2010数学建模A题答案论文 储油罐的变位识别与罐容表标定

储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度时的贮油量进行精确的 计量变得尤为重要，本文讨论了，加油站卧式储油罐的变位识别与罐容表标定问题。其 主要方法是参考卧式储油罐罐内油品体积标定测量技术，结合几何关系及积分计算，建 立储油罐内储油量，油位高度及变位参数（纵向倾斜角 与横向倾斜角 ）之间的关系 模型。然后分析模型，在油位高度一定时，由储油量确定变位参数 与 的值，即为对 储油罐进行变位识别；在变位参数 与 一定时，根据油位高度可确定储油量，即为对 罐容表（罐内油位高度与储油量之间对应的函数关系表达式）进行标定。
地平线
油位探针
油位探测装置
注检 油查 口口
出油管
油浮子
3m
油位
油
高度
1m 2m
6m
1m
图 1 储油罐正面示意图
-2-
地平线 油位探测装置
油位探针
油浮子
注检 油查 口口
出油管
油
α
图 2 储油罐纵向倾斜变位后示意图
水平线
地平线
油位探针
油位探测装置
地平线 油位探针
油 油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图
-6-
S ' a2 / 2 (a h' )a sin( / 2)
公式（2）
从而求得所求截面面积： S ( a2 / 2 (a h')a sin( / 2)) cos
公式（3）
将式（3）带入式（1）求得： V ( a2 / 2 (a h' )a sin( / 2))l cos
首先，结合上述因素及汽油热膨胀系数，建立模型并对模型进行修正，修正热膨胀 所带来的计算误差。代入附表实际测量数据验证模型。
然后，根据模型对储油罐进行变位识别即为对地下储油罐的横向或是纵向变位进行 识别认证。可利用模型，得出横向变位 ，纵向变位 。
最后，根据模型所算数据重新标定罐容值，构建新的罐容表（罐内油位高度与储油 量之间对应的函数关系表达式）。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图 4 的小椭圆型储油罐（两端平 头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10 的纵向变位两种情况做了实验， 实验数据如附件 1 所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体 变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 （2）对于图 1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐 内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度 ）之间的一般关 系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据你们所建立的 数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。进 一步利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件 1：小椭圆储油罐的实验数据 附件 2：实际储油罐的检测数据
针对问题一，关键在于寻找储油量与油位高度之间的一般关系。根据实验要求，在 小椭圆型储油罐罐体无变位时，通过圆在以一定角度下射影可转化成椭圆的原理。可得 出储油量与油位高度之间的函数关系式，易知，此关系式即为预先标定的罐容表标定表 达式。在小椭圆罐发生纵向倾斜角为 4.10 时，根据储油罐几何形状，结合汽油热膨胀， 采用双重积分，确定储油量与油位高度函数表达式，继而求出变位后的罐容表标定表达 式；并对变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。然后，根据油面高度用 matlab 编程实现实验测量数据与理论计算数值的对比，进行误差分析。
（b）横向偏转倾斜后正截面
图 3 储油罐截面示意图
油 注油口
位 出油
探
1.2m
油浮子
1.2m
油
α
0.4m
2.05m
(a) 小椭圆油罐正面示意图
水平线
1.78m
(b) 小椭圆油罐截面示意图
图 4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
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二、问题分析
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，通过对加油站地下储油罐的实地考察以及对地下储油罐相关资料的搜索 整理，对埋卧式储油罐的构造和工作情况有了较全面的了解。就一般地埋卧式储油罐而 言，出油管由于有阀门和电机的压力造成一定的气阻，基本都是单向流动，故一直为油 满状态。配带油浮子的管子与注油管均为空心，故进油与油罐液面相一致。对于体积不 大的储油罐，进油管、出油管的半径一般为 3-8cm，油浮子的半径为 0.5-1.5cm，但边 缘厚度均薄，因此，本模型建立中，不予以考虑其体积对储油量的影响。由于汽油存在 热膨胀的情况，所以，温度对罐内油的体积有较大的影响。
公式（4）
对问题 A 附件 1 数据进行处理，将出油数据表倒序排列，转化成注入油的数据表， 并求得无变位时的高度与油罐内油的体积的对应关系得到附表 1，将附表 1 中的高度代 入公式（4）计算得到油罐中油的体积，算出每次实际加入油量与每次计算加入油量。 发现计算值每次比实际值大，并求得其差值和差值与实际值的比例，将差值和差值与实 际值的比例列入到附表 1 中。
五、模型的建立
问题一 （1）当小椭圆型储油罐无变位时，油罐中液面高度与体积的关系求解：
先求液面截面积与液面高度的关系。由于截面是椭圆的一部分，在计算液面截面面 积时，可采用积分法，建立坐标系，对椭圆上被油侵过的椭圆部分积分，再与圆柱体的 母线相乘（椭圆柱立体示意图，如图 5 所示。）既可得到油的体积。但积分过程比较繁 琐。在这里，我们采用比较简单投影法来求椭圆上截面的面积，其方法是利用圆的投影 为椭圆，将一个半径为 a 圆以一定角度 放置在水平面上，光线由上向下投下垂直投下， 在水平面上将得到一个长轴长为 2a 短轴长为 2a cos 的椭圆，如下图 6 所示。
-4-
6、假设卧式储油罐的钢板壁较薄，壁厚对储油罐体积影响极小，可以忽略不计。
四、符号说明
