三角函数公式大全

三角函数公式
一、任意角的三角函数
在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，
正弦函数：r y =αsin 余弦函数：r x =αcos 正切函数：x y
=αtan 余切函数：y x =
αcot 正割函数：x
r
=αsec 余割函数：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”
倒数关系：1csc sin =⋅x x ，1sec cos =⋅x x ，1cot tan =⋅x x 。

商数关系：x x x cos sin tan =
，x
x
x sin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+x x ，x x 22sec tan 1=+，x x 22csc cot 1=+。

积的关系：sinx=tanx·cosx cosx=sinx·cotx tanx=sinx·secx
cotx=cosx·cscx secx=tanx·cscx cscx=secx·cotx
三、诱导公式
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin （2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα
tan （2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k ∈Z) 公式二：设α为任意角，π＋α的三角函数的值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五：απ
-2
与α的三角函数值之间的关系：
sin （απ
-2
）＝cosα cos（απ
-2
）＝sinα tan （
απ
-2
）＝cotα cot（
απ
-2
）＝tanα
公式六：απ
+2
与α的三角函数值之间的关系：
sin （απ
+2
）＝cosα cos（απ
+2
）＝－sinα tan （
απ
+2
）＝－cotα cot（
απ
+2
）＝－tanα
公式七：
απ
-23与α的三角函数值之间的关系： sin （απ-23）＝－cosα cos（απ-23）＝－sinα tan （απ-23）＝cotα cot（απ-23）＝tanα 公式八：απ
+2
3与α的三角函数值之间的关系：
sin （
απ+23）＝－cosα cos（απ+23）＝sinα tan （απ+23）＝－cotα cot（απ+2
3）＝－tanα
公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）
⑵
απ+2
、
απ-2
、
απ+23、απ
-2
3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=
+ β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-
五、二倍角公式
αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*
α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）
ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α
α
α2
tan 1tan 22tan -=。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．
来表示。

七、和差化积公式
2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-+=+
2sin
2cos
2sin sin β
αβ
αβα-+=- 2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-+=+ 2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-+-=-
八、积化和差公式
[])sin()sin(21
cos sin βαβαβα-++=⋅ [])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ [])cos()cos(21
cos cos βαβαβα-++=
⋅
[])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 九、辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a
其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，
2
2sin b a b +=
ϕ，2
2cos b a a +=
ϕ，a
b
=
ϕtan 。

十、正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB
C ∆外接圆半径） 十一、余弦定理
A bc c b a cos 2222⋅-+=
B ac c a b cos 2222⋅-+=
C ab b a c cos 2222⋅-+=
十二、三角形的面积公式
高底⨯⨯=
∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角） R
abc
S ABC 4=
∆（R 为ABC ∆外接圆半径） r c
b a S ABC ⋅++=
∆2
（r 为ABC ∆内切圆半径） ))()((c p b p a p p S ABC ---=
∆…海伦公式（其中2
c
b a p ++=
）。