平面向量数量积的坐标表示优秀课件1
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高中数学 第二章 平面向量数量积的坐标表示课件1 北师大版必修4
1 cos , 0 180 , 60 . ab 2
(2)已知a (2,3), b (2,4), 则（a b ） （ ab ） .
法一： a b (0,7), a b (4,1) （a b） （ a b） 0 4 7 (1) 7. 法二：（a b） （ a b） a b
2 2 2 2
a b 13 20 7
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y B(2,3) A(1,2)
0
C(-2,5) 证明 :AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
其中 x y 0， x y 0.
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3 ), b (1,1), 求a b， a b， a与b的夹角 .
a b 1 3， a b
a b 2 4 2 3 2(1 3)，
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用；
２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，
形成转化技能。
我们学过两向量的和与差可以转化为它们 相应的坐标来运算,那么怎样用
a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j是y轴上的单位向量，
由于 a b a b cos 所以
y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 .
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示(课件)
3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，
6-3-5 平面向量数量积的坐标表示(教学课件)-高中数学人教A版 (2019)必修第二册
解：如图，在平面直角坐标系中画出点，，，
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
我们发现是∆直角三角形.证明如下：
因为 = − , − = (, ),
= − − , − = (−, )
所以 ∙ = × − + × =
于是 ⊥
因此， ∆直角三角形
6.3.5 平面向量数量
积的坐标表示
引入
①
③
i i =
ij=
1
②
0
④
j j =
j i =
1
0
数量积坐标表示
因为a x1 i y1 j, b x2 i y2 j,
所以a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j )
2
方法一：AM·AN＝AD＋ AB·AB＋ AD
3
2
1 2 1 2
＝0＋ ×2 ＋ ×3 ＋0＝5.
2
3
→
→
方法二：以 A 为原点，AB，AD的方向分别为 x，y 轴的
正方向建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
→
→
→ →
于是AM＝(1，2)，AN＝(3，1)，故AM·AN＝5.
例1
(1)已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
①求a·(a－b)；
②求(a＋b)·(2a－b)；
③若c＝(2，1)，求(a·b)c.
①方法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，∴a－b＝(－4，0)．
∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
平面向量数量积的坐标表示(共27张PPT)
所以7 (4 ) 8 (3 2 ) 0,
52 解得 . 9
课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
1.数量积的坐标表示： a b x1 x2 y1 y2
2.向量垂直的判定
a b x1 x2 y1 y2 0
3.向量坐标表示的求模公式
讲课人：张艳琴复习旧知1、两向量数量积的定义：ab
a b cos
2、两个向量垂直： a b 3、向量的模长公式：
ab 0
a a 或者 a a
2
2
2
4、两个向量数量积的夹角公式：
ab
cos
a b
问题导入
向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言”表
示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？ 若两个向量
② j j = ④ j i =
1
0
3、想一想： 已知a 3i 2 j, b i j, 则a b 1
4、议一议：若a
( x1 , y1 ), b ( x2 , y 2 ),则
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y 2 j ) ?
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
a x1i y1 j , b x2i y2 j a b ( x1i y1 j ) ( x2i y2 j )
2 2 x1 x2i x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j
2、如何用向量的坐标来表示两向 量数量积的相关性质？
(1)垂直的充要条件：
设非零向量a x1 , y1 , b x2 , y2 , 则
6.3.5平面向量数量积的坐标表示PPT课件(人教版)
∵点D在直线BC上，即B→D与B→C共线， ∴存在实数λ，使B→D＝λB→C， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)， ∴xy－－32＝＝－－63λλ，，
32
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
2 3
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝23.]
10
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为 ________．
63 65
[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝ 32＋42 ＝5，|b|＝
52＋122＝13，
所以a与b夹角的余弦值为|aa|·|bb|＝5×6313＝6635.]
24
3．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
25
[解] (1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)， |a－2b|＝ 72＋32＝ 58. (2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c＝a－(a·b)·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)， ∴|c|＝ 1＋62＝ 37.
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题 的能力．
40
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1 ＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
∴θ＝π4.]
32
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.
①
又∵AD⊥BC，∴A→D·B→C＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，
2 3
[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，
解得m＝23.]
10
4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为 ________．
63 65
[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝ 32＋42 ＝5，|b|＝
52＋122＝13，
所以a与b夹角的余弦值为|aa|·|bb|＝5×6313＝6635.]
