空间几何量的计算 空间几何量计算综合问题

【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的

腰，以下四个命题中，假命题是（ ）

A ．等腰四棱锥的腰与底面所成角都相等

B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

O

H P

D

C

B

A

【例2】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且

总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）

A ．线段1

B

C B ．线段1BC

C ．1BB 中点与1CC 中点连成的线段

D ．BC 中点与11B C 中点连成的线段

典例分析

板块七.空间几何量计算综合

问题

1

A

【例3】（2010重庆高考）

到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线

的平面内的轨迹是（）

A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线

【例4】（2010福建高考）

如图，若Ω是长方体

1111

ABCD A B C D

-被平面EFGH截去几何体

11

EFGHB C后得到

的几何体，其中E为线段

11

A B上异于

1

B的点，F为线段

1

BB上异于

1

B的点，且11

EH A D

∥，则下列结论中不正确的是（）

A．EH FG

∥B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱D．Ω是棱台

A B

C

D

E

F

G

H

D1

C1

B1

A1

【例5】（2010江西高考）

过正方形

1111

ABCD A B C D

-的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，

1

AA所成的角都相等，这样的直线l可以作

A．1条B．2条C．3条D．4条

D 1

C 1B 1

A 1

D

C

B

A

【例6】 （2010全国卷Ⅱ高考）

11．与正方体1111ABCD A B C D =的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点

A ．有且只有1个

B ．有且只有2个

C ．有且只有3个

D ．有无数个

【例7】 （2009海南）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个

动点，

E F

，且EF = ） A ．AC BE ⊥ B ．∥EF 平面ABCD

C ．三棱锥A BEF -的体积为定值

D ．异面直线，

AE BF 所成的角为定值 F E

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例8】 （2008辽宁）

在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，

分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有无数条

1

A

【例9】（2009安徽文15）对于四面体ABCD，下列命题正确的是．（写出所有正确命题的编号）．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD

∆的三条高线的交点；

③若分别作ABC

∆和ABD

∆的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

【例10】（2010年一模·西城·文·题17）

如图，在三棱锥P ABC

-中，PA⊥平面ABC，AC BC

⊥，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．

⑴证明：AD⊥平面PBC；

⑵求三棱锥D ABC

-的体积；

⑶在ACB

∠的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

【例11】（2010年二模·宣武·文·题16）

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，

⑴求这个组合体的体积；

⑵ 若组合体的底部几何体记为1111ABCD A B C D -，其中11A B BA 为正方形． ⅰ）求证：1A B ⊥平面11AB C D ；

ⅱ）求证：P 为棱11A B 上一点，求1AP PC +的最小值．

俯视图

左视图

主视图

10

812

4

8

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例12】 （2010年二模·宣武·理·题16）

已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据， ⑴求这个组合体的表面积；

⑵若组合体的底部几何体记为1111ABCD A B C D -，其中11A B BA 为正方形． ⅰ）求证：111A B AB C D ⊥平面；

ⅱ）设点P 为棱11A D 上一点，求直线AP 与平面11AB C D 所成角的正弦值的取值范围．

10

12

4

8

8

左视图

俯视图

主视图