向量组的讲义正交性
2向量的正交规范化
1
0
得
x1 x2
0
x3
取 x3 1 得方程组的一个解，将其取为3 即可
1
3
0 1
18
1
例3
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
14
1）正交化
令 1 1
2
2
1 1
,2 , 1
1
LLL
r
r
1 , r 1, 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
15
2）标准化
令
e1
1
1
1,
e2
1
2
2, L
,
er
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
4
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 e1,e2 ,L ,er 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
例
1
1
第七章 向量空间的正交性
−
1 ⎟, e3 6⎟
⎜⎝
2 6
⎟⎠
=
1 | b3
| b3
=
⎜ ⎜ ⎜
2
−
3 2
3 1
3
⎟ ⎟ ⎟
，
⎜⎝ −
1 23
⎟⎠
那么 e1 , e2 , e3 为与 a1 , a 2 , a3 等价的标准正交向量组．
五、正交矩阵
定义 7.5 设 A 是 n 阶实矩阵，如果满足 AΤ A = AAΤ = I ，那么 A 称为正交矩阵．
定义 7.3
θ
=
arccos (a,b)
| a || b |
称为非零向量 a
与 b 间的夹角；如果θ
=
π
2
，那么 a 与 b
正交，规定零向量与任意向量正交．
例 1 设向量 a = (1,−1,2,1)Τ ,b = (− 3,0,−1,3)Τ ,c = (2,3,1,−1)Τ ，计算 (a,b), (a,c)及 a 与
从而有
( ) k j a j ,a j = 0 ．
186
但是
( ) a j ,a j =| a j |2 ≠ 0 ，
故
k j = 0 (j = 1,2,", m) ．
所以 a1 , a2 ,", am 线性无关．
证毕
在维数为 r 的向量空间V 中，如果 a1 , a2 ,", ar 是正交向量组，那么由定理 7.1 知，
⎜⎛ ⎜
0 0
⎟⎞ ⎟
为一个标准正交基．
⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝ 0⎟⎠ ⎜⎝1⎟⎠
四、施密特正交化过程
我们知道维数为 r 的向量空间V 中任意 r 个线性无关的向量 a1 ,a2 ,",ar 都可以作为 V 的一个基，这个基不一定是标准正交基．但是，可以找到的V 一个标准正交基 e1 ,e2 ,",er ， 使 向 量 组 e1 ,e2 ,",er 与 a1 ,a2 ,",ar 等 价 ． 这 个 过 程 称 为 把 基 a1 , a2 ,", ar 规范正交化．
标准正交向量组
标准正交向量组在线性代数中，正交向量组是一组两两正交的向量，即它们的内积为0。
而标准正交向量组则是一组单位向量，并且彼此之间两两正交。
标准正交向量组在数学和工程领域中有着广泛的应用，特别是在矩阵的正交化、最小二乘法、信号处理等方面。
本文将介绍标准正交向量组的定义、性质以及相关应用。
定义。
设V是n维实内积空间，如果V中的向量组{v1,v2,...,vk}满足：1. vi·vj=0 (i≠j)，即vi与vj正交；2. ||vi||=1 (i=1,2,...,k)，即vi是单位向量；则称{v1,v2,...,vk}是V中的一个标准正交向量组。
性质。
1. 标准正交向量组中的向量线性无关。
假设存在实数c1,c2,...,ck，使得c1v1+c2v2+...+ckvk=0，则对等式两边同时做内积运算，利用正交性可得c1=c2=...=ck=0，即向量组{v1,v2,...,vk}线性无关。
2. 标准正交向量组可以通过单位化得到标准正交基。
设{v1,v2,...,vk}是V中的一个标准正交向量组，令u1=v1/||v1||,u2=v2/||v2||,...,uk=vk/||vk||，则{u1,u2,...,uk}是V中的一个标准正交基。
3. 标准正交向量组的转置矩阵是正交矩阵。
设A是一个n阶实矩阵，如果A的列向量组是一个标准正交向量组，则A的转置矩阵AT是一个正交矩阵。
应用。
1. 矩阵的正交化。
给定一个实矩阵A，我们希望找到一个正交矩阵Q，使得QTQ=I，其中I是单位矩阵。
通过Gram-Schmidt正交化方法，我们可以将A的列向量组正交化，并且单位化，得到一个标准正交矩阵Q，从而实现矩阵的正交化。
2. 最小二乘法。
在最小二乘问题中，我们经常需要求解一个线性方程组Ax=b的最小二乘解。
如果A的列向量组是一个标准正交向量组，那么最小二乘解可以通过简单的投影计算得到，大大简化了计算过程。
3. 信号处理。
同济版线性代数课件--1向量的内积、长度及正交性
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当 [ x, y] 0 时 , 称向量 x 与 y 正交 .(orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
a2 1,
a3
2
[ 1, 2] [ 1, 1]
1.
