指数与指数幂的运算说课稿教学设计教案

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《指数与指数幂的运算》教学设计

210
(25 )2
25
10
22;
3 312
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34
12
33;
12
4 a12 4 (a3)4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2)5 a2 a 5 .
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整
除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.
你能表示下列式子吗?
3
5 43 45;
3 75
5
73;
2
3 a2 a3;
9
7 a9 a7.
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.
1.规定：正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N , 且n 1)
2.规定：正数的负分数指数幂的意义：
m
an
1
m
an
1 n am
1
36
2 3 113216
111 236
236.
(2)( 3 25 125) 4 5
23
1
(53 52 )54
2131
53 54 52 54
21 31
5
5
53 4 52 4 512 54
12 55 54 5.
(1) [(
8)
2 3
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9
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105.
(2)
(
81 625
)
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指数与指数幂的运算教案

指数与指数幂的运算教案教案标题：指数与指数幂的运算教案概述：本教案旨在帮助学生理解指数与指数幂的概念，并掌握指数与指数幂的运算规则。

通过多种互动教学方法，学生将能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识，提高他们的数学思维和解决问题的能力。

教学目标：1. 理解指数和指数幂的概念。

2. 掌握指数与指数幂的运算规则。

3. 能够在实际问题中应用指数与指数幂的知识。

教学重点：1. 指数的定义和性质。

2. 指数幂的定义和性质。

3. 指数与指数幂的运算规则。

教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学课件、实物或图片示例。

2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、计算器。

教学过程：步骤一：引入（5分钟）教师通过提问和展示实物或图片示例引入指数与指数幂的概念，激发学生的兴趣和思考。

步骤二：概念讲解（15分钟）教师通过教学课件或黑板白板讲解指数的定义和性质，以及指数幂的定义和性质，并与学生一起解决一些简单的例题。

步骤三：运算规则讲解（15分钟）教师详细讲解指数与指数幂的运算规则，包括同底数相乘、相除、幂的乘方等规则，并通过例题演示运用这些规则进行运算。

步骤四：练习与巩固（20分钟）教师提供一些练习题，让学生在课堂上进行个人或小组练习，并及时给予指导和反馈。

教师还可以设计一些应用题，让学生运用指数与指数幂的知识解决实际问题。

步骤五：总结与拓展（10分钟）教师与学生一起总结本节课的重点内容，并提供一些相关拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索。

步骤六：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，要求学生独立完成，并在下节课前交给教师检查。

教学延伸：1. 学生可以通过自主学习，进一步了解指数与指数幂的应用领域，如科学计数法、指数函数等。

2. 教师可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的指数与指数幂的应用案例。

教学评估：1. 教师通过课堂练习和作业的批改，评估学生对指数与指数幂的理解和运用能力。

2. 教师观察学生在课堂上的表现，评估他们的参与度和学习态度。

指数与指数幂的运算教案

指数与指数幂的运算教案一、知识点概述指数是数学中的一个重要概念，它表示一个数的幂次。

指数幂是指一个数的指数次幂，例如a b表示a的b次幂。

指数与指数幂的运算是数学中的基本运算之一，掌握这一知识点对于学习高中数学和大学数学都非常重要。

本教案将介绍指数与指数幂的基本概念、运算规律和解题方法，帮助学生掌握这一知识点。

二、基本概念1. 指数的定义指数是表示一个数的幂次的数，通常用字母a和n表示，a表示底数，n表示指数。

指数的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。

2. 指数幂的定义指数幂是指一个数的指数次幂，例如a n表示a的n次幂。

指数幂的一般形式为a n，读作“a的n次幂”。

3. 底数和指数的关系底数和指数是指数幂的两个基本要素，它们之间的关系非常密切。

底数表示被乘数，指数表示乘数，指数越大，指数幂的值就越大。

三、运算规律1. 同底数幂的乘法同底数幂的乘法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相加，底数不变。

即a m×a n=a m+n。

例如：23×24=23+4=27。

2. 同底数幂的除法同底数幂的除法是指，当两个指数幂的底数相同时，它们的指数相减，底数不变。

即a ma n=a m−n。

例如：2523=25−3=22。

3. 幂的乘方幂的乘方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相乘，底数不变。

即 (a m )n =a mn 。

例如：(23)4=23×4=212。

4. 幂的除方幂的除方是指，当一个指数幂的底数是另一个指数幂的指数时，它们的值相除，底数不变。

即(a m )n a p =a mn−p 。

例如：(23)422=23×4−2=210。

5. 指数幂的乘方指数幂的乘方是指，当两个指数幂的指数相乘时，它们的底数不变，指数相乘。

即 (a m )n =a mn 。

例如：(23)4=23×4=212。

6. 指数幂的除方指数幂的除方是指，当两个指数幂的指数相除时，它们的底数不变，指数相除。

高中数学指数与指数幂的运算教案

高中数学指数与指数幂的运算教案一、教学目标•理解指数幂的基本概念，掌握指数幂运算法则。

•掌握指数幂运算中的乘方运算法则、除法运算法则、幂运算法则等基本准则。

•掌握如何进行数学题目的化简与计算。

二、教学重点•理解指数幂的概念，掌握乘方运算、除法运算和幂运算的基本法则。

•熟练掌握指数幂的运算方法，能够灵活运用到数学题目计算及求解中。

三、教学内容1. 指数幂的基本概念•定义：指数是乘积的简写，指数幂就是一个数自乘的多次运算。

例如 aⁿ，其中 a 是底数，n 是指数。

•概念：底数与指数是幂的构成要素。

•特征：指数幂的幂次表示底数连续乘法的次数，指数为 0 的指数幂表示为 1。

•记忆技巧：底数 a 和指数 n 都可以从“按次数”这个概念入手去记。

2. 指数幂运算法则2.1 乘法运算法则指数相加，底数不变。

aⁿ × aⁿʸ = aⁿ⁺ʸ。

例如：2² × 2³ = 2⁵2.2 除法运算法则指数相减，底数不变。

aⁿ ÷ aⁿʸ = aⁿ⁻ʸ，其中 n 〉y。

例如：5⁴ ÷ 5² = 5²2.3 幂运算法则底数相同，指数相加。

aⁿ⁺ʸ = (aⁿ)ⁿʸ。

例如：2³⁺² = (2³)² = 8² = 643. 题目解析题目1$0.5^6 \\times 0.5^3 = 0.5^{6+3} = 0.5^9$题目2$4^3 \\div 4^2 = 4^{3-2} = 4^1 = 4$题目3$(3^4)^3 = (3^{4\\times3}) = 3^{12}$四、教学方法1.以练习为主，通过大量的例题和训练来加深学生对指数幂的认识。

