离散数学16章练习题及答案

离散数学练习题第一章一.填空１.公式)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧的成真赋值为 01；１02．设p ， r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →⌝↔→的真值为 0 3．公式)()()(q p q p q p ∧∨⌝∧↔⌝与共同的成真赋值为 ０1;10４.设A 为任意的公式,B 为重言式,则B A ∨的类型为 重言式 5．设p, ｑ均为命题，在 不能同时为真 条件下,p 与q 的排斥也可以写成p 与ｑ的相容或。

二.将下列命题符合化１． 7不是无理数是不对的。

解:)(p ⌝⌝,其中p: 7是无理数; 或ｐ,其中p ： 7是无理数。

2.小刘既不怕吃苦,又很爱钻研。

解:其中,q p ∧⌝p ： 小刘怕吃苦,q:小刘很爱钻研３.只有不怕困难,才能战胜困难。

解:p q ⌝→,其中ｐ: 怕困难，q: 战胜困难或q p ⌝→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难４.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。

解：)(q p r →→⌝，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ,r: 困难解决了 或：q p r →∧⌝)(,其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人,ｒ: 困难解决了5.整数n 是整数当且仅当n 能被２整除。

解：q p ↔,其中ｐ： 整数n 是偶数,q: 整数n 能被2整除三、求复合命题的真值P:2能整除５， q:旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨２.r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()(( 解：p, ｑ 为假命题，ｒ为真命题１．))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为02. r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()((的真值为1四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数,推理如下:若y 在x=0可导,则y 在ｘ=0连续。

ｙ 在x ＝0连续，所以y 在ｘ=0可导。

解：x y 2=,x 为实数，令ｐ: ｙ在ｘ=0可导,ｑ: ｙ在ｘ＝0连续。

P 为假命题，q 为真命题，推理符号化为：p q q p →∧→)(,由ｐ,q 得真值可知,推理的真值为0,所以推理不正确。

五、判断公式的类型1，r q p q p p q ∨∧⌝∨∧→↔⌝)))()(()(( 2. )())((q r p q p ∧∧→⌝∧ 3. )()(r q r p ↔→⌝↔由上表可知A 为重言式，B 为矛盾式，C 为可满足式。

第二章练习题一．填空１.设A 为含命题变项p, q, ｒ的重言式,则公式))((→∧∨q p A 的类型为 重言式 2．设B 为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式))((→∧∨q p B 的类型为矛盾式 3.设p, q 为命题变项，则)(q p ↔⌝的成真赋值为 ０１ ；1０4．设p,q 为真命题,r, s 为假命题，则复合函数)()(s q r p →⌝↔↔的成真赋值为__0___5．矛盾式的主析取范式为_＿_0_____6.设公式A 为含命题变项p ， q, r 又已知A 的主合取范式为M M M M5320∧∧∧则A 的主合取范式为m m m m 7641∨∨∨二、用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式 1.求公式)())((p q q p ⌝→⌝∨→⌝⌝的主合取范式。

解：M q p q p q p q p p q q p 2)()()())((⇔∨⌝⇔→⇔→∨→⇔⌝→⌝∨→⌝⌝2.求公式)())()((p q q p q p →↔→∧∨的主析取范式,再由主析取范式求出主合取范式。

解:M M M m q p q q p q p q p q q p q q p q q p q p p q q p q p 21030)()())(())(()()())()(()())()((∧∧⇔⇔∨∧⇔∧⌝∨⇔→→∧→→⇔→↔⇔→↔∨⌝∧∨⇔→↔→∧∨ 三、用其表达式求公式r q p ↔→)(的主析取范式。

由上表可知成真赋值为 001；０11;１0０;111四、将公式)(r q p →→化成与之等值且仅含[]∧⌝,中连接词的公式 解：)()()()(r q p r q p r q p r q p ⌝∧∧⌝⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝→⇔→→ 五、用主析取范式判断))(()()(q p q p q p ∧⌝∧∨↔⌝与是否等值。

解：))(()())(())(()()()()())()(())()(()(p q q p p q q p q p p q q p p q q p p q q p p q q p q p ∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧⇔∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∨⌝∧∨⌝⌝⇔→∧→⌝⇔↔⌝所以他们等值。

第四章 习题 一,填空题1.设F(x ）: x 具有性质Ｆ，G(x)： x 具有性质Ｇ，命题“对所有ｘ的而言，若x 具有性质F ，则x 具有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x →∀2.设Ｆ(x): x 具有性质F ，G(x ）： x 具有性质Ｇ，命题“有的x 既有性质Ｆ，又有性质Ｇ”的符号化形式为 )()((x G x F x ∧∃３. 设F(x): x 具有性质F ，G(y): y 具有性质G,命题“对所有x 都有性质F ，则所有的y 都有性质G ”的符号化形式为 )()(y yG x xF ∀→∀4. 设F(x): x 具有性质Ｆ,G(ｙ): ｙ具有性质G ，命题“若存在x 具有性质Ｆ,则所有的y 都没有性质G ”的符号化形式为 )()(y G y x xF ⌝∀→∃5.设A 为任意一阶逻辑公式,若A 中__不含自由出现的个体项_＿__＿，则称Ａ为封闭的公式。

6.在一阶逻辑中将命题符号化时,若没有指明个体域,则使用 全总 个体域。

二．在一阶逻辑中将下列命题符号化1.所有的整数，不是负整数就是正整数，或是0。

解:))()()(()(x R x H x G x xF ∨∨→∀,其中x x F :)(是整数，x x G :)(是负整数,x x H :)(是正整数,0:)(=x x R2.有的实数是有理数，有的实数是无理数。

