[应用]数列、数学归纳法及数列极限的复习.docx
《数列、数学归纳法、数列极限》25页word
《数列、数学归纳法、数列极限》松江四中 朱成兵 第一部分 《 数 列 》一、知识点：1等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= 推广：d m n a a m n )(-+= ； 等比数列的通项公式：11n n a a q -=⋅ 推广：n m n m a a q -=⋅ 2等差数列的前n 项和公式：d n n na S n 2)1(1-+= ， 2)(1n n a a n S +=； 等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1()1(,11q q q a q na S n n ，⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(,1)1(,11q qq a a q na S n n3等差数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+； 等比数列}{n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅4两个等差数列}{n a 与}{n b 的和差的数列}{n n b a +、}{n n b a -仍为等差数列；两个等比数列}{n a 与}{n b 的积、商、倒数组成的数列}{n n b a ⋅、}{n n b a 、}1{nb 仍为等比数列。
5等差数列}{n a 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列； 等比数列}{n a 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
6若}{n a 为等差数列，则}{na c )0(>c 是等比数列；若}{n a )0(>n a 是等比数列，则}{log n c a )10(≠>c c 且是等差数列。
7等差数列}{n a 中，当0≠d 时，n a 是关于n 的一次式：)(1d a dn a n -+=；当0=d 时，n a 是一个常数：1a a n =。
8等差数列前n 项和公式：当0≠d 时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0，即n d a n dS n )2(212-+=； 当0=d 时)0(1≠a ，1na S n =是关于n 的正比例式；等比数列的前n 项和公式：当1=q 时，1na S n = 是关于n 的正比例式。
数列、数列的极限与数学归纳法11页word
数列、数列的极限与数学归纳法主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏．就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性.本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：(1)数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题．(2)探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．(3)等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题．(4)求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查．通过上述分析，在学习中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：理解概念，熟练运算巧用性质，灵活自如二、典例剖析考点一：数列的通项与它的前n项和例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数．41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P=__________．解析：．显然当时有因数41，此时．答案：1681点评：本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力．体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n 项但不一定满足其所有的性质的特点．例2、已知等差数列中，，前10项之和是15，又记.(1)求的通项公式；(2)求；(3)求的最大值．(参考数据：ln2=0.6931)解析：(1)由，得，(2)(3)法一：，，由ln2=0.6931，计算>0，<0，所以极大值点满足，但，所以只需比较与的大小：，．法二：数列的通项，令，点评：求时，也可先求出，这要正确理解“”，其中应处在的表达式中的位置．例3、已知数列的首项，前项和为，且．(1)证明数列是等比数列；(2)令，求函数在点处的导数，并比较与的大小．解析：(1)由已知时，．两式相减，得，即，从而．当时，．又．从而．故总有．又．从而．即是以为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，当n=1时，(*)式=0，；当n=2时，(*)式=－12<0，；当n≥3时，n－1>0．又，，即(*)式>0，从而．考点二：等差数列与等比数列例4、有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表，如下图)．其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a24=1，a42=，a43=，(1)求公比q；(2)用k表示a4k；(3)求a11＋a22＋a33＋…＋a nn的值.分析：解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解．解：(1)∵每一行的数列成等差数列，∴a42，a43，a44成等差数列，∴2a43= a42＋a44，a44=;又每一列的数成等比数列，a44=a24·q2，a24=1，∴q2=，且a n>0，∴q=.(2)a4k= a42＋(k－2)d=＋(k－2)( a43－a42)=.(3)∵第k列的数成等比数列，∴a kk= a4k·q k－4=·()k－4= k·()k (k=1，2，…，n).记a11＋a22＋a33＋…＋a nn=S n，则S n=＋2·()2＋3·()2＋…＋n·()n，S n=()2＋2·()3＋…＋(n－1) ()n＋n()n＋1，两式相减，得S n=＋()2＋…＋()n－n()n＋1=1－，∴S n=2－，即a11＋a22＋a33＋…＋a nn=2－．例5、已知分别是轴，轴方向上的单位向量，且(n=2，3，4，…)，在射线上从下到上依次有点，且=(n=2，3，4，…)．(1)求；(2)求；(3)求四边形面积的最大值．解析：(1)由已知，得，(2)由(1)知，且均在射线上，．(3)四边形的面积为．又的底边上的高为．又到直线的距离为．而，点评：本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设题的命题原则．