2.实践与归纳相结合，提高学生思维水平与解题能力。

五、教学过程1.复习知识点和概念。

2.讲解指数幂运算法则，通过例题讲解并学生操作，带领学生掌握基本的指数幂运算方法。

指数与指数幂的运算说课稿教案教学设计

指数与指数幂的运算●三维目标1．知识与技能(1)理解根式的概念，掌握n次方根的性质；(2)理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂和根式之间的互化；(3)掌握有理指数幂的运算性质；(4)培养学生观察分析、抽象等的能力．2．过程与方法(1)通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性；(2)通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辨证地分析问题、认识问题．3．情感、态度价值观(1)通过根式及分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣；(2)教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解n次方根的性质及分数指数幂的意义；(3)通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的．●重点难点重点：n次方根概念及性质、根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质．难点：根式概念、n次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算．重难点的突破：以初中学习根式为切入点，通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n次方根的定义．为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比得出n次方根的一般定义与性质．n 次方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解．分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点．教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解．对于有理指数幂的运算可引导学生类比整数指数幂的运算性质进行学习，然后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，突出重点、化解难点．【问题导思】我们知道，若x2＝9，则x＝±3，若x3＝8，则x＝2，试探究，若x n＝a(n>1，n∈N*)，则x应该怎么表示？【提示】(1)当n为奇数时，x＝n a.(2)当n 为偶数时，若a >0，则x ＝±na ；若a ＝0，则x ＝0；若a <0，则这样的x 不存在．1．根式及相关概念 (1)a 的n 次方根的定义：如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示：x ＝⎩⎪⎨⎪⎧n a ，n 为奇数±n a ，(a ≥0)n 为偶数.(3)根式．2．根式的性质(n ＞1，且n ∈N *) (1)n 为奇数时，na n ＝a . (2)n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a ＜0).(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．【问题导思】 1．根据n 次方根的定义和数的运算，得出以下式子： ①5a 10＝5(a 2)5＝a 2＝a 105(a >0)；② a 8＝(a 4)2＝a 4＝a 82(a >0)； ③4a 12＝4(a 3)4＝a 3＝a 124(a >0)．类比以上三个式子的变形，你能给出ma n (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)的变形过程吗？【提示】 m a n＝m(a n m )m ＝a nm (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．2.12能用分数指数幂表示吗？如何表示？【提示】可以.12＝2－12.1．正数的分数指数幂的意义(1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)． (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 3．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.根式性质的应用求下列各式的值：(1)3(－4)3；(2)(－9)2；(3)4(3－π)4；(4)(a －b )2.【思路探究】根指数的奇偶性→被开方数的正负――→根式性质化简求值【自主解答】 (1)3(－4)3＝－4.(2)(－9)2＝|－9|＝9. (3)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3.(4)(a －b )2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )b －a (a <b ).1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．(na)n与na n的意义不同.na n对任意a∈R都有意义；当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)－a(a<0).化简(a－1)2＋(1－a)2＋3(1－a)3＝________.【解析】由题意，首先有a－1≥0，即a≥1.(a－1)2＝a－1, (1－a)2＝|1－a|＝a－1，3(1－a)3＝1－a.∴(a－1)2＋(1－a)2＋3(1－a)3＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.【答案】 a －1用分数指数幂表示下列各式(a >0，b >0)：(1)3a ·4a ；(2)a a a ；(3)3a 2·a 3；(4)(3a )2·ab 3.【思路探究】熟练应用na m＝a mn 求解，对于所求根式中含有多重根号的，要由里向外，用分数指数幂写出，再用性质化解．【自主解答】 (1)原式＝a 13·a 14＝a 13＋14＝a 712. (2)原式＝a 12·a 14·a 18＝a 12＋14＋18＝a 78. (3)原式＝a 23·a 32＝a 23＋32＝a 136.(4)原式＝(a 13)2·(ab 3)12＝a 23·a 12b 32＝a 23＋12b 32＝a 76b 32.1．分数指数幂与根式可以相互转化，其化简的依据是公式：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．2．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．3．化简过程中要明确字母的范围，以免出错．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1)3x 6；(2)1x3；(3)x －35；(4)x 12y －23.【解】 (1)3x 6＝x 63＝x 2.(2)1x3＝1x 32＝x －32.(3)x －35＝1x 35＝15x 3.(4)x 12y －23＝x ×1y 23＝x 3y 2.化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.【思路探究】直接运用分数指数幂的运算性质求解．在计算过程中，要先把小数化为分数，再把负指数化为正指数，进行合理的运算，得出最简结果．【自主解答】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912＋10.12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝(－1)－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43.1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简下列各式(其中字母均表示正数)：(1)(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12； (2)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)．【解】 (1)原式＝[(0.4)3]－13－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]12＝(0.4)－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a .整体代换思想在条件求值中的应用(12分)已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 32－a －32a 12－a －12.【思路点拨】 (1)(2)利用整体代入思想，寻找“a 12＋a －12”与a ＋a －1及a 2＋a －2之间的关系．(2)利用立方差公式求解即可．【规范解答】 (1)∵a 12＋a －12＝3，∴a ＋a －1＝(a 12＋a －12)2－2＝7.4分(2)由a ＋a －1＝7得a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝47.8分(3)a 32－a －32a 12－a －12＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)a 12－a －12＝a ＋a －1＋1＝8.12分本题是已知代数式的值求其他代数式的值，通常又称为“知值求值”，解决此类问题的步骤是(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的特点；(2)化简：化简已知条件与所求代数式；(3)求值：把条件代入求值．小结1．注意n a n 同(n a )n 的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a的正负，而后者(na)n＝a是恒等式，只要(na)n有意义，其值恒等于a.2．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．3．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．。

人教版高中数学必修一教材《指数与指数幂的运算》教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程1(0)n na a a -=≠;()mnm nm n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 1051025255()aa a a ===② 884242()a a a a ===③1212343444()aa a a ===④5105102525()aa a a===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：2323(0)a a a ==>12(0)b b b ==>5544(0)c c c ==>即：*(0,,1)m nmna a a n N n =>∈>老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从“特殊一备选例题例1计算（1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+；【解析】（1）原式1122141149100⎛⎫⎛⎫=+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111.61015=+-=（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ =3121)31()87(31.0---+-+=73142778910=+-+.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式：（1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-. 【解析】（1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a=323732-÷÷a a a=312213732)()(-÷÷a a a=326732326732---÷=÷÷aa aa a=613221a a =+-；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=a a a a =⋅⋅=313131.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。

指数与指数幂的运算教案

指数与指数幂的运算教案一、教学目标：知识与技能目标：1. 理解指数与指数幂的概念。

2. 掌握指数幂的运算性质和运算法则。

3. 能够运用指数幂的运算性质解决实际问题。

过程与方法目标：1. 通过观察、分析和归纳，培养学生发现和提出问题的能力。

2. 利用同底数幂的乘法、除法、乘方和积的乘方等运算法则，提高学生的逻辑思维能力。

情感态度与价值观目标：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。

2. 培养学生勇于探索、合作的科学精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 指数与指数幂的概念。

2. 指数幂的运算性质和运算法则。

难点：1. 理解指数幂的运算性质和运算法则。

2. 运用指数幂的运算性质解决实际问题。

三、教学准备：教师准备：1. 指数与指数幂的相关教学素材。

2. 教学课件或板书设计。

学生准备：1. 预习指数与指数幂的相关知识。

2. 准备好笔记本，用于记录重点知识和练习。

四、教学过程：1. 导入：教师通过引入日常生活中的实际问题，如“银行的复利计算”，引导学生思考指数与指数幂的概念。

2. 新课讲解：教师讲解指数与指数幂的概念，通过示例和图示，帮助学生理解指数幂的运算性质和运算法则。

3. 课堂练习：教师给出一些指数幂的运算题目，要求学生独立完成，并及时给予指导和反馈。

4. 应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用指数幂的运算性质解决，培养学生的应用能力。

五、课后作业：教师布置一些有关指数与指数幂的练习题目，要求学生在课后完成，巩固所学知识。

教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，了解学生的学习情况，针对存在的问题，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

六、教学评估1. 课堂提问：教师通过提问了解学生对指数与指数幂概念的理解程度，以及学生对指数幂运算性质和运算法则的掌握情况。

2. 课堂练习：教师观察学生在练习过程中的表现，评估学生对指数幂运算的熟练程度。

3. 课后作业：教师批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的掌握情况，发现问题及时给予反馈。

