关于Fourier级数L1收敛的Tauberian定理
关于Fourier级数收敛性的判定定理
兰 ± ± !
二 二 兰
函数本 身在这 一 点满 足 J ra o d n判 别法 的条 件却 不满
足 D n 判别 法 的条件 .的 F uir ( o r 级数 在 。 e 收敛 到 S 即 ,
S ( )一 S ( 厂; n一 + ∞ ) .
为方 便讨论 , 给 出有界 变差 函数 的定 义 : 先 定 义 11 设 - z 为[ ,] 的有限 函数 , L 厂 ) n6 上 ( 如果
Dii n 判别法 的一个 推论 是 L pc i 判别 法. isht z 定 理 22( isht 判 别 法) 若 - z 以 2 L Lp e i ] z 厂 ) 为周 (
可积 , 厂 z 且 ( )在 X 有 有 限导 数 , . z 。 则 厂 )的 F u i ( orr e
为 ( ) 用一个 分化 作成 的和数 厂.
Ⅱ ¨
∑ I ( 一 厂( )l x) f z
() 1
称 为 厂 z 在此 分化 下对 应 的变 差. () 结论 1 在 有 限闭 区间上 满 足 L p c i 条件 的 isht z
S( z ,厂; )一 + ∑( ^ok 以c sx+ bs k , ki x) n
然尤 为重 要. 于 F uir 关 o r 级数 收敛 性 的判 定方 法很 e
多 , 点态 收敛性 的判 定 、 致 收 敛性 的判 定 以及平 有 一
引, 均 收敛 性 的判 定等 . 多教 材 在讲 述 F u i 级 数 收 经过 简单 的计 算 有 很 orr e 敛性 时提 到 了 D n 判 别法 , 是 一 个 点 态 收敛 的判 ii 这 别方法 . 事实 上 , 当我 们 学 习 了 实 变 函数 中 的有界 变 差 函数 , 再来 学习 F u i 级 数 收敛性 时 , 看 到关于 orr e 会 有界变 差 函数 的 F u i 级 数点态 收 敛 的另外一 个判 or r e
第七节 Fourier级数
如果 f(x)在[a,b]上不是连续,能否有一个函数列收敛于或一致收敛于 f(x)?本节将从事 这个问题的讨论. 为了方便我们讨论的区间为[-ππ].在进行定义域的周期延拓,可以认为 f(x) 是(—∞,∞)上的以 2π为周期的周期函数.所以能否用正弦和余弦函数来表示?
形如
3x
1 5
sin
5x
...
1 sin2n
2n 1
1x
...
.
例2 将函数
3
f
x
x,
x,
x 0; 0 x
1
展开成傅立叶级数.并由此求正项级数
的和
n2
n1
解 此函数不是周期函数,它是区间 , 上的连续函数,要求它的 Fourier 级数,必
周期为 2 的偶函数,则它的 Fourier 级数就没有正弦函数,这样的级数称为余弦级数.例 2
中的 F x的傅立叶级数就是余弦级数.
在实际应用中,有时需要将某个区间上的函数展开成正弦级数或者余弦级数. 例3
5
图 11-7-2
在区间[0, ] 上将函数 f x x 分别展开成正弦级数和余弦级数.
由于函数 F x在 R 上连续,所以
Fx
2
4
cos
x
1 32
cos 3x
1 52
cos 5x
......
.
在区间[ , ] 上, F x f x ,所以对于任意的 x [ , ] ,有
4
f
x
2
4
傅里叶Fourier级数
设 f (x) 是周期为 2T 的周期函数 , 且f (x) 在
[T ,T ]
上可积,则f (x) 的傅里叶级数定义为如下的三角级数:
a0
2
n1
(an
cos
n
T
x
bn
sin
n
T
x)
其中
(n 0,1,2, )
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定理2 (狄利克雷( Dirichlet )收敛定理) 周期为2T 的周期函数,且在区间[-T, T]上满足条件:
0
n 2k 1 n 2k
4 1
f
(x) 1
k 1
2k
sin(2k 1
1)x
( x ,) x 0
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3 定义在 例5 将函数
[0, ]上的函数展开成正弦、余弦级数
分别展成正弦级
数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.
2
( x 1)sin nx d x
0
2 [1 ( 1)(1)n ] n
上的表达式为
f
(
x)
1,
1,
S (x)为f (x) 的傅里叶级数的和函数,
x 0 0 x
求 S(1),S( ),S(5).
