新教材高中数学人教A版必修第一册课时作业：3.3 幂函数

第三章 3.3

A 组·素养自测

一、选择题

1．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( B ) A ．一定经过点(0,0) B ．一定经过点(1,1) C ．一定经过点(－1,1)

D ．一定经过点(1，－1)

[解析] x ＝1时，y ＝1，所过点(1,1)． 2．下列函数中，定义域为R 的是( C ) A ．y ＝x －2

B ．y ＝x 1

2

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x －

1

[解析] 对A ，由y ＝x －

2＝1x 2，知x ≠0；

对B ，由

y ＝x 12

＝x ，知x ≥0；

对D ，由y ＝x －

1＝1x

，知x ≠0.

故A ，B ，D 中函数的定义域均不为R ，从而选C ． 3．已知幂函数f (x )的图象过点(16,4)，则f (2 015)等于( B ) A ．2 0152 B ． 2 015 C ．2 0152

D ．2 0154

[解析] 由题意，设f (x )＝x m ，则由题意知16m ＝4，

所以m ＝12

，故f (x )＝x 12 ，所以f (2 015)＝2 0151

2 ＝ 2 015.故选B ． 4．设α∈⎩

⎨⎧

⎭

⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( A )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3

[解析] 定义域为R 的函数中，α可取1,3；若函数y ＝x α为奇函数，α可取－1,1,3，故α取1,3.故选A ．

5．函数y ＝x －

12

在区间[4,64]上的最大值为( A )

A ．12

B ．18

C ．2

D ．8

[解析] 因为函数y ＝x

－

12

为(0，＋∞)上的减函数，所以该函数在[4,64]上单调递减，当x

＝4时y 取得最大值，最大值为4－12＝1

2

，故选A ．

6.如图所示，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±1

2四个值，则对应

于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( B )

A ．－2，－12，1

2，2

B ．2，12，－1

2，－2

C ．－12，－2,2，12

D ．2，12，－2，－1

2

[解析] 要确定一个幂函数y ＝x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y ＝x α随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，－1

2

，－2.

二、填空题

7．(2019·济南济钢中学高一期中测试)幂函数f (x )的图象过点(3，4

27)，则f (x )＝__x 34

__.

[解析] 设f (x )＝x α， 由题意得4

27＝3α，

∴33

4

＝3α

，∴α＝3

4

，∴f (x )＝x 3

4 .

8．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知函数f (x )＝(m 2＋3m ＋1)x m

2＋m －1

是幂函数，且其图

象过原点，则m ＝__－3__.

[解析] 由题意得m 2＋3m ＋1＝1， ∴m 2＋3m ＝0，

∴m ＝0或m ＝－3.当m ＝0时，f (x )＝x －

1＝1x ，

其图象不过原点，∴m ＝－3.

9．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭

⎫4，1

16，则f (x )的值域为__(0，＋∞)__. [解析] 由题意设f (x )＝x m ，由点⎝⎛⎭⎫4，116在函数图象上得4m ＝1

16

，解得m ＝－2.

所以f (x )＝x －

2＝1x 2，故其值域为(0，＋∞)．

三、解答题

10．函数f (x )＝(m 2－m －5)x m

－1

是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，试确定m

的值．

[解析] 根据幂函数的定义，得m 2－m －5＝1， 解得m ＝3或m ＝－2.

当m ＝3时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－2时，f (x )＝x

－3

在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求，故m ＝3.

11．已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝7

2.

(1)求m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；

(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝7

2，所以m ＝1.

(2)由(1)知f (x )＝x －2

x

，

因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称 又f (－x )＝－x －

2－x

＝－(x －2

x )＝－f (x )．

所以f (x )是奇函数．

(3)f (x )在(0，＋∞)上单调递增，证明：设x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－(x 2－2

x 2

)＝(x 1

－x 2)(1＋2

x 1x 2

)，

因为x 1＞x 2＞0，所以x 1－x 2＞0,1＋2

x 1x 2＞0，

所以f (x 1)＞f (x 2)，

所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．

B 组·素养提升

一、选择题 1．下列6

个函数：y ＝x 5

3

，y ＝x 3

4

，y ＝x

－

13 ，y ＝x 2

3

，y ＝x －

2，y ＝x 2中，定义域为R 的

函数有( B )

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个