第八讲_幻方与数阵图 (1)

第八讲幻方与数阵图

一．知识点总结

1.奇数阶幻方-----罗伯法：1在上行正中央，后数依次右上连，

上出框时往下填，右出框时往左填，排重便在下格填。

2.三阶幻方性质：

（1）幻和=数字和÷3

（2）中心数=幻和÷3

（3）中心数两边和=中心数×2

（4）与中心数相关的横，竖，斜行分别成等差数列

（5）最大数与最小数结合，不能放四角

第二大的数与第二小的数结合，只能放四角

（6）四角上的数等于与它不相邻的行，列的中间数的平均数

A=（B+C）÷2

3.数阵图做题方法

（1）尝试法，对于比较简单的数阵图，尝试

（2）复杂数阵图a.标记重叠数

b.每条线上的和记为S，算总和

c.算题目给出的数字之和

d.看总和，数字之和，重叠数三者的关系，列等式，从

而猜想重叠数，算出S

二．例题解析

尖子班例题2:编写一个三阶幻方，使其幻和为24

解析：中心数=24÷3=8

中心数两边的数字之和24-8=16，找四对和是16的数。

最大数15和最小数1结合，不能放四角

第二大的数14和第二小的2结合，只能放四角

剩下的数就很简单填出

注意：此题答案有好多种，数字也可以自己随便选。只要记住幻方的性质（5）就很容易

竞赛班例题1：每行每列以及两条对角线上的三个数之和相等。求X,如果中间格填100，试完成幻方。

(1)

解析：利用四角上的数等于与它不相邻的行，列的中间数的平均数95×2=X+19

X=171

(2)

解析：幻和=100×3=300

注意：计算要认真，尽量用给出的数算，这样可验算

竞赛班例题2:将1~9填入方格，使横竖相连的三个格数字之和是15，其中一条对角线数字之和是15，另一条对角线数字之和不是15。请写出不是15的对角线的数字之和

解析：

45+3a=15×3+另一条对角线数字之和

所以，另一条对角线数字之和=3a，即为中心数的3倍

1~9中，三个数和是15的组合：9+5+1, 9+2+4，8+6+1, 8+5+2,

8+4+3, 7+6+2, 7+5+3, 6+5+4

因为中心数a至少用了3次，所以a可以是2,4,5,6,8中的一个

另一条对角线数字之和可以是6,12,18,24

竞赛班学案1：下图是一个四阶幻方，求A,B

解析：幻和为28+16+6+18=68，A=68-2-28-(68-26-6-12)=14

B=68-26-20-14=8

竞赛班例题6：每条线上的三个数中，中间数是两边两个数的平均数，求X?

解析：

B是13和A的平均数，

C是15和A的平均数，

15-13=2，所以C比B 大1

C是17和B的平均数，所以C为16，B为15

X=（13+16）÷2=19

学案三：填入1～9，使每一个正方形四角上四个数字之和相等,求中心数？

解析：

中间的四个数加了两次，中心数加了四次，角上的数加了一次，中间的四个数加了两次，而中间四个数的和正好是S

4S=45+3A+S (1)

边上的八个数之和为2S,所以2S+A=45 (2)

由（1），（2）得S=20,A=5

竞赛班例题3：把10～20这11个数填入圆圈，使每条线上的和都相等。

解析：尝试法，10～20中找出5对和相等，对于连续的自然数，首尾相连

所以中心数可以是10,15,20，然后首尾一组，答案略。简单题

竞赛班例题5：填入1～9，，使每个三角形三个顶点数字之和相等？

解析：

3S=45

S=15

1~9中，三个数和是15的组合：9+5+1, 9+2+4，8+6+1, 8+5+2,

8+4+3, 7+6+2, 7+5+3, 6+5+4

中间三个数都加了三次，和是15的组合中只有数字2,4,5,6,8出现了三次

竞赛班例题7：填入1～9，使得每个面上四个顶点的和相等，并且这个和不能被剩下的那个数字整除。

解析：

剩下的数为A

2S=45-A,所以A为奇数，

A不能为1，因为任何数都能被1整除A=3,S=21,21能被3整除

A=5,S=20,20能被5整除

A=7,S=19,19不能被7整除