其中割补法是解决四边形面积的常用方法．考点三：数列的极限例6、给定抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点，其次过作斜率为的直线与抛物线交于．过作斜率为的直线与抛物线交于，由此方法确定：一般地说，过作斜率为的直线与抛物线交于点．设的坐标为，试求，再试问：点，…向哪一点无限接近？解析：∵、都位于抛物线上，从而它们的坐标分别为，∴直线的斜率为，于是，即，．因此，数列是首项为，公比的等比数列．又，，因此点列向点无限接近．点评：本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用，求解问题的关键是要利用图形的变化发现点运动的规律，从而便于求出极限值来．例7、已知点满足：对任意的，．又已知．(1)求过点的直线的方程；(2)证明点在直线上；(3)求点的极限位置．解析：(1)，，则．化简得，即直线的方程为．(2)已知在直线上，假设在直线上，则有，此时也在直线上．∴点在直线上．(3)，即构成等差数列，公差，首项，，故．．故的极限位置为(0，1)．考点四：数学归纳法例8、设是满足不等式的自然数的个数．(1)求的解析式；(2)设，求的解析式；(3)，试比较与的大小．解析：先由条件解关于的不等式，从而求出．(1)即得．(2)．(3)．n=1时，21－12>0；=2时，22－22=0；n=3时，23－32<0；n=4时，24－42=0；n=5时，25－52>0；n=6时，26－62>0．猜想：n≥5时，，下面对n≥5时2n>n2用数学归纳法证明：(i)当n=5时，已证25>52．(ii)假设时，，那么，即当时不等式也成立．根据(i)和(ii)时，对，n≥5，2n>n2，即．综上，n=1或n≥5时，n=2或n=4时时．点评：这是一道较好的难度不太大的题，它考查了对数、不等式的解法，数列求和及数学归纳法等知识．对培养学生综合分析问题的能力有一定作用．例9、已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若数列中，，，证明：，．解：(1)由题设：所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．(2)用数学归纳法证明．(ⅰ)当时，因，，所以，结论成立．(ⅱ)假设当时，结论成立，即，也即．当时，又，所以也就是说，当时，结论成立．根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．考点五：数列的应用例10、李先生因病到医院求医，医生给他开了处方药(片剂)，要求每12小时服一片，已知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时排出这种药的60%，并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，将会产生副作用，请问：李先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早上8时服完药时，药在他体内的残留量是多少毫克？如果李先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用？为什么？解：(1)设第次服药后，药在他体内残留量为毫克，依题意，故第二天早上8时第三次服完药时，药在他体内的残留量是343.2毫克.(2)由，故长期服用此药不会产生副作用．例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额。
数列专题复习及答案
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++ 9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n=，如果存在正 整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-= 中，各项的和为且 则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n n t →∞<，则实数t 的取值范围为 12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231n nn n n n a C a C a C a C ++++= 14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题： ⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列； ⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ ）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（ ）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（ ） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（ ）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB＝1200a OAa OC ＋，且,,A B C 三点共线 （该直线不过原点O ），则200S =（ ）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13nn n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈； （1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。
第六章 数列、极限与数学归纳法
高考试题汇编——数列答案考试内容：数列.等差数列及其通项公式、前n项和的公式.等比数列及其通项公式、前n项和的公式. 数列的极限及其四则运算.数学归纳法及其应用.考试要求：(1)理解数列的有关概念.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题.(3)了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限.(4)了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题.一、选择题1.给出20个数:87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是(86(5)3分)A.1789B.1799C.1879D.1899B2.设命题甲:△ABC的一个内角为60°，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(88(11)3分)A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件C3.