北邮随机信号分析与处理第2章习题解答_2

1 mX (t ) X (t , e1 ) X (t , e2 ) X (t , e3 ) (1 sin t cos t ) 3 3 3 3
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] 1 (11 sin t1 sin t2 cos t1 cos t2 ) 3 1 [1 cos(t1 t2 )] 3
, X (t N ) xN FX ( x1 ,


, X (t N ) x N |

, xN ; t1 ,
, tN )
因此有 FX ( x1 , , xN ; t1 ,
, t N ) FX |Θ ( x1 , 1 T FX ( x1 , T 0
8
2.22
2 R ( ) e 和 已知平稳随机过程的相关函数 X RX ( ) 2 (1 ) ， 1/ 。试求其相关时间 0 。 2 2 0 解： (1) mX lim RX ( ) lim e
RX (0) m 2 RX ( ) mX 因此有 rX ( ) e 2 X 1 r0 rX ( )d e d 0 0 2 2 2 2 R (0) m (2) mX lim RX ( ) 0 X X X 2 RX ( ) mX 1 , ( 1/ ) 因此有 rX ( ) 2 X 1/ 1 r0 rX ( )d (1 )d 0 0 2
常数
RX (t , t | ) E[ X (t ) X (t ) | ]
E[ X (t ) X (t )] RX (t , t )
1 T RX (t , t ) E [ RX (t , t | )] 0 RX (t , t | )d T = t 1 T t 1 T RX (t , t )d RX ( , )d 0 t T T 利用周期性质 1 T RX ( , )d t E[ B(t )] sin t 0cos t 0 sin t 0
RZ (t ) E[Z (t1 )Z (t2 )] E{[ A(t1 )cos t1 B(t1 )sin t1 ][ A(t2 )cos t2 B(t2 )sin t2 ]}
E[ A(t1 ) A(t2 )cos t1 cos t2 ] E[ A(t1 ) B(t2 )cos t1 sin t2 ] E[ B(t1 ) A(t2 )sin t1 cos t2 ] E[ B(t1 ) B(t2 )sin t1 sin t2 ] RA (t1, t2 )cos t1 cos t2 RB (t1, t2 )sin t1 sin t2 R( )cos t1 cos t2 R( )sin t1 sin t2 R( )cos(t1 t2 ) R( )cos( )

1 T c FX ( x1 , T c
, xN ; t1 ,
, t N ) d
, t N )d FX ( x1 , , xN ; t1 , , tN )
11
FX ()是的周期为T的函数

1 T FX ( x1 , 0 T
, xN ; t1 ,
2.28
rX (t T ) X (t )
E[ X (t T ) X (t )] E[ X (t T )]E[ X (t )] D[ X (t T )]D[ X (t )]
2 RX (0) mX
2 RX (T ) mX