其中[1, 2] 1,[1,1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵.
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
1 1 4
例３
设
a1
2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施密
1 1 0
向量正交公式范文
向量正交公式范文在线性代数中，向量的正交是指两个向量的内积为零，也就是说两个向量之间的夹角为90度。
正交性在许多数学和物理问题中起着重要的作用。
本文将介绍向量正交的定义、性质以及一些应用。
向量正交的定义如下：对于实数域或复数域上的向量空间中的两个向量，如果它们的内积为零，则称这两个向量是正交的。
设有两个向量u和v，它们的内积为0表示为u·v=0。
换句话说，u与v的内积为零意味着它们互相垂直。
下面我们来看一些向量正交的性质。
首先，零向量与向量空间中的任何向量都是正交的，因为对于任何向量u，都有0·u=0。
这是因为零向量与其他向量之间没有方向，所以它与其他向量之间的夹角为90度。
其次，向量的正交性可以从数与向量的乘积来看。
对于实数或复数a和向量u，我们有a·u=0当且仅当a=0或u=0。
这是因为如果a不等于零，则a与u的内积只能为零当且仅当u为零向量。
同样地，如果u不等于零，则a与u的内积只能为0当且仅当a为零。
然后，正交性也可以通过向量的分量来表示。
设u=(u1,u2,...,un)和v=(v1,v2,...,vn)是一个向量空间中的两个向量。
它们是正交的当且仅当它们的对应分量的乘积的和为0，即u1v1+u2v2+...+unvn=0。
这是因为两个向量的内积可以表示为它们对应分量的乘积的和。
另外，正交性还满足加法和标量乘法的封闭性。
设u和v是一个向量空间中的两个正交向量，若a是一个实数或复数，则au和u+v也是正交向量。
这是因为(au)·u=a(u·u)=0，以及(u+v)·u=(u·u)+(v·u)=0+(v·u)=0，其中·表示内积。
最后，正交性还满足向量长度的性质。
如果两个向量u和v是正交的，那么它们的长度乘积等于它们的内积的绝对值，即，u，·，v，=，u·v。
这是正交性的推论，通过向量的长度和方向来表示它们正交的程度。
1向量的内积及正交性
|| || ( ) ai2 i 1
则|| || 称为向量 的范数 (或长度). 特别地, 当|| || 1时, 称 为单位向量.
向量范数具有下列性质（其中 与 是向量， k 是数）
1) 非负性: 当 0 时, || || 0 ; 当 0 时, || || 0 ;
15 , 2 15 , 15 15
15 , 5
15 15
.
由施瓦兹(Schwarz)不等式, 即[ ]2 [ ] , 当 0 , 0 时, 可得
[ ] 1. || || || ||
定义 1.3 设 是两个 n 维非零向量,称 arccos [ ] 为向量 的夹角. || || || ||
2 2 2 2 .
又 0，所以|| |||| || || || .
证毕
注 1°当 || || 0 时, 用非零向量 的长度去乘以向量 ,得到一个单位向量,这一过
程通常称为把向量 单位化. 即
0 1 , || ||
所含有的向量个数不会超过.
定义 1.6 若向量空间V 的一组基是正交向量组, 则该组基称为向量空间的正交基. 若 向量空间V 的一组基是正交的单位向量组, 则该组基称为向量空间的规范正交基(或标准正
交基).
注
1°如向量组
e1
1 , 2
1 2
T
,
0,
0
, e2
Hale Waihona Puke 1, 21 2例 1.5 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化
线性代数5.1向量组规范正交化
一、向量的内积
内积可用矩阵记号表示 : 为
x, y xT y.