已知{a n}是等比数列，如果a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，S n＝a1＋a2＋……＋a n，S n的值等于(89(5)3分)那么limn→∞A.8B.16C.32D.48B4.设2a＝3，2b＝6，2c＝12，则数列a，b，c(90上海)A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列A5.已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为(90广东)A .15B .17C .19D .21 B6. 已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝(91(7)3分) A .5 B .10 C .15 D .20 A7. lim n →∞[n (1－13)(1－14)(1－15)……(1－1n ＋2)]的值等于(91(12)3分)A .0B .1C .2D .3C8. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝(91上海) A .45 B .75 C .180 D .300 C9. 一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(91三南) A .它的首项是－2，公差是3 B .它的首项是2，公差是－3 C .它的首项是－3，公差是2 D .它的首项是3，公差是－2 A10. 设等差数列{a n }的公差为d ，如果它的前n 项和S n ＝－n 2，那么(92三南) A .a n ＝2n －1，d ＝－2 B .a n ＝2n －1，d ＝2 C .a n ＝－2n ＋1，d ＝－2 D .a n ＝－2n ＋1，d ＝2 C11. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1a 2a 3……a 30＝230，则a 3a 6a 9……a 30＝(92三南)A .210B .220C .216D .215B12. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋……＋log 3a 10＝(93(7)3分) A .12 B .10 C .8 D .2＋log 35 B13. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌由一个可繁殖成(94(5)4分) A .511个 B .512个 C .1023个 D .1024个 B14. 某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N )时该命题成立，那么可以推得n ＝k ＋1时该命题成立，现已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得(94上海) A .当n ＝6时该命题不成立 B .当n ＝6时该命题成立 C .当n ＝4时该命题不成立 D .当n ＝4时该命题成立 C 15. 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则lim n →∞a nb n＝(95(12)5分)A .1B .63C .23D .49C16. 等比数列a n 的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，已知S 10S 5＝3132，则lim n →∞S n 等于(96(10)4分)A .23B .－23C .2D .－2B17. 等差数列{a n }的前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是(96(12)5分) A .130 B .170 C .210 D .260 C 18. 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋……＋12n(n ∈N )，那么f (n ＋1)－f (n )＝(97上海) A .12n ＋1 B .12n ＋2C .12n ＋1＋12n ＋2D .12n ＋1－12n ＋2D19. 在等比数列{a n }中，a 1＞1，且前n 项和S n 满足lim n →∞S n ＝1a 1，那么a 1的取值范围是(98(15)5分)A .(1，＋∞)B .(1，4)C .(1，2)D .(1，2)D20. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有(2000春京、皖(13)5分) A .a 1＋a 101＞0 B .a 2＋a 100＜0 C .a 3＋a 99＝0 D .a 51＝51 C 21. lim n →∞C 2nn C 2n ＋2n ＋1＝(2001春京、皖、蒙(3)5分)A .0B .2C .12D .14D22. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足S n ＝n 90(21n －n 2－5)(n ＝1,2,……,12),按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(2001春京、皖、蒙(12)5分) A .5月、6月 B .6月、7月 C .7月、8月 D .8月、9月 C23. 若数列{a n }前8项的值各异，且a n ＋8＝a n 对任意的n ∈N ＋都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为(2001年春上海(16)4分) A .{a 2k ＋1} B .{a 3k ＋1} C .{a 4k ＋1} D .{a 6k ＋1} B24. 设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(2001年(3)5分) A .4 B .2 C .1 D .6 B二、填空题1. lim n →∞3n －1＋(－2)n3n ＋(－2)n ＋1＝____________.(86(14)4分)答：132. lim n →∞(1n 2＋1＋2n 2＋1＋3n 2＋1＋ (2)n 2＋1)＝____________.(87(12)4分) 答：23. 已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1＝b (b ≠0)，则lim n →∞a 1＋a 2＋a 3＋……＋a na 6＋a 7＋a 8＋……＋a n＝_________.(88(24)4分) 答：14. 已知{a n }是公差不为0的等差数列，如果S n 是{a n }的前n 项和，那么lim n →∞na nS n等于______. (90(18)3分) 答：25. 在无穷等比数列{a n }中，a 1＝33，a 3＝3，则lim n →∞(a 1＋a 3＋a 5＋……＋a 2n －1)＝______.(91上海) 答：9326. lim n →∞4n ·2n ＋1n ·3n－1＝___________(91三南) 答：07. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10的值是_______.(92(23)3分) 答：13168. lim n →∞[11×4＋14×7＋17×10+……＋1(3n －2)(3n ＋1)]＝__________(92三南) 答：139. 已知等差数列{a n }的公差d ＞0，首项a 1＞0，S n ＝∑ni ＝11a i a i ＋1，则lim n →∞S n ＝____.(93(24)3分)答：1a 1d10. 已知等比数列{a n }(a n ∈R )，a 1＋a 2＝9，a 1a 2a 3＝27。
