第六章 电磁感应要点

第六章电磁感应

（一）要求

1、理解电磁感应现象的物理意义；掌握电磁感应的法拉第—楞次定律

2、了解感生电场的物理意义

3、熟练地掌握计算动生电动势和感生电动势的方法，并能正确判断它们的方向

4、了解自感现象和互感现象以及它们的应用，掌握自感系数L和互感系数M的物理意义和计算方法

5、了解涡流，趋肤效应以及磁场的能量

6、演示实验：

（1）磁感应现象

（2）感生电场对带电粒子的作用

（3）自感与互感

（二）要点

l、电磁感应现象

2、法拉第电磁感应定律楞次定律

（1）法拉第电磁感应定律

（2）楞次定律

3、动生电动势

（1）洛仑兹力和动生电动势

（2）动生电动势的计算

4、感生电动势

（1）感生电场和感生电动势

（2）感生电动势的计算

5、自感与互感

（1）自感现象

（2）自感系数的计算

（3）互感现象

（4）互感系数的计算

（5）线圈的连接

6、涡电流趋肤效应

（1）涡电流

（2）涡流的应用

（3）趋肤效应

（4）趋肤效应的应用

7、磁场的能量

（1）线圈中的磁场能量

（2）磁场的能量密度

（三）难点

1、感生电场的物理意义

2、感应电动势的计算

第六章电磁感应

§6-1电磁感应

电流可以产生磁场，那么磁场是否也能产生电流呢？1831年，英国科学家法拉第通过大量实验，发现在一定的条件下，磁场也可以产生电流，称为感应电流，这种现象成为电磁感应现象。

一、电磁感应现象

1、演示实验一：

磁铁插入线圈中，电流计指针偏转；若从线圈中抽出，指针偏转方向相反。说明：导体闭合回路与永磁体之间有相对运动时产生感应电流。

2、演示实验二：

用通电线圈代替磁铁插入或抽出线圈，结果同上。说明：导体闭合回路与载流线圈之间有相对运动时产生感应电流。

3、演示实验三：

通电线圈与线圈相互嵌套，相对静止。电键开关接通或断开的瞬间，电流从零急剧增大或零急剧减小为零时，电流计指针偏转。说明：与通有变化电流的线圈相互嵌套的闭合导体回路中也能产生感应电流。

4、演示实验四：

导线沿稳恒磁场中的闭合金属线框的水平方向滑动时，电流计指针偏转（电灯发亮）。说明：处于稳

恒磁场中的导体闭合回路的面积发生变化时产生感应

电流。

结论：

当穿过导体闭合回路的磁通量发生变化时（磁感

应强度或面积变化），回路中就产生感应电流。磁通量

是指??=ΦS m S d B

二、法拉第电磁感应定律

由上述几个实验可以看到，感应电流的大小与插

入或抽出线圈的速度有关，线圈进出速度的大小又反

映着穿过线圈回路磁通量变化的快慢。此外，任何线

圈回路中都有电阻，感应电流的大小与回路中的电阻

有关系。由于感应电流的大小与以上两个因素有关，

所以用感应电流的大小来定量描述和比较电磁感应现

象是不够确切的。

闭合回路中电流产生，就说明回路中有电动势，

而电动势的大小与外电路是否接通及外电路的电阻无

关。因此，在电磁感应现象中，感应电动势比感应电

流更能反映电磁感应现象的本质。所以，电磁感应现

象可以这样理解：当穿过导体回路的磁通量发生变化

时，回路中就产生感应电动势。

实验表明，穿过闭合回路的磁通量变化越快，感

应电动势就越大。法拉第通过实验总结出感应电动势

与磁通量变化之间的关系，称为法拉第电磁感应定律：导体回路中感应电动势的大小与穿过回路磁通量的变

化率成正比

dt d k Φ

=ε

式中是比例系数。在国际单位制中，1=k ，则有

dt d Φ=ε

讨论：

⑴ 若闭合回路的电阻为R ，感应电流为

dt d R Φ=1ε

⑵ 若闭合回路由N 匝线圈串联组成，则线圈中

总的电动势等于各匝所产生的电动势之和，即

()dt N d dt d N Φ=Φ=ε

令Φ=ψN ，是穿过各匝线圈的磁通量之和，称为线圈

的磁链。于是

dt d ψ=ε

§6-2 楞次定律

一、楞次定律

俄国物理学家楞次在分析大量电磁感应现象的实验之后，于1834年总结出感应电流的方向遵从如下的规律：闭合回路中感应电流的磁通量，总是力图阻碍引起感应电流的磁通量的变化。这是楞次定律的第一种表述。

