没有外力作用下，质点的速度保持不变，即 v初始 = v最终。
另外，质点到参考点的距离也保持不变，即 r初始 = r最终。
因此，质点的角动量 L初始 = m(v初始)(r初始) = m(v最终)(r最终) = L最终，即质点的角动量保持不变。
在三维情况下，角动量守恒定律可以通过实验证明。
考虑一个旋转的刚体，初始时刻刚体的总角动量为 L初始。
在没有外力矩作用下，角动量守恒定律要求刚体的总角动量保持不变。
通过实验证明，我们发现无论刚体如何旋转，只要没有外力矩的作用，刚体的总角动量始终保持不变。
这个实验结果验证了角动量守恒定律的正确性。
角动量守恒定律在物理学中有许多应用。
在天体物理中，角动量守恒解释了行星、卫星和恒星的自转现象，以及行星和卫星轨道的稳定性。
在量子力学中，角动量守恒定律解释了原子的轨道角动量和自旋角动量的存在和量子化。
在机械学中，角动量守恒定律解释了旋转运动的保持和稳定性，如陀螺仪的工作原理和刚体在转动中的平衡。
《角动量守恒》课件
瓶子里的小球
当一个小球在一个旋转的瓶 子中运动时，由于角动量守 恒，小球的运动轨迹将发生 奇妙的变化。
总结
1 角动量守恒定理在现实生活中的应用
角动量守恒定理在旋转机械、天体运动等方面有广泛的应用。
2 与其他物理量的关系
角动量与动量、力矩等物理量之间存在一定的关系。
3 角动量守恒定理的限制
角动量守恒定理只在没有外力作用时成立。
《角动量守恒》PPT课件
角动量守恒是力学中一个重要的概念。本课件将介绍角动量的基本概念、角 动量守恒定理以及其在物理世界中的应用。
基本概念
1 角动量的定义
2 角动量的单位
பைடு நூலகம்
角动量是物体在旋转时具有的物理量， 它由转动惯量和角速度的乘积组成。
角动量的单位是千克·米²/秒，记作 kg·m²/s。
角动量守恒定理
保持不变。
质点做圆周运动时的角动量 守恒
当质点绕着固定轴作圆周运动时， 它的角动量将保持不变。
实例分析
静止的物体受外力时的 角动量守恒
自转的刚体的角动量守 恒
当一个静止的物体受到外力 作用时，由于其角动量守恒， 它将发生旋转而不是直线运 动。
当一个刚体在自转时，由于 其角动量守恒，刚体的自转 速度将保持不变。
1 定义
角动量守恒定理指的是在没有外力作用下，物体的角动量保持不变。
2 守恒定理的意义
角动量守恒定理说明了物体在旋转过程中的稳定性和不变性。
3 质点系之间的角动量守恒
当质点系内部没有相互作用力时，质点系的总角动量将保持不变。
角动量定理的应用
1
刚体的转动
2
刚体的转动可以通过角动量定理来 解释，刚体在转动过程中其角动量
角动量守恒原理及讲解
角动量守恒原理及讲解一、角动量的基本概念1. 定义- 对于一个质点，角动量→L=→r×→p，其中→r是质点相对于某参考点的位置矢量，→p = m→v是质点的动量（m为质点质量，→v为质点的速度）。
- 在直角坐标系中，如果→r=(x,y,z)，→p=(p_x,p_y,p_z)，那么L_x = yp_z - zp_y，L_y=zp_x - xp_z，L_z = xp_y - yp_x。
2. 单位- 在国际单位制中，角动量的单位是千克·米²/秒（kg· m^2/s）。
二、角动量定理1. 表达式- 对单个质点，→M=(d→L)/(dt)，其中→M是作用在质点上的合外力矩。
- 对于质点系，→M_{外}=(d→L)/(dt)，这里→M_{外}是系统所受的合外力矩，→L是系统的总角动量。
2. 物理意义- 角动量定理表明，作用于质点（系）的合外力矩等于质点（系）角动量对时间的变化率。
三、角动量守恒定律1. 内容- 当系统所受合外力矩→M_{外} = 0时，系统的角动量→L保持不变，即→L=text{常量}。
2. 条件- 合外力矩为零是角动量守恒的条件。
这可能有多种情况，例如：- 系统不受外力矩作用。
- 系统所受外力矩的矢量和为零。
在有心力场（如地球绕太阳的运动，太阳对地球的引力是有心力，力的作用线始终通过太阳中心）中，物体所受的力矩为零，角动量守恒。
3. 举例说明- 花样滑冰运动员的旋转- 当花样滑冰运动员双臂伸展时开始旋转，此时他具有一定的角动量。
由于冰面的摩擦力矩很小可以忽略不计，运动员所受合外力矩近似为零。
- 当他将双臂收拢时，他的转动惯量I减小（转动惯量I=∑ m_ir_i^2，双臂收拢时，身体各部分到转轴的距离r_i减小）。
根据角动量守恒定律L = Iω=text{常量}（ω为角速度），转动惯量I减小，则角速度ω增大，运动员的旋转速度加快。
- 行星绕太阳的运动- 行星受到太阳的引力是有心力，引力对太阳中心的力矩为零。
大学物理角动量守恒定律ppt课件
d J
dt
v L1 v L2
v L1
dL v
dL
J d
dt
L2 v L2
L1 v L1
积分
M轴 dt Jd J2 J1
当 M 轴合外 0 时
t1
1
J2 J1 恒量
定轴转动刚体 角动量守恒
若转动惯量有变化，则有：J22 J11 恒量 19
5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能
Jz Jc mh2
式中:
J
关于通过质心轴的转动惯量
c
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
h Cz
J z 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量