数列、极限、数学归纳法(上)
【考点梳理】一、考试内容1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。
2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
3.数列的极限及其四则运算。
4.数学归纳法及其应用。
二、考试要求1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。
5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.数列及相关知识关系表2.作用地位（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。
对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。
等比数列可看作自然数n的“指数函数”。
因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。
（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。
另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。
（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。
学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤
高考数学一轮总复习数列与数列极限的数学归纳法证明步骤高考数学一轮总复习：数列与数列极限的数学归纳法证明步骤数列与数列极限是高中数学中的重要概念，在高考数学考试中也是常见的考点。
本文将介绍数学归纳法证明数列与数列极限的步骤及其应用。
在解题过程中，我们将以具体的例子进行说明，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学方法。
一、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种基于数学归纳思想的证明方法，常用于证明一般性陈述在自然数集上成立。
使用数学归纳法证明一个命题通常分为三个步骤：1. 证明基本情况：首先证明当 n 取一个特定的值时，命题成立。
这一步又称为“递归起点”。
2. 归纳假设：假设当 n=k 时，命题成立，即假设命题对于某个特定的自然数 k 成立。
3. 归纳步骤：通过归纳假设证明当 n=k+1 时，命题也成立。
这一步又称为“递归关系”。
二、数列定义与数列极限的概念在进行数学归纳法证明数列与数列极限之前，我们先来回顾一下数列的定义及数列极限的概念。
数列是将自然数与实数联系起来的一种函数关系。
通常用 {an} 或者 (an) 表示一个数列，其中 an 表示数列的第 n 个元素。
数列极限是指数列随着 n 趋向无穷大时的极限值。
当数列随着 n 的增大无限逼近某个实数 L 时，就称数列 {an} 的极限为 L，记作 lim an = L。
三、数学归纳法证明数列与数列极限的步骤下面我们将以一个具体的例子来说明如何使用数学归纳法证明数列与数列极限。
【例】证明数列 {an} = 2^n + 1 是递增数列。
解：首先，我们先验证 n=1 时数列成立。
当 n=1 时，a1 = 2^1 + 1 = 3。
根据数列的定义，可以得出 a1 = 3，所以当 n=1 时，数列成立。
这就是我们要证明的基本情况。
接下来，我们假设当 n=k 时数列成立，即 ak < ak+1。
这个假设就是我们的归纳假设。
现在我们来证明当 n=k+1 时数列也成立，即证明 ak+1 < ak+2。
【高中数学】数列的应用问题数列的极限和数学归纳法
【高中数学】数列的应用问题数列的极限和数学归纳法【高中数学】数列的应用问题、数列的极限和数学归纳法一、课程内容：数列的应用问题、数列的极限和归纳法二、教学要求：1.了解数列的一般应用问题，理解“复制”的概念及相关的应用问题，能建立较典型问题的数学模型。
2.了解序列极限的概念，掌握极限的四种算法，能够找到某个序列的极限。
3.理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
三串通1.零存整取和按揭贷款问题（见例题选讲）2.序列极限的概念3.常用的极限4.序列极限算法：5.无穷递缩等比数列的各项和{an}是一个等距序列，如果Q<1，{an}是一个无限递归等距序列。
6.求数列极限的常用① 求分子和分母都包含关于n的代数公式或指数公式的数列的极限。
将分子和分母除以分母的最高幂（即无穷小除法），然后求极限。
②利用有理化因子变形；③ 求和的极限时，一般先求和，再求极限；⑤求含有参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，分别确定极限是否存在，若存在求出值。
7.数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数n有关的数学命题的证明方法。
（1）数学归纳的步骤：（三步）①验证n取第一个值n0时命题f(n0)正确。
（是递推基础）；② 假设命题f（k）在n=k（k）时是正确的∈ n、K≥ 证明了当n=K+1时命题f（K+1）也是正确的。
（这是递归的基础）；③由①、②可知对任意n≥n0命题f(n)都正确。
（结论）。
（2）当用数学归纳法证明命题f（n）时，困难在于第二步。
也就是说，假设n=k，f（k）为真。
当n=K+1时，f（K+1）也是真的。
推导中必须使用“归纳假设”，这一步证明“结构相同”。
如：用数学归纳法证明这个等式成立。
则n＝k＋1时（与K的结构相同）∴当n＝k＋1时，等式也成立。
解决方案：前几项通过递归公式计算再用数学归纳法证明：…[典型示例]例1.零存整取和按揭贷款问题（1）利息计算：①单利：每期都按初始本金计算利息，当期利息不计入下期本金。
数列、极限、数学归纳法
数列、极限、数学归纳法考纲透析 考试大纲：数学归纳法，数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性。
数学归纳法，数列的极限 1专题知识整合1.无穷递缩等比数列(q ≠0,|q |<1)各项和11a S q=- 2.归纳法证猜想的结论，用数学归纳法证等式和不等式。