解:
3 2 o 2 3
S(1) 1, S( ) 0, S(5) 1
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三 函数展开成傅里叶级数
1 以2为周期 的周期函数展开成傅里叶级数
例3 设 f ( x 2 ) f ( x), 且
设 f (x) 是
(1)在区间[-T, T]上连续或者仅有有限个第一类间断点
(2)在区间[-T, T]上仅有有限个极值点
则 f (x) 的傅里叶级数收敛,且
《数学分析》FOURIER级数的收敛性
授课章节:第十五章 第二节Fourier 级数的收敛性教学目的:(5号宋体字)教学重点:(5号宋体字)教学难点:(5号宋体字)教学方法:(5号宋体字)教学程序:(5号宋体字)一 Riemann (黎曼)引理1 Riemann (黎曼)引理 设()f x 在(有界或无界)区间,a b <>上绝对可积,则()cos 0ba f x pxdx →⎰, ()s i n 0b a f x p x d x →⎰ ()p →∞.推论1 在[0,]T 上绝对可积函数()f x 的Fourier 系数022()cos 0,()T n n a f x xdx n T T π=→→∞⎰;022()sin 0,()T n n b f x xdx n T Tπ=→→∞⎰ 二 Fourier 级数收敛的充要条件定理1 l i m ()0,()(0,n n T x s εδδεπ→∞=⇔∀>∃=∈和()N N ε=, 使得当()n N ε≥时成立 01sin()2(),n u u du uδϕε+<⎰ 其中()()()2u f x u f x u ϕδ=++--.三 Fourier 级数收敛的Dini 判别法1 推论2: 设()f x 在[0,2]π上除去有限点外存在有界导数,则()f x 的Fourier 级数点点收敛,且001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或 特别地, (0,2)x π∈是()f x 的连续点时, 1(()())()2f x f x f x ++-=,即 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ 2 推论2的应用:例 1 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[,]ππ-上可表示为1,0()0,0x f x x ππ≤≤⎧=⎨-<<⎩,判定()f x 的Fourier 级数的收敛性.例2 设()f x 是以2π为周期的函数,其在[0,2)π上等于x ,判定()f x 的 Fourier 级数的收敛性例3; (),ax f x e = ()x ππ-≤< (0)a ≠四 Jordan 判别法设()f x 在[0,2]π上单调(或有界交差),则推论2的结论成立,即001(()()),(0,2)2(cos sin )12((0)(2)),022n n n f x f x x a a nx b nx f f x πππ∞=⎧++-∈⎪⎪++=⎨⎪++-=⎪⎩∑或。
Fourier级数
于是得到 f 的正弦级数
f ( x ) ~ 2
sin 2 x sin 3x (1) n 1 sin nx (1) n 1 sin nx 2sin x 。 n 2 3 n n 1
它的几何意义是由一系列的正弦波迭加出来的三角波(图 9.3.3(a)) ,其逼近情况见图 9.3.3(b)。与例 9.3.1 类似,它在 x 时的值是 0,与 f ( x ) 不相等。 注意, 这两种级数的表达形式虽然大相径庭, 但在下一段就会知道, 若限制在 [0, ) 上,它们表示的确是同一个函数。
n a0 S n ( x) (a k cos kx bk sin kx) 2 k 1
大概应该收敛于 f ( x) ,而在跳跃间断点处,Fourier 级数似乎收敛于 f 在该点左右极 限的中点。 为了判断 Fourier 级数的收敛性, 我们先引入分段单调和分段可导的概念。
定义 9.3.1 设函数 f 在 [a, b] 上有定义。如果在 [a, b] 上存在有限个点
y 1
0
x
(a) (b)
图 9.3.1
函数 f 的图形在电工学中称为方波(图 9.3.1(a)) ,上式表明它可以由一系列正弦 波迭加得到。但显然,当 x 0 和 时,右端级数的和为 ,不等于 f ( x ) 。 图 9.3.1(b)给出了在 [ , ] 上, f 的 Fourier 级数的部分和函数 S m 的逼近情况。 正弦级数和余弦级数 由定积分的性质,若 f 是奇函数,那么显然有 an 0 ,而
1 bn T
于是得到 f 的 Fourier 级数
f ( x) ~
1 (1) n 1 (1) n 1 1 2 (1) n 2 2 cos nx 2 3 2 sin nx 。 6 n 1 n n 1 n n
第十六部分傅里叶Fourier级数教学-精品
对可积. 如果f(x)为奇函数,则
an
0,n0,
2
bn0 f(x)sin nx,n dx1
此时, f (x)的Fourier级数称为正弦级数,即
f (x) ~ bn sinnx
n1
2020/2/24
5. 正弦级数和余弦级数
如果f(x)为偶函数,则
an 20 f(x)consx,n dx 0,bn 0,n1
2020/2/24
2. 基本三角函数系
定义1 设平方可积函数f(x)和g(x)定义
于区间[a,
b]上.