2 向量的内积是几何中向量数量积的推广，但是n(n>3) 维向量内积没有直观的几何意义． 向量的数量积：x y ( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn ) x1 y1 x2 y2 xn yn
单位向量 e1 , , er , 规范正交基即要找一组两两正交的 , 使 e1 , , er 与 1 , , r 等价. 1 , , r 规范正交化方法 : 1 1 ; 2 2 [ 2 , 1 ] 1 （1）正交化，取 [ 1 , 1 ] [ 3 , 1 ] [ 3 , 2 ] 3 3 1 2 ,, [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r , 1 ] [ r , 2 ] [ r , r 1 ] r r 1 2 r 1 [ 1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ r 1 , r 1 ]
2内积有以下性质： (其中 x , y , z 为 n 维向量, 为实数 ) : (ii) [x, y] [ x, y] [ x, y] ; (i ) [ x, y] [ y, x] ;
(iii) [ x y, z ] [ x, z ] [ y, z ] ;
( iv ) 当 x 0 时 , [ x , x ] 0 ;
例3
T 解 a2 , a3 应满足方程a1 x 0 , 即 x1 x2 x3 0 . 1 0 把基础解系正交化 , 它的基础解系为 1 0 , 2 1 , 即为所求 , 亦即取 1 1 [1 , 2 ] 1 0 1 1 a2 1 , a3 2 1 , 得 1 1 a 2 0 , a3 1 0 2 . [1 ,1 ] 1 1 2 1 2 1 其中 [1 , 2 ] 1 , [1 , 1 ] 2,
标准正交向量组
标准正交向量组在线性代数中，向量是一个非常重要的概念，它在描述空间中的方向和大小上具有重要的作用。
而在向量的运算中，标准正交向量组更是一个非常重要的概念，它在解决线性方程组、矩阵运算、空间几何等问题中具有重要的应用价值。
本文将从标准正交向量组的定义、性质和应用等方面进行详细的介绍。
首先，我们来了解一下标准正交向量组的定义。
标准正交向量组是指一组向量中的任意两个向量的内积为0，并且每个向量的模长为1。
也就是说，对于一个标准正交向量组来说，任意两个向量之间都是垂直的，并且每个向量的长度都是1。
这样的向量组在描述空间中的方向时具有非常好的性质，可以方便地进行运算和分析。
接下来，我们来讨论一下标准正交向量组的性质。
首先，标准正交向量组是线性无关的。
这是因为如果存在一组系数使得标准正交向量组的线性组合为零向量，那么对这组系数取内积，就可以得到每个向量的模长的平方乘以系数的和等于0，由于每个向量的模长都是1，所以系数的和只能为0，即这组系数只能全为0，所以标准正交向量组是线性无关的。
其次，标准正交向量组可以方便地进行正交分解。
对于一个向量，我们可以利用标准正交向量组对其进行正交分解，这样可以方便地进行向量的运算和分析。
最后，标准正交向量组在解决线性方程组和矩阵运算中具有重要的应用价值。
在矩阵的特征值分解和奇异值分解中，我们经常需要用到标准正交向量组来进行分解和计算。
最后，我们来看一下标准正交向量组的应用。
在实际问题中，标准正交向量组可以方便地描述空间中的方向和大小，这对于解决空间几何问题非常有帮助。
在工程中，标准正交向量组也经常用于信号处理和图像处理中，可以方便地进行信号的分解和处理。
在数值计算中，标准正交向量组也具有重要的应用价值，可以方便地进行矩阵的分解和计算，提高计算效率和精度。
综上所述，标准正交向量组是线性代数中一个非常重要的概念，它具有很好的性质和重要的应用价值。
通过对标准正交向量组的深入理解和应用，可以方便地解决空间几何、线性方程组、矩阵运算等问题，提高计算效率和精度，具有非常重要的意义。
5.1向量组规范正交化
x2
x2
x4 x4
a4
令x2
c1
2 (0,0,1,1)
2
,
1 0
x4
c2
c1
1 0 0
c2
0 11
则a1, a2 , a3, a4即为所求
解(1)法二a1, a2线性无关，可取3 (1,0,0,0)，4 (0,0,1,0)
使a1,
a2
,
3
,
线性无关。
4
将a1
,
a3
[a3, b1] [b1, b1]
b1
[a3 [b2
, ,
b2 b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
(ii) 齐次性 x x ; R
(iii) 三角不等式 x y x y .