24
3．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.
25
[解] (1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)， |a－2b|＝ 72＋32＝ 58. (2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c＝a－(a·b)·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)， ∴|c|＝ 1＋62＝ 37.
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题 的能力．
40
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1 ＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
∴θ＝π4.]
平面向量数量积的坐标表示PPT教学课件
22
小结作业
1.a∥b x1 y2 x2 y1 0
a⊥b
本质区别.
x1
x2
y1 y2
0
二者有着
2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a·b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
答：不一定；相等。
<>
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三、相关概念
（1）向量AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB （2）长度为0的向量叫零向量，记为0，它的方向是任意的。
（3）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
x
②字母表示：
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
Ⅱ、手写时写A成B带头箭表头示的，小如写字母，如a：
Ⅲ、印刷时用黑体小写字母表示，如：a
3）向量的大小：
就是向量的长度（或称模）
用有向线段的长度表如示：，|AB|
<>
返回
退出
4）向量与有向线段的区别：
由有向线段的三要素：“起点、方向 、长度”可知，有向线段的起点是确定 的。而由向量的定义可知，对于一个向 量，只要不改变它的大小和方向，是可
cos a b
x1 x2 y1 y2
ab
x12 y12 x2 2 y2 2
理论迁移
例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
平面向量数量积的坐标表示 课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
AE 1 AB (1, 2), 2
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
又OA (1, 1) (O为坐标原点), 则OC OA AC (0, 3),所以点C(0, 3)
OD OA AD (3, 9), 所以点D的坐标为(3, 9)
OE OA AE (2, 1), 所以点E的坐标为(2, 1)
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(2)由(1, 3) ( x 1, y 5), 得点B的坐标为(0, 8); (3)由(2, 5) ( x 3, y 7), 得点B的坐标为(1, 2)
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(1, 2), B(3, 1), C(5, 6), 求顶点D 的坐标.
由题意知AD
BC
,
设D(
x,
(2) EF EG,
EF·EG
1 3
b
1 2
a
1 2
a
1 3
b
1 2 1 2 19 2 1 2 b a a a 0,
9 4 94 4
EF EG, 即EF EG
7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系? 证明你的猜想. A. A(1, 2), B(3, 4), C(2, 3.5); (2) P(1, 2), Q(0.5, 0), R(5, 6); (3) E(9, 1), F (1, 3), G(8, 0.5).
(3) E、F、G三点共线. 证明：因为EF (8, 4), EG (1, 0.5), 所以EF 8EG,因为直线EF与直线EG有公共点E, 所以E、F、G三点共线.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册
人教2019A版必修第二册第六章 平面向量及其应用6.3.5 平面向量数量积的坐标表示复习引入1. 平面向量的数量积(内积)的定义：, b a ⋅记为：. )( cos | ||| 或内积的数量积与叫做数量，我们把它们的夹角为，和已知两个非零向量b a b a b a θθ.cos |||| θb a b a =⋅即2. 两个向量的数量积的性质:.cos b a b a ⋅=θ. 2a a a a a a ⋅==⋅或⇔⊥b a 0=⋅b a我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用a b a b 和的坐标表示呢？设两个非零向量 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2),则a b 1122,a x i y jb x i y j =+=+ 112222121221121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j x y i j y y jx x y y ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+=+ 探究：已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 怎样用a 与b 的坐标表示a·b ?故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
.2121y y x x b a +=⋅ 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
(1)向量的模设(,),a x y →=则22222,a x y a x y =+=+ 或a 表示的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ， ),(),,(2211y x y x =a ),(1212y y x x --=||a 212212)()y y x x -+-（（2）设，则),(),,(2211y x b y x a ==⇔⊥b a 02121=+y y x x例1 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)， 试判断∆ABC的形状，证明你的猜想.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x 0y .ABC ∴∆是直角三角形:(21,32)(1,1)AB =--= 证明)3,3()25,12(-=---=AC 031)3(1=⨯+-⨯=⋅∴AC AB ACAB ⊥∴思考：还有其他证明方法吗？向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一设 是两个非零向量，其夹角为θ，若 那么cosθ如何用坐 标表示？,a b1122(,),(,)a x y b x y == cos a b a b θ⋅== 121222221122x x y y x y x y +++解a ·b = 5×(-6)+(-7) ×(-4) = -30+28 = -2747522=+=a ()()5246 22=-+-=b 03.052742cos -≈⨯-=θ 92≈θ用计算器可得).1(),4,6( ),75,( o 精确到间的夹角、及求设θb a b a b a ⋅--=-=例2.例3.用向量方法证明两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-证明：角的终边与单位圆的交点分别为A ，B 。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件 (共17张PPT)
cos
ab ab
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y 2
2
2
例1 已知 a 3,2 ，b 1, 1 ，求向量 a 与 b 的夹 角的余弦值.
