高一必修五余弦定理(一)精品PPT课件
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探究:如图,在△ABC中,BC=a,AC=b,边BC与AC的 夹角为C,试求AB边的长c.
如图所示建立直角坐标系,点A,B的坐标分别是
什么?
根据两点间的距离公式可得什么结论?
y
A A(bcosC,bsinC)
b
C
a
x
B B(a,0)
c2 a2 b2 2ab cosC
C
c2 a2 b2 2ab cos C
练习:已知在△ABC中,a=1,b= 7 ,B=60o,求c. c=3
解题小结:
在解三角形时,需由已知条件的不同,合理选用 正、余弦定理求解,一般应注意以下四种情况: (1)知两角及一边
先求第三角,再用正弦定理求另外两边. (2)知两边及其中一边的对角:
①先用正弦定理求剩下两角,再求第三边; ②先用余弦定理求第三边,再求剩下两角. (3)知两边及其夹角 先用余弦定理求第三边,再求剩下两角. (4)知三边 用余弦定理求三个角. 特别地,第二种情况还需知道如何判断解的个数.
∴a≈41(cm)
故由正弦定理可得
sin C csin A 34sin 41 34 0.656 0.5440.
a
41
41
∵c<a,故C是锐角
∴利用计算器可求得 C≈33°
∴B=180o-(A+C)=180o-(41o+33o)=106°
例2、在△ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm,
c=161.7cm,解三角形(角度精确到1′)。
解:
b2 c2 a2 87.82 161.72 134.62
cos A
0.5543
2bc
2 87.8161.7
∴A≈56°20′
c2 a2 b2 134.62 161.72 87.82
cos B
0.8398
2ca
2 134.6 161.7
a
同理可得a2 b2 c2 2bc cos A
b
b2 a2 c2 2ac cos B
A
c=?
B
余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即
cos A b2 c2 a2
a2 b2 c2 2bc cos A
2bc
b2 a2 c2 2ac cos B cos B a2 c2 b2
已知一边两角:正弦定理; 已知两边及对角:正弦定理; 已知两边及夹角:余弦定理; 已知三边:余弦定理.
例3、已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60o,求c.
解:由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B 72 82 c2 28 c cos 60 整理得 c2 8c 15 0 解方程思想 解得 c 3或c 5
2ac
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 cos C
2ab
用法:知两边及其夹角求 用法:知三边求三角形
三角形的第三条边.
的三个角.
例1、在△ABC中,已知b=60cm,c=34cm,A=41o, 解该三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).
解:∵a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82
复习 一、正弦定理可解决两类三角问题:
1、知两角及一边,求其它的边和角;
2、知两边及其中一边的对角,求其它的边和角.
注意:第二种类型的问题可能有一解、两解、无解三种情况.
二、已知两边及其中一边对角的三角形的解的情况:
A的范围 A为钝角或直角
a,b关系 a>b
a≤b a<bsinA
解的情况 一解 无解 无解
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2 b2 c 2 2bc cos A
C
b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2ab cos C
b
a
余弦定理好处: 不用判断解个数 与勾股定理联系?P6
cos A b2 c2 a2 2bc
a
b A
A为锐角
a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
一解 两解 一解
a b
bsinA
A
三、掌握“边角互化”的解题思想
相关知识复习:
1.向量的数量积: a b a b cos A
2.勾股定理:a2+b2=c2. 用向量方法证明:
c b
好处:不用做辅助线 问题:
C
C
a
B
(1)已知A,B,b,求a
| AB |2 | CB CA |2
C
2
2
CB CA 2CB CA
a
b
| CB |2 | CA |2 2 | CB || CA | cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
c a2 b2 2ab cos C
A
c=?
B
探究:如图,在△ABC中,BC=a,AC=b,边BC与AC的 夹角为C,试求AB边的长c.
用正弦定理 (2)已知A,a,b,求B,C
a b
用正弦定理
(3)已知a,b,C两边一夹角 A
c=?
B
确定三角形方法? ASA, AAS, SAS, SSS
探究:如图,在△ABC中,BC=a,AC=b,边BC与AC的 夹角为C,试求AB边的长c.
思路1:依条件可知,| CB | a,| CA | b, AB CB CA
∴B≈32°53′
C 180 ( A B) 180 (56 20' 32 53' ) 90 47'
利用余弦定理,可以解决以下两类解三角形的问题: (1)已知两边及其夹角,求其它的边和角; (2)已知三边,求三个角.
练习:在△ABC中 (1)已知b=8,c=3,A=60o,求a; 7 (2)已知a= 3 3 ,c=2,B=150o,求b; 7 (3)已知a=2,b= 2 ,c= 3 1,求A. 45o
Ac
B
在ABC中,
b2 c2 a2 A为直角; b2 c2 a2 A为锐角; b2 c2 a2 A为钝角
在△ABC中,若a=5、b=7、c=9,判断 △ABC是锐角三角形还是钝角三角形.
算最大角的余弦值
学案P38达标2
在三角形的六个基本元素中,已知哪三个 元素可以解三角形?
ASA,AAS,SAS,SSS 针对上述类型,分别用哪个定理求解为宜?
思路2:作AD⊥BC于D
∵在Rt△ADC中,CD=bcosC ∴BD=a-bcosC 又∵AD=bsinC ∴在Rt△ADB中,
C Da
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c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2
=b2sin2C+a2-2abcosC+b2cos2C A
c=?
B
=a2+b2-2abcosC
c a2 b2 2ab cos C