指数与指数幂的运算 说课稿 教学设计 教案

指数与指数幂的运算(2)

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思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.

思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题

(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①5

10

a

=35

2)(a =a 2=a

5

10;

②8a =24)(a =a 4=a 2

8; ③4

12

a =44

3)(a =a 3=a 412; ④210

a

=22

5)(a =a 5=a

2

10.

(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？

4

35,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.

讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =

n a

1

(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①5

10

a =a

5

10,②8

a =a 2

8,③412

a

=a

4

12,④210

a

=a

2

10结果的a 的指数是2,4,3,5

分别写成了

510,28,412,5

10,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.

(3)利用(2)的规律,43

5=54

3,35

7=735,5

7

a =a 5

7,n m

x

=x n

m .

(4)53

的四次方根是54

3,75

的三次方根是73

5,a 7

的五次方根是a 5

7,x m

的n 次方根是x n

m . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的. (5)如果a>0,那么

a m 的

n 次方根可表示为n

a

m =a n

m ,即a n

m =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).

综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a m

n =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).

提出问题

①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗?

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =

n a

1

(a ≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.

规定:正数的负分数指数幂的意义是a

m

n -=

m

n a

1=

n

m

a 1

(a>0,m,n ∈N *,n>1).

③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:

正数的正分数指数幂的意义是a m

n =n m a (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a

m

n -=

m

n a

1=

n

m

a 1

(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?

如(-1)31=3-1=-1,(-1)6

2=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|3

2,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.