指数与指数幂的运算说课稿

指数与指数幂的运算说课稿(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数与指数幂的运算（2）从容说课指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，了解无理数指数幂的概念.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法.教学中可以通过根式和分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解.由于学生已经有了负整数指数幂的学习经历，正分数指数幂的概念引入后，学生不难理解负分数指数幂的意义，教学中，可以引导学生自己得出anm=nma1（a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1）.三维目标一、知识与技能1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.三、情感态度与价值观1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握. 教学难点1.分数指数幂概念的理解.2.有理指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习. （多媒体显示如下练习，生口答）①532=________；②481=________；③102=________；④3123=________. 生：①2 ②3 ③25④34.师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？（组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）102=25=2210，3123=34=3312.师：你对上面的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式. 师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？（生思考片刻，师继续阐述）师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.二、讲解新课（一）分数指数幂的意义师：32a ，b ，45c 等通过类比可以写成什么形式说明了什么问题生：a 32，b 21，c 45.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式.师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗? （生在师的指导下，得出一般性的结论）（师板书正分数指数幂的意义）规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？生：负整数指数幂的意义为a －n =n a1（a ≠0，n ∈N *）.师：负分数指数幂的意义如何规定呢你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢（组织学生讨论交流，得出如下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.规定：anm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢如果去掉这个规定会产生怎样的局面合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a ＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，例如，（－1）31和（－1）62应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（－1）31=31-=－1；（－1）62=62)1(-=61=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子32a =a 32（a ＞0）中，若无a ＞0这个条件，32a =|a |32；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，53)2(-=－532=－253.知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上.（二）有理数指数幂的运算法则师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质： ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. （三）例题讲解【例1】求值：832；2521-；（21）－5；（8116）43-.（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写）解：832=（23）32=23×32=22=4；2521-=（52）21-=5)21(2-⨯=5－1=51；（21）－5=（2－1）－5=25=32；（8116）43-=（32）)43(4-⨯=（32）－3=827. 【例2】用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）：a 3·a ；a 2·32a ；3a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）解：a 3·a =a 3·a 21=a213+=a 27；a 2·32a =a 2·a 32=a322+=a 38；3a =（a ·a 31）21=（a 34）21=a 32.方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【例3】计算下列各式（式中字母都是正数）：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）；（2）（m 41n83-）8.解：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）=［2×（－6）÷（－3）］a612132-+b653121-+=4ab 0=4a ；（2）（m 41n 83-）8=（m 41）8（n83-）8=m 2n －3=32nm .【例4】计算下列各式：（1）（325－125）÷425；（2）322aa a ⋅（a ＞0）.解：（1）（325－125）÷425=（532－523）÷521=532÷521－523÷521=52132-－52123-=561－5=65－5；（2）322a a a ⋅=32212a a a ⋅=a32212--=a 65=65a .三、巩固练习课本P 63练习：1，2，3.（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）解：21=a ；a 43=43a ；a53-=531a；a32-=321a.2.（1）32x =x 32；（2）43)(b a +=（a +b ）43；（3）32)(n m -=（m －n ）32；（4）4)(n m -=（m －n ）24=（m －n ）2；（5）56q p =（p 6q 5）21=p 216⨯q215⨯=|p |3q 25；（6）mm 3=m213-=m 25.3.（1）（4936）23=［（76）2］23=（76）3=343216；（2）23×35.1×612=2×321×（32）31×（22×3）61=231311+-×3613121++=2×3=6；（3）a 21a 41a 83-=a834121-+=a 83（a ＞0）；（4）2x31-（21x 31－2x 32）=2×21×x 3131+-－2×2×x )32(31-+-=x 0－4x －1=1－x4. 四、课堂小结师：本节课你有哪些收获能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.分数指数幂的意义规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a nm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法则 ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. 五、布置作业课本P 69习题组第2，4题. 板书设计指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义2.有理数指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。