3.含有n的无理式，如limn →∞需分子有理化，转化为0n =4.指数型，如111lim n n n n n a b a b+++→∞-+，分子、分母同除以|a|n +1或|b|n +1转化为求lim n n q →∞2.新题型分类例析 热点题型1：数列与极限 样题1：已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lga 1、lga 2、lga 4成等差数列．又21nn b a =，n=1,2，3，…． （Ⅰ）证明{b n }为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }各项的和13S =，求数列{a n }的首项a 1和公差d ． （注：无穷数列各项的和即当n →∞时数列前n 项和的极限）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得2214a a a =即)3()(1121d a a d a +=+，得d =0 或 d =a 1 因1221+=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列 就有11221==++n n a a b b n n 当d =a 1时，1112112)12(,)12(1a a a a a a n nn n -+=-+=++,就有1221+=+n n a a b b n n 21= 于是数列{b n }是公比为1或21的等比数列 （Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。
因而d =a 1≠0，这时公比q =21，112b d = 这样{b n }的前n 项和为11[1()]22112n n dS -=- 则S=11[1()]122lim lim 112n n n n dS d →+∞→+∞-==-由13S =，得公差d =3，首项a 1=d =3变式题型1设数列{a n }是等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=4，其前n 项和为T n . 又已知lim n →∞T n =16,S 5=2T 2+1.求数列{a n }、{b n }的通项公式。
数列专题复习及答案
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题l、已知a n=n E N*)'则数列忆｝的最大项是旷+1562、在等差数列{a J中，若a4+a6十Gio+ a12 = 90'则知0-—a l4=3、酰廿等比数列包｝，若Gi= l a5 = 4, 则a3的值为4、数列{a J中，a3= 2, a5 = l, 则数列｛｝是等差数列，则a ll=a n +l5、在数列{a J和｛九｝中，b n是a n与a n+I的等差中项，a1=2且对任意nEN*都有3a n+I -a n = Q , 则数列｛九｝的通项公式为6、设等差数列{a n}的公差d不为O,a1 = 9d, a k是a,与a2k的等比中项，则k=7、等差数列{a J的前n项和为S n,若S4�10,S5sl5,则a4的最大值为8、正数数列{a J中，已知a1= 2, 且对任意的s,t EN*, 都有a s+a t= a s+t成立，则1 1+ + +a l a2 a2a3 a n a n+I s9、等差数列{a J的前n项和为S n,且a4-a2 = 8,a3 + a5 = 26 , 记兀＝号－，如果存在正整数M,使得对一切正整数n,T n sM都成立．则M的最小值是10、已知无穷等比数列{a n}中，各项的和为s,且lim[3(a1+a尸+a n)—S]=4,则实n今OO数a l的范围11、设正数数列{a J的前n项和为S n,且存在正数t'使得对千所有自然数n,有寂=n a +t 成立，若lim 瓦< t'则实数t的取值范围为2 n➔ 00a n12、数列{a,)的通项公式为a,={�::3(1:::; n:::; 2)，则lirn s = n之3,n EN*) nn➔oo13、已知数列[a,}的通项三式为a,�2•-1+I, 则a立+a立+a立+a,, 立＝12a n 0:::;;a n<—)14、数列{a }满足a= 2 6n+l � l '若a l=—，则a2001的值为2a n -I —:::;;a n< I)7215、在数列{a J中，如果对任意nEN*都有a n+2—a n+l= k (k为常数），则称{a J为等a n+l -a n差比数列，k称为公差比．现给出下列命题：(1)等差比数列的公差比一定不为0;(2)等差数列一定是等差比数列；(3)若a n=-3勹2,则数列{aJ是等差比数列；(4)若等比数列是等差比数列，则其公比等千公差比．其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列{a n}的公差为d,前n项的和为S n,当首项a l和d变化时a2+as+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A. s7B. SsC. s l3D. s l517、在等差数列{aJ中，Cli> 0, 5a5 = 17 a10 , 则数列{aJ前n项和凡取最大值时，n的值为（）A.12B.llC.10D.918、设{a n}为等差数列，若生)_<—1,且它的前n项和S n有最小值，那么当凡取得最小正值时，n=a l O（）A 11 B.17 C.19 D. 2019、等差数列{a n}的前n项和为S n,且Ss< S6, S6 = S1 > Ss,则下列结论中错误的是（）A d<O C. S9 > SB. a7 = 0D. S6和S7均为S n的最大值20、已知数列{a J、｛九｝都是公差为1的等差数列，其首项分别为a l、b l'且a1+ b1 = 5, a1 ,b1 EN*. 设e n= a b,, (n E N勹，则数列{e n}的前10项和等千（）A. 55B. 70C.85D.10021、已知等差数列{a J的前n项和为S n,若OB=CliOA十生OO OC,且A,B,C三点共线（该直线不过原点0),则s200= c )A. 100B. 101C. 200D. 201A 7n+4522、已知两个等差数列{aJ和｛仇｝的前n项和分别为A n和B n,且_____!!.='则使B n+3a得二为整数的正整数n的个数是（b nA. 2三、解答题B. 3C. 4D. 523、设数列忆｝的前n项和为S n,已知a l=a'a n+I =凡+3n,n E N*.(1)设九＝凡_3n,求忱｝的通项公式；(2)若a＊n+I� 化，nEN,求a的取值范围．24、数列曰｝满足a 1=a , a 2 = -a (a > 0) , 且{a n }从第二项起是公差为6的等差数列，凡是{a n }的前n项和.(1)当n �2时，用a与n表示a n 与S n (2)若在s 6与趴两项中至少有一项是凡的最小值，试求a的取值范围；125、数列{aJ中，a l=—，点(n,2a n+l -aJ在直线y =x 上，其中nEN *2(1)设九=a n +l -a n -1, 求证数列｛九｝是等比数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)设S n 、Tn 分别为数列{a小｛九｝的前n项和，是否存在实数入，使得数列｛凡:入T"}为等差数列？若存在，试求出入；若不存在，则说明理由。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法一、知识要点 （一） 数列的极限1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作A a n n =∞→lim .2.