S 油罐垂直截面中油所占的截面面积 V 油罐中油的体积 h 截面中液面到底部的距离 l 油罐垂直截面到右端罐底的截面积 纵向偏离角度 横向偏离角度 R 圆柱体的半径 a 椭圆长轴长 b 椭圆短轴长 K 油的膨胀系数 hc 由探针测量出的高度 L 柱体长度
图 6 中 c 图是沿光线方向看去，圆所形成的投影。再在椭圆上的截面积则可在圆上 找到其形成投影的部分，在圆上计算出这部分面积 So ，再乘以 cos ， So cos 即为所求 的椭圆截面积。如图 7 所示。
-5-
z
2
1.5
1
0.5
0
1
3
02Leabharlann -101y
x
图 5 椭圆柱立体示意图
图 6 圆成 角投影成椭圆过程图
关键词
拟合对比 变位参数 热膨胀系数 投影法 重积分 蒙特卡洛算法 搜 索
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一、问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计 量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先 标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位 高度和储油量的变化情况。
三、模型假设
1、假设石油在储油罐里挥发程度极小，可忽略不计； 2、油位高度是指油面到底的距离并不考虑油浮子厚度，油浮子直径贴紧油面； 3、假设进油管，出油管的体积对储油罐内油的体积的影响均不予以考虑。 4、假设收集数据当天温度及地埋储油罐温度稳定，且保持不变。 5、假设石油在收集数据当天温度下的热膨胀系数为 0.035。
因此需要对公式（4）进行修改，加入油的体膨胀系数 K [1]（其值求解见附表 1 数 据）后得：
( a2 / 2 (a h' )a sin( / 2))l cos V
1 K
公式（7）
（2）当小椭圆型储油罐纵向变位（ =4.10 ）时，油罐中液面高度与体积的关系：
液面高度 h 反投影到圆上的长度为 h' h / cos ，油截面高度 h hc (dc l) tan ， 圆上截面面积所占的扇形角度为 ， / 2 arccos((a h') / a) ，类似于公式（2）、（3）求
针对问题一: 首先，在罐体无变位情形下从椭圆罐几何关系入手，建立储油量与油位高度之间的 关系。避过过程较繁琐的积分求法，采用比较简单的投影原理来求椭圆上石油截面的面 积，利用柱体体积公式即可求得储油量与油位高度关系。然后，用 matlab 编程实现实 验测量数据与理论计算数值的拟合对比，结合汽油热膨胀系数，对模型进行修正，修正 热膨胀所带来的计算误差，代入附表实际测量数据验证模型并重新拟合对比，进行误差 分析。误差为 0.0655% ，所以模型正确，具有高精度等特点。在罐体发生纵向倾斜角 4.10 的位变时，根据储油罐几何形状，采用双重积分，结合几何关系及积分计算，确定储油 量与油位高度函数表达式，同样，通过拟合对比，进行误差分析。并得到误差大约为 0.88% ，其误差也在允许的范围内。最后，设定初始测得油面高度，给出罐体变位后油 位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。 针对问题二: 此问关键在于寻找储油量与油位高度及变位参数之间的关系。当储油罐分别发生横 向或纵向变化时，罐内所储油品容积可分解为装载石油的圆柱体罐身和球冠体封头两部 分的体积之和。利用问题一同样的方法可以求得圆柱体内油量；再利用几何关系和积分 计算可求得罐球冠体内油的体积。因此，可得出储油量与油位高度及变位参数之间的关 系即罐体发生变位后罐容表标定模型。在利用数据求解 、 时，我们利用 matlab 采 用蒙特卡罗法，搜索附件 2 提供的任意数据组合进行求解和检验。并找到最适合的 、 数值（本模型求解为： = 3.610 、 = 2.410 ），最后，根据模型所算数据重新标定罐容 值，构建新的罐容表。
由附表 1 我们可知道偏差是由油罐内存在一些其他部件如出油管、油位探测装置等， 以及油罐内外温度差异引起。我们知道储油罐中的管子其厚度一般较小，油位探测装置 也是空心的，其厚度也比较薄。因此影响偏差的主要因素是温差的原因，储油罐内的温 度一般比外界高，且基本保持不变。注入的油到储油罐里后，会由于温度的升高而膨胀， 体积变大，而输出的油由于温度降低，而使体积减小，即在油罐中每次抽出的油应比测 量值大。由附表 1 我们也可看出，若每次注入油罐内的油量不变，其偏差基本保持不变， 且差值与实际值的比例基本保持不变，即相当于在温差相同的情况下，油的膨胀系数保 持不变，由此我们可得到不同温度下油的膨胀系数。
图 7 椭圆部分面积转换成圆部分面积计算示意图
由以上知识，可计算得到椭圆油罐在无变位时的液面与油体积的关系：
V Sl
公式（1）
液面高度 h 反投影到圆上的长度为 h' h / cos ，圆上截面面积所占的扇形角度为 ， / 2 arccos((a h') / a) ，则在圆上形成投影部分的面积 S ' 为：
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾 斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需 要定期对罐容表进行重新标定。图 1 是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为 圆柱体，两端为球冠体。图 2 是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 3 是罐体横向偏转变 位的截面示意图。
针对问题二，关键在于寻找储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。对图 1 所示的实际储油罐，我们将储油罐分成三部分（圆柱体中油的体积 V身 ，两个球冠所含 油的体积 V头1 、 V头2 ）， 储油量为灌身容积与罐头容积之和。首先，假设储油罐只发生 倾斜角为 的横向变位时，利用积分计算找出储油量与油位高度及 之间的关系表达 式。同上，假设储油罐只发生倾斜角为 的纵向变位时，找出储油量与油位高度及 之 间的关系表达式。然后，结合二式，可写出储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角 与横向倾斜角 ）之间的关系表达式。根据附件 2 所提供的数据，在利用数据求解 、 时，我们利用 matlab 采用蒙特卡罗法，搜索附件 2 提供的任意数据组合求解和检验。 并找到最适合的 、 数值。根据所求值即可对储油罐的变位进行识别。