证 (i) 与(ii) 是显然的,下面证明 (iii) , (iii) 三角不等式 x y x y .
x y 2 [ x y , x y ] [ x, x ] 2 [x, y] [ y, y ] ,
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a3 (3,5,1,1)
正交规范化.
解 先正交化， 取 b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
a2 , b1 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
1
1 1
8--向量组的正交性
四、向量组的正交规范化：
设1,2 ,,m为线性无关向量组，令
11,
2
2
（2，1 ）, （1，1） 1
3
3
（3，1） （1，1） 1
（3，2）, （2，2 ） 2
看出规律 来了吗？
m
m
（（m1，，11））1
（（m2，，22））2
（m，m1）
（ ， ） m1
1 0 0
E
0
1
0
(i , i ) 1, (i , j ) 0, (i
j).
0 0 1
即1,2 ,,n为单位正交向量组。
方法一、用定理。
方法二、用定义。
练习
1 8 4
A 8
1
4,
A正交吗？
4 4
7
不正交。
1/ 9 A 8/9 4 / 9
8/9 1/ 9 4/9
4 / 9
4
/
9,
A正交吗？
7 / 9
正交。
1/ 9 8/ 9 4 / 9
A 8/9
1/ 9
4
/
9,
A1
?
AT
4 / 9 4 / 9 7 / 9
m 1
m 1
.
(i) 1,2 ,,m与1, 2 ,, m等价 (ii) 1, 2 ,, m为正交组。 再将1, 2 ,, m为单位化，即得到单位正交向量组。
五、正交矩阵：
1.定义4：若n阶方阵A满足AT A E，则称A为n阶正交矩阵。
2.性质： (i)若A为n阶正交矩阵 A 1. (ii)若A为n阶正交矩阵 AT与A1也是正交矩阵。 (iii)若A, B为n阶正交矩阵 AB与BA也是正交矩阵 。
线性代数第五章第一节向量的内积长度及正交性课件
a1 a1
a1T a2 a2T a2
a1T a2T
an an
1 0
0 1
0
0
anT
anT a1 anT a2
anT an
0
0
1
于是
[ai , a j ]
aiT a j
1, 0,
i j (i, j 1, 2,
i j
, n)
从而可得
方阵A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向 量，且两两正交．即 A 的列向量组构成Rn 的规范正交基．
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
b1
[b2 , a3 ] [b2 , b2 ]
b2
c32
c31 c3 c2
a1 b1
b2 a2
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
[b1 , [b1 ,
a2 b1
] ]
b1
br
ar
[b1 [b1
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
向量的内积与向量组的正交化ppt课件
+
1
+
2
3 0.
1 0
它的基础解系为
1
0 , 1
2
1 . 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取 a2 1,
a3
2
[ [
1, 1,
2]
1]
1
.
其中[1, 2] 1,[1,1] 2,于是得
a2
1 0 , 1
a3
0 1 1
1 2
1 0 1
1 2
1 2 . 1
4、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则称A为正交矩阵.
定理 证明
A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都是单位向量且两两正交．
a11
AT
A
E
a12 L
a21
a22 L
L L L
an1 a11 an2 a21 L L
a12
a22 L
L L L
201
由于
0 1 2 0, 所以 1 , 2 , 3 线性无关 .
112
即 A 有 3 个线性无关的特征向量 , 因而 A 可对角化 .