所谓阻碍磁通的变化是指：当磁通量Φ，沿某一方向增加时，感应电流的磁通量Φ'与原来的磁通量Φ方向相反（阻碍它的增加）；当磁通量Φ沿某一方向减少时，感应电流的磁通量Φ'与原来的磁通量Φ方向相同（阻碍它的减少）。

楞次定律符合能量转化与守恒定律。在磁棒插入或抽出的过程中，闭合线圈里会产生感应电流。因为电路中有电阻，所以通过电磁感应获得的电能要转化热量散发掉。这种能量从哪里来？从楞次定律可以知道，在磁棒运动的过程中，外力要克服磁棒之间的引力（或斥力）作功，正是外力所作的机械功通过电磁感应转化为电能。

二、考虑楞次定律后电磁感应定律的表达式

感应电动势的大小可由法拉第电磁感应定律求出，感应电动势的方向则由楞次定律确定，为了在运算中同时考虑感应电动势的大小和方向，有必要将两

个定律统一用一个数学公式表示起来。

任意选定一个回路的绕行方向为感应电动势的正

方向，记作正ε。与正ε一致的电动势取正值，反之取

负。回路的绕行方向n 与回路的法线方向成右手螺旋

关系，并以n 的方向作为Φ的正方向。当磁感应线的

指向与n 成锐角时， 0>Φ；成钝角时，0<Φ。

这样，法拉第电磁感应定律写为

dt d Φ-=ε

或 ()dt N d dt d N Φ-

=Φ-=ε

下面验证由上式得出的电动势方向与用楞次定律

得出的一致。

1、当B 的方向与n 的方向

的夹角小于?90时， 0>Φ， 且磁铁进入线圈内，0>Φdt d

0<Φ-=dt

d ε 说明i ε的方向与所设的正

ε的方向相反。

2．当B 的方向与n 的方向的

夹角小于?90时， 0>Φ，且磁铁抽出线圈，0 dt d Φ 0>Φ-=dt d ε

说明i ε的方向与所设的正ε的

方向相同。

3、当B 的方向与n 的方向

的夹角大于?90时， 0 Φ， 且磁铁进入线圈内，0 dt d Φ

0>Φ-=dt

d ε，说明i ε的方向与所设的正ε的方向相同。

4．当B 的方向与n 的方向

的夹角大于?90时，0 Φ， 且磁铁抽出线圈，0>Φdt d

0<Φ-=dt

d ε 说明i ε的方向与所设的

正ε的方向相反。

§6-3 动生电动势

一、动生电动势与洛仑兹力

1：定义 根据磁通量变化原因的不同，我们可把感应电动势分为动生电动势和感生电动势两种。当整个导体闭合回路或其中一部分在稳恒磁场中运动

时，在导体中产生的感应电动势称为动生电动势。 2：动生电动势的产生 动生电动势的产生是运动电荷在磁场中受到

洛仑兹力作用的结果。当B 与v 垂直时，金属

导体内的自由电子在

向右运动的过程中受

到磁场的洛仑兹力大

小为

evB F = 作用在单位正电荷上的洛仑兹力大小vB e F =，就是非静电场强，因此，动生电动势的大小为

vBL vBdl l d E P Q P

Q K ==?=?? ε

由于vL 是导体在单位时间内扫过的面积，所以上式可变为

dt

d Φ=ε，这与法拉弟定律一致。再由洛仑兹力方向判断出电动势方向与楞次定律一致。

对于一般情况，动生电动势用下式计算

()l d B v ??=?动ε

二、动生电动势的计算

两种方法：

（1）用公式()l d B v ??=?动ε

（2）用法拉弟定律计算，即 dt d Φ-=ε。此时如果是

不闭合导体在恒定磁场中运动，则要假想一条导线与

之组成闭合曲线。

例1：在与均匀恒定磁场

B 垂直的平面上有一长为L 的

直导线OP ，设导线绕O 点以

匀角速度ω转动，转轴与B

平行，求OP 的动生电动势及P 、O 间的电压. 解：第一种方法??=??=P O

P O OP vBdl l d B v )(ε 202

1BL dl B Bldl P O l ωωω===??

0>OP ε说明动生电动势由O 指向P ，P 相当电源正极，

O 为负极。P 、O 之间的电压为221BL U OP

PO ωε== OP 在dt 时间内转过了θd θ 则它扫过的面积为θd L 221， O P

由法拉弟定律得

222

121BL dt d BL dt d OP ωε=Φ=Φ= 动生电动势方向可由楞次定律判断，也可以由高中学

过的右手定则判断。

例2 一菱形线圈在均匀恒定磁场B 中以匀角速

绕其对角线转动，转轴与B 垂直，当线圈平面转到B

平行时，问：（1）P 、M 两点中哪点电势高？

（2）设Q 为PM 的中点，Q 、M 两点中哪点电势高？ 解：（1）从菱形中点O 到M 点为

B X 轴，O 为原点，M x OM = ()?

