第2章13节概率论

则称 X 服从超几何分布, 记为X H (n, M , N )，
其中n, M , N是分布的参数.
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例4 已知20个产品中有5个一等品，若从中随机抽取8个，求：
(1)其中一等品数X的概率分布；
(2)其中一等品数X 不多于3个的概率； 解（1）X的所有可能取值为：0,1, 2,3, 4,5 由题意知这是
解:记 X 为某包螺丝中废品的个数,则 X B( 10, 0.01 ) 这包螺丝被退回的概率为
P( X 1) 1 P( X 0) P( X 1)
1 C100 0.010 0.9910 C110 0.01 0.999
0.07
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例6 从甲地飞往乙地，有两种飞机可供选择：一种是两个发动机,
解： {ij i 1, 2, 4 ; j 1, 2, 4 }
X 1, 2, 4, 8, 16
(3d )2 ( 2d )2
p1
2 (3d )2
2
5 d 2 / 4 5 9 d 2 / 4 9 ;
3
p2

; 9
1 p4 9 ;
2
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P( X P( X
解：由离散型随机变量分布列的性质有


pi 1 由等比数列公式得 pi
i1
解得p
1
i1
p 1 p
1
2
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[例2] 假定在排队等候胸透的6个病员中有2个肺结核患 者,求在发现第一个结核病患者前己胸透的病员人
数的概率分布. 解 : 用X 表示在发现第一个结核病患者前己胸透的病员
泊松分布是由S.D.Poisson在诉讼,刑事审讯等方面 应用的书中引进的,在生物,医学,工业及公用事业 中有着广泛的应用.
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泊松分布 P() 可以看成是二项分布 B(n, p) 当 np
(n ) 时的极限ຫໍສະໝຸດ Baidu布.因此在二项 (以后我们会知道, 参数 的意义是 平均值.)
1，2，3，4，5，6
从概率的定义和前面的实例来看，计算概率时我们关心的
不是基本结果的描述，而更多的是一种数量关系.
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另外，有时我们总是将随机试验的基本结果与另外的数量 关系结合起来，比如
赢1000元钱； +1000
输1000元钱； 1000

1000 800 200 2000
希腊字母，， 来表示.
随机变量是定义在样本空间上的实值函数；

X ()

R
随机变量的取值用小写字母x表示.
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随机变量的特征： （1）随机变量的取值是随机的，事前并不知道取什么值；
（2）所取的每一个值都对应于一个随机事件；
（3）随机变量所取的每个值的概率大小是确定的；
令X 表示丢硬币赌博的赢钱数，则
1 0.0542 0.0036 0.9422
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设一批产品共N件，其中有M 件次品，从这批产品 中放回地取n件样品，则样品中的次品数为 0，1，2，3 n.
次品数为x的概率为
P( A1)
Cnx M x (N M )nx Nn
CnxM x (N M )nx N x N nx
基本内容：
一、随机变量的概念 二、离散随机变量(超几何分布、二项分布 泊松分布） 三、连续随机变量(均匀分布、指数分布,正态分布) 四、随机变量的分布函数
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在前一章，我们学习了随机试验和随机事件概率的计算， 随机现象大量存在，基本结果的描述也千变万化，例如
正面，反面 男孩，女孩 红球，白球，黑球
第
样本点

一 章
随 机 事
几个基本概念

样本空间


随机事件
统计定义
概率的三种定义
公理化定义

件

古典定义
及 其 概 率
概率的计算

条件概率 概率乘法公式

全概率公式和贝叶斯公式

独立性
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第二章
随机变量及其分布
人数, 则X 是离散型随机变量, 取值为 0, 1, 2, 3, 4.
P( X 0) 2 1 , 63
P( X 1) 4 2 4 6 5 15
P( X
432 2)

3
,
6 5 4 15
P( X 3) 4 3 2 2 2 6 5 4 3 15
如随机变量 X 取值为 0,1, 2, , n, 概率分布为
Pn (x) Cnx p qx nx , q 1 p,
(k 0, 1, 2, , n)
则称 X 服从二项分布(参数为 n, p), 简记为
X B(n, p)
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[例5]已知某公司生产的螺丝的废品率是0.01,这家公司 将每10个螺丝包成一包出售,并保证若发现某包中 多于一个废品则可退款.问被售出的各包螺丝中, 被退回公司的占多大比例?
分布中, 当 n 很大, p 很小即 np比较适中时, 可用泊 松分布做二项分布的近似计算. 1. 发生在某固定时间间隔内地震的次数. 2. 每天进入某学校的人数. 3. 某公路段上一天中出事故的次数.
4. 某放射性物质在一秒时间内放出的粒子数.
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[例7] 某公路段上平均每天出三次事故.如果某天上午该 公路段上已发生二次事故, 求这天该公路段上至少 还出一次事故的概率 ?
实际上，给随机试验的每个基本结果赋予一个数值，这样
将样本空间与实数值之间建立一种对应关系，是我们用数 学理论和方法深入和系统研究随机试验规律的基础.
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2.1随机变量的概念
定义 设随机试验E的样本空间为 ，
若对于每一个样本点 ，变量X 都有确
定的实数值与之对应，则X 是定义在上的 实值函数，即X X（），称这样的变量X 为 随机变量，通常用英文字母X ,Y, Z 或
解 :以 X 表示该公路段在这一天出事故的次数,则
X P(3) 所求概率为 P(X 3/ X 2)
P( X 3)P( X 2 / X 3) P( X 3)
P( X 2)
P( X 2)
1 P( X 0) P( X 1) P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)