称数(f,g) bf(x)g(x)dx a
为函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上的内积.
若 (f,g)0, 则称函数f(x)和g(x20/2/24
2. 基本三角函数系
此时, f (x)的Fourier级数称为余弦级数,即
f
(x)
~a0 2
an
n1
cosnx
2020/2/24
例3 将下列函数展成 Fourier 级数
1 )f(x)x,x ( ,];
2 )f(x ) sg x ,x n( ,];
3)f(x)x,x[,];
4)f(x)x2,x [,]
{2 1 ,cx o ,s s x i,c n 2 o x ,s s 2 ix ,n ,c n o,s x s n i,n x }
是区间 [,]上的标准正交函数系.
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3. 正交级数展开
假设{gn (x)}是区间[a, b]上的正交函数系. 如果 f (x)定义于区间 [a, b]上, 能否找到 系数 cn,n0,1,2,使得
n0,1,2,
16.2Fourier级数收敛法
即等式两边同时收敛,或同时发散;收敛时, 即等式两边同时收敛,或同时发散;收敛时,极限 相等。 相等。 证明 因
1 1 − t t g ( t ) = 2 sin 2 0 t>0 t=0
1 lim g ( t ) = lim ( − ) t →0+ t →0+ t t 2 sin 2 3 t 1t t t − 2( − + o( t 3 )) t − 2 sin 2 3! 2 2 = lim = lim = 0 = g ( 0) 2 t → 0+ t → 0+ t t 2t sin 2
时的极限定义其数值。 当θ =0,按θ →0时的极限定义其数值。 , 时的极限定义其数值
再进一步
1 π− x Sn ( x ) = π ∫− π − x
u= t − x
2n + 1 2n + 1 sin u sin u 1 π 2 2 f (u + x ) du = ∫ f ( u + x ) du −π u u π 2 sin 2 sin 2 2
由于
2n + 1 u 1 n sin 2 = + ∑ (cos ku + sin ku) u 2 k =1 2 sin 2
故
2n + 1 u sin n π π 1 π 2 du = ∫ ( + ∑ cos ku)du = ∫0 0 2 u 2 k =1 2 sin 2
若f(x)的Fourier级数收敛于σ (x),就有 的 级数收敛于 ,
p → +∞ a
lim
∫
b
φ( t ) sin ptdt = 0
上可积的情况。 可积, 证明 (1) ϕ (t)在[a,b]上可积的情况。由ϕ (t)可积, 在 上可积的情况 可积 故对∀ε ,存在 的分法: 故对∀ε>0,存在[a,b]的分法: ∀ε 的分法 a=t0<t1<t2<…<tn−1 < tn=b − 使得
tauber定理
tauber定理——探究无穷级数的收敛性在数学领域,无穷级数是一个常见的问题,它们是一系列数的和,其中每一项都可以是正的、负的或零。
在我们的日常生活中,无穷级数出现得不是很明显,但是,当我们研究物理、工程或经济等学科时,无穷级数就不可避免地出现了。
然而,一个重要的问题是,如何确定一个无穷级数收敛于一个特定的数,或是发散呢?这就是传统的调和级数问题,它经常被拿来作为收敛性和趋近于常数的指标。
是一个非常有用的工具,用于研究无穷级数的收敛性。
该定理的基本思想是获得一个适当的集合,使得级数收敛或发散的情况可以与该集的特性相关联。
这个定理的发展始于20世纪初期,由约翰·塔尔伯和鲍尔兹诺给出。
为了说明该定理的作用,我们先考虑如下级数:$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$这个级数被称为调和级数,它经常被用来证明一系列著名的数学问题,比如欧拉常数的存在性,以及些列欧拉-马斯刻罗尼公式的证明等。
相信大家都已经知道了,这个级数是发散的,但是不是很容易证明其发散,所以我们需要引入所谓的。
相关概念的定义- 累积和:对于一个级数$a_n$,我们定义其累积和为$S_N=\sum_{n=1}^Na_n$- 总和:对于一个级数$a_n$,我们定义其总和为$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$(前提是该级数收敛于某一数)- 单调性:如果一个函数$f(x)$在区间$[a,b]$($a<b$)上是单调递增或递减的,则称$f(x)$在区间$[a,b]$单调。
- 下极限:假设$t_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$(其中$a_k$是一个实数序列),则其下极限为$\liminf_{n\to\infty}t_n$的陈述现在可以正式陈述了。
虽然还有其他形式,但是,下面的描述是最一般和最强的。
假设在序列$\{a_n\}$的累积和$S_N=\sum_{n=1}^Na_n$中存在以下性质:- 单调性:$S_N$单调递增- 收敛性:$S_N$收敛于某个常数- 有界性:存在某个常数$M$,使得$|a_n|\leq M$对于所有$n$成立现在,我们定义下面的集合:$$\liminf_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=L$$显然,能量被吸收和释放的二进制极限$L$是非常重要的,因为它说明了$S_n$的发散和收敛的信息。