运算法则：若lim n n a →∞、lim n n b →∞存在，则有lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞→∞→∞→n n n n nn nn n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1)1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=∞→)()()(0)()(lim q p q p b a q p n g n f qpn 不存在4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：11a S q=- （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞= （当lim n n S →∞存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。
②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。
二、例题（数学的极限）例1.（1）∞→n lim 112322+++n n n = ;（2）数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且n n n b a ∞→lim=3,则122lim nn na a a nb →∞+++=（3）∞→n lim nn a a +-+211(a>1)= ;（4）2221321lim()111n n n n n →∞-++++++= ;（5）)2(lim 2n n n n -+∞→= ;（6）等比数列{a n }的公比为q =─1/3,则nnn a a a a a a 24221lim++++++∞→ = ;例2．将无限循环小数••21.0；1.32••21化为分数.例3．已知1)11(lim 2=--++∞→b an n n n ,求实数a,b 的值; 例4．数列{a n },{b n }满足∞→n lim (2a n +b n )=1, ∞→n lim (a n ─2b n )=1,试判断数列{a n },{b n }的极限是否存在，说明理由并求∞→n lim (a n b n )的值.例5．设首项为a ，公差为d 的等差数列前n 项的和为A n ,又首项为a,公比为r 的等比数列前n 项和为G n ,其中a ≠0,|r|<1.令S n =G 1+G 2+…+G n ,若有lim()n n n A S n→∞-=a,求r 的值.例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n 项之和为S n ,又设T n =1(1,2,)n n S n S +=,求n n T ∞→lim .例7．{a n }的相邻两项a n ,a n+1是方程x 2─c n x+n )31(=0的两根，又a 1=2,求无穷等比c 1,c 2,…c n , …的各项和.例8．在半径为R 的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
(十二)数列、极限、数学归纳法2008.11.26
（3）两个重要极限①∞→n lim c n 1=⎪⎩⎪⎨⎧不存在10 000<=>c c c ②∞→n lim r n =⎪⎩⎪⎨⎧不存在10 11||11||-=>=<r r r r 或 1.特殊数列的极限 （1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 . （3）()111lim11nn a q a S q q→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q- (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理0lim ()x x f x a →=⇔00lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限 （1）1lim0n n→∞=，lim 0nn a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，011limx x xx →=.5.两个重要的极限 （1）0sin lim1x x x→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).6.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x a b g x b→=≠.7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b→∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).高考题回顾一.数列的极限1. 计算：112323lim-+∞→+-n nnn n =_________。
数列、极限、数学归纳法.doc
学科：数学教学内容：数列、极限、数学归纳法一、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式； ②能够运用这些知识解决一些实际问题； ③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前几项；③会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的一种方法； ②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题.二、知识结构(一)数列的一般概念数列可以看作以自然数集(或它的子集)为其定义域的函数，因此可用函数的观点认识数列，用研究函数的方法来研究数列。
数列表示法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。
列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a 3……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表示数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。
解析法：如果数列的第n 项能用项数n 的函数式表示为a n =f(n)，这种表示法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。
图像法：在直角坐标系中，数列可以用一群分散的孤立的点来表示，其中每一个点(n,a n ) 的横坐标n 表示项数，纵坐标a n 表示该项的值。
用图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表示出来。
递推法：数列可以用两个条件结合起来的方法来表示：①给出数列的一项或几项。