?=??=M P M P PM dl vB l d B v αεsin 22)tan 2

1(tan M M M P Kx x B xdx B ===?αωαω M 菱形的总电动势为PM εε4=，总电

阻为PM R R 4=，故感应电流为

PM

PM R R I εε==，

对PM 段使用一段含源电路的欧姆定律：

0=-=PM PM MP IR U ε

即P 、M 两点电势相等。（请思考：两点电势相等，

为什么却有电流从P 流向M ？）

（2）、对QM 段使用一段含源电路的欧姆定律： Q M Q M MQ IR U -=ε 将22

41M Q

PQ Kx Kx ==ε和PM M M M QM Kx Kx Kx εε434341222==-= 以及PM QM R R 2

1=代入上面的欧姆定律中，得到： 04

12>=M MQ Kx U 说明Q 点电势低于M 点。（请思考，为什么电流却

从Q 流向M 点？）（电动势，非静电力）

三、交流发电机

交流发电机是动生电动势实际应用的典型例子。

一个N 匝的矩形线圈绕O O '轴以角速度ω在均匀磁场

中转动，线圈面积为S 。设时t=0，磁感应强度B 与O O '

轴垂直，且线圈平面的法线方向n 与B 方向一致，

0=θ。当n 与B 的夹角为θ时，对于每匝线圈，通过线

圈平面的磁通量为

θcos BS =Φ

当线圈绕O O '轴转动时，夹角θ随时间改变，因而

Φ也随时间改变，N 匝线圈中产生的感应电动势为

dt d NBS dt d N

θθεsin =Φ-= 其中dt d θ是线圈转动的角速度ω，它是一个恒量。而，

0,0==θt 所以在任意时刻t ，有t ωθ=，线圈转动时

产生的感应电动势为

t NBS ωωεsin =

§6-4 感生电动势和感生电场

一、感生电动势和感生电场

当一个相对静止的导体闭合回路处于随时间变化

的磁场中时，穿过导体闭合回路的磁通量也会发生变

化，导体中产生感应电动势，称为感生电动势。如果

电路接通，则有电流。

出现感生电动势的原因是什么？这里的非静电力

是什么？电子受到什么力作用因而形成电流？

麦克斯韦通过分析后假设：时变磁场在其周围空

间会激发一种电场，这种电场称为感生电场或涡旋电

场。这种电场不管空间有无导体或导体回路，不管是

介质还是真空它都存在。这种感生电场对导体中电荷

的作用力就是构成感应电动势的非静电力。麦克斯韦

的这一假设已被许多实验所证实。

电场从起源上分为两种：一种是由电荷激发的静

电场（库仑电场）；另一种是由变化磁场激发的感生电场。一般空间这两种电场同时存在，感静E E E +=。 这两种电场都对电荷有作用力。但感生电场的电场力

不同于库仑电场的电场力，它是一种非静电力，是形

成感生电动势的起因和本质。

二、既有电场又有磁场时的洛仑兹力公式 ()

