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数列、数学归纳法及数列极限的复习

一、基本概念

1数列：按一•定次序排列的一列数•按项数是否有穷可分为有穷数列和无穷数列•按相邻两项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数数列和摆动数列.

数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为正桀数集或其了集.数列｛色｝的第〃项色与n的关系式①=f（n）叫做数列｛% ｝的通项公式.

注意：不是每个数列都有通项公式！根据数列的前几项不能确定这个数列，但是可以写出它的一个或几个通项公式！

冇些数列冇单调性、周期性、最值.

2数列的递推公式：给出数列｛〜｝的初始项（第一项或前儿项），再给出相邻两项或儿项的关系，这样的关系式称为数列｛色｝的递推公式.

如：= a Q，严，$严1卫2=1等

W〃+] = d” + d [a n+｝ = qa n [a n+2 = a n+l+ a”

3等差数列

若a fl+1 - = d（d为常数），则数列｛色｝是等差数列.

公差为d的等差数列｛色｝的通项公式为化=⑷+ 5 - l）d •

（该公式口J整理为a tl =dn +（a】- d））

设血｝是等差数列，若p + q = s +1 = 2k（p,q、s、t、k都是正整数），

则仏 + a n = cip + o厂2a *.注意：a m +a n = a ltl+n一般不成立！

设仏｝是等差数列，则仏｝的前n项和S n的公式为S “ ="⑷+/）= na｛ +"（Z）d・

2 2

（该公式可整理为S” = 2/? +（% —0加）.

若等差数列仏｝的公差d>0,则仏｝是递增数列.若d =0,则仏｝是常数数列.

若dvO,则仏｝是递减数列.

若成等差数列，则A = 凹.任意两个实数都有唯一的等差中项.

2

判断&”｝是等差数列的方法：（1）利用定义-色=d（〃为常数）.

⑵根据a* -%+i =碍+i 一％・⑶根据ct n = pn + q .（4）根据S n = an2 + bn.

注意：证明数列&”｝是等差数列时通常用定义！

4等比数列

若沁 =g （q为常数），则数列血｝是等比数列.

公比为q的等比数列｛a n｝的通项公式为j= a tn q n~,n.

设｛色｝是等比数列，若p + q = s + t = 2k（p,q,s,t,k都是正整数），则=a p a q = ci；.

加i（g = l）

设仏｝是等比数列，则仏｝的前兄项和S”的公式为=\a]-a q⑷（1 —/）•

—.~~— = -------- （9 工1）

1 - q 1 - q

等比数列仏｝的公比gzO.

若a,G,b成等比数列，则G二土懈.

两个实数不一定有等比中项，若有等比中项，则有两个！

判断仏｝是等比数列的方法：⑴利用定义^ = q （q为常数）.⑵根据也也=也・

a n心+] a n

⑶根据仇=bq n• （4）根据S” = bq n- b •

注意：证明数列仏｝是等比数列时通常用定义！

5数学归纳法

对于关于正整数兀的很多命题可以用数学归纳法解决.它是用有限的步骤完成无限的递推！

第一步，证明n = n0时命题成立（这是递推的基础）.第二步，假设〃 =k｛k e N,k >®）命题成立.由此证明n = k + l时命题也成立（这是递推的依据）.根据这两步，就可以无限递推下去,因而对于任意的正整数n>n（v命题都成立.数学归纳法的第二步必须用假设的结论!

6数列的极限

儿个基本数列的极限：

①lim 丄=0（加w M ）.②当卜<1时，limx n =0.③limC = C （C 为常数）.

7?—>00 m

7?->OO

"T8

运算法则：若hma n =A.hmh n = B,则

n —>oc

xo

(1)

hm(a n ±b n ) = lima” ±lim b n = A±B. n —>00

"T8 nT8

(2) lim(d 〃 ・/\) = lim% • lim 乞=A B. 川一>00

"—>00 "Too

a

lim a n

4

(3) = = -(4) lim(C-^) = C-lim^ =CA (C 为常数).

/?—>oc 优 lim 优 B n->co n —

数列极限的四则运算法则只适用于冇限项•如果是无限项，应该先化简.

设数列｛%｝为等比数列，首项为％,公比为g ，｛%｝的前斤项和为S”.如杲0 <|g|

=lim (6Z, + a 2 + …+ a n ) = a x + +••• + % + …=

川一>00

公比为q 的无穷等比数列仏｝的各项和存在的充要条件是0 V 同V 1・

二、常用结论

1若数列仏｝、｛仇｝是等差数列,则｛“”｝、仏+%」、｛pa n + qb n ｝也是等差数列.

｛C 5｝&〉（）,C H1）是等比数列.

2若等差数列&”｝的前"项和为S”.则5,, S 次-S k , - S 次也成等差数列.

3设等差数列｛〜｝的首项为①，公差为d,其前项和为S”.

若d 〉0,则S”有最小值.若d<0,则S”有最大值.

4数列仏｝是等比数列，则｛““｝、｛d/kwNj 、｛a n a n+｝｝也是等比数列.

若数列血｝是等比数列，且a… >0,则｛log c ^｝（c>0,c^l ）是等差数列.

d]

l — q

那么lim S n n-»oo