②给出数列中用前面的项来表示后面的项的表达公式，这是数列的又一种解析法表示，称为递推法。
例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表示为⎪⎩⎪⎨⎧∈+==+)(4211N n a a a a nn n ，其中a n+1=a n +n a 4又称为该数列的递推公式。
由数列项数的有限和无限来分数列包括穷数列和无穷数列。
由数列项与项之间的大小关系来分数列包括递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。
由数列各项绝对值的取值范围来分数列包括有界数列和无界数列。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法、知识要点 (一) 数列的极限列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作lim a n A .n2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有lim(a n b n )lim a n lim ；lim( a n b n ) lim a n lim b nnnnnn na lim a nlim —— , (lim b n 0)nb n lim b n nn(a1)3.两种基本类型的极限<1> S= lima nn1(a 1)不存在(a诚a<2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、0 (p q)b p 且 g( n) 0(n N),则 limng(n )(二)数学归纳法①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。
②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o的自然数，命题都成立。
、例题(数学的极限)1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S「q E )无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p- (p q) b q 不存在 (p q)S lim S n (当 lim S n 存在时)nn数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为:(4) lim( J-3Lnn 1 n 1(5) lim G. n 2 2n n)=;n例2 •将无限循环小数 0.12 ； 1.32 12 化为分数.『1例3•已知lim(an b) 1,求实数a, b 的值;nn 1例 4•数列{a n },{b n }满足 lim (2a n +b n )=1,lim (a n — 2tn)=1，试判断数列{a n },{b n }的极限是否nn存在，说明理由并求lim (a n b n )的值.n例5.设首项为a ，公差为d 的等差数列前-项的和为A,又首项为a,公比为r 的等比数列S例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前 -项之和为S n ,又设T n =— (n 1,2,L ),S- 1求 lim T n .n21 例7. ｛a n ｝的相邻两项a n ,a n+1是方程x —c -X +(—)n =0的两根，又a 1=2,求无穷等比C 1 ,c 2, (3)C n ,…的各项和.例8在半径为R 的圆内作内接正方形， 在这个正方形内作内切圆， 又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。
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数列、数学归纳法及数列极限的复习
一、基本概念
1数列：按一•定次序排列的一列数•按项数是否有穷可分为有穷数列和无穷数列•按相邻两项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数数列和摆动数列.
数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为正桀数集或其了集.数列｛色｝的第〃项色与n的关系式①=f（n）叫做数列｛% ｝的通项公式.
注意：不是每个数列都有通项公式！根据数列的前几项不能确定这个数列，但是可以写出它的一个或几个通项公式！
冇些数列冇单调性、周期性、最值.
2数列的递推公式：给出数列｛〜｝的初始项（第一项或前儿项），再给出相邻两项或儿项的关系，这样的关系式称为数列｛色｝的递推公式.
如：= a Q，严，$严1卫2=1等
W〃+] = d” + d [a n+｝ = qa n [a n+2 = a n+l+ a”
3等差数列
若a fl+1 - = d（d为常数），则数列｛色｝是等差数列.
公差为d的等差数列｛色｝的通项公式为化=⑷+ 5 - l）d •
（该公式口J整理为a tl =dn +（a】- d））
设血｝是等差数列，若p + q = s +1 = 2k（p,q、s、t、k都是正整数），
则仏 + a n = cip + o厂2a *.注意：a m +a n = a ltl+n一般不成立！
设仏｝是等差数列，则仏｝的前n项和S n的公式为S “ ="⑷+/）= na｛ +"（Z）d・
2 2
（该公式可整理为S” = 2/? +（% —0加）.
若等差数列仏｝的公差d>0,则仏｝是递增数列.若d =0,则仏｝是常数数列.
若dvO,则仏｝是递减数列.
若成等差数列，则A = 凹.任意两个实数都有唯一的等差中项.
2
判断&”｝是等差数列的方法：（1）利用定义-色=d（〃为常数）.
⑵根据a* -%+i =碍+i 一％・⑶根据ct n = pn + q .（4）根据S n = an2 + bn.
注意：证明数列&”｝是等差数列时通常用定义！
4等比数列
若沁 =g （q为常数），则数列血｝是等比数列.
公比为q的等比数列｛a n｝的通项公式为j= a tn q n~,n.
设｛色｝是等比数列，若p + q = s + t = 2k（p,q,s,t,k都是正整数），则=a p a q = ci；.
加i（g = l）
设仏｝是等比数列，则仏｝的前兄项和S”的公式为=\a]-a q⑷（1 —/）•
—.~~— = -------- （9 工1）
1 - q 1 - q
等比数列仏｝的公比gzO.
若a,G,b成等比数列，则G二土懈.
两个实数不一定有等比中项，若有等比中项，则有两个！
判断仏｝是等比数列的方法：⑴利用定义^ = q （q为常数）.⑵根据也也=也・
a n心+] a n
⑶根据仇=bq n• （4）根据S” = bq n- b •
注意：证明数列仏｝是等比数列时通常用定义！
5数学归纳法
对于关于正整数兀的很多命题可以用数学归纳法解决.它是用有限的步骤完成无限的递推！
第一步，证明n = n0时命题成立（这是递推的基础）.第二步，假设〃 =k｛k e N,k >®）命题成立.由此证明n = k + l时命题也成立（这是递推的依据）.根据这两步，就可以无限递推下去,因而对于任意的正整数n>n（v命题都成立.数学归纳法的第二步必须用假设的结论!