《指数与指数幂的运算(第1课时)》教学设计

指数函数指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础．（二）学习目标1．理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简．2．理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂之间的互化．（三）学习重点1．根式与分数指数幂概念的理解．2．分数指数幂的运算性质．（四）学习难点根式与分数指数幂的互化．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果ax n=，那么x叫做a的n次方根，其中1>n，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．式子n a 叫做根式．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）计算下列各式 ①364-；②44)6(1-；③)0,0(55≥≥+b a b a ）（观察上面的计算结果，你得到的结论是：（用字母表达）．详解：①44)4()4(6433-=-⨯-⨯-=-）（； ②61)6(1)6(1)6(1)6(161)6(144444=-⨯-⨯-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-； ③()()()()()b a b a b a b a b a b a b a +=+⋅+⋅+⋅+⋅+=+555）（结论：n 为奇数，R a a a n n ∈=，；n 为偶数，⎩⎨⎧<-≥=0,0a a a a a n n ，．2．预习自测（1）若x 表示实数，则下列说法正确的是（）A ．x 一定是根式B ．x -一定不是根式C ．56x 一定是根式 D ．3x -只有当0≥x 才是根式【知识点】根式的定义．【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得C 正确．【思路点拨】根据根式的定义直接判断．【答案】C ．（2）=-552）（（） A ．4 B ．2 C ．4- D ．2-【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】()()()()()2222222555-=-⋅-⋅-⋅-⋅-=-）（．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】D ．（3）将235写为根式，则正确的是（）A ．325B ．35C ．523 D ．35【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】32355=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D ．（4）将536写为分数指数幂的形式，则正确的是（）A ．356 B ．536 C ．156 D ．26【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】535366=【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】B．二课堂设计1．知识回顾（1）平方根一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot）或二次方根．（2）立方根一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cuberoot）或三次方根．（3）正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同．2.问题探究探究一根式的概念与根式的化简●活动①回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot）或二次方根．其中，a叫做被开方数．当a≥0时，a表示a的算术平方根．我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cuberoot）或三次方根．提问：如果一个数的4次方等于a ，那么这时候这个数叫做什么呢这个数叫做a 的四次方根．追问：如果一个数的n 次方等于a ，那么这时候这个数又叫做什么呢（抢答）一般地，如果a x n =，那么叫做a 的n 次方根，其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解．●活动②根式的性质*,1)n n ∈N >表示n a 的n 次方根，等式a a n n =一定成立吗如果不一定成立，那么n n a 等于什么（分小组讨论）若00a ==n 为奇数时，a a n n =n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n也就是说，当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数；当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．追问：a a n n=)(一定成立吗很明显，当根式有意义的情况下a a n n=)(一定成立．综上，根式的性质有：00)1(=n ，a a n n=))(2(，a a n n =)3(（n为大于1的奇数），⎩⎨⎧<-≥==)0()0()4(a a a a a a nn（n为大于1的偶数）．【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结，得出根式的化简方法，加深印象．探究二分数指数幂的概念★ ●活动①探究分数指数幂的概念当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值．例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，……当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(．问题：以上三个数的含义到底是什么呢考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡6000年，10000年，100000年后体内碳14含量P 的值．例如，当t =6000时，600057301()0.4842p ==≈（精确到），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的%．归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数．【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言，从特殊到一般，体会概念的提炼，抽象过程．探究三根式与分数指数幂的互化 ●活动①根式与分数指数幂的互化5102552510)(aa a a===，4123443412)(a a a a===问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式（2））（0,,4532>c c b a 如何表示 3232aa =，21bb =，4545c c =规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm你能得出正数的负分数指数幂的根式表示形式吗？1*()0,,,1)m m nn aa a m n N n --==>∈>正数的分数指数幂是45c 327-±3327333-=-=-）（552)()(b a b a -+-)(2b a -0)(2b a -ba -√（a -b）2+√(a -5)55=|a -b |+(a -b )={a -b+a -b=2(a -b ),a>b b -a+a -b=0,a<bx -2964422+--+-x x x x 52-x 12--x 1-x25-x -202≥-x 2≤x442+-x x x x -=-=222）（x x x x -=-=+-339622）（1-=⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn21<a ()4212-a 12-a 12--a a 21-a 21--21<a 012<-a ()a a a 2112122142-=-=-）（n⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn )0(21≠-=-x x x ）（)0(3162<=y y y )0,()(4343≠=-y x xy y x ）（331x x -=)0(21≠-=-x x x )0(3162<-=y y y ）（331x x =7717)(m n mn＝31242)2(－＝－43433)(y x y x ＋＝＋833)43(23=777)(-m n mn ＝31242)2(＝－5.03132)972()27125()027.0(-+14106)31()16174()23(30----⋅+09.0)35()35()3.0(233323=-+=3903322==-=09.0√3−9203115.03)27102(1.0)972(π-++--313125.01041027.010)833(81)87(3)0081.0(⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯----53113103+73412=+=+=983)323(31310)103(10)23(1331)103(133334444-=-+⨯-=⨯-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⨯-=1131298-a x n =*N ∈n n a )1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm1*()0,,N ,1)m m nn aa a m n n --==>∈>aa nn =⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a nn)1,N ,,0(*>∈>=n n m a a a n m nm *0,,N ,1)m naa m n n -=>∈>，n 的位置切勿记反．（三）课后作业基础型自主突破1．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（）． ①n mnmaa=；②10=a；③nmnm aa1=-A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【知识点】根式与分数指数幂的互化，分数指数幂．【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断．【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】A ．2．已知432=-x 则x 等于（）A ．8±B ．81±C ．443D ．322±【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】814143232332±=±=±==---）（x x【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】B ．3．下列说法中正确的个数是（）①－2是16的四次方根 ②正数的n 次方根有两个 ③a 的n 次方根就是na④a a n n =（≥a 0）A ．0B ．1C ．2D ．3【知识点】n 次方根和n 次根式的概念．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】①是正确的，由4(2)16-=可验证；②不正确，要对n 分奇偶讨论；③不正确，a 的n 次方根可能有一个值，可能有两个值，而n a 只表示一个确定的值，它叫根式；④正确，根据根式运算的依据，当n 为奇数时，n n a ＝a 是正确的，当n 为偶数时，若a ≥0，则有n n a ＝a ．综上，当a ≥0时，无论n 为何值均有n n a ＝a 成立．【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断．【答案】C ．4．若式子4321--）（x 有意义，则x 的取值范围是（）A ．R x ∈B ．21≠x C ．21>x D ．21<x 【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】434321121）（）（x x -=--，若4321--）（x 有意义，则021>-x ，即21<x ．【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得x 的范围．【答案】D ．5．计算下列各式：（1）44481⨯（2）63125.132⨯⨯【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】（1）62323481444444=⨯=⨯=⨯；（2）633362363322332232332125.132⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯ 6323332613121=⨯=⨯⨯⨯=．【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解．【答案】（1）6；（2）6．6．化简625625++-=________．【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】32232362562522=++-=++-）（）（．【思路点拨】根号里面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果．【答案】32．能力型师生共研7．a a a n n n n 2)(=+时，实数a 和正整数n 所应满足的条件．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由a a a n n n n 2)(=+，若n 为奇数，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立；若n 为偶数，则a ≥0，a a a a a n n n n 2)(=+=+，上式成立．【思路点拨】利用指数的运算法则，对n 为奇数或偶数进行讨论．【答案】n R a ，∈为正奇数或a ≥0，n 为正偶数．8．已知*N ∈n ，化简()(111112n ----+++++++=_____．【知识点】根式的化简运算．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式)21)(21(21-+-=(n +++ 1112312-+=-+++-+-=n n n 【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化．【答案】11-+n ．探究型多维突破9．已知32323232-+=+-=y x ，，求下列各式的值．（1）xy y x +；（2）22y xy x +-．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）194347347347347)32(32)32(322222=-+++-=-+++-=+）（）（x y y x ；（2）19332323232323232322222=-++-+⋅+--+-=+-）（）（y xy x 【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简．【答案】（1）194；（2）193．10．若0,0>>y x 且满足y xy x 152=-，求y xy x yxy x +-++322的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】y xy x 152=-即为()()035=+-y x y x ，因为0,0>>y x ，故05=-y x ，所以y x 25=，321632525325225232222==+-++⨯=+-++y yy y y yy y y xy x y xy x ．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】3．自助餐1．式子a a 1－经过计算可得到（）A ．a －B ．aC ．－aD ．－a －【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】由原式知a ＜0，因此2a ＝｜a ｜＝－a ，故a ＝a －，于是a a 1－＝－)1(2a a －＝－a －．【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数．【答案】D ．2．下列说法正确的是（）．A ．64的6次方根是2B ．664的运算结果是2±C ．1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立D ．1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【知识点】方根与根式的概念，根式的化简．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】A 选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B 选项的运算结果应该是2，C 选项当a 为负数则不成立．【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断．【答案】D ．3．当8＜x ＜10时，＝－＋－22)10()8(x x __________．【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】2)8(－x 8-=x 8-=x ，2)10(－x x x -=-=1010．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．【答案】2．4．化简：=-+20122011)23()23(____________．【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】原式20112222⎡⎤=+⋅-⋅=-⎣⎦）））．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】32-．5．求使下列等式成立的x 的取值范围．（1）1212--=--x x x x （2）2)2()4)(2(2+-=--x x x x【知识点】根式的化简运算．【数学思想】【解题过程】（1）12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x 或⎩⎨⎧<-≤-0102x x ，解得2≥x 或1<x ，而12--x x 成立的条件为⎩⎨⎧>-≥-0102x x ，解得2≥x ，所以等式成立条件为2≥x ．（2）原等式可变形为2)2()2()2(2+-=+-x x x x ，而使得a a -=2成立的条件是0≤a ，结合偶次根式的定义域即可得到⎩⎨⎧≥+≤-0202x x ，解得22≤≤-x ．【思路点拨】明确a a n n =成立的条件．【答案】（1）2≥x ；（2）22≤≤-x ．6．计算下列各式（式中字母都是正数）（1）0143231)12(3256)71(027.0-+-+----- （2）23241)32()827(0081.0+-- 【知识点】根式与分数指数幂的互化化简求值．【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）原式[]191316449310131)4()7()103(43421313=+-+-=+-+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--- （2）原式103949410394)23(10394)23()103(2323414=+-=+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-- 【思路点拨】正确运用根式与分数指数幂的互化法则．【答案】（1）19；（2）103．。

