二次曲面习题课

(5cos u 5v,5sin u 3v, 2v).
消去参数 u, v 得
(x 5z )2 ( y 3z )2 25.
2
2
例 5、求半径为2，对称轴为 x y z 的圆柱面方程。 234
解：在所求圆柱面上任取一点 M (x, y, z) ，
由
uuuur
| OM (2,3, 4) | 2.
6、抛 物 面 (paraboloid)
z
I．椭圆抛物面(elliptic paraboloid)
方程：
x2 y2 a2 b2 2z
(a,b 0)
性质：
o
y
x
（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面，
对称于z轴，无对称中心。
（2）与对称轴交于原点（0，0，0）， 叫做椭圆抛物面的顶点。
（3）形状：x 2 2a 2 z
a2 b2 c2
(a,b, c 0)
u 族直母线
w
x a
z c
u1
y b
u
x a
z c
w1
y b
u, w不同时为零
v 族直母线
t
x a
z c
v1
y b
v
x a
z c
t 1
y b
v, t不同时为零
& 对于单叶双曲面上的每个点，两族直母线中各有一条 直母线经过该点
２、双曲抛物面
1
(1)
z 0
x 2 a2
z2 c2
1
(2)
y 0
z c
y 2 b2
z2
c2
1
(3)
x 0
o a
by
x
是一个椭圆 (ellipse)
是一个椭圆
是一个椭圆
（4）椭球面的参数方程
x a cos cos
y
b
c
os
sin
z c sin
, 0 2
2
2
（广义球坐标系）
x2 y2 a 2 b2 2z (a,b 0)
直母线：
x a
y b
2u
u
x a
y b
z
or
x a
y b
2v
v
x a
y b
z
& 对于双曲抛物面上的每个点，两族直母线中 各有一条直母线经过该点
定理 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面， 而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。
定理 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线 总是异面直线，而且双曲抛物面上同族的全体直 母线平行于同一平面。
例题
例1. 研究方程
表示怎样
的曲面.
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0 (1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
例 2. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为
(1) 单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
(a,b, c 0)
x a sec u cos v
y
b
sec
u
sin
v
z c tan u
(2) 双叶双曲面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
(a,b, c 0)
x a tan u cos v
y
b
tan
u
sin
v
z c sec u
x 2 a2
y2 b2
1
z 0
（1） 是一个椭圆 （腰椭圆）
z
o x
x 2 z 2 1 a2 c2 y 0
（2）
y y 2 b2
z2 c2
1
（3）
x 0
是双曲线 (hyperbola)
是双曲线
x 2 a2
y2 b2
1
h 2 （4） c2
zh
是一个椭圆
II．双叶双曲面 (hyperboloid of two sheets)
z02 c2
1,
x02 y02 z02 a2 b2 c2.
例9. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
所以 1 1 1 1 1 1 .
r12 r22 r32 a2 b2 c2
例
8、试求单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
上互相垂直的两
直母线交点的轨迹方程。 （课本P182, ex8）
解：过单叶双曲面上所求轨迹上一点 (x0, y0, z0 )
的两条直母线分别为L1和L2
L1
:
u v
2p
2p
消去参数 u, v 得
kx2 2 pyz.
例7、由椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的中心，引三条两两
互相垂直的射线，分别交曲面于 P1, P2, P3 ，设
OP1 r1,OP2 r2 ,OP3 r，3 试证：
1 r12
1 r22
1 r32
1 a2
1 b2
1 c2
.
uuur uuur uuur
{x0,
y0 ,
z0}的锥面为
r(u, v) vr(u) (1 v)r0
3、旋转曲面 (surface of revolution)
定义：曲线C绕定直线l旋转一周所生成的曲面称为旋转
曲面。
l ——旋转轴 ， C —— 母线
曲线C
:
f x
( y, z) 0
0
绕z轴旋转一周而得的旋转曲面方程为
f ( x2 y2 , z) 0
定理 一个关于 x, y, z 的齐次方程表示的曲面一定是
以原点为顶点的锥面。
推论 一个关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在 (x0 , y0 , z0 ) 的锥面。
锥面的参数方程（P152 ex6）
r
r
准线为r(u) {x(u), r
y(u), r
z (u)}，顶点向径为r 0 r
s2
),
2st ac
,
1 ab
(s2
t2
))
ur uur 由 s1, s2 垂直，得
a2 (u2
v2
)(t 2
s2
)
2uvst a2c2
1 a2b2
(u2
v2 )(s2
t2
)
0.
分别在 1 y0 0 和 1 y0 0 的情况下，计算上式
b
b
各项，再整理得所求轨迹均为
x02 a2
y02 b2
z
y0
y 2 2b 2 z
x0
（1） 是抛物线
(parabola)
主
抛
物
线
（2） 是抛物线
o
y
x
x 2 2a 2 h
y2 2b 2h
1
（3） 是一个椭圆
zh
容易知道图形（3）的两对顶点分别在主抛物线（1）与（2）上。
x
2
2a 2 (z
t2 2b 2
)
yt
z
（4） 是抛物线
o
y
x
II．双曲抛物面 (hyperbolic paraboloid)
y2 b2
z2 c2
1
(a,b, c 0)
（2）椭球面的性质
（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。
（2） | x | a , | y | b , | z | c
并有六个顶点 (a , 0, 0) , (0, b, 0) , (0, 0,c)
（3）形状（与三个坐标面的交线）：
x 2 a2
y2 b2
x a x a
z c z c
v u
1 1
y b y b
当 1 y0 0 时， u x0 z0 , v 1 y0 ;
b
ac
b
当 1 y0 0 时， u 1 y0 , v x0 z0 .
b
b
ac
L2
:
s
t
x a x a
z c z c
t s
1 1
| (2,3, 4) |
得
(4 y 3z)2 (2z 4x)2 (3x 2 y)2 116.