6数列的极限
儿个基本数列的极限：
①lim 丄=0（加w M ）.②当卜<1时，limx n =0.③limC = C （C 为常数）.
7?—>00 m
7?->OO
"T8
运算法则：若hma n =A.hmh n = B,则
n —>oc
xo
(1)
hm(a n ±b n ) = lima” ±lim b n = A±B. n —>00
"T8 nT8
(2) lim(d 〃 ・/\) = lim% • lim 乞=A B. 川一>00
"—>00 "Too
a
lim a n
4
(3) = = -(4) lim(C-^) = C-lim^ =CA (C 为常数).
/?—>oc 优 lim 优 B n->co n —
数列极限的四则运算法则只适用于冇限项•如果是无限项，应该先化简.
设数列｛%｝为等比数列，首项为％,公比为g ，｛%｝的前斤项和为S”.如杲0 <|g|<l,
=lim (6Z, + a 2 + …+ a n ) = a x + +••• + % + …=
川一>00
公比为q 的无穷等比数列仏｝的各项和存在的充要条件是0 V 同V 1・
二、常用结论
1若数列仏｝、｛仇｝是等差数列,则｛“”｝、仏+%」、｛pa n + qb n ｝也是等差数列.
｛C 5｝&〉（）,C H1）是等比数列.
2若等差数列&”｝的前"项和为S”.则5,, S 次-S k , - S 次也成等差数列.
3设等差数列｛〜｝的首项为①，公差为d,其前项和为S”.
若d 〉0,则S”有最小值.若d<0,则S”有最大值.
4数列仏｝是等比数列，则｛““｝、｛d/kwNj 、｛a n a n+｝｝也是等比数列.
若数列血｝是等比数列，且a… >0,则｛log c ^｝（c>0,c^l ）是等差数列.
d]
l — q
那么lim S n n-»oo
5若等比数列仏｝的前〃项和为S”.则5,,S2.-5,,S3,-S2A,也成等比数列.
6若等差数列｛%｝的前n项和为S”.则｛警［成等差数列. 若等比数列｛a n｝的前斤项的乘积为T n.则莎｝成等比数列.
0（m < k）
7若加北都是正整数，则lim%）+/ + ••• + %［二如（加二灯
” T°°仇 + 切+ …+ b k n b k
不存在（加> k）
8若&”｝是等差数列，公差为d,前〃项和为S“.
则｛a” ｝的奇数项⑷,。
3，…,a2n-l，…成等差数列，公差为2d •
｛a n｝的偶数项，…,a2n，…成等差数列，公差为2d .
（77 + 1）（Q］ +d»」）z八
①+吗+…+如屮= ----------- -=⑺+ 1加”+】・
n（a2 +仏）
+ °4 + • • • + % = —~2=叫 I •
5 + ^2 +。
3 + ^4 + …+ ^2〃 + 勺卄1 = 5 + l）a 卄1 + 叫+1 =（2〃 + 1）仇+1 •
% + °3 + ・•• + °2“一1 ="⑷ 丫2-J =叫.
（。
2 +偽H - °2川）_（% +如 + ・・・ + 02_1）=（°2 _©）+（% _他）+（°2” - a2n-\）=祖
9若血｝和｛仇｝都是等差数列，它们的前斤项和分别为S”和G则乞二
b n
三、常见的与数列｛d” ｝的前〃项和S’、有关的问题
=帥=1）
四、常见的分类讨论问题
1若数列仏｝是等差数列，且色有正有负，求%」｝的前〃项和.
如：数列仏｝的通项公式为=19-2//,求阮|｝的前几项和人.
3若等比数列仏｝的首项是山，公比为q,其前M 项和为S 「T”=亠,求limT….
五、求数列仏｝的最大项、最小项问题
>0
=0 ,女［1： a n = -2n 2
+ 29/1-3.
<0
>1
9 =1 •如:a = (M +1)(—y.
10
<1
六、数列的求和方法
1公式法
数列仏｝的通项公式为a n = 2” -1,求其前n 项和为S”・ 数列｛a n ｝的通项公式为％ =
+ 2n ,求其前n 项和为S 〃.
2倒序相加法
设/(x) =—
,利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得
2X +V2
/(-49) + /(-48) + …+ f (0) + f ⑴ + …+ f (49) + /(50)的值为 ___________ . 3错位相减法 数列仏｝的通项公式为％ =(2川一1)・3心，求其前斤项和为S”.
数列仏｝的通项公式为％ =辛,求其前n 项和为S”.
4裂项相消法
数列｛色｝的通项公式为〜= ------- ,求其前n 项和为S”.
n(n +1)
若％〉0, 4 2若数列｛%｝满足色=
数列仏｝的通项公式为G"R,求其前”项和为S
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