数学分析之Fourier级数
第十五章Fourier级数教学目的:1.明确认识三角级数的产生及有关概念;2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理;3.明确2L为周期的函数的Fourier 级数是为周期的函数的Fourier级数的推广,并理解奇、偶函数的Fourier 级数和Fourier级数的收敛定理。
教学重点难点:本章的重点是将一个函数展开成Fourier级数;难点是Fourier 级数的收敛性的判别。
教学时数:10学时§1 Fourier级数一.三角级数与正交函数系.1.背景:⑴波的分析:频谱分析 . 基频( ) . 倍频.⑵函数展开条件的减弱: 积分展开 .⑶中用Descates坐标系建立坐标表示向量思想的推广:调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier建立了Fourier分析理论的基础.2.三角级数的一般形式: 一般的三角级数为. 由于,设, 得三角级数的一般形式3. 三角级数的收敛性:Th1 若级数收敛, 则级数在R 内绝对且一致收敛 .证用M判别法.4.三角函数正交系统:(1. )内积和正交: 由R中的内积与正交概念引入.设函数和在区间上( R)可积 . 定义内积为.当时, 称函数和在区间上正交 .函数的正交性与区间有关 . 例如函数和在区间上并不正交( 因为) , 但在区间却是正交的 .(2).正交函数系统: 标准正交系( 幺正系) , 完全系 .三角函数系统是区间上的正交系统 . 验证如下:, ;,对且,有和.该系统不是标准正交系, 因为, .因此, 三角函数系统是标准正交系. (与R中的坐标系比较)二.以为周期函数的Fourier级数:1.三角级数的系数与其和函数的关系:Th2 若在整个数轴上且等式右端的级数一致收敛,则有如下关系式,,证P642.Fourier系数和Fourier级数:Euler―Fourier公式:设函数在区间上(R)可积,称公式,,为Euler―Fourier公式. 称由Euler―Fourier公式得到的和为函数的Fourier系数. 并称以Fourier系数和为系数的三角级数为函数的Fourier级数, 记为~例1, . 求函数的Fourie r级数.解是上的奇函数, ;.因此, ~ .例2设函数满足条件( 称满足该条件的函数为反周期函数). 问这种函数在区间内的Fourier系数具有什么特性.解.而.因此, .时, , ;同理得.三.收敛定理:1. 按段光滑函数: .定义若的导函数在区间上连续, 则称函数在区间上光滑.若函数在区间上至多有有限个第一类间断点, 且仅在区间上有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称是区间上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数在区间上按段光滑, 则⑴在区间上可积;⑵对, 都存在, 且有,( 用Lagrange中值定理证明)⑶在区间上可积 .2.收敛定理:Th3 设函数是以为周期的周期函数且在区间上按段光滑, 则在, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即,其中和为函数的Fourier系数. ( 证明放到以后进行) 系若是以为周期的连续函数, 在上按段光滑,且则的Fourier级数在内收敛于.3.函数的周期延拓:四.展开举例:例3 把函数展开为Fourier级数.解参阅例1 , 有例4展开函数.解; .函数在上连续且按段光滑, 又, 因此有.( 倘令, 就有,)例5设求函数的Fourier级数展开式. P67 .例1例6把函数展开成Fourie r级数. P68例2例7在区间内把函数展开成Fourier级数.练习1(2)(i)解法一( 直接展开) ;;.函数在区间内连续且按段光滑, 因此有, .由于, 该展开式在上成立.( 在该展开式中, 取得, ;取, . )解法二( 间接展开: 对例3中的展开式作积分运算) 由例3 , 在区间内有. 对该式两端积分, 由Fourier级数可逐项积分,有.为求得, 上式两端在上积分, 有,因此, , .§2 以为周期的函数的展开式一.以为周期的函数的Fourier级数:设函数以为周期, 在区间上(R )可积 . 作代换, 则函数以为周期. 由是线性函数, 在区间上(R )可积 .函数的Fourier系数为 . .,,~还原为自变量, 注意到, 就有~其中,,当函数在区间上按段光滑时, 可展开为Fourie r级数.註三角函数系是区间上的正交函数系统 .例1把函数展开成Fourier级数. P72例1二. 正弦级数和余弦级数:1.区间上偶函数和奇函数的Fourier级数:2.奇展开和偶展开:例2设, . 求的Fourier级数展开式. P74例2 例3把定义在上的函数( 其中之一展开成正弦级数.例4把函数在内展开成: ⅰ> 正弦级数; ⅱ>余弦级数.P76例4§3 收敛定理的证明Dini定理设以为周期的函数在区间上按段光滑, 则在每一点, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即,其中和为的Fourier系数.证明思路: 设~对每个, 我们要证明. 