23
2） 转动惯量叠加，如图
z B
Jz JA JB JC
A
C
式中:J A 是A球对z轴的转动惯量
JB 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
点的角动量
有 r
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
大学物理5.3角动量守恒定律解析课件
6.3kms1
➢ 增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
近地
h1 160.9km
v1 3.38104 kms1 t小很快掠过
远地
h1 2.03105 km v1 1225kms1 t大充分利用
第10页，共33页。
➢ 地球同步卫星的定点保持技术 卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
严格同步条件 轨道严格为圆形 运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
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回顾作业 P72 4 -11
CB
Ny o Nx
F轴 0
M轴 0
A
A、B、C系统
p不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
mA mB v1R mA mB mc vR
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练习：已知 m = 20 克，M = 980 克 ,v 0 =400米/秒，绳 不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v =?
“1987超新星事件” 杨桢
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解：内核坍缩过程不受外力矩作用， 对自转轴的角动量守恒
2 5
mR020
2 5
mR2
得坍缩后的角速度为：
R0 R
2
0
2 107 6 103
2
45
2
24 3600
17.9
rad s-1
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Lz 恒量
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例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1 , 10 ; m2 , R2
求：接触且无相对滑动时
1 ? 2 ?
, 20
10
20
m1
.o1
R1
角动量守恒定律的内容和公式
角动量守恒定律的内容和公式在我们探索物理世界的奇妙旅程中，角动量守恒定律可是一个相当重要的角色。
那啥是角动量守恒定律呢？简单来说，就是如果一个系统不受外力矩或所受外力矩的矢量和为零，那这个系统的角动量就保持不变。
咱先说说角动量这东西。
想象一下，一个旋转的花样滑冰运动员，当她把手臂收拢时，旋转速度会变快；把手臂伸展开，旋转速度就变慢。
这就是角动量在起作用。
角动量等于转动惯量乘以角速度。
转动惯量又和啥有关呢？就拿那个滑冰运动员来说，她收拢手臂，身体的质量分布就更靠近旋转轴，转动惯量就变小；伸开手臂，质量分布远离旋转轴，转动惯量就变大。
角动量守恒定律的公式是：Jω = 恒量。
这里的 J 代表转动惯量，ω 代表角速度。
我记得有一次在物理课上，老师给我们做了一个特别有趣的实验。
他弄了一个转台，上面放着几个不同大小和质量分布的圆盘。
一开始，转台慢慢地转动，然后老师调整了圆盘的位置和分布，神奇的事情发生了，转台的转速居然发生了变化。
当时我们都特别好奇，老师就趁机给我们讲解了角动量守恒定律。
他说，就像刚刚的实验，当圆盘的分布改变，转动惯量变了，但是为了保持角动量守恒，角速度就得跟着改变。
在日常生活中，角动量守恒定律也到处都有体现。
比如说，骑自行车的时候，车轮的旋转就遵循这个定律。
还有，游乐园里的旋转木马，不管上面坐的人怎么分布，它的整体旋转也符合角动量守恒。
再比如说，跳水运动员在空中旋转的动作。
他们通过改变身体的姿态和动作，来调整转动惯量，从而控制旋转的速度和角度，完成精彩的跳水动作。
总之，角动量守恒定律虽然听起来有点复杂，但只要我们多观察、多思考，就能发现它无处不在，给我们的生活带来很多有趣的现象和体验。
它让我们更深入地理解这个神奇的物理世界，也让我们对身边的一切有了更多的好奇和探索的欲望。
所以啊，大家可别小看这个定律，它可是物理世界里的一个大宝贝呢！。
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
大学物理-角动量守恒定律 PPT
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
dt 2
24 v0
7l
37
例6 一杂技演员M由距水平跷板高为h 处 自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端 的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?