解：设向量a与b 的夹角为，则 cos 3 1 2 1 3 2 1 1
a b x1 x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
容易推得
2.向量的长度（模）
a a x1 y1
2 2 2 2
或a
x 1 y1
2
2
若表示向量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 点 终的 坐 标 分 别 为 （x1，y1 ），（ x 2，y 2 ），那么
问题探究：
a b
的坐标公式的推导.
已知两非零向量 a （x1，y1 ）， b （x2，y2 ） 设i， j分 别 为 与 x轴 和y轴 方 向 相 同 的 单 位 向 ， 量则 有
a x1 i y1 j
2
b x2 i y2 j
B(x2,y2)
2
A(x1,y1)
a b （x1 i y1 j ） （ x 2 i y2 j ）
2 2
2 3 2 1 1 7 4 所以 45，即直线l1和l2的夹角为45.
2 , 2
1.已知A(1，2),B(4,0),C(8，6),D(5，8)，则四边 形ABCD的形状是 矩形 .
2.(2013·湖北高考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),
是直角三角形，求k的值.
例3：已知向量 a＝(λ ，－2)，b＝(－3，5)，若向
人教A版必修 第二册 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件
A.-12
B.-6
C.6
D.12
2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，
则
的值为________；
的最大值为
________.
DE CB
DE DC
【思维·引】1.利用数量积的坐标运算列出方程，解 方程可得； 2.建立适当的坐标系求解.
【解析】1.选D.2a-b=(4，2)-(-1，k)=(5，2-k)，由 a·(2a-b)=0，得(2，1)·(5，2-k)=0，所以10+2-k =0，解得k=12.
AB BC
【解析】选C.因为
=(1，t-3)，
又因为| |=1，即B1C2+(AtC-3)A2=B12，解得t=3，
所以 =(1，0)，故
=2.
BC
BC
AB BC
2.已知向量a=(-1，2)，b=(3，2)，则a·b=________， a·(a-b)=________. 【解析】a·b=(-1，2)·(3，2)=(-1)×3+2×2=1， a·(a-b)=(-1，2)·[(-1，2)-(3，2)]=(-1，2)·(-4， 0)=4. 答案：1 4
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示： 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.
【思考】 向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注 意什么？ 提示：公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在 解题时要注意坐标的顺序.
2.向量的模与夹角的坐标表示：
＝7 5， 5 4
5
75
4
5
5
类型三 平面向量的夹角、垂直问题 角度1 夹角、垂直的求解与证明 【典例】已知点A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4). (1)求证：AB⊥AD. (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形 ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.D，只需证明
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示PPT课件(人教版)
[答一答] 5．已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 与 a⊥b 的坐标表示有何 区别？
提示：若 a∥b⇔x1y2＝x2y1，即 x1y2－x2y1＝0. 若 a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即 x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵 积相反．
(2)已知 a＝(1,2)，b＝(x,4)，且 a·b＝10，则|a－b|＝____5___.
解析：由题意得 a·b＝x＋8＝10，所以 x＝2，所以 a－b＝(－1，－2)，所以|a－b| ＝ 5.
类型三
向量的夹角与垂直问题
[例 3] (1)已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角 θ 为锐角，则实数 λ 的取值范围是( A )
±
x－2＋y y2，
x2x＋y2，其中正、负号表示不同的方向．
类型一
平面向量数量积的坐标运算
[例 1] 已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，求 a·b，(a＋b)·(2a－b)． [分析] 运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解．
[解] a·b＝1×2＋3×5＝17. ∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0 ＋8×1＝8.
知识点二
向量的模与夹角的坐标表示
[填一填] (1)向量模的公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x12＋y21. 两点间的距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝____x_2_－_x_1__2＋___y_2－__y_1__2 __.