即证明.方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann—Lebesgue定理证明相应积分的极限为零.施证方案:1.写出的简缩形式. 称这一简缩形式为的积分形式, 或称为Dirichlet积分, 即.利用该表示式, 式可化为+ , 于是把问题归结为证明,和.这两式的证明是相同的, 只证第一式.2.为证上述第一式, 先利用三角公式建立所谓Dirichlet积分, 利用该式把表示为积分,即把表示为Dirichlet积分.于是又把上述1中所指的第一式左端化为.3.利用所谓Riemann —Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此,先证明Bessel不等式(P78预备定理1 ), 再建立Riemann —Lebesgue定理, 然后把以上最后的式子化为.4.把上式化为应用Riemann —Lebesgue定理的形式, 即令,则.为使最后这一极限等于零, 由Riemann —Lebesgue定理, 只要函数在区间上可积. 因此希望存在. 由函数在区间上按段光滑, 可以验证存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论.预备定理1 ( Bessel不等式) 若函数在区间上可积, 则有Bessel 不等式,其中和为函数的Fourier系数.证P78 .推论1 ( Riemann—Lebesgue定理) 若函数在区间上可积, 则有,.证P79 .推论2 若函数在区间上可积, 则有,.证P79.预备定理2 若是以为周期的周期函数, 且在区间上可积, 则函数的Fourie r级数部分和有积分表示式.当时, 被积函数中的不定式由极限来确定.证P80—81.Dirichlet积分: .证由三角公式,.Dini定理的证明: P81—82 .附註1.Parseval等式( 或称Ляпинов等式) 设可积函数的Fourie r级数在区间上一致收敛于, 则成立Parseval等式.证法一注意到此时函数在区间可积,由Bessel不等式, 有.现证对, 有.事实上, 令由一致收敛于,对对, 有, 因此,.即当时有.令, . 由的任意性, 有.综上即得所证 .证法二由一致收敛于, .而 .因此,.由双逼原理, 即得所证等式 .证法三利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书) , 有=.Parseval等式还可用公式( 其中、与、分别是函数和的Fourier系数(参阅吉林大学邹承祖等编《数学分析习题课讲义》上册P427)证明;也可用所谓卷积函数证明.Parseval等式的意义:设在幺正系下函数的Fourier系数为和,可见,;,;同理有; 其中和为函数的通常Fourier系数.于是, Parseva l等式即成为.注意到, 就有,这是勾股定理的推广, 即在坐标系中的勾股定理. 因此, 可称Parseval等式是无穷维空间中的勾股定理 .( 与三维空间中的勾股定理做比较) .2.Fourier级数与三角级数: Fourier级数与三角级数的区别:Fourier级数是三角级数,但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier级数.一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数的Fourier级数) 的必要条件为:若三角级数为Fourier级数, 则数项级数收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数是收敛的三角级数(利用Dirichlet判别法), 由级数发散, 正弦级数不是Fourier级数.例证明: 当时, 三角级数在R内收敛, 但其和函数在区间上不是( R )可积的 .证由Dirichlet判别法, 可得该级数在内收敛. 反设和函数在区间在上( R )可积, 则该三角级数是函数的Fourier级数 . 由于也在上( R )可积, 则有Bessel不等式.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由, 矛盾. 可见, 函数在区间在上不是( R)可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier级数.一个三角级数是否为Fourier级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier级数. 近代或现代有些积分的建立,其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP积分( Symmetric Cesaro Pe rron积分) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier级数.第十六章多元函数的极限与连续教学目的:1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处,进而掌握多元函数研究问题的手法与特点;2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。
11-2Fourier级数的收敛原理
则称 f 在U o ( x0 )内满足阶Lipschitz条件.