解：))()(())()((y H y F y x G x F x ∧∃∧∧∃，其中,x x F :)(是实数，x x G :)(是有理数，y y H :)(是无理数３.发明家都是聪明的并且是勤劳的,王进是发明家,所以王进是聪明的并且是勤劳的。

解:))()(())()))()(()(((a H a G a F x H x G x F x ∧→∧∧→∀,其中：x x F :)(是发明家，x x G :)(是聪明的,x x H :)(是勤劳的,:a 王前进4．实数不都是有理数。

解:))()((x G x F x →∃∀，其中x x F :)(是实数,x x G :)(是有理数 5．不存在能表示成分数的有理数。

解:)()(x G x xF ⌝→∀，其中：x x F :)(是无理数,x x G :)(能表示成分数 6.若x 与y 都是实数且ｘ>y,则ｘ+y>ｙ+z 解:)),(),()()(((z y z x H y x H y F x F y x ++→∧∧∀∀，其中，x x F :)(是实数，y x y x H ≥:),(三.给定解释I 如下:(a)个体域为实数集合R; （b)特定元素0=a ； (c ）特定函数R y R x y x y x f ∈∈-=,,),((d ）特定谓词R y R x y x y x G y x y x F ∈∈<=,,:),(,:),(给出下列公式在I 的解释，并指出他们的真值： 1.)),(),((y x F y x G y x ⌝→∀∀解：))()((y x y x y x ≠→<∀∀，即对任意的实数,y x ,,则y x ≠；真值为1 ２.)),()),,(((y x G a y x f F y x →∀∀解：))(0(y x y x y x <→=-∀∀，即对任意的实数y x ,若,0=-y x 则,y x <其真值为0 3.))),,((),((a y x f F y x G y x ⌝→∀∀解：))0()((≠-→<∀∀y x y x y x ,即对任意的实数y x ,若,y x <则,0≠-y x 其真值为1 4.)),()),,((y x F a y x Gf y x →∀∀解:)))0((y x y x y x =→<-∀∀，即对任意的实数y x ,若,0<-y x 则,y x =其真值为0 四．给定解释I 如下：（a)个体域D=Ｎ; (ｂ)特定元素2=a (ｃ)Ｎ上函数;),(,),(y x y x g y x y x f ⋅=+=(d)N 上谓词y x y x F =:),(给出下列公式在Ｉ下的解释，并指出他们的真值： 1.)),,((x a x g xF ∀解：)2(x x x =∀,即对任意的自然数x ，都有x x =2，真值为0 ２.))),,(()),,(((x a y f F y a x f F y x →∀∀解:))2()2((x y y x y x =+→=+∀∀，即对任意自然数y x ,若y x =+2，则x y =+2；其真值为03.)),,((z y x f zF y x ∃∀∀解：)(z y x z y x =+∃∀∀，即对任意的自然数y x ,,都存在z ,使得z y x =+;真值为１ ４.)),(),,((x x g x x f xF ∃ 解:)2(2xx x =∃，即存在自然数x 使得x x 22=，其真值为１第六章 习题 一，填空１．设{}{}4,3,,2a A =， {}{}3,,4,a B Φ=,则=⊕B A ___＿{}{}Φ,3},{,3,,2a a ＿_＿_＿＿2.设{}{}{}{}2,1,1=A ，则=)(A P ____}}}2,1{{},1{{}}},2,1{{{}},1{{,{Φ___＿__＿＿＿ 3．设{}{}{}2,11=A ,则=)(A P __＿_｛Φ，{｛1｝｝,｛{1，2}},{{1},{1,,2}}}＿＿＿_____４. 设{}2,1=A ,则=)(A P ____{Φ,{１},{2}，{1,2}}_＿__＿_＿_＿ 5．设[a ，ｂ], (c ，d)代表实数区间,那么=-⋂)3,1(])6,2[]4,0([____[３，4]_______＿6.设Ｘ,Ｙ,Z 为任意集合,且{}3,2,1=⊕Y X ，{}4,3,2=⊕Z X ,若,Y Z ∈则一定有___Z Z ∈∈3;2____＿)4;3;2;1(Z Z Z Z ∈∈∈∈7．设,A 则=-⊕A A A )(___＿_＿Φ__＿____ 二,简答题1.设{}12,2,1 =I ，{}11,9,7,5,3,1=A ，{}11,7,5,3,2=B ，{}12,6,3,2=C ,{}8,4,2=D ,计算:;B A ⋃ C A ⋂; )(B A C ⋃-; B A -; D C -; D B ⊕;=⋃B A ｛1,2,3,5,７,９,11} C A ⋂=｛３｝ )(B A C ⋃-={6, 1２} B A -={1, 9} D C -={3，6，１2} D B ⊕=｛３，4,5,7,8，11}2.设{}{}{}b a a A ,,=,求：A ⋃; A ⋂A ⋃＝{a ，b}A ⋂＝｛a}三、设{}6,5,4,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，{}15,,|3<∈==x N n x x C n ,求:C A ⋃; A B -; )(B PC={1,8}C A ⋃={1,2,3，4,5,6,8} A B -=ΦP(B ）=｛ Φ，{２｝,｛4｝，{6}，{2,4},{2,6}，｛4，6},{2,4,6｝}四：一个班50个学生，在一次考试中有26人得5分，在第二次考试中有２1人得5分,如果两次考试中没有得5分的有１7人，那么两次考试中都得５分的有都少人?（提示：应用包含排斥原理）答:设A 为第一次考试得５分的人，B 为第二次考试得5分的人。