1) 2)

P(11 ) P(12 )
p1 p1
P(21)
5 9
2
5
9 p1
p2
25
81 2
5 9

3 9

30 81
;
P( X 4) P(14 ) P(41) P(22 )
P( X P( X

2 p1 p4

p22

19 ; 81

Cnx
(M N
)x (1
M N
)nx
p M
N
Cnx
(
p)x
(1
p)nx
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二项分布
1 二点分布或0-1分布
如果随机变量 X 仅取两个值(标准为 0,1),概率分
布为 P(X 1) p (0 p 1); P(X 0) q 1 p
则称 X 服从二点分布(以p为参数). 2 二项分布(Binomial distribution)
4
P4 ( X 2) C4k (1 p)k p4k 1 4 p3 3 p4
k 2
接下来进行比较：若
P2 ( X 1) P4 ( X 2)
p 1; 3
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所以当p<1/3时, 我们应选择有四个发动机的飞机. 当p>1/3时, 我们应选择有两个发动机的飞机.
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可以证明：当N充分大时，超几何分布H (n, M , N)的 概率函数近似等于二项分布B(n, p)的概率函数，即
C C x nx M NM CNn

Cnx
pxqnx , 其中p

M N
,q

N
M N
.
当一批产品的总量N很大时，而抽取的样品数量n
远较N为小时( n 10%)时，则不放回抽样 N
(k 1, 2, 3, )
表示随机变量 X 的取值及其相应的概率,称为分布律.
离散型随机变量的概率分布具有如下性质
1 pk 0 (k 1, 2, )
2 pk 1
k
例1 设离散型随机变量X的分布律为 P(X i) pi (i 1, 2, , n, 其) 中0 p 1,求p的值.
1000， 正面；
X


1000，

反面；
P( X
1000)
P( 正面)
1 ；P( X 2
1000)

1； 2
令X 表示掷骰子出现点数的平方，则
X（i） i2，则P(X 25)
P(i 5) 1 . 6
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随机变量

离散型：取值为有限个或可列无穷个
8) P(42 ) P(24 ) 2 p4
16)

P(44 )

p4
p4

1; 81
p2

6; 81
X 1 2 4 8 16
P 25 30 19 6 1
81 81 81 81 81
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2.3超几何分布 二项分布 柏松分布
设一批产品共N件，其中M 件次品，从这批产品中“一次性
P( X
43 21 2 4)

1
6 5 4 3 2 15
X0 1 2 3 4
P1
4
3
2
1
3 15 15 15 15
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例3 某人参加射击游戏， 射击的靶如图所示，
设每次射击不会发生脱靶，
1 2 4 d 2d 3d
并且击中1环，2环，4环的概率
分别与各环的面积成正比，求此人两次独立射击 所得环数的乘积的概率分布。
（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样
（样品中的次品数服从二项分布）没有多大差异.
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3 泊松分布(Poisson ' s distribution) 如果随机变量 X 取值为 0,1, 2, , 概率分布为
P
(x)

x
x!

e
(x 0, 1, 2,
)
则称 X 服从泊松分布( 为参数), 记为 X P()
抽取n件样品”或“不放回的抽取n件样品”，则样品中的
次品数为 0，1，2， n.
其中次品数有x个的概率为 P(A2 ) P(A3) 1 超几何分布
C C x nx M NM CNn
如果随机变量 X 的 概率函数为
p(x)

C C x nx M NM CNn
,x

0,1, 2,......min(n, M );
P( X

4)

C54C145 C280

0.0542;
P( X
5)

C55C135 C280
0.0036;
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X0 1 2 3 4 5 P 0.0511 0.2554 0.3973 0.2384 0.0542 0.0036
(2)P(X 3) 1 P(X 4) P(X 5)
1 e3 3e3 9 e3

2 1 e3 3e3
0.720
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[例8] 某市居民向保险公司投保了1000辆自行车, 每辆保 险费 2元,如发生被盗或其他非主观原因造成的损 失, 保险公司将对每辆车赔偿200元. 根据条件分析, 损失索赔的概率是0.003, 求保险公司亏本和赚1000
连续型：取值为某个实数区间
2.2 离散型随机变量
(1) 概率分布 为了完整地描述离散型随机变量,不仅要知道它取哪
些值, 而且还要知道它以多大的概率取这些值, 即知道 它的概率分布.
X
x1 x2
xk
P
p1 p2
pk
称为随机变量 X 的概率分布表.
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也可以用以下等式
P( X xk ) pk
超几何分布的模型，其中N 20, M 5, n 8;
P( X
0)
C50C185 C280
0.0511;
P( X
1)

C51C175 C280

0.2554;
P( X

2)

C52C165 C280
0.3973;
P( X
3)

C53C155 C280

0.2384;
一种是4个发动机。设每个发动机出故障的概率都等于p, 且各个发动机是否出故障是相互独立的，无论哪种飞机 都必须至少有半数或半数以上的发动机在正常工作才能 保证飞机从甲地安全到达乙地。为了您的安全，您将选 择哪一种飞机？ 解:设X 表示正常工作的发动机数，则对二发动机的飞机：
P2 ( X 1) 1 P2 (0) 1 C20 (1 p)0 p2 1 p2