《指数与指数幂的运算》教案新部编本

精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan《指数与指数幂的运算》教课设计一、教材剖析本节是高中数学新人教版必修 1 的第二章 2.1 指数函数的内容二、三维目标1．知识与技术（1）理解 n 次方根与根式的观点；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）认识分类议论思想在解题中的应用.2．过程与方法经过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n 次方根的观点，从而学习根式的性质 .3．感情、态度与价值观（1）经过运算训练，养成学生谨慎治学，谨小慎微的学习习惯；（2）培育学生认识、接受新事物的能力三、教课要点教课要点：（ 1）根式观点的理解；（ 2）掌握并运用根式的运算性质四、教课难点教课难点：根式观点的理解五、教课策略发现教课法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并概括其变形特色，从而由特殊情况概括出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推行到实数范围内.由此让学生领会发现规律，并由特别推行到一般的研究方法.六、教课准备回首初中时的整数指数幂及运算性质，a n a a a a, a0 1 (a0)七、教课环节教教课内容师生互动设计意学图环精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan 节提回首初中时的整数指数幂及运算性质.出问a n a a a a, a0 1 ( a 0)题00无心义a n1( a 0)a na m a n a m n ; (a m )n a mn(a n )m a mn , (ab)n a n b n什么叫实数？有理数，无理数统称实数.复察看以下式子，并总结出规律： a ＞0习① 5 a10 5 (a2)5a210a 5引② a8(a4 ) 2a48入a2③ 4 a12 4 (a3)4a312 a 4④ 5 a105a210a 5 (a2 )5小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式能够写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）根式的被开方数不可以被根指数整除时，根式能否也能够写成分数指数幂的形式.如：3 a22a 3(a0) 1b b2(b0)4 c55c4(c0)m即：n a m a n (a 0, n N * ,n 1)老师发问，学习学生回答 .新知前的简单复习，不单能唤起学生的记忆，并且为学习新课作好了知识上的准备 .老师指引学生“当根式的被开数学方数的指数能被根指数整除时，根中引进一式能够写成分数作为指数的形式，个新的概（分数指数幂形式）”联想“根式的念或法例被开方数不可以被根指数整除时，根时，总希式能否也能够写成分数指数幂的形望它与已式 .”从而推行到正数的分数指数幂有的观点的意义 .或法例是相容的 .形为此，我们规定正数的分数指数幂的意学生计算、结构、猜想，同意沟通让学成义为：议论，报告结论．教师巡视指导．生经历从概“特别一精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan念mn a m (a 0, m, n N * )一般”，a n“概括一正数的定负分数指数幂的意义与负整猜想”，数幂的意义相同 .是培育学m1*即： a n生“合情m (a 0, m, n N )a n推理”能规定： 0 的正分数指数幂等于0，0 的负力的有效分数指数幂无心义 .方式，同说明：规定好分数指数幂后，根式与分时学生也数指数幂是能够交换的，分数指数幂不过根经历了指式的一种新的写法，而不是数幂的再n111发现过a m a m a m a m (a0)程，有益于培育学生的创建能力．深因为整数指数幂，分数指数幂都存心让学生议论、研究，教师指引．经过本化义，所以，有理数指数幂是存心义的，整数环节的教概指数幂的运算性质，能够推行到有理数指数学，进一念幂，即：步领会上（ 1）a r a s a r s (a0, r , s Q )一环节的（ 2）( a r)S a rs (a0, r , s Q )设计意图．（3）( a b)r a r b r (Q 0, b 0, r Q)若 a ＞0，P是一个无理数，则P该怎样理解？为认识决这个问题，指引学生先阅读课本 P57——P58.即： 2 的不足近似值，从由小于 2 的方向迫近 2 ， 2 的剩余近似值从大于2的方向迫近 2 .所以，当 2 不足近似值从小于 2 的方向迫近时， 52的近似值从小于 52的方向精选教课教课设计设计 | Excellent teaching plan迫近5 2 .当2 的剩余似值从大于 2 的方向逼近2 时，5 2 的近似值从大于 5 2 的方向逼近 5 2 ，( 如课本图所示 )2所以， 5是一个确立的实数 .a p (a 0, p 是一个无理数 ) 是一个确定的实数，有理数指数幂的性质相同合用于无理数指数幂 .无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和剩余近似值无穷地迫近以确立大小 .思虑： 2 3 的含义是什么？由以上剖析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂存心义，且它们运算性质相同，实数指数幂存心义，也有相同的运算性质，即：rsrsa aa (a 0, r R, s R)rsrs(a )a (a 0, r R, s R)rrr(a b) a b (a 0, r R)应例题用例 1（ P 56 ，例 2）求值举211) 5；( 383；25 2；(16) 4. 例2 81例 2（ P 56，例 3）用分数指数幂的形式表或以下各式（ a ＞ 0）a 3 . a ； a2 3a 2；a 3a .剖析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算 .117解： a 3 . a a 3 a23a 2；a2学生思虑，口答，教师板演、评论．例 1解：22① 83(23)33 222 4 ；2311② 252 (52) 22 ( 1 )11 52 5；5③ (1)5(21)52经过这二个例题的解答，稳固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan22 28 2 1 ( 5)32 ；a 2 3 a 2 a 2 a 3 a3a 3；3 3162 4( )④ () 4( )4144 12813a 3aa a 3 a 3 (a 3 ) 2 a 3 .2 327().讲堂练习： P 59 练习第 1，2，3， 4 题38例 2 剖析：先把根式化为分数增补练习：(2n 1 )4 ( 1)2 n 1指数幂，再由运算性质来运算 .11. 计算：n2 的结果；解： a 3 . a a3a 224 817若 a 3 3,a10384,32. a 2a 2 ；12求 a 3 [(a 10) 7 ]n 3的值 .a 2 3 a 2a 2 a 3a 32 2 8a3a 3 ；a 314aa a 3a 341 2( a 3 ) 2 a 3 .练习答案：24 n 4 2 2n 11.解：原式 = 22 n2 6= 29 =512 ；1]n 32.解：原式 = 3 [(128) 7 = 32n 3.归1．分数指数是根式的另一种写法 .先让学生单独回想，而后师生纳2．无理数指数幂表示一个确立的实数.共同总结．总3．掌握好分数指数幂的运算性质，其结与整数指数幂的运算性质是一致的.课作业： 2.1 第二课时习案学生独立达成后力．稳固本节学习成就，使学生逐渐养成爱总结、会总结的习惯和能力．稳固新知精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan作提高业能力。

人教A版指数与指数幂运算说课

.
引导学生应用整体代换的方法解题，为课后延续的选做题提供思路.
教学过程
引导学生从以下几点归纳本课时的主要学习内容： 1. 根式与分数指数幂的互化方法.
m
2. a幂n的运n算a法m则(.a0，m，nN*，且 n1)；
3. a指根(aar数式m nr)a幂为 ss运分a1a算数m nar指的rss数一n(a，般(1 aam 化规0小律(， 0a，数与r为方， r0 ，分法， s数：sm 进化Q， Q 行负)； n )运指；算数N 为.*，正指数且 n，化1). (ab)r arbr (a0，b0，rQ).
教学过程
教学过程
教学过程
1.整数指数幂的概念
a 2.n 整数a 指数a 幂的运a 算(性n 质N * )； a3.m平方an根与n个 a立m方an根(m，nZ)； a0m 1an(aam0n)；(a 0且m，nZ)； a((aanmb))nn a1naan(mbann(0(mm且，，nnnNZZ*)).)；.
谢谢！
结语
谢谢大家！
教材分析
2.过程与方法引领学生以初中所学的二次根、整数指数幂等部分指
数的知识为工具，采用类比的方法将平方根、立方根过渡
到过程，并在探究过程中理解并掌握幂的运算方法.
教材分析
3.情感、态度与价值观引导学生在对新知识的探究学习过程体会到自主探究
教材的地位与作用
教材分析
本课时的学习内容是学生在初中已学习了的数的二次根式、整数指数幂等部分指数知识的延续与拓展，同时也是学生学习指数函数及其性质的基础和准备，它能为学生以后的学习提供良好的理论保证.因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用.
教材分析