(2)向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为
人教A版(2019)必修第二册 第6章6-3-4 平面向量数量积的坐标表示 课件(31张)
内容索引
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
3. 若两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．i，j分别是x轴，y轴上的单 位向量．
(1) 将a，b用向量i和j表示； 【解析】 a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (2) 根据向量数量积的定义及上面的结论计算a·b； 【解析】 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2. (3) 由(1)(2)得出用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b. 【解析】 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) |a|2＝14＋34＝1，|b|2＝3＋1＝4， x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0， 即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0， 所以 k＝4t4－8t2.
内容索引
利用两个平面向量垂直的充要条件x1x2＋y1y2＝0，列出相应的关系， 从而解决一些相关问题．
【解析】 在平面直角坐标系中画出点A，B，C(画图略)发现△ABC 是直角三角形，证明如下：
由题意，得A→B＝(1,1)，A→C＝(－3,3)， 所以A→B·A→C＝0，即A→B⊥A→C， 所以△ABC 是直角三角形．
内容索引
因为两个平面向量垂直的充要条件是a·b＝0，又两个向量的数量积 的坐标运算为a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐标系中，要得到垂直关 系，只要说明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分别表示两个向量的 坐标．
12345
内容索引
5. (2022·咸宁期末)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m，－4)． (1) 若(a＋b)⊥(－2a)，求m的值； (2) 若a与b的夹角为钝角，求m的取值范围．
【解析】 (1) a＋b＝(m－1，－2)，－2a＝(2，－4)．
因为(a＋b)⊥(－2a)，所以(a＋b)·(－2a)＝0，
2.4.2平面向量数量积的坐标表示教学课件
[研一题]
[例 2] 平面直角坐标系 xOy 中，O
是原点(如图)．已知点 A(16,12)、B(－5,15)．
(1)求| OA|，| AB|；
(2[[[[自)自 自 自求主主 主 主∠解O解 解 解A答答 答 答B.]]]] ((((1111))))由由 由 由OOOOAAAA＝＝ ＝ ＝((((11116666,,,,11112222))))，， ， ， AAAABBBB＝＝ ＝ ＝((((－－ － －5555－－ － －11116666,,,,11115555－－ － －11112222))))＝＝ ＝ ＝((((－－ － －22221111,,,,3333))))，， ， ，得得 得 得 ||||OOOOAAAA||||＝＝ ＝ ＝ 111166662222＋＋ ＋ ＋111122222222＝＝ ＝ ＝22220000，， ， ， ||||AAAABBBB||||＝＝ ＝ ＝ －－ － －222211112222＋＋ ＋ ＋33332222＝＝ ＝ ＝11115555 2222....
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
b 设两个非零向量 a =(x1,y1), =(x2,y2),则
aaaaaaaa==bb==bb====xx======xx11==xxxx11iixx((xx11i11i(x(x++11xxxx11x+x+xx1xx12222yy11ii2222yyiiii++11++ii22++11++j2j2++yy,,jjyy+y+,y,yy1111xx1yy111xjjxyy11j))j221yy1))22yybb22((bb2(2x(xii==xxii22==22jjiixxjjii++xx++22++++22iixxyyiixxy++y2222++2y2y22jjyyyyj))11jyy)212)1ii22iijj,,jjjj,,jj++++yyyy111yy1yy2222jjjj2222
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平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积
复习
1.已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为θ，则 a·b＝ a b cos θ .
a·b称为向量 a与b的数量积（或内积） .
2.数量积a·b等于a的长度 a 与b在a的方向上的 投影 b cosθ 的乘积.
3. a⊥b
a·b＝0.
4. a·a＝ a 2＝a2. 5. cos θ ＝ a·b .
由向量数量积的坐标表示 ,可得 (1)若A、B坐标分别为 (x1，y1)、 (x2，y2)，则
√ |AB| ＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2
(
|AB|2
＝
AB·AB
=
(x1－x2)2＋(y1－y2)2
) y
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则 B
a⊥b
x1x2＋y1y2＝0 (x2，y2)
平面向量数量积的坐标表示
新课
在坐标平面xoy内，已知a＝(x1， y1)，b＝ (x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2.
即 两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和.
a·b＝x1x2＋y1y2 证明：设x轴、y轴方向的单位向量
分别是i、j，则 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i·i＋ x1y2i·j＋ y1x2j·i＋ y1y2j·j ＝x1x2＋y1y2.