定理11.6 :
若 f 是以 2为周期, 且在[ , ]上可积或绝对
o 如 f 在 U ( x0 )内满足阶Lip条件, 可积的函数,
那么f的Fourier级数在x0 处收敛于
f ( x0 0) f ( x0 0) . 2
t 绝对可积, 那么f的Fourier级数在x0 处收敛于s.
证明 : 略
定义11.2 :
设 f 在U o ( x0 )内有定义, 如果存在 0,
L 0和 0,
使得当t (0, ]时有
| f ( x0 t ) f ( x0 0) | Lt , | f ( x0 t ) f ( x0 0) | Lt ,
n
1 sin( n ) x n 1 2 , x 2m , 利用 cos kx x 2 k 1 2 sin 21 知: sin( n )( x x0 ) 1 2 S n ( x0 ) f ( x ) dx ( x x0 ) 2 sin 2 1 x0 ...dx 令 x x0 t
f在[a, b]上是分段可微的 .
定理11.8 :
若 f 以 2为周期, 在[ , ]上分段可微, 那么f的
Fourier级数在每点x0 处收敛于
f ( x 0 0) f ( x 0 0) . 2
特别的: 在 f 的连续点处, 它收敛于f ( x0 ).
定理11.9 :
若 f 是以 2为周期的可积或绝对可 积函数,
作业:
习题11.1
5; 6.
可积的函数, 且f 在[ , ]上是分段单调有界函数 ,
第十六章 傅立叶级数
an 0 2 bn f ( x ) sin nxdx 0 ( n 0,1, 2, ) ( n 1, 2, )
29
(2)当 f ( x ) 为偶函数时,它的傅里叶系数为 2 an f ( x ) cos nxdx ( n 0,1, 2,) 0 bn 0 ( n 1, 2,)
[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx] bn ,
n1
可得
1 bn f ( x ) sin nxdx
( n 1,2,3,)
20
从而
1 an f ( x ) cos nxdx, ( n 0,1,2,) 1 b n f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,) 1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx, ( n 0,1,2,) 或 1 2 b n 0 f ( x ) sin nxdx, (n 1,2,)
(2)三角函数系的正交性 三角函数系中的任意两个不同函数在[ , ] 上的积分等于零.
即 i)
cos nxdx 0, sin nxdx 0,
14
ii)
sin mx cos nxdx 0.