指数与指数幂的运算教案

指数与指数幂的运算(一)课题：指数与指数幂的运算课型：新授课教学方法：讲授法与探究法教学媒体选择：多媒体教学教学目标：1.知识与技能：理解根式的概念及性质，掌握分数指数幂的运算，能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化.2.过程与方法：通过探究和思考，培养学生推广和逼近的数学思想方法，提高学生的知识迁移能力和主动参与能力.3.情感态度和价值观：在教学过程中，让学生自主探索来加深对n次方根和分数指数幂的理解，而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点：根式的概念及n次方根的性质；分数指数幂的意义及运算性质；分数指数幂与根式的互化.教学难点：n次方根的性质；分数指数幂的意义及分数指数幂的运算.教学流程图：教学过程设计：一．新课引入：（一）本章知识结构介绍（二）问题引入1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系：（1）当生物死亡了5730年后，它体内的碳14含量P 的值为（2）当生物死亡了5730×2年后，它体内的碳14含量P 的值为（3）当生物死亡了6000年后，它体内的碳14含量P 的值为（4）当生物死亡了10000年后，它体内的碳14含量P 的值为2.回顾整数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质：3.思考：这些运算性质对分数指数幂是否适用呢？12212⎛⎫ ⎪⎝⎭6000573012⎛⎫⎪⎝⎭10000573012⎛⎫ ⎪⎝⎭【师】这就是我们今天所要学习的内容《指数与指数幂的运算》【板书】2.1.1 指数与指数幂的运算二．根式的概念：【师】下面我们来看几个简单的例子.口述平方根，立方根的概念引导学生总结n次方根的概念..【板书】平方根，立方根，n次方根的符号，并举一些简单的方根运算，以便学生观察总结.【师】现在我们请同学来总结n次方根的概念..1.根式的概念【板书】概念即如果一个数的n次方等于a(n>1，且n∈N*)，那么这个数叫做a 的n次方根.【师】通过刚才所举的例子不难看出n的奇偶以及a的正负都会影响a的n次方根，下面我们来共同完成这样一个表格.【板书】表格n n是奇数n是偶数a的符号a<0 a>0 a<0 a>0 a的n次方无意义根【师】通过这个表格，我们知道负数没有偶次方根.那么0的n 次方根是什么？【学生】0的n 次方根是0.【师】现在我们来对这个符号作一说明.例1.求下列各式的值【注】本题较为简单，由学生口答即可，此处过程省略. 三．n 次方根的性质【注】对于1提问学生a 的取值范围，让学生思考便能得出结论. 【注】对于2，少举几个例子让学生观察，并起来说他们的结论.44(3)(3);π-2(2)(10);-2(4)()().a b a b ->33(8);-（1）根指数被开方数根式1.n次方根的性质四．分数指数幂例：【师】这两个根式可以写成分数指数幂的形式，是因为根指数能整除被开方数的指数，那么请大家思考下面的问题.思考：根指数不能整除被开方数的指数时还能写成分数指数幂的形式吗?【师】如果成立那么它的意义是什么，我们有这样的规定.（一）分数指数幂的意义：1.我们规定正数的正分数指数幂的意义是：2.我们规定正数的负分数指数幂的意义是：3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（二）指数幂运算性质的推广：五．例题例2.求值例3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a>0）例4.计算下列各式（式中字母都是正数）【注】此处例2让学生上黑板做，例3待学生完成后老师在黑板板演,例4让学生黑板上做，然后纠正错误.六．课堂小结1.根式的定义；2.n次方根的性质；3.分数指数幂.七．课后作业P59习题2.1 A组1.2.4. 八．课后反思。

教学设计：2.1.1 指数与指数幂的运算

§2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时根式对于指数与指数幂的运算这节课，分两个课时讲解. 一．教学目标：1．知识与技能：理解n 次方根和根式的概念； 2．过程与方法：（1）通过与初中所学的知识进行类比，掌握n 次方根及根式的概念. （2）正确运用根式运算性质进行运算，体验分类讨论思想的应用. 3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握根式的运算性质； 2．教学难点：根式概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体教学过程一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊，当n 为偶数时，a 的n 次方根中，表示，如果是负数，用叫做根式.n 为奇数时，a 的nn 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？,,:,,n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数的次方根有一个为正数为偶数的次方根有两个为n a n a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n0=举例：16的次方根为2±，275-的27-的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况. 例1 求下列各式的值:(1)33)8(-;(2)2)10(-;(3)44)3(π-;(4)2)(b a -(a >b ).活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数.解：(1)33)8(-=－8; (2)2)10(-=10; (3)44)3(π-=π－3; (4)2)(b a -=a －b (a >b ).点评：不注意n 的奇偶性对式子nna 的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用. 变式训练求出下列各式的值: (1)77)2(-; (2)33)33(-a (a ≤1); (3)44)33(-a . 解：(1)77)2(-=－2， (2)33)33(-a (a ≤1)=3a －3， (3)44)33(-a =⎩⎨⎧<-≥-.1,33,1,33a a a a点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a 与1大小的讨论，造成错解. 例2223++223-=_________活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路.解：223+=2)2(221++=2)21(+=2+1.223-=122)2(2+-=2)12(-=2－1.所以223++223-=22.点评：不难看出223-与223+形式上有些特点，即是对称根式，是B A 2±形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式. 思考：上面的例2还有别的解法吗?活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是+，一个是－，去掉一层根号后，相加正好抵消.同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法.另解：利用整体思想，x =223++223-，两边平方得x 2=3+22+3－22+2(223+)(223-)=6+222)22(3-=6+2=8，所以x =22.点评：对双重二次根式，特别是B A 2±形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对B A B A 22-±+的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解. 变式训练a －1，求a 的取值范围.解：a －12)1(-a =|a －1|=a －1，即a －1≥0，所以a ≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键. 知能训练(教师用多媒体显示在屏幕上) 1.以下说法正确的是( ) A.正数的n 次方根是一个正数 B.负数的n 次方根是一个负数 C.0的任何次方根都是零D.a 的n 次方根用n a 表示(以上n ＞1且n ∈N *). 答案：C 2.化简下列各式:(1)664;(2)42)3(-;(3)48x ;(4)636y x答案：(1)2;(2)9;(3)x 2;(4)|x |y ;(5)|x －y |.3.计算407407-++=__________.解：407407-++=2222)2(252)5()2(252)5(+•-++•+ =22)25()25(-++=5+2+5－2- =25. 答案：25 拓展提升问题：n na =a 与(n a )n =a （n ＞1，n ∈N ）哪一个是恒等式，为什么?请举例说明.活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下.再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论. 解答：①（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）.如果x n =a （n ＞1，且n ∈N ）有意义，则无论n 是奇数或偶数，x =n a 一定是它的一个n 次方根，所以（n a ）n =a 恒成立.例如：（43）4=3，33)5(-=－5.②n na =⎩⎨⎧.|,|,,为偶数当为奇数当n a n a当n 为奇数时，a ∈R ，nna =a 恒成立.例如：552=2，55)2(-=－2.当n 为偶数时，a ∈R ，a n ≥0，n n a 表示正的n 次方根或0，所以如果a ≥0，那么n na =a .例如443=3，40=0；如果a ＜0，那么n n a =|a |=－a ，如2(-3)=23=3.即（n a ）n =a （n ＞1，n ∈N ）是恒等式，nn a =a （n ＞1，n ∈N ）是有条件的.点评：实质上是对n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：(0),||(0)n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时四．作业：P 69习题2.1 A 组第1题第2课时有理指数幂的运算一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂概念的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂概念的理解三．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法2．教具：多媒体四、教学过程：提问：1．习初中时的整数指数幂，运算性质？00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义1(0)n na a a -=≠;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== (),()n m mn n n n a a ab a b ==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0 ①1025a a === ②842a a ===③1234a a ===1025a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m na a n N n =>∈>为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：*0,,)m na a m n N =>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即：*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)n mm m maa a a a =⋅⋅⋅⋅>由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)rr ra b a b Q b r Q ⋅=>>∈若a ＞0，P 是一个无理数，则(0,)pa a p >是一个无理数该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 62——P 62.的不足近似值，的.所以，的方向逼近时，的过剩似值从大于时，(如课本图所示)所以，.一般来说，无理数指数幂(0,)pa a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈例1求值:①832;②2521-③(21)－5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23，25写成52，21写成2－1，8116写成(32)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4; ②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5－1=51; ③(21)－5=(2－1)－5=2－1×(－5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)－3=827.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解.在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如832=328=364=4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a >0).活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结. 解：a 3·a=a 3·a 21=a213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a ·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(－6a 21b 31)÷(－3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤. 解：（1）原式=［2×(－6)÷(－3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a ;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m841⨯n 883⨯-=m 2n －3=32n m . 点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法.有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4求值或化简. (1)3224ab ba -(a >0，b >0);(2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a >0，b >0);(3)246347625---+-.活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5，7，6拆成(3)2+(2)2，22+(3)2，22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律. 解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a －2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254. 点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)246347625---+-=222)22()32()23(---+- =3－2+2－3－2+2 =0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用.例5化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a －3)(a 3－a －3)÷［(a 4+a －4+1)(a －a －1)］.活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x32)3，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幂的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流.解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2－(a －3)2］÷［(a 4+a －4+1)(a －a －1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a +a －1. 点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用，因为二项和、差公式，平方差公式一般在使用中一目了然，而对立方和立方差公式却一般不易观察到，a 23=(a 21)3还容易看出，对其中夹杂的数字m 可以化为m ·a 21a 21-=m ，需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力. 知能训练课本P 59习题2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1－2321-)－1 B.(1－2321-)－1 C.1－2321- D.21(1－2321-) 分析:根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1－2321-)=1－2161-，所以原式的分子分母同乘以(1－2321-)，依次类推，所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1－2321-)－1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1－2+(22710)32-－3π0+9－0.5+490.5×2－4.解：原式=(925)21+100+(6427)32－3+4921×161=53+100+169－3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a ≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a ≥1).本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习.4.设a >0，x =21(a n 1－a n 1-)，则(x +2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看，应先化简，然后再求值，这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1－a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2，再算出2x 1+，将x =21(a n 1－a n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(a n 1－a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x +2x 1+)n =［21(a n 1－a n 1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1－a n1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a .答案：a 课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地，无理数指数幂a α（a >0，α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r ，s ，均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r +s (a >0，r ，s ∈R ). ②(a r )s =a rs (a >0，r ，s ∈R ). ③(a ·b )r =a r b r (a >0，b >0，r ∈R ). (3)逼近的思想，体会无限接近的含义. 作业课本P60习题2.1 B组 2.。

