2020-2021学年云南省、四川省、贵州省、西藏四省名校高三(上)第一次大联考数学试卷(理科)

2020-2021学年云南省、四川省、贵州省、西藏四省名校高三

（上）第一次大联考数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合2{|20A x x x =--<，*}x N ∈，集合2{|}B x y log x ==，则集合A

B 等于(

) A ．1 B ．[1，2) C ．{1} D ．{|1}x x 2．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点M 在边CD 上运动，则MA MB 的最小值为(

) A ．1-

B ．0

C ．1

D ．3

4．祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年．为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值．正三角形的边长为4，若总豆子数1000n =，其中落在圆内的豆子数618m =，则估算圆周率π的值是（为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)( )

A ．3.13

B ．3.14

C ．3.15

D ．3.16

5．已知(0,)απ∈且满足7

cos()cos()4418

ππαα-+=-，则sin (α= )

A 22

B ．23

C ．23

- D ．13

6．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23

A π

=，2b =，且ABC

∆3a 的值为( ) A ．12

B ．8

C ．22

D ．237．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，O 坐标原点，以OF 直径的圆与双曲

线的一条渐近线相交于O ，A 两点，且||2||OA AF =，则双曲线的离心率等于( )

A 3

B 5

C ．

3

2

D 5

8．一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图

为边长为2的正方形，则其表面积为( )

A ．842+

B ．12

C ．1682+

D ．1222+

9．已知5log 2a =，2b ln =，2

3

c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a b c >>

B ．a c b >>

C ．b c a >>

D ．c b a >>

10．众所周知，人类通常有4种血型：O 、A 、B 、AB ，又已知，4种血型O 、A 、B 、

AB 的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什

么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就．这些规则可以归结为4条：①X X -；②O X -；③X AB -；④不满足上述3条法则的任何关系式都是错误的(X 代表O 、A 、B 、AB 任一种血型）．按照规则，在不知道双方血型的情况下，一位供血者能为一位受血者正确输血的概率为( ) A ．0.5625 B ．0.4375 C ．0.4127

D ．0.5873

11．已知实数x ，y 满足22log log y x x e y e --+<+，则下列结论一定正确的是( )

A ．x y >

B ．||0ln x y -<

C ．|1|0ln x y -+>

D ．|1|0ln y x -+>

12．已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，过A 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足||2PA =C 的方程为( ) A ．28x y =

B ．24x y =

C ．22x y =

D ．2x y =

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13．若x ，y 满足约束条件202200x y x y y +-⎧⎪

+-⎨⎪⎩

，则2z x y =-的最大值为 ．

14．6(

x x

的展开式的中间一项为 ． 15．在等腰三角形ABC 中，2AB AC ==，顶角为120︒，以底边BC 所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为 ．

16．已知函数()sin cos2f x x x =，关于函数()y f x =有下列命题：

①3()3f π= ②()f x 的图象关于点(2

π，0)对称；

③()f x 是周期为π的奇函数； ④()f x 的图象关于直线2

x π

=对称．

其中正确的有 ．（填写所有你认为正确命题的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且12a =，2a 是1a ，4a 的等比中项．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）当0d >时，求数列1

(1)n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭

的前n 项和n T ．

18．（12分）西尼罗河病毒()WNV 是一种脑炎病毒，通常是由鸟类携带，经蚊子传播给人类．1999年810-月，美国纽约首次爆发了WNV 脑炎流行．在治疗上目前尚未有什么特效药可用，感染者需要采取输液及呼吸系统支持性疗法，有研究表明，大剂量的利巴韦林含片可抑制WNV 的复制，抑制其对细胞的致病作用．现某药企加大了利巴韦林含片的生产，为了使生产效率提高，该药企负责人收集了5组实验数据，得到利巴韦林的投入量x （千克）和利巴韦林含片产量y （百盒）的统计数据如表： 投入量x （千克） 1 2 3 4 5 产量y （百盒）

16

20

23

25

26

由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，||[0.75r ∈，1]，认为两个变量相关性很强；||[0.3r ∈，0.75)，认为两个变量相关性一般；||[0r ∈，0.3)，认为两个变量相关性较弱．

（1）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱；

（2）根据上表中的数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy

bx a =+．为了使某组利巴韦林含片产量达到150百盒，估计该组应投入多少利巴韦林？ 参考数据：66025.69≈． 参考公式：相关系数1

2

2

1

1

()()

()

()n

i

i i n

n

i

i

i i x

x y y r x

x y

y ===--=

--∑∑∑，线性回归方程ˆˆˆy

bx a =+中，1

2

1

()()

ˆ()

n

i

i

i n

i

i x x y

y b

x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．5

1

()()25i i

i x x y y =--=∑． 19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且11

12

AB AA =

=，E 是棱1AA 的中点，3EC =．

（1）求证：平面1D EC ⊥平面EDC ； （2）求二面角11D EC B --的大小．