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 + 13
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2 3 1 . 把 1代入 A E x 0 , 解之得基础解系 (1,1,1)T ,
内积的运算性质 其中 x, y, z为n维向量,为实数 :
(1) [x, y] [y, x]; (2) [x, y] [x, y]; (3) [x + y, z] [x, z] + [y, z];
线性代数第六章向量空间及向量的正交性讲义
一、n 维向量的定义及运算一、n 维向量的定义及运算二、向量空间二、向量空间第一节向量空间第二节向量的正交性一、向量空间及其维数和基一、向量空间及其维数和基二、向量在基下的坐标二、向量在基下的坐标例1设V 是一些n 维实向量的组成的非空集合，如果V 关于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即(1) ∀a , b ∈V , 有a +b ∈V .(2) ∀a ∈V , k ∈R , 有k a ∈V .则称V 是一个实向量空间.一、向量空间及其维数和基定义1全体n 维向量的集合{(x 1, x 2, …, x n )T | x i ∈R ,i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为R n .特别的n = 1 时全体实数R 是一个向量空间;n = 3 时全体三维向量{(x 1, x 2, x 3)T |x i ∈R ,i= 1, 2, 3 } 是一个向量空间，记为R 3.n = 2 时全体平面中的向量{(x 1, x 2 )T | x i ∈R ,i=1, 2} 是一个向量空间，记为R 2.注：向量空间中必含有零向量。
例3例2而W = {(a 1, a 2, …, a n )T |}01∑==ni i a 是一向量空间.}1|),,,{(121∑==…=ni i T n a a a a S 不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量.仅含一个n 维零向量0=(0, 0, …, 0)T 的集合{0}构成一个向量空间，称为零空间.除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。
设V 是一个向量空间，W V, W ≠∅. 如果W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称W 是V 的子空间.定义2若W V ，并且V W , 则称两个向量空间相等，记为W=V.⊆⊆⊆例5}1,,2,1,|)0,,,,{(1211−=∈=−n i a a a a W i T n ""R }|),,,,{(2R ∈=a a a a a W T "n 个分量都是R n 的子空间.及例6设a ∈V , 则span {a } = {ka | k ∈R }为V 的子空间，称它为由a 生成的子空间，a 称为这子空间的生成元.{}},,2,1,,|{,,11s i k k span i si i i s ""=∈==∑=R a a a a a 是V 的由a 1, a 2, …, a s 生成的子空间.更一般地，设a 1, a 2, …, a s ∈V .例4V 本身和{0}都是V 的子空间，称它们为V 的平凡子空间.例7证明：m×n阶齐次线性方程组Ax=0的解集S组成一个向量空间，称S为齐次方程组Ax=0的解空间.证明：设u,v为Ax=0的解集S中的任意两个向量，满足Au=0,Av=0. 设k为任一实数。
正交向量组的定义
正交向量组的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠正交向量组。
啥是正交向量组呢？这就好比是一群特别有个性、谁也不碍着谁的小伙伴。
咱平常生活里不是有那种相处起来特别舒服的朋友嘛，大家各有各的事，不会互相干扰，这正交向量组就有点那个意思。
想象一下，在一个空间里，有几个向量，它们之间就像平行线一样，谁也不影响谁的方向。
比如说哈，咱在一个大广场上，每个人都朝着自己的方向走，你走你的阳关道，我过我的独木桥，谁也不会跟谁撞个满怀。
这几个向量也是这样，它们相互之间“井水不犯河水”。
正交向量组有个特别重要的特点，就是它们两两相乘的结果是零。
这就好像是两个好朋友，一见面就互相抵消了，哈哈，是不是很有意思？你想想，如果它们之间不是正交的，那它们相乘就不会是零啦，那不就有点乱套了嘛。
而且正交向量组可厉害啦！在好多数学问题里都大显身手呢。
就像一个身怀绝技的大侠，关键时刻总能挺身而出。
比如在解决一些几何问题、线性代数问题的时候，正交向量组就能发挥出它独特的作用。
你说数学世界里要是没有正交向量组，那得少了多少乐趣和奇妙啊！它们就像是一群默默守护着数学城堡的勇士，虽然不张扬，但却不可或缺。
再想想，我们的生活不也需要一些像正交向量组这样的“关系”吗？和一些人保持一定的距离，各自安好，却又能在需要的时候互相帮助。
这不就是一种很美好的状态吗？
总之啊，正交向量组可不是什么冷冰冰的数学概念，它其实和我们的生活也有着千丝万缕的联系呢！大家好好感受感受，是不是这么个理儿？
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
线性代数 2.5向量组的正交性与正交矩阵
T j
(i , j = 1,2,, n )
说明A的行向量组为正交向量组，同理可证明A的列向 说明 的行向量组为正交向量组，同理可证明 的列向 的行向量组为正交向量组 量组也为正交向量组。 量组也为正交向量组。
例