指数与指数幂的运算(教案)

2.1.1（1）指数与指数幂的运算（根式）
教学目标知识与技能目标：
理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。

过程与方法目标：
通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n 次方根；
通过对“当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n ”的理解，培养学生分类讨论的意识。

情感、态度、价值观目标：
通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。

教学难点：当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n 的得出及运用。

教学过程：
板书设计：
2.1指数函数
2.1.1指数与指数幂的运算（一）
定义例1 例3
性质例2
教学反思：（课后完善）。

指数与指数幂的运算教学设计

指数与指数幂的运算教学设计教学设计1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想、类比的思想、逼近的思想、数形结合的思想等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点分数指数幂和根式概念的理解．掌握并运用分数指数幂的运算性质．运用有理指数幂的性质进行化简、求值．教学难点分数指数幂及根式概念的理解．有理指数幂性质的灵活应用．课时安排课时教学过程第1课时路致芳导入新思路1．同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．思路2．同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．推进新新知探究提出问题什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．讨论结果：若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a 的六次方根．类比得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．用一个式子表达是，若xn＝a，则x叫a的n次方根．教师板书n次方根的意义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．提出问题你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？.①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？问题中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？任何一个数a的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na．②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．上面的文字语言可用下面的式子表示：a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n 为偶数，a的n次方根不存在.零的n次方根为零，记为n0＝0.可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例．思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式．根式的概念：式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数．如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．思考nan表示an的n次方根，式子nan＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理．〔如33＝3－27＝－3，44＝|－8|＝8〕．解答：根据n次方根的意义，可得：n＝a.通过探究得到：n为奇数，nan＝a.n为偶数，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a<0.因此我们得到n次方根的运算性质：①n＝a.先开方，再乘方，结果为被开方数．②n为奇数，nan＝a.先奇次乘方，再开方，结果为被开方数．n为偶数，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方，结果为被开方数的绝对值．应用示例思路1例求下列各式的值：3；2；44；2．活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．＝10；4＝π－3；＝a－b．点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．变式训练求出下列各式的值：7；3；4.解：77＝－2，3＝3a－3，4＝点评：本题易错的是第题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.思路2例1下列各式中正确的是A．4a4＝aB．62＝3－2c．a0＝1活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．解析：4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan＝|a|，故A项错．2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为62＝32，故B项错．a0＝1是有条件的，即a≠0，故c项也错．D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D.答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．例23＋22＋3－22＝__________.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．解析：因为3＋22＝1＋22＋2＝2＝2＋1，－22＝2－22＋1＝2＝2－1，所以3＋22＋3－22＝22.答案：22点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2＝6＋232－2＝6＋2＝8，所以x＝22.点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．变式训练若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．解：因为a2－2a＋1＝a－1，而a2－2a＋1＝2＝|a－1|＝a－1，即a－1≥0，所以a≥1.点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键.知能训练．以下说法正确的是A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数c．0的n次方根是零D．a的n次方根用na表示答案：c．化简下列各式：64；42；4x8；6x6y3；2.答案：2；3；x2；|x|y；|x－y|.．计算7＋40＋7－40＝__________.解析：7＋40＋7－40＝2＋25•2＋2＋2－25•2＋2＝2＋2＝5＋2＋5－2＝25.答案：25拓展提升问题：nan＝a与n＝a哪一个是恒等式，为什么？请举例说明．活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下．再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．解：n＝a．如果xn＝a有意义，则无论n是奇数或偶数，x＝na一定是它的一个n次方根，所以n＝a恒成立．例如：4＝3，3＝－5.nan＝a，|a|，当n为奇数，当n为偶数.当n为奇数时，a∈R，nan＝a恒成立．例如：525＝2，55＝－2.当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan＝a.例如434＝3，40＝0；如果a＜0，那么nan＝|a|＝－a，如2＝32＝3，即n＝a是恒等式，nan＝a是有条件的．点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．．如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n ∈N*.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na．n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．．掌握两个公式：n为奇数时，n＝a，n为偶数时，nan ＝|a|＝a，－a，a≥0，a<0.作业课本习题2.1A组 1.补充作业：．化简下列各式：1；15－32；6a2b4.解：681＝634＝332＝39；－32＝－1525＝－32；a2b4＝62＝3|a|•b2.．若5＜a＜8，则式子2－2的值为__________．解析：因为5＜a＜8，所以2－2＝a－5－8＋a＝2a－13.答案：2a－13．5＋26＋5－26＝__________.解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5＋26＝2＝3＋2.同理5－26＝2＝3－2.所以5＋26＋5－26＝23.答案：23设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a＞0，a＜0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．第2课时郝云静导入新思路1．碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．思路2．同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．推进新新知探究提出问题整数指数幂的运算性质是什么？观察以下式子，并总结出规律：a＞0，①；②a8＝2＝a4＝，；③4a12＝44＝a3＝；④2a10＝22＝a5＝.利用的规律，你能表示下列式子吗？，.你能用方根的意义来解释的式子吗？你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比的规律表示，借鉴，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：整数指数幂的运算性质：an＝a•a•a•…•a，a0＝1；00无意义；a－n＝1an；a•an＝a＋n；n＝an；＝an；n＝anbn.①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①5a10＝，②a8＝，③4a12＝，④2a10＝结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式．利用的规律，453＝，375＝，5a7＝，nx＝.3的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，x的n次方根是.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．如果a＞0，那么a的n次方根可表示为na＝，即＝na．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是＝na．提出问题负整数指数幂的意义是怎样规定的？你能得出负分数指数幂的意义吗？你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？综合上述，如何规定分数指数幂的意义？分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：负整数指数幂的意义是：a－n＝1an，n∈N*.既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是＝＝1na．规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是＝na，正数的负分数指数幂的意义是＝＝1na，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．若没有a＞0这个条件会怎样呢？如＝3－1＝－1，＝62＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a＞0的条件，比如式子3a2＝，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①ar•as＝ar＋s，②s＝ars，③r＝arbr．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例例1求值：；；12－5；.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：＝22＝4；＝5－1＝15；－5＝－5＝2－1×＝32；＝23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如＝382＝364＝4.例2用分数指数幂的形式表示下列各式．a3•a；a2•3a2；a3a．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：a3•a＝a3•＝；a2•3a2＝a2•＝；a3a＝.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3计算下列各式．；活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤．解：原式＝[2×÷]＝4ab0＝4a；＝2n－3＝2n3.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法．有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了．本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用．变式训练求值：33•33•63；273125n64.解：33•33•63＝＝32＝9；273125n64＝＝9225n4＝9252n－4.例4计算下列各式：÷425；a2a•3a2．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：原式＝＝＝65－5；a2a•3a2＝＝6a5.知能训练课本本节练习1,2,3【补充练习】教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励．．下列运算中，正确的是A．a2•a3＝a6B．3＝2c．0＝0D．3＝－a6下列各式①42n，②42n＋1，③5a4，④4a5中，有意义的是A．①②B．①③c．①②③④D．①③④•2等于A．aB．a2c．a3D．a4把根式－25－2改写成分数指数幂的形式为A．B．c．D．化简的结果是A．6aB．－ac．－9aD．9a．计算：－－17－2＋－3－1＋0＝__________.设5x＝4,＝2，则52x－y＝__________.．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．答案：1．D B B A c 2．19 8．解：.因为x＋y＝12，xy＝9，所以2＝2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－63.所以原式＝＝12－6－63＝－33.拓展提升．化简：.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝－13＝；x＋1＝＋13＝；．构建解题思路教师适时启发提示．解：＝＝＝＝.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，＝a－b，＝a±＋b，＝a±b.．已知，探究下列各式的值的求法．a＋a－1；a2＋a－2；.解：将，两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47；由于，所以有＝a＋a－1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是＝na，正数的负分数指数幂的意义是＝＝1na，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①ar•as＝ar＋s，②s＝ars，③r＝arbr．说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用＝a 来计算．作业课本习题2.1A组2,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化。