M
h
N
C
A
B
l/2
l
38
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
6mv0
(M 3m)l
v0 m
31
例3 摩擦离合器 飞轮1：J1、 w1 摩擦轮2： J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到 的共同角速度。 解：两轮对共同转轴的角动量守恒
21
试与下例的齿轮啮合过程比较。
32
例4 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心
垂轮直以于0 盘转面动转，轴然的后转两动轮惯正量交为啮J1合、，J2求，啮开合始后1
点o的矢径为 r ，动量为 p ，如下图。在计算其
角动量时，注意有两个特点：
(1) o点到 p 方向的垂直距离 r sin 不变;
(2) L 方向不变;
p2
假如 p 的大小也不变， 显然L 的大小不变。这表
明，自由质点对任意参考 点的角动量保持不变。
p1
1 r1
2
r2
r sin o
5
1.5.2 质点角动量定理
必须指明是对哪个点而言的
注意两点：
(1) 质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此
对不同的参考点，角动量 L 不同;
(2) L 的大小在0~ rp 之间变化，如果把动量分解
为径向分量 pcos 和横向分量 psin ，则仅横
5角动量守恒大学物理
解: 分析受力: 重力，支持力 定点弹性力。
设：恢复原长时， 球速为V及图示角
显然，在水平方 向。。。。。
v
M
l0
O
l0 a
v0
2
M
因为弹性力为 有心力， M rF 0
v
M
l0
v0
则；在小球运动的整
2
个过程中，M对O点 的角动量守恒。
L
O 恒矢量
l0 a Lrp
M
角动量守恒：
v
r
r
Sun
v
方向：满足右手关系，向上 3 质点 直线运动对 某定点的角动量：
d r
m
L r p mr v
O
大小：L mvrsin mvd
方向：
思考：如何使L=0？
质点的角动量定理：
仿照平动：F
dp
M
r
F
dt r
dp
d(r
p)
dr
p
d(r
p)
v
dt
mv
dt
L LdL m2gR3
cosd
0
0
3
1
L mR 2 (2g sin )2
由 L mR2
;
(
2g
sin
)
1 2
R
例：原长为 l0 劲度系数为k的弹簧，一端固定在一光 滑水平面上的o点，另一端系一质量为M的小球。开始
时，弹簧被拉长a,并给予小球一与弹簧垂直的初速度v 0 求：当弹簧恢复原长时小球速度 v的大小和方向（即
2 有心力场,对力心角动量守恒.
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1 ,v1)然
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
i
ri F i 外
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受 外力矩的矢量和 (合外力矩 )
dL dt
M外
i
ri F i 外
注意： 合外力矩 是质点系所受各外力矩 外 的矢量和，而非合力的力矩。 注意：质点系内力矩的作用
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
2
m 1 r1 2
2
z
空心圆盘
J z J2 J1 m 2 r2 2
2 2
m1 r1 m2 r2
m 1 r1 2
平行轴定理
J D J C md
正交轴定理
z o
x
2
D
d C
m
对平面刚体
y
Jz Jx J
y
证明见教材92页
练习： 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量
M
z
xF y yF x
力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量
注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
M
o
M 1o M
2o
矢量和 代数和
M
z
M 1z M
2z
思考：
合力为零时，其合力矩是否一定为零？
合力矩为零时，合力是否一定为零？
例：
F
F
o
F
2
L
x
2
m L
dx
m 1 L 3
x
3
L 0
1 3
mL
2
0
3. 求质量 m ,半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的集合
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一、转动惯量
二、角动量 质点 质点系 定轴刚体 三、力矩
J mi ri r dm
2 2 i m
L L轨道 L自旋 rc mvc ri mi vi
L r mv
Lz Jω
i
M r F ; M z r F ;
天体运动（行星绕核运动；原子核中质子、中 子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射...）
例. P.100 5-18 已知: 地球 R = 6378 km 卫星 近地: h1= 439 km 远地: h2= 238 km 求 : v2 v1 = 8.1 kms-1
1 2
J110 J 220 J11 J 22 1
接触点无相对滑动：
o 1.
o2.