B v E q F ?+= 在现代文献中这叫做洛仑兹力公式，而原来的B

v q ?只是这个洛仑兹力的磁力部分。

三、感生电场感E 的性质 掌握一个矢量场的性质，必须掌握：

○

1它对任一闭曲面的通量 ○

2它沿任一曲线的环流。 为进行比较，先讨论库仑电场的性质。

高斯定理 ??=?0

ε内库q S d E 对任意闭曲面成立 环路定理 0=??l d E

库 对任意闭曲线成立

上式说明库仑电场是势场。

再讨论感生电场感E

根据定义，感生电动势等于感生电场感E 沿某一闭合曲线L 的线积分，即

??=L l d E

感感ε

根据法拉第电磁感应定律，有

dt d l d E L Φ-=?=? 感感ε

其中Φ是穿过闭合曲线L 所包围曲面S 上的磁通量，

即

???=ΦS S d B

则

????-=?L S

S d B dt d l d E 感 由于静止不动，故上式右边对曲面的积分和对时间的

积分次序可以互换，因而有

S d t B l d E L S ???-=????感

从环流的表达式知道感E 不是势场，而是涡旋场，或者

说感生电场是非保守力场，。

感生电场感E 沿l d 的积分方向就是感生电动势的

正方向，它与回路法线矢量n 构成右手螺旋关系。

再讨论通量， ??=?？S d E 感。由??=?0

ε内库q S d E 知库仑电场是有源场，库仑电场线起于正电荷，止于

负电荷，对于感生电场，麦克斯韦大胆假设，其对任意闭曲面的通量为零，??=?0S d E 感，感E 线是没有起

点和终点的，感E 是无源场。由此假设得到各种结论与

实验事实一致，被人们接受。

一般情况下，空间可能既存在电荷，又存在变化

的磁场，因而它们激发的两种电场也就可能同时存在。这时空间总的电场就是这两种电场的叠加，即

对于总电场，有 ??=?0ε内q S d E

S d t B l d E L S ???-=????

这是电磁学的基本方程之一。

4、螺线管磁场变化引起的感生电场

例1 通有时变电流的无限长螺线管内的磁场B 随时间而变。已知dt dB 的数值，求它在管内外激发的

感生电场感E （默认在趋于无限远时趋于零）。

解：下面本题把感E 记作E ，以圆

心为原点建立柱坐标系，

（?z 、、r ），z 轴与B 同向， ?E E E E z r ++=，作圆柱形闭合面，两底面的E 通量之和为零，

r E 对侧面的通量有贡献，????==?=?侧02rh E S d E S d E r π ，故有r E 为零。 再作无限长矩形闭合线求其环路积分，?E 对环路

积分无贡献，两段无限长水平直线上任一l d 都有

0=?l d E z ，在趋于无限远时，z E 趋于零，于是 ?'=?L z h E l d E ，又由于S d t B l d E L S ???-=????感，且0=???S d S B

对比得到0=z E ，于是

任一点都只有切向分量?E ，E 线是与O 同心的圆，写

为??e E E =， 下面求环路积分，??πrE dl E l d E L L 2==???

。再求出

2r dt dB dS dt dB S d dt B d S S π==????? ，两式都代入下式中

S d t B l d E L S ???-=????感，

得到dt dB r E E 2-==??感，（R r <）

对于管外则有 2R dt dB S d dt B d S π=???

得到 dt

dB r R E E 22-==??感， )(R r > 螺线管内外的磁场的变化曲线如下图。

六、电子感应加速器

利用感生电场加速电子的装置叫做电子感应加速

器。N 和S 是横截面为圆形的电磁铁的两极。两极中

间装有环形真空室，电磁铁在强大正弦交流电激励下，

在环形真空室内产生交变磁场，从而在室内形成很强

的感生磁场，由电子枪注入环形真空室内的电子，既

在磁场中受洛伦兹力的作用而作圆周运动，又在感生

电场作用下不断沿切向获得加速。由于磁场和感生电

场都是交变的，所以在交变电流的一个周期内，只有

当感生电场的方向与电子绕行的方向相反时，电子才

能得到加速，因而只有在第一个四分之一周期中能使电子作加速运动，所以要求在电场尚未改变方向前就将已加速的电子束从加速器中引出。由于用电子枪注入真空室的电子束

已经具有一定的速

度，在电场方向改

变前的短短时间

内，电子束已经在

环内绕行几十万

圈，并且一直受到

电场加速，所以，可以获得能量相当高的电子。例如一个100 MeV的电子感应加速器，能使电子速度加速到0.999986c 。这里，c是光在真空中的速度。电子感应加速器中感生电场对电子的加速作用，表明麦克斯韦提出的感生电场是实实在在的客观存在。

§6-5 自感

1、自感现象：自身电流变化因而在线圈自身中产生感应电动势的现象称为自感现象，所产生的感应电动势成为自感电动势。（见演示）

如图，接通电路时，灯泡A 立刻亮起来，灯泡B 却是逐渐亮起来的。原因是接通电路的瞬间，电路中的电流增大，穿过线圈L 的磁通量也随着增加，线圈L 中产生的感应电动势阻碍线圈L 中电流的增加，所以灯泡B 中的电流只能逐渐增加，灯泡B 只能逐渐亮起来。

2、 自感系数及自感电动势

根据毕—萨定律，一个任意给定的线圈中的电流产生的磁感应强度与电流强度的大小成正比，因此通过线圈的磁链ψ 也与线圈中的电流强度I 的大小成正比，即I ∝ψ。写成等式，得

LI =ψ

式中L 称为自感系数，它与线圈的形状、大小、匝数及周围介质的情况有关。单位：亨利（H ）。

根据法拉第电磁感应定律，自感电动势为 dt dI L dt d L -=ψ-=ε