(其中m, n 1,2,)
iii)
0, m n sin mx sin nxdx , m n,
n1
an cos2 nxdx an,
可得
1 an f ( x ) cos nxdx
( n 1,2,3,)
§2Fourier级数的收敛判别法
∫ Sm( x)
=
1
π
sin 2m + 1 (t − x)
π
f (t)
−π
2 2sin t − x
dt
2
(作代换 t − x = u )
∫ ∫ = 1
π −x
sin 2m + 1 u
f (x + u)
2 du =
1
2m +1
sin
u
π
f (x + u)
2 du 。
π −π −x
2sin u
π −π
2sin u
是否存在且等于 0。
sin 2m + 1u
∫ lim
m→∞
π 0
ϕσ
(u,
x)
2 2sin u
du
2
Riemann 引理及其推论
定理 16.2.1(Riemann 引理) 设函数ψ (x) 在 [a, b]上可积或绝
对可积n pxdx= lim bψ (x) cos pxdx= 0 。
1 2
+
m
cos n(t
n=1
−
x)⎥⎦⎤dt
。
当θ ≠ 0 时,由三角函数的积化和差公式,有
∑ 1
2
+
m
cos nθ
n=1
=
sin 2m + 1θ
2
2sin θ
。
2
当θ = 0 时,将等式右端理解为当 θ → 0 时的极限值,则等式依然成立。
因此,上式对任意θ ∈[−π ,π ] 都是正确的。
于是
对于任意给定的ε > 0 ,由定理 7.1.3,存在着一种划分
fourier级数收敛定理
fourier级数收敛定理
Fourier级数收敛定理主要有:
1. 狄利克雷收敛定理:
如果函数f(x)在(-π,π)上满足:
(1)具有连续性或者只有有限个第一类间断点;
(2)有限个最大值和最小值;
(3)在区间端点处具有有限边界值;
则其Fourier级数在函数连续点收敛于该点上的函数值,在间断点收敛于该点的平均值。
2. 黎曼-莱贝格收敛定理:
如果函数f(x)在(-π,π)上满足狄利克雷条件,并且满足黎曼积分条件:
则其Fourier级数在(-π,π)上处处收敛于f(x)。
3. 舍尔定理:
如果f(x)在(-π,π)上可积,且满足黎曼积分条件和狄利克雷条件,则其Fourier级数收敛速度为O(1/n),n为倒数项的序数。
这三个定理概括了Fourier级数的收敛情况。
调和分析讲义001---Fourier变换的L1理论
定理 19.设 L1 En , x dx 0 ,则 En
(1)当 f Lp En 1 p 时, f Lp 0 , 0 ;
(2)当 f C0 En 时, f L 0 , 0 .
证. f x f x t f x t dt f x t f x t dt ,故
定理
2(Riemann-Lebesgue).设
f
L1 En
,则 lim x
fˆ
x
0
.
证.若 n
1,
f1 x1
a1,b1 x ,则
fˆ1 x
e2 i b1x e2 i a1x 2 ix
0 ;一般地,若
f x a1,b1an ,bn x ,则 fˆ x fˆ1 x1 fˆn xn 0 ;
n 1 | 1t |2 2
2 | t |2 2
定理 15(乘法公式).设 f , g L1 En ,则 fˆ x g x dx f x gˆ x dx .
En
En
定理 16.设 f , L1 En , ˆ ,则 fˆ x e2i tx x dx f x x t dx .
En
En
引理 17. P x, dx W x, dx 1 .
En
En
证.
W
x,1
dx
4
n 2
1 x 2
e 4 dx
4
n 2
e
1 4
x12
dx1
n
1;
En
En
4
P
En
x,1
dx cn
En
1
dx x 2 n1
2
cnn1
0
dr 1 r 2 n1 2
p
Fourier级数的性质及收敛定理的证明
0)
2
t
f (x t) t
f ( x 0) 2 sin t
,
t (0, π].
2
17
取极限得到
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0).
t 0
再令(0) f ( x 0), 则函数 在点 t 0 右连续.
因为 在 [0, π]上至多只有有限个第一类间断点,
所以 在 [0, π]上可积. 根据定理1和推论2,
nxdx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
(4)
4
将(3), (4)代入(2),可得
0
π
[
π
f
(
x
)
Sm
(x)]2dx
π π
f
2( x)dx
πa02 2
m
π (an2
n1
bn2 ).
因而
a02 2
m
(an2
n1
bn2 )
1 π
π [ f ( x)]2dx,
π
它对任何正整数m成立.
0,
(10)
n 2
π0
2sin t
2
与
lim
f
(
x
0)
1
0
f
(
x
t
)
sin
n
1 2
t
dt
0.