判别下列矩阵是否为正交阵． 判别下列矩阵是否为正交阵． 方法一： 方法一：用定义 方法二： 方法二：用定理
1 1 T 1 T B = A B = B = A 9 9
B
1
= 9A
1
A
1
1 1 1 T = B = A 9 81
例：已知正交向量
α1 = (1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2), α 2 = (1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2)
1) 求 α 3 , α 4使 α1 , α 2 , α 3 , α 4 是正交单位向量组。 是正交单位向量组。 2) 求一个以 α1 , α 2 为1，2列的正交矩阵。 列的正交矩阵。 ， 列的正交矩阵
8 14 (0,2,1,3) = (1,1,2,0) = (3,5,1,1) (1,1,1,1) 4 14 单位化， 再单位化， 得标准正交向量组如下
β1 1 1 1 1 1 e1 = = (1,1,1,1) = , , , β1 2 2 2 2 2 1 3 β2 2 1 (0,2,1,3) = 0, e2 = = , , β2 14 14 14 14 β3 1 1 2 1 (1,1, 2,0 ) = , , ,0 e3 = = β3 6 6 6 6
2.5 向量组的正交性与正交矩阵
一、正交向量组的概念 定义2-5-1： 定义 若n维向量 α 和 β 的内积为零，即 (α , β ) = 0 α 则称向量 α 和 β 正交。 记作： ⊥ β 零向量与任何向量都正交. 注： 零向量与任何向量都正交 定义2-5-2： 定义 是一组n维向量 α 维向量， 设 α1 , α 2 ,...α n 是一组 维向量， i ≠ 0(i = 1,2,...n) 若对
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
向量的内积、长度及正交性
β
α
7
三、向量的正交性
2. 正交向量组 设向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α r , 若满足 都是非零向量； ⑴ α1 ,α 2 ,⋯,α 都是非零向量； r T [ ⑵ 当 i ≠ j 时，α i , α j ] = α i α j = 0, 称为正交向量组 正交向量组。 则 α1 ,α2 ,⋯,αr 称为正交向量组。 即一组两两正交的非零向量构成的向量组 一组两两正交的非零向量构成的向量组 称为正交向量组。 称为正交向量组。
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0,
T T T k1α1 α1 + k2α1 α2 + ⋯+ krα1 αr = 0, 两两正交， 因为α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，即有 T [α 1 , α j ] = α 1 α j = 0 , j = 2 , 3 , ⋯ , r T T 所以 k1α1 α1 = 0, 又 α1 ≠ 0 ，故 α1 α1 ≠ 0, 从而 k1 = 0. 类似可证必有 k2 = 0,⋯, kr = 0.
[α , β ] = a1b1 + a2b2 + ⋯ + anbn , [α , β ] 称为向量 α 与 β 的内积。 内积。
• 向量的内积是两个向量之间的一种运算，其结果 向量的内积是两个向量之间的一种运算， 是一个数 是一个数，用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β T α . • n(n ≥ 4 ) 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 维向量直观的几何意义．
e1 , e2 , e3 , e4 就是R 4 的一个规范正交基 的一个规范正交基. [e1 , e2 ] = [e1 , e3 ] = [e1 , e4 ] = 0, [ e 2 , e 3 ] = [ e 2 , e 4 ] = 0, [ e 3 , e 4 ] = 0, e1 = e2 = e3 = e4 = 1.
线性代数4.3向量的正交性
b1 , a2 b2 a2 c2 a2 b1 b1 , b1 a
3
b1 a1
b3
a3 c31 c32 b1 , a3 b2 , a3 a3 b1 b2 b1 , b1 b2 , b2
c3
c32 c31 b2
c2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1 0 1 1 1 e1 , e2 , e3 , e4 0 0 1 1 0 0 0 1
量组．
P.108 定理8 证明 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零
向量集，则 a1, a2, …, ar 线性无关．
设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = <a1, 0> = <a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar> = k1 <a1, a1> + k2 <a1, a2> + … + kr <a1, ar> = k1 <a1, a1> + 0 + … + 0
= k1 ||a1||2
因为 ||a1|| ≠ 0，所以 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
1 1 例 已知3维向量空间R3中两个向量 a1 1 , a 2 2 1 1
1 等价于求方程组 Ax 1 1 2 x1 1 0 x2 1 0 x3