第13讲 对数函数(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第13讲：对数函数一、课程标准1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。

2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。

3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。

二、基础知识回顾1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质2、反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32 B . ⎝⎛⎦⎤－∞，32C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞【答案】B【解析】 由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]，得所求函数值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B .2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 【答案】B【解析】(方法1)由log a 2＜log b 2＜0，得 0＜a 、b ＜1，且1log 2a <1log 2b ，即log 2b －log 2a log 2a·log 2b <0. 又log 2a ＜0，log 2b ＜0，得log 2a·log 2b ＞0， 从而log 2b －log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a. 又函数y ＝log 2x 是增函数，从而b ＜a.故选B .(方法2)在同一直角坐标系xOy 中作出满足条件的函数 y ＝log a x 与y ＝log b x 的图像，如图所示．B 正确，故选B .3、函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。

4、（2019秋•菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数 【答案】AB ．【解析】()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++- 所以1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-，故A 正确， ()()log (1)log (1)a a f x g x x x -+-=-+++，所以()()()()f x g x f x g x +=-+-，所以函数()()f x g x + 是偶函数，图象关于y 轴对称，故B 正确，2()()log (1)log (1)log (1)(1)log (1)a a a a f x g x x x x x x +=++-=+-=-+令21t x =-+，则log a y t =，在(1,0)x ∈-上，21t x =-+单调递增， 在(0,1)x ∈上，21t x =-+单调递减， 当1a >时，log a y t =单调递增，所以在(1,0)x ∈-上，()()f x g x +单调递增， 在(0,1)x ∈上，()()f x g x +单调递减， 所以函数()()f x g x +没有最小值，当01a <<时，log a y t =单调递减， 所以在(1,0)x ∈-上，()()f x g x +单调递减， 在(0,1)x ∈上，()()f x g x +单调递增，所以函数()()f x g x +有最小值为(0)(0)0f g +=，故C 错． 12()()log (1)log (1)log log (1)11a a aa x f x g x x x x x+-=+--==-+-- 令211t x=-+-，log a y t = 在(1,1)x ∈-上，211t x=-+-单调递增， 当1a >时，()()f x g x +在(1,1)-单调递增，当01a <<时，()()f x g x +在(1,1)-单调递减，故D 错．5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 【答案】12【解析】由4a＝2，得22a＝21，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝12.6、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ． 【答案】(2,3]【解析】由题意，10>，1<，即031x ≤-<，解得23x <≤.四、例题选讲考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b（3）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【答案】（1）B （2）D （3）C 【解析】（1）由已知得，解得.故选B（2） 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ， 所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ， 所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b .（3）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ）， 解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C.变式1、(1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为 ；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0，log 13x ，x >0，则不等式f (x )>1的解集为 ；(3)若函数f (x )＝2(3)log a -(ax ＋4)在[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】（1）c <a <b . （2）⎝⎛⎭⎫－1，13. （3）(－2，－3)∪(2，4)【解析】 (1)由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1.∴a ＝f (log 0.53)＝0.5log 32－1＝log 322－1＝2，b ＝f (log 25)=2log 32－1＝2log 52－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，∴c <a <b .(2)若x ≤0，则不等式f (x )>1可转化为3x ＋1>1⇒x ＋1>0⇒x >－1，∴－1<x ≤0；若x >0，则不等式f (x )>1可转化为12log x >1⇒x <13，∴0<x <13， 综上，不等式f (x )>1的解集是⎝⎛⎭⎫－1，13. (3)首先由a 2－3>0，可得a >3或a <－ 3.当a >3时，函数g (x )＝ax ＋4在[－1，1]上是x 的增函数，则需a 2－3>1，故a >2.又函数g (x )＝ax ＋4>0在[－1，1]上恒成立，故g (－1)＝4－a >0，即2<a <4.当a <－3时，函数g (x )＝ax ＋4在[－1，1]上是x 的减函数，则需0<a 2－3<1，故可得－2<a <－ 3.又函数g (x )＝ax ＋4>0在[－1，1]上恒成立，故g (1)＝a ＋4>0，即－2<a <－ 3. 综上所述，实数a 的取值范围为(－2，－3)∪(2，4)． 变式2、已知是偶函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是偶函数，∴∴∴∴，函数为增函数，∵，∴故选：C方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)对数值大小比较的主要方法：①化为同底数后利用函数的单调性；②化为同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较．(2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解．考点二 对数函数的图像及其应用例1、（1） [2019·潍坊一模]若函数f(x)＝a x －a －x (a>0且a≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图像可以是(D )A B C D（2）已知f(x)＝|lg x|，若1c >a>b>1，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 ． 【答案】（1）D 、 （2） f(c)＞f(a)＞f(b)．【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图像由y ＝log a x 的图像向右平移一个单位得到．∴选项D 正确．故选D.（2）先作出函数y ＝lg x 的图像，再将图像在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x|的图像．由图可知，f(x)＝|lg x|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f ⎝⎛⎭⎫1c ＞f(a)＞f(b)，而f ⎝⎛⎭⎫1c ＝|lg 1c |＝|－lg c|＝|lg c|＝f(c)．∴f(c)＞f(a)＞f(b)． 变式1、(1)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)【答案】（1）A （2）B【解析】(1)令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D.由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确． (2)易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则由题意可知只需满足log a 12＞412，解得a ＞22，∴22＜a ＜1，故选B.