已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)， 求证：? ABC是直角三角形.
证明： AB＝(3 – 2，2 – 1)＝(1，1), AC＝(– 1 – 2，4 – 1)＝(– 3，3),
∵ AB ·AC＝1×(– 3)＋1×3＝0, ∴ AB⊥AC. ∴ ? ABC是直角三角形.
(4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求点
C到 l 的距离.
y
分析一：如图，为求CH长，由
CH＝AH－AC可知，关键 C 在于求出AH.
由AC·AB的几何意义，
Bl
AC·AB等于AB的长度与AC
H
在AB方向上的投影的乘积 . O
A
x
所以 AC·AB＝AH·AB.
解：AC＝(0 – 2，4 – 0)＝(–2，4)，
CH ＝√32＋(–3)2＝3√2 .
即 C点到直线 l 的距离为3√2 . O
Bl
H
A
x
分析二：若能确定H点坐标， y CH长就易求了 . C 为定H点坐标(两个未
知数)，可利用H点在 l 上，
及CH⊥AB这两个条件 . O
Bl
H
A
x
练习：1.向量a、b夹角为θ,
（1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)， √26
33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。
34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。
35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即 两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示 解决有关长度、角度及垂直问题 .
（1）P121 练习; （2）P121 习题5.7
第1、2、4、5题.
今日 作业
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。
20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。
ab 6. a·b ≤ a b .
复习题1 已知： a ＝4，b ＝5，a·b＝10， 求：a与b的夹角θ.
解：设a与b的夹角为θ ，则
cos θ ＝
a·b ab
＝
1 2
,
θ ＝60°.
复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：? ABC是直角三角形.
y 分析：先画图，从图中可知， ∠A应为90°，为证明∠A＝ C
21 、理想是反映美的心灵的眼睛。
22 、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。
24、生当做人杰，死亦为鬼雄。
25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。
26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。
27 、生活中没有理想的人，是可怜的。
则a·b＝_____1____，cos θ ＝____2_6_.
|a|＝√13,|b|＝√2
（2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，
则a·b＝__－__1_0__，θ＝___1_8_0_o____
2.
已知? ABC三个顶点坐标A(
13 ，
4 3
)，
B(－2，3)，C(0，1)，
求证：? ABC是直角三角形.
cos θ ＝
a·b ab
＝
4 2×4
＝
1 2
,
∴ θ ＝60o.
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
证明：∵(a＋b)·b
＝a·b＋b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝0， ∴ (a＋b)⊥b .
例 3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、
A
(a∥b (b≠0)
x1y2－x2y1＝0)
(x1，y1) Ox
例 1 已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
（1）求a·b；
（2）求a与b的夹角θ.
解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;
√ （2） a ＝ 12＋(√3 )2＝2,
√ b ＝ (– 2)2＋(2√3 )2 ＝4,
AB＝(4 – 2，2 – 0)＝(2，2), y
AC·AB＝–2×2＋4×2＝4.
∵AH与AB共线，
C
∴可设AH＝mAB＝(2m，2m).
AH·AB＝4m＋4m＝8m.
由AC·AB=AH·AB，得
O
m＝
1 2
.
Bl
H
A
x
∴ AH＝ (2m，2m) = (1，1). y
CH=AH－AC＝(3，–3)， C
28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。
29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。
30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。
31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。
32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。 ——荀况
90°，只需证明
AB ·AC＝0.
O
B
A x
复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：? ABC是直角三角形.
y 由AB·AC＝ AB AC cosA 可知，为了证明AB·AC = 0, C
需先得出 cosA = 0，需先
证明∠A为90°，而这正是
O
最终要证明的结论 .
B
A x
平面向量数量积
复习
1.已知两个非零向量 a和b,它们的夹角为θ，则 a·b＝ a b cos θ .
a·b称为向量 a与b的数量积（或内积） .
2.数量积a·b等于a的长度 a 与b在a的方向上的 投影 b cosθ 的乘积.
3. a⊥b
a·b＝0.
4. a·a＝ a 2＝a2. 5. cos θ ＝ a·b .
