第4课 勾股定理(2)

第4讲 勾股定理（2）

【知识要点】

1．直角三角形的两锐角互余,斜边是最大边;设两直角边为a 和b,斜边为c,则222c b a =+.反之,

若222c b a =+,则以a,b,c 为边的三角形是直角三角形.

2．直角三角形中,30o 角所对的边是斜边的一半.反过来,在直角三角形中,若有一直角边是斜边

的一半,则其所对的角为30o .

3．证明直角三角形中的两角相等,线段相等或两线垂直的问题,除运用全等三角形或等腰三角

形中的方法外,还要直角三角形中的特殊的角和特殊的边之间的关系.

【例题选讲】

例1. 如图,在ABC ∆中,9,6,90===∠AC BC C o ,AE ∥BC,D 是AC 的中点,求BE 的长.

例2 如图，ABC ∆中，AB=17，AC=10，BC=21，求ABC ∆的面积S.

例3 如图,是2002年北京国际数学家大会的会标形

状,其中四边形ABCD 和PQRS 都是正方形.

(1) 求证:4个直角三角形ABQ,BCR,CDS,DAP 是全等三角形;

(2) 利用此图证明勾股定理;

(3) 如果大正方形的面积为2162

,小正方形PQRS 的面积为4,求各个直角三角形的直角边

长.

B

A B C

例4 如图,把一张长方形的纸条ABCD 沿对角线BD,将BCD ∆折成BDF ∆,DF 交AB 于E.若已

知AE=2cm,o BDC 30=∠,求纸条的长和宽.

例5 如图,两个全等的等腰直角三角形,各有一个内接正方形,如果(1)中的正方形的面积为2a ,

那么(2)中的正方形的面积为多少?.

例6 如图,在凸四边形ABCD 中,o ABC 30=∠, o ADC 60=∠,AD=DC.

证明:222BC AB BD +=

【习题A 】

1. 已知ABC ∆是三边为整数的直角三角形,BC 为斜边,且2AC=BC+AB,则BC:AC:AB 是多少?

2. 直角三角形的一直角边长为11,另外两边均为自然数,则它的周长为多少?

3. 在ABC ∆中,o C 90=∠,b=6,a:c=35:37,则a 为多少?c 为多少?

4. 一个三角形的三边分别为8,15,17,那么最长边上的高为多少?

5. 如图,AD AB ⊥,AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,则四边形ABCD 的面积为多少?

6. 在ABC ∆中,o C 90=∠,27=

+b a ,面积23=S ,则c 为多少?

7. 如图,在ABC ∆中,o ACB 90=∠,AC=AE,BF=BC.则ECF ∠的度数为

多少?

8. 如图,已知21∠=∠,AD=BD=4,AD CE ⊥,2CE=AC,那么CD 的长为

多少?

9. 在ABC Rt ∆中,o C 90=∠,o A 30=∠,36=+BC AB .那么AC 为多

少?

10. 等腰三角形的底角是o 75,它的腰长为3,则其面积为多少?

第7题 第8题

【习题B 】

1. 在《九章算术》中有这样一个古题编写成了诗歌的形式:

城外一扇矩形门,有人扛竿去量应.

横着量之四尺余,立着量之两尺剩.

对角又复比一比,斜竿恰好端抵尽.

此门宽高各几何?还有竹竿有几尺?

2. 如图,将一个”十”字形纸片剪3刀,拼成一个正方形.(此十字形纸片由5个大

小相同的正方形构成)

3. 在等腰ABC Rt ∆的斜边AB 上有一点P 满足22BP AP s +=,试探求P 点位置变化时,s 与

22CP 的大小关系,并证明你所得到的结论.

4. 在ABC ∆中,o ABC 90=∠,o ACB 30=∠,D 在BC 的延长线上,且CD=CA,AB=1,求BD 和AD

的长.

5. 如图,P 为ABC ∆边BC 上一点,且PC=2PB,已知,o ABC 45=∠,o APC 60=∠求ACB ∠的大小.