n 2
π π
2sin t
(11)
2
先证明 (10) 式. 对 (9) 式积分 后得到
15
1
π
π
sin
n
1 2
x
dx
1
Fourier级数
函数。利用函数 g 的 Fourier 级数,我们可以推出函数 f 的 Fourier 级数为
f (x)
=
a0 2
+
∑ ∞ [ an
() nπx
cos l
+
bn
( )] nπx
sin l
,
n=1
(1.10)
其中 an
=
1 l
∫l
−l
f
(x)
cos(nπx/l)
dx,bn
=
1 l
∫l
−l
f
(x)
sin(nπx/l)
N →∞
N →∞
N →∞
n=0
n=0
n=0
此级数(或部分和 SN f )在 L2(−π, π) 中收敛到 f 。 由于
einx + e−inx
ϕ2n−1 = cos(nx) =
, 2
einx − e−inx
ϕ2n = sin(nx) =
, 2i
1 如果我们定义复值函数 ψn(x) = √
einx,n ∈ Z,则容易验证
定理 1.1 如果 f ∈ Cper[−π, π], 则 ∥AN f ∥C ≤ ∥f ∥C 且 AN f 在 Cper[−π, π] 中收敛到 f : lim ∥AN f − f ∥C = 0 。
N →∞
证明: 由于 f 在区间 [−π, π] 一致连续,所以存在 δ > 0 使得当 |t| ≤ δ 时 sup |f (x + t) − f (x)| < ϵ/2,
练习 4.1: 假设 f 是以 2π 为周期的函数,试推导
1 ∫ π sin[(N + 1/2)t]
Fourier级数一致收敛性的几个证明
u) -
f ( x + 0) -
f(x -
0) ]
s in
2n + 2
1u
2 sin
u 2
du
由引理 2 的局部性思想, 取一个 R, 0< R< D, 分 割积分为
Q1 P
P0
f ( x + u) + f ( x -
u) - f ( x + 0) u
f ( x-
0) .
Q sin
2n + 2
1u
两个定理, 并给予充分的证明。
定义 1: 若 f ( x) 的导函数 f c( x ) 在[- P, P] 上 连续, 则称 f ( x) 在[- P, P] 上光滑[ 1] 。
定理 1: 设 f ( x) 为[ - P, P] 上的 光滑函数,
f (- P) = f ( P) , 则 f ( x) 的 F our ier 级数[ - P, P] 上
a0 2
|
+
]
( | ak | + | bk | ) [
k= 1
|
a0 2
|
+
E E 1
2
]
( ack 2+ bck 2 ) +
k= 1
] k= 1
1 k2
。
]
E 对级数 ( ack 2+ bck 2 ) , 由 Bessel 不等式[ 3] 知: k= 1
E Q ] ( ack 2+ bck 2 ) [
0
u
N2 ) usin
2n + 2
1u
du =
Q1
P
R
附录III傅里叶级数收敛定理的证明理论
附录III Fourier 级数收敛定理的证明理论Dini 定理 设以π 2为周期的函数f在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-,f 的Fourier 级数收敛于f在点x 的左、右极限的算术平均值,即nxb nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(10++=-++∑∞= ,其中n a 和n b 为f的Fourier 系数。
证明思路 设)(x f ~∑∞=++1. sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明 )(→x S n 2)0()0(-++x f x f 。
即证明0 2)0()0(l i m =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f 。
方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零。
施证方案1 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式。
称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分, 即⎰-++=πππdtt t n t x f x S n 2sin 2212sin)(1)(。
利用该表示式, 式 2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -==2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdtt t n t x f 2sin 2212sin)(1=2)0(+x f ⎰++-ππ2s i n2212s i n)(1dtt t n t x f+2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdtt t n t x f 。
于是把问题归结为证明[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2s i n2212s i n)(1dtt t n t x f ]0=和[∞→n lim2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdtt t n t x f ]0=。
关于Fourier余弦级数L1收敛性的一点注记
关于Fourier余弦级数L1收敛性的一点注记
施咸亮; 盛淑云
【期刊名称】《《数学年刊:A辑》》
【年(卷),期】1990(011)006
【摘要】本文指出文[1]中的定理4.1证明中包含着错误,并且建立了相应的正确结果。
设α_0/2+sum from n=1 to ∞ α_n cos nx是f∈L(0,π]的Fourier余弦级数,假如存在a>0和单调数列{l_n}∈SV(N)使得α_n/(n~αl_n)↘(n→∞),那么下面两断言是等价的,(ⅰ) ‖S_n(f)-f‖_(L1)=0(1)(n→∞):(ⅱ)α_nlogn→0(n→∞)。
【总页数】4页(P775-778)
【作者】施咸亮; 盛淑云
【作者单位】杭州大学
【正文语种】中文
【中图分类】O174.21
【相关文献】
1.关于Fourier级数收敛性问题一个新条件的注记 [J], 赵德钧
2.关于Fourier级数收敛性问题一个新条件的注记 [J], 赵德钧
3.关于Fourier-Laplace级数绝对收敛性的注记 [J], 吴耀红;张希荣
4.关于Walsh-Fourier级数的几乎处处收敛问题的一点注记 [J], 王昆扬
5.Fourier-Laplace级数收敛性的Marcinkiewicz型判别法证明的一个注记 [J], 高牛山
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