1R1 2 R2
2
4
1 2 又： J1 m1 R1 2
同学们好！
§5.3 角动量守恒定律
一、角动量守恒定律 研究对象：质点系 由角动量定理： 当 M 外 0 时，
M外
dL 0 dt
L 恒矢量
M x 0 时 Lx 恒量
分量式：
M y 0 时 Ly 恒量 M z 0 时 Lz 恒量
对定轴转动刚体，当 M 0 时， 轴
直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？
茹科夫斯基凳实验
为什么银河系呈旋臂盘形结构？
体操运动员的“晚旋”
芭蕾、花样滑冰、跳水…...
例. 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的 竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和 台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相对 于地面，人和台各转了多少角度？
增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
h1 160 .9km
h1 2.03 105 km
1
近地
v1 3.38 10 kms
4
远地
v1 1225kms1
t小很快掠过
t大充分利用
地球同步卫星的定点保持技术 卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零 严格同步条件 轨道严格为圆形 运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
例.已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1
1 ?
10
m1 R1
, 10 ; m2 , R2
2 ?
20
1
,20
求：接触且无相对滑动时
2
.o1
.o2
R2
m2
o1.
o 2.
解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，则： J1 + J2 系统角动量守恒 ，以顺时针方向为正：
即孤立系统角动量守恒。
当有力矩作用于质点系时，力矩的方向为一可测量 方向，空间旋转对称性发生破缺。因此，角动量将 不再守恒，其规律为角动量定理：
M外
dL dt
t2
t1
M 外dt L
dLz d J J dt dt
M轴
第五章 角动量 角动量守恒 习题课
复习提要：
h2
h1 m
解：卫星~质点 m
地球~均匀球体 对称性：引力矢量和过地心 对地心力矩为零 卫星 m 对地心 o 角动量守恒
dm O dF dm’
dF1
m
dF2
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
mv 1 R h 1 mv 2 R h2
h2
h1 m
R h1 6378 439 v2 v1 8.1 6.3kms1 R h2 6378 2384
p 恒矢量 L 恒矢量
彼此独立
角动量守恒现象举例 适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子... 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？ 请看: 猫刚掉下的时候，由于体 重的缘故，四脚朝天，脊背朝 地，这样下来肯定会摔死。请 你注意，猫狠狠地甩了一下尾 巴，结果，四脚转向地面，当 它着地时，四脚伸直，通过下 蹲，缓解了冲击。那么，甩尾 巴而获得四脚转向的过程，就 是角动量守恒过程。
解： 选地面为参考系，设对转轴
人：J , ;
2
m
R
M
台：J ´, ´
2 1 J 2 MR
J mR
系统对转轴合外力矩为零， 角动量守恒。以向上为正：
J J 0 2m M
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t：
dt dt 2
2m dt dt 2 M 0 0
地球扁率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移
（p.43 图3.5-8)
用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
研究微观粒子相互作用规律 自学教材P.94[例五]
三、角动量守恒与空间旋转对称性（了解）
空间绝对位置是不可测量的 空间具有平移对称性 动量守恒 空间绝对方向是不可测量的 空间具有旋转对称性 角动量守恒 空间各向同性：各方向对物理定律等价。 孤立系统在某个角位置具有角动量 L ， 则在其它角位置也应具有相同的角动量 L ，
M i内 0
i
四、角动量定理
质点 质点系
dL M dt dL M外 dt
t2
t1 t2
Mdt L
定轴刚体
M z Jβ
M外 0 Mz 0
t2
t1
M 外dt L
z
M
t1
d t L z
五、角动量守恒
L 恒矢量 Lz 恒量
L轴 恒量
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。 注意 1.守恒条件： M 外 0 或 M 轴 0 能否为 M 外dt 0 ? 2. 与动量守恒定律对比：
当 F外 0 时，
当 M 外 0 时，
人相对地面转过的角度：
0 t 0
t
t
t
2 M dt 2m M 0
t
台相对地面转过的角度：
2 m dt 2m M 0
t
二. 有心力场中的运动 物体在有心力作用下的运动 力的作用线始终通过某定点的力
力心 有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体 对力心的角动量守恒。 应用广泛，例如：