2 X

2 X
1
由相关系数的性质得，存在常数 a 和 b ，使得
2 X 2 X

2
9
2.27
证明严格循环平稳的定理1： 设 X (t ) 是严格循环平稳的，而随机变量 在区间 (0, T )
上均匀分布，且 X (t ) 与 统计独立，定义新的随机过程
X (t ) X (t )
则 X (t ) 是严格平稳随机过程，其 N 维分布函数为
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1
2.14
广义平稳随机过程 Y (t ) 的自相关矩阵如下，试确定矩阵中用 表示的元素。 2 1.3 0.4 2 1.2 0.8 RY 0.4 1.2 1.1 0.9 2 解：由自相关函数的性质
1 1 1 1 f ( x,1) ( x ) ( x ) 3 2 3 2 1 1 ( x 1) ( x 1) 6 6
2K 1/ 2, K 1, 2, 4,5 f ( x, 2) 2 ( x 1 ) 1 ( x 1) X (2) cos 1, K 3,6 3 2 3 3
7
2.20
若两个随机过程 X (t )、 Y (t ) 均不是平稳随机过程，且 X (t ) A(t ) cos t ， B(t ) 是 Y (t ) B(t )sin t。式中随机过程 A(t ) 、 相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数。证 明： Z (t ) X (t ) Y (t ) 是广义平稳随机过程。 证明： mZ (t ) E[ X (t ) Y (t )] E[ A(t )cos t B(t )sin t ]
1 T RX () RX (t , t )dt T 0
12
2.28
证明：mX (t ) E[ X (t )] E{EX [ X (t ) | ]} E{EX [ X (t ) | ]}
1 T E [mX (t ) | ] mX (t )d 0 T 利用周期性质 1 T 令 =t 1 t mX ( )d mX ( )d 0 t T T T
, xN ; t1 ,
, t N | Θ ) f ( ) d
, t N )d
, t N c ) d
, xN ; t1 ,
FX ( x1 ,
令 c
, xN ; t1 c,
1 T , t N c) FX ( x1 , T 0
, xN ; t1 c ,
不满足广义平稳。
4
2.18
设随机过程 X (t ) A cos(t ) ，其中 A 是具有瑞利分布的 a a2 随机变量，其概率密度为 exp (a 0)
f A (a) 2 0 2 2
是在 [0, 2 ] 中均匀分布的随机变量，且与 A 统计独立， 为常量。试问 X (t ) 是否为平稳随机过程？ 解： mX (t ) E[ X (t )] E[ A cos(t )] E ( A) E[cos(t )] 2 1 E ( A) cos(t ) d E ( A) 0 0 0 2 RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ A cos(t1 ) A cos(t2 )] 1 1 2 E[ A ] E[cos(t1 t2 2)] E[ A2 ] E[cos(t1 t2 )] 2 2 1 1 1 2 2 E[ A ] 0 E[ A ] cos[ (t1 t2 )] E[ A2 ] cos[ (t1 t2 )] 2 2 2
2
2.15
根据掷骰子试验，定义随机过程为
K X (t ) cos t ( K 1, 2,3, 4,5,6) 3 (1)求 X (1) 、X (2) 的概率密度； (2) X (t ) 是否为平稳随机过程？
解：
1/ 2, K 1,5 1/ 2, K 2, 4 K X (1) cos 1, K 3 3 1, K 6
证明广义循环平稳的定理2：
设 X (t ) 是广义循环平稳的，而随机变量 在区间 (0, T )上
均匀分布，且 X (t ) 与 统计独立，定义新的随机过程
X (t ) X (t )
则 X (t ) 是广义平稳随机过程，且
1 T E[ X (t )] mX (t )dt T 0
FX ( x1 ,
, xN , t1 ,
, tN ) , xN , t1 , , t N )d
10
1 T FX ( x1 , T 0
2.27
证明： FX | ( x1 ,
P X (t1 ) x1 ,
, xN ; t1 ,
, t N | ) P X (t1 ) x1 ,
(a 0)
5
2.19
设 X (t ) 为一平稳随机过程，若对应于某一个 T 0，X (t ) 的 自相关函数 RX ( ) 满足 RX (T ) RX (0) ，证明 RX ( ) 必为以 T 为周期的周期函数。
证明：两个随机变量 X (t T ) 和 X (t ) 的相关系数为
不满足严格平稳。
思考：是否满足广义平稳？
3
2.17
随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生：
X (t, e1 ) 1, X (t, e2 ) sin t, X (t, e3 ) cos t (1)计算均值 mX (t ) 和自相关函数 RX (t1 , t2 )；
(2)该过程是否为平稳随机过程？ 解： 1 1 1
X (t T ) aX (t ) b
6
2.19
对上式两边取均值，得
对上式两边取方差，得 得
即
mX amX b 2 2 X a 2 X
a 1 b 0
X (t T ) X (t )
RX ( T ) E[ X (t T ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
RY (t1, t2 ) RY (t2 , t1 )
2 1.3 0.4 0.9 1.3 2 1.2 0.8 RY 0.4 1.2 1.1 0.9 0.8 1.1 2
由广义平稳的性质 RY (0) E[Y 2 (t )]为常数
2 1.3 0.4 0.9 1.3 2 1.2 0.8 RY 0.4 1.2 2 1.1 0.9 0.8 1.1 2