由向量数量积的坐标表示 ,可得 (1)若A、B坐标分别为 (x1，y1)、 (x2，y2)，则
√ |AB| ＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2
(
|AB|2
＝
AB·AB
=
(x1－x2)2＋(y1－y2)2
) y
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则 B
a⊥b
x1x2＋y1y2＝0 (x2，y2)
平面向量数量积的坐标表示
新课
在坐标平面xoy内，已知a＝(x1， y1)，b＝ (x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2.
即 两个向量的数量积等于它们 对应坐标的乘积的和.
a·b＝x1x2＋y1y2 证明：设x轴、y轴方向的单位向量
分别是i、j，则 a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i·i＋ x1y2i·j＋ y1x2j·i＋ y1y2j·j ＝x1x2＋y1y2.
已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)， 求证：? ABC是直角三角形.
证明： AB＝(3 – 2，2 – 1)＝(1，1), AC＝(– 1 – 2，4 – 1)＝(– 3，3),
∵ AB ·AC＝1×(– 3)＋1×3＝0, ∴ AB⊥AC. ∴ ? ABC是直角三角形.
(4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求点
C到 l 的距离.
y
分析一：如图，为求CH长，由
CH＝AH－AC可知，关键 C 在于求出AH.
由AC·AB的几何意义，
Bl
AC·AB等于AB的长度与AC
H
在AB方向上的投影的乘积 . O
A
x
所以 AC·AB＝AH·AB.
解：AC＝(0 – 2，4 – 0)＝(–2，4)，
CH ＝√32＋(–3)2＝3√2 .
即 C点到直线 l 的距离为3√2 . O
Bl
H
A
x
分析二：若能确定H点坐标， y CH长就易求了 . C 为定H点坐标(两个未
知数)，可利用H点在 l 上，
及CH⊥AB这两个条件 . O
Bl
H
A
x
练习：1.向量a、b夹角为θ,
（1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)， √26
33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。
34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。
35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即 两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示 解决有关长度、角度及垂直问题 .
（1）P121 练习; （2）P121 习题5.7
第1、2、4、5题.
今日 作业
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。
20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。
ab 6. a·b ≤ a b .
复习题1 已知： a ＝4，b ＝5，a·b＝10， 求：a与b的夹角θ.
解：设a与b的夹角为θ ，则
cos θ ＝
a·b ab
＝
1 2
,
θ ＝60°.
复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：? ABC是直角三角形.
y 分析：先画图，从图中可知， ∠A应为90°，为证明∠A＝ C
21 、理想是反映美的心灵的眼睛。
22 、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。
24、生当做人杰，死亦为鬼雄。
25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。
26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。
27 、生活中没有理想的人，是可怜的。
则a·b＝_____1____，cos θ ＝____2_6_.
|a|＝√13,|b|＝√2
（2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，
则a·b＝__－__1_0__，θ＝___1_8_0_o____
2.
已知? ABC三个顶点坐标A(
13 ，
4 3
)，
B(－2，3)，C(0，1)，
求证：? ABC是直角三角形.
cos θ ＝
a·b ab
＝
4 2×4
＝
1 2
,
∴ θ ＝60o.
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
证明：∵(a＋b)·b
＝a·b＋b2 ＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42 ＝0， ∴ (a＋b)⊥b .
例 3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、
A
(a∥b (b≠0)
x1y2－x2y1＝0)
(x1，y1) Ox
例 1 已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
（1）求a·b；
（2）求a与b的夹角θ.
解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;
√ （2） a ＝ 12＋(√3 )2＝2,
√ b ＝ (– 2)2＋(2√3 )2 ＝4,
AB＝(4 – 2，2 – 0)＝(2，2), y
AC·AB＝–2×2＋4×2＝4.
∵AH与AB共线，
C
∴可设AH＝mAB＝(2m，2m).
AH·AB＝4m＋4m＝8m.
由AC·AB=AH·AB，得
O
m＝
1 2
.
Bl
H
A
x
∴ AH＝ (2m，2m) = (1，1). y
CH=AH－AC＝(3，–3)， C
28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。
29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。
30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。
31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。
32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。 ——荀况
90°，只需证明
AB ·AC＝0.
O
B
A x
复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：? ABC是直角三角形.
y 由AB·AC＝ AB AC cosA 可知，为了证明AB·AC = 0, C
需先得出 cosA = 0，需先
证明∠A为90°，而这正是
O
最终要证明的结论 .
B
A x