变式2、关于函数()||2||f x ln x =-下列描述正确的有( ) A ．函数()f x 在区间(1,2)上单调递增B ．函数()y f x =的图象关于直线2x =对称C ．若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=D ．函数()f x 有且仅有两个零点 【答案】ABD ．【解析】函数()||2||f x ln x =-的图象如下图所示：由图可得：函数()f x 在区间(1,2)上单调递增，A 正确； 函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，B 正确； 若12x x ≠，但12()()f x f x =，则124x x +=，C 错误； 函数()f x 有且仅有两个零点，D 正确． 故选：ABD ．方法总结： (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 考点三 对数函数的综合及应用 例3、已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． [解] (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3， 即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)． (2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12. 故存在实数a ＝12，使f (x )的最小值为0. 变式1、 在函数f(x)＝12log (x 2－2ax ＋3)中．(1)若其在[－1，＋∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (2)若其在(－∞，1]内为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)命题等价于“u ＝g(x)＝x 2－2ax ＋3>0对x ∈[－1，＋∞)恒成立”．对函数g(x)的对称轴x 0＝a 进行讨论有：⎩⎪⎨⎪⎧a<－1，g （－1）>0或⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1，Δ＝4a 2－12<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<－1，a>－2或⎩⎨⎧a≥－1，－3<a<3，∴实数a 的取值范围是(－2，3)． (2)令g(x)＝x 2－2ax ＋3，原命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）在(]－∞，1上为减函数，g （x ）>0对x ∈(]－∞，1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a≥1，g （1）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，a<2，故得实数a 的取值范围是[)1，2. 变式2、已知f(x)＝lg 1－mxx －1是奇函数． (1)求m 的值及函数f(x)的定义域；(2)根据(1)的结果判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．【解】 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即lg 1－mx x －1＋lg 1＋mx －x －1＝lg 1－m 2x 21－x 2＝0， ∴m 2x 2－1＝x 2－1，∴m 2＝1.又当m ＝1时，f(x)无意义，∴m ＝－1，即f(x)＝lg 1＋x x －1.由1＋xx －1>0，得x<－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明如下：设g(x)＝1＋x x －1，任取1<x 1<x 2，则g(x 1)－g(x 2)＝1＋x 1x 1－1－1＋x 2x 2－1＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）. ∵1<x 1<x 2，∴x 1－1>0，x 2－1>0.∴g(x 1)－g(x 2)＝2（x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1）>0，∴g(x 1)>g(x 2)． ∴lg [g(x 1)]>lg [g(x 2)]，即f(x 1)>f(x 2)． ∴f(x)在(1，＋∞)上单调递减．方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质的应用，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解．五、优化提升与真题演练1、已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数 【答案】C【解析】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-，故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数，而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-， 因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增，故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C.2、已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】法一：结合二次函数的图象可知，，所以函数单调递增，排除C ，D ；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A ，选B. 法二：结合二次函数的图象可知，，所以，在中，取，得，只有选项B 符合，故选:B.3、【2019年浙江06】在同一直角坐标系中，函数y，y＝1og a（x）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由函数y，y＝1og a（x），当a＞1时，可得y是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递增函数，图象恒过（，0）；当1＞a＞0时，可得y是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y＝1og a（x），是递减函数，图象恒过（，0）；∴满足要求的图象为：D4、(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则()A．f(x)在(2，6)上单调递增B．f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2C．f(x)在(2，6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称【答案】BD【解析】f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2，6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选B 、D.5、(多选)在同一坐标系中，f (x )＝kx ＋b 与g (x )＝log b x 的图象如图，则下列关系不正确的是( )A ．k ＜0，0＜b ＜1B ．k ＞0，b ＞1C ．f ⎝⎛⎭⎫1x g (1)＞0(x ＞0)D ．x ＞1时，f (x )－g (x )＞0【答案】ABC【解析】由直线方程可知，k ＞0，0＜b ＜1，故A 、B 不正确；而g (1)＝0，故C 不正确；而当x ＞1时，g (x )＜0，f (x )＞0，所以f (x )－g (x )＞0.所以D 正确．6、(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】对于函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D.7、【2018年江苏05】函数f （x ）的定义域为 ．【答案】[2，+∞）．【解析】由题意得：log 2x ≥1，解得：x ≥2，∴函数f （x ）的定义域是[2，+∞）．8、函数()211log 1ax f x x x +=+-为奇函数，则实数a =__________． 【答案】1【解析】函数()211log 1ax f x x x+=+-为奇函数 ()()f x f x ∴-=- 即()()0f x f x -+= 则221111log log 011ax ax x x x x-+-+++=+-，即211log 011ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪-+⎝⎭ 2221111111ax ax a x x x x+--∴⋅==-+-，则：22211a x x -=- 21a ∴= 则：1a =±当1a =-时，()211log 1x f x x x-=+-，则()f x 定义域为：{0x x ≠且}1x ≠ 此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意当1a =时，()211log 1x f x x x+=+-，满足题意 1a9、已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， ∵当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32.(2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 在[1，2]上为增函数，∴a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32. 故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.。