《指数与指数幂的运算》教案-人教A版高中数学必修一

指数与指数幂的运算学习目标：1.知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握有理数指数幂的运算性质并能熟练运用；2.过程与方法通过与初中学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和有理数指数幂的运算性质。

3.情感、态度、价值观（1）让学生感受由特殊到一般的数学思想方法（正整数指数幂正分数指数幂负分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂）；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 教学重点：掌握并运用分数指数幂的运算性质难点：有关分数指数幂和根式的计算教学过程：一、复习引入：提问：初中时的整数指数幂，运算性质？ 00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义，1(0)n n a a a -=≠0的正整数指数幂等于00的零指数幂、负整数指数幂没有意义当,m n Z ∈时 ;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== ；(),()n m mn n n n a a ab a b == . 二、新课讲解：探究分数指数幂的意义（1）观察以下式子,并总结出规律：a ＞0,①510a 510; ②8a =24)(a =a4=a 28; ③412a =443)(a =a3=a 412; ④210a =225)(a =a5=a 210. 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式.问：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：23(0)a a ==>12(0)b b ==>54(0)c c ==>*(0,,1)m n a a n N n =>∈> 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：a mn (a>0,m,n ∈N*,n>1). 提出问题: ①负整数指数幂的意义是怎样规定的?②你能得出负分数指数幂的意义吗?③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑤既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢? 结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=n a 1(a ≠0),n ∈N*.②规定:正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1).③规定:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.④若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)3162具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零.⑤规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算（1）(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rs a a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈ 二、课堂练习：我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题：（1）做课本P54练习题1 、题2；（2）做课本P51例题2、例题3小结：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.三、课堂小结：(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a m n =n a m(a>0,m,n ∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n -=m n a 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:),0,0()(),,0()(),,0(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>=∈>=∈>=+ 四、课后作业：1、课本P52例题4、例题5，P54练习3;2、自主学习课本P52---P53无理数指数幂.。

【参考教案】《指数与指数幂的运算》(人教)

《指数与指数幂的运算》从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。

进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

【知识与能力目标】1、掌握n次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算；2、了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化；3、理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质。

【过程与方法目标】具体习题，灵活运用根式运算。

由整数指数幂的运算性质理解有理数指数幂的运算性质。

【情感态度价值观目标】1、通过学习n次方根的概念及根式的运算，提高学生的运算能力和逻辑思维。

2、通过分数指数幂的学习，让学生体会严谨的求学态度。

【教学重点】根式与分数指数幂之间的互相转化。

【教学难点】根式运算与有理数指数幂的运算。

通过本节导学案的使用，引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础。

(一)创设情景，揭示课题1、以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性。

2、由实例引入，了解指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；（1）据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断,未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%。

那么在2010年, 我国的GDP 可望为2000年的多少倍?（2）当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的系573012tp⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么当生物体死亡了１万年后，它体内碳14的含量为多少？（3）对1.07310，10000573012p⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个数的意义如何？怎样运算？3、初中根式的概念思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？思考4:如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？思考5:推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义。

指数与指数幂的运算优秀教案

2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）第一课时根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I ）复习回顾引例：填空（1）*)n n a a a a n N =⋅∈个（； a 0=1（a )0≠； n n aa 1=-)N n ,0a (*∈≠ (2)m n m n a a a +⋅= (m,n ∈Z)； ()m n mn a a = (m,n ∈Z)； ()n n n ab a b =⋅ (n ∈Z)（3）_____9=； -_____9=； ______0=（4）)0a _____()a (2≥=； ________a 2=（II ）讲授新课1.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a ÷可看作m n a a -⋅,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +⋅=；又因为n ba )(可看作m na a -⋅，所以n nn b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =⋅(n ∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。

为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（*N n ∈）的概念。

（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。

如： 22=4 ，（-2）2=4 ⇒2，-2叫4的平方根23=8 ⇒ 2叫8的立方根；（-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n =a ，则2叫a 的n 次方根。

指数与指数幂的运算教学设计

指数与指数幂的运算教学设计教学设计：指数与指数幂的运算一、教学目标1.知识与技能：-理解指数的概念；-掌握指数幂与指数的运算规则；-能够用运算规则计算简单的指数幂与指数运算；-能够解决一些实际问题。

2.过程与方法：-采用启发引导和演绎法讲解指数与指数幂的概念和运算规则；-结合实际问题进行训练和应用；-培养学生的逻辑思维和抽象推理能力；-通过合作学习和小组活动提高学生的学习兴趣和合作意识。

3.情感态度价值观：-培养学生的数学兴趣和创新精神；-培养学生的逻辑思维和抽象推理能力；-加强学生的团队协作和沟通能力。

二、教学重点和难点1.教学重点：-指数的概念和运算规则；-指数幂的概念和运算规则。

2.教学难点：-运用运算规则解决一些实际问题。

三、教学准备1.教学材料：教科书、习题集、挂图等；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器等；3.教学环境：课堂、实验室等；4.学生准备：认真预习教材内容。

四、教学过程本教学设计采用扩展和巩固知识点相结合的教学方法，具体分为以下几个步骤：步骤一：导入（5分钟）利用个案讨论的方式引入指数的概念和应用。

例如，陈述一个实际问题：“假设你投资1000元，年利率为3%，每年复利计算，5年后你的本金和利息总共是多少？”让学生思考并讨论。

步骤二：探究指数的概念与性质（15分钟）1.通过观察和分析，引导学生总结指数的概念和性质。

例如，通过做一些实际问题，引导学生找到指数的共同规律和特点，如指数是正整数、底数相同则指数相加等。

2.教师给出正确的定义和公式，并对概念进行解释和说明。

步骤三：研究指数幂的意义（20分钟）1.通过具体例子，引导学生理解指数幂的概念和意义。

例如，计算2的3次方，是指底数2乘以自己三次的结果。

2.结合实际问题，让学生分组进行小组活动，解决有关指数幂的实际问题，并向全班汇报和分享。

步骤四：掌握指数幂的运算规则（20分钟）1.通过实际例子和计算，引导学生总结指数幂的运算规则。

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教学设计：2.1.1 指数与指数幂的运算

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【参考教案】《指数与指数幂的运算》(人教)

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