第13讲 对数函数(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第13讲：对数函数

一、课程标准

1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。

2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。

3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。

二、基础知识回顾

1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质

2、反函数

指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较

3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0＜c＜d＜1＜a＜b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

三、自主热身、归纳总结

1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32 B . ⎝⎛

⎦⎤－∞，32

C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞

D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞

【答案】B

【解析】 由题意可得－x 2

＋22>0，即－x 2

＋22∈(0，22]，得所求函数值域为⎝⎛

⎦⎤－∞，32.故选B .

2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 【答案】B

【解析】(方法1)由log a 2＜log b 2＜0，得 0＜a 、b ＜1，且1log 2a <1

log 2b ，即log 2b －log 2a log 2a·log 2b <0. 又log 2a ＜0，log 2b ＜0，得log 2a·log 2b ＞0， 从而log 2b －log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a. 又函数y ＝log 2x 是增函数，从而b ＜a.故选B .

(方法2)在同一直角坐标系xOy 中作出满足条件的函数 y ＝log a x 与y ＝log b x 的图像，如图所示．B 正确，故选B .

3、函数2

2()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）

A ．(,1)-∞-

B ．3(,)2

-∞-

C ．3(,)2

+∞

D ．(4,)+∞

【答案】A

【解析】函数()()

2

2log 34f x x x =--,所以 2

340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所

以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，2

34y x x =--当3(,)2

-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以

函数()()

2

2log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。

4、（2019秋•菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-

B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称

C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0

D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数 【答案】AB ．

【解析】()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++- 所以1010

x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，

函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-，故A 正确， ()()log (1)log (1)a a f x g x x x -+-=-+++，

所以()()()()f x g x f x g x +=-+-，

所以函数()()f x g x + 是偶函数，图象关于y 轴对称，故B 正确，

2()()log (1)log (1)log (1)(1)log (1)a a a a f x g x x x x x x +=++-=+-=-+

令21t x =-+，则log a y t =，

在(1,0)x ∈-上，21t x =-+单调递增， 在(0,1)x ∈上，21t x =-+单调递减， 当1a >时，log a y t =单调递增，

所以在(1,0)x ∈-上，()()f x g x +单调递增， 在(0,1)x ∈上，()()f x g x +单调递减， 所以函数()()f x g x +没有最小值，

当01a <<时，log a y t =单调递减， 所以在(1,0)x ∈-上，()()f x g x +单调递减， 在(0,1)x ∈上，()()f x g x +单调递增，

所以函数()()f x g x +有最小值为(0)(0)0f g +=，故C 错． 12

()()log (1)log (1)log log (1)11a a a

a x f x g x x x x x

+-=+--==-+-- 令2

11t x

=-+

-，log a y t = 在(1,1)x ∈-上，2

11t x

=-+

-单调递增， 当1a >时，()()f x g x +在(1,1)-单调递增，

当01a <<时，()()f x g x +在(1,1)-单调递减，故D 错．

5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 【答案】1

2

【解析】由4a

＝2，得22a

＝21

，所以2a ＝1，即a ＝12.由log 12x ＝1，得x ＝⎝⎛⎭⎫121＝1

2.

6、(2018盐城三模）

．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ． 【答案】(2,3]

【解析】由题意，10>，

1<，即031x ≤-<，解得23x <≤.

四、例题选讲

考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

（2）已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 121

3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a

D ．c ＞a ＞b