例
6、求准线是
x2
2 py
，顶点为原点的锥面方程。
z k
解：准线方程为
r r(u)
(u,
u2
, k),
2p
wenku.baidu.com
所求锥面方程为
u (, )
r r(u, v)
v(u,
u2
,k)
(uv, u2v , kv).
x2 y2
方程：
a2
b2
2z
(a,b 0)
性质：（1）椭圆抛物面对称于XOZ与YOZ坐标面， 对称于z轴，无对称中心。
（2）形状：
x 2 a2
y2 b2
0
z 0
（5）
是一对相交于原点的直线
x 2 2a 2 z y0 y 2 2b 2 z x0
（6）是抛物线 主 抛 物 （7）是抛物线 线
解：设 OP1,OP2,OP3 的单位向量分别为
（课本P162, ex4）
(a1, a2 , a3 ), (b1, b2 , b3), (c1, c2, c3)
P1的坐标为 (r1a1, r1a2 , r1a3) ，代入椭球面方程，得
1 r12
a12 a2
a22 b2
a32 c2
.
同理可得
1 r22
旋转曲面的参数方程（P158 ex3）
r 曲线： r(u) {x(u), y(u), z(u)}绕z轴旋转一周得到
r
r(u, v) x2 (u) y2 (u) cos v, x2 (u) y2 (u) sin v, z(u) .
4、椭 球 面 (ellipsoid)
（1）椭球面的方程
x2 a2
方程：
x2 y2 z2 a 2 b 2 c 2 1
性质：
(a,b, c 0)
（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。 （2）有两个顶点 ( 0,0, c)
（3）形状：
x 2 a2
z2 c2
1
y 0
（6） 是双曲线
y 2 b2
z2 c2
1
x 0
（7） 是双曲线
参数方程 (P168 ex.7)
x 2 2a 2 h
y2 2b 2 h
1
zh
（8）是双曲线(hyperbola)
x 2
2a 2 (z
t2 2b 2 )
yt
（9） 是抛物线
７、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
定义：由一族直线生成的曲面称为直纹面(ruled surface)． 这族直线称为曲面的一族直母线。
１、单叶双曲面
x2 y2 z2 1
y b y b
当 1 y0 0 时， s 1 y0 , t x0 z0 ;
b
b
ac
当 1 y0 0 时， s x0 z0 , t 1 y0 .
b
ac
b
L1和L2的方向向量分别为
ur s1
(1 bc
(u 2
v2
),
2uv ac
,
1 ab
(u 2
v2
)),
ur s1
(1 bc
(t 2
直柱面：
方程F
(
x,
z)
0表示
F
y
(x, z 0
)
0
为准线,
母线平行于y轴的柱面.
射影柱面
空间曲线
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
依次消去一个变元
F1(x, y) 0 F2 (x, z) 0 射影柱面
F3( y, z) 0
柱面的参数方程(parametric equation)（P147 ex4）
的圆锥面方程.
解: 在yoz面上直线L 的方程为
z L
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z)
y
两边平方
x
z2 a2( x2 y2 )
例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
5、双曲面 (hyperboloid)
I． 单叶双曲面 (hyperboloid of one sheet)
z
方程：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
(a,b, c 0)
性质：
（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。
o
y（2）有四个顶点 (a , 0, 0) , (0, b, 0)
x
（3）形状：
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 z2 1
x
a2
c2
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
例 4、求准线是
x2 y2 25
，母线方向为
r s (5,3, 2)
z 0
的柱面方程。
解：准线可改写为
r
r(u) (5cos u,5sin u, 0), u [0, 2 ]
所求柱面方程为
r r(u, v) (5cos u,5sin u, 0) v(5,3, 2)
b12 a2
b22 b2
b32 c2
由于
uuur OP1,
uuur OP2
,
1 r32
c12 a2
c22 b2
c32 c2
uuur
OP3 两两垂直，知
.
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3
b3
是正交的矩阵，
c3
于是有
aa1222
b12 b22
c12 1 c22 1
a32 b32 c32 1
r
r
准线为r(u) {x(u), y(u), z(u)}母线平行于s {X ,Y , Z}的柱面为
r
r
r
r(u, v) r(u) vs
2、锥 面 (conical surface)
圆锥面 锥面
直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周 所得旋转曲面称为圆锥面.
O —— 顶点 (vertex) 两直线的夹角—— 半顶角 一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C 移动所产生的曲面称为锥面. O —— 顶点 C —— 准线（不唯一 ） 动直线 —— 母线（不唯一 ）
解析几何习题课(二)
Chap. 4 二次曲面(quadric surfaces)
空间解析几何的两个基本问题： 一、给定曲面，建立方程； 二、给定方程,研究它的图形及其几何性质。
1、柱面 (cylinder)
定义：一直线L沿一已知曲线C平行移动而得的曲面称为 柱面。 C ——准线 (directrix ) ， L ——母线(ruling )