《一定是直角三角形吗》参考教案3

1.2 一定是直角三角形吗

教学目标：

1．经历运用试验的方法说明勾股定理逆定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2．掌握勾股定理逆定理和他的简单应用 重点难点：

重点： 能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题

难点：用面积证勾股定理能熟练运用勾股定理逆定理解决实际问题 1．把握勾股定理的逆定理；

2．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

教学过程

1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有下面关系：

a 2+

b 2=

c 2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角

形的判定定理。 2．用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤： （1）首先求出最大边（如c ）；

（2）验证a 2+b 2与c 2是否具有相等关系；

若c 2=a 2+b 2，则△ABC 是以∠C=90°的直角三角形。 若c 2 ≠a 2+b 2，则△ABC 不是直角三角形。 3．直角三角形的判定方法小结： （1）三角形中有两个角互余； （2）勾股定理的逆定理；

4．紧记一些常用的勾股数，将为我们应用勾股定理逆定理带来方便，如3、

4、5；

5、12、13；

6、8、10；12、16、20等。 典型例题

例1. 在Rt ABC ∆中，∠=C 90

，CD AB ⊥于D ，求证： （1）AB AD DB CD 22222=++（2）CD AD DB 2=⋅

C

A D B

分析：在图中有∆∆ABC ADC 、与∆BCD 三个直角三角形，利用勾股定理可以求证。

证明：

1、 AB AC BC AC AD CD BC BD CD 222222222=+=+=+，，

∴=+=+++=++AB AC BC AD CD BD CD AD DB CD 222

2222222

2 2、又 AB AD DB =+

∴=+=++⋅AB AD DB AD DB AD DB 22222()

∴++=++⋅∴=⋅AD DB CD AD DB AD DB CD AD DB

222222

2222

即CD AD DB 2=⋅

例2. 已知∆ABC 中，AB cm BC cm AC cm ===51213，，，求AC 边上的高线的长。

分析：首先通过所给的三角形的三边长，判断出所求高线长的三角形为直角三角形，并且要求的为斜边上的高线，通过勾股定理可解，未知量可用方程的思想求得。

解： AB BC AC 2222514416925144169===∴+=，，，

∴+=AB BC AC 222

∴∆ABC 为Rt ∆，且∠=B 90 作BD AC ⊥于D

设AD x =，则CD x =-13

BD BC CD AB AD x x x 22222

222

1213252513

=-=-∴--=-∴=

()

B

12 5

C 13

D A

∴=-=-=BD AB AD 222

2

252513

6013

() 答：AC 边上的高线长为

60

13

cm 。 例3.已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 上任一点， 求证：AB 2－AD 2=BD ·DC

思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。本例首先作AE ⊥BC 于E ，便出现两个全等的直角三角形。 由AB =AC ⇒BE =EC

结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好方法，那么在Rt △ABE ，Rt △ADE 中，由勾股定理，得 AB 2=AE 2+BE 2 AD 2=AE 2+DE 2

由于BE 、DE 均在一条直线BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是 AB 2－AD 2=(BE +DE )(BE －DE ) 结合图形知：BE +DE =BD BE －DE =CE －DE =CD

例4.如图，已知四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别为3、4、13、12，∠CBA =90°,求S 四边形ABCD 思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC 为佳，因∠CBA =90°，便出现了直角三角形ABC ，由勾股定理可求 AC 2=AB 2+BC 2=32+42=25 在△CAD 中，我们又可发现： AC 2+AD 2=25+122=169 DC 2=132=169

⇒AB 2－AD 2=BE 2－DE 2

⇒AB 2－AD 2=BD ·CD

∴AC 2+AD 2=CD 2，由勾股定理逆定理知 ∴△ACD 为Rt △，且∠DAC =90°

此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了。 S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD

=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+=121

212341

2

51263036AB BC AC AD ()

平方单位 例5.在正方形ABCD 中, F 为DC 的中点, E 为BC 上一点, 且EC = 1

4

BC , 求

证: ∠EF A = 90︒

分析: 通过图形结构和求证本题思路十分明显, 就是要找

Rt ∆, 那就是要通过勾股定理逆定理来完成。 证明: 设正方形ABCD 的边长为4a 则EC = a , BE = 3a , CF = DF = 2a

在Rt ∆ABE 中()()AE AB BE a a a 2222

2

24325=+=+= 在Rt ∆ADF 中()()AF AD DF a a a 2222

2

24220=+=+= 在Rt ∆ECF 中()EF FC EC a a a 22222225=+=+= 由上述结果可得AE AF EF 222=+

由勾股定理逆定理可知∆AEF 为Rt ∆, 且AE 是最大边, 即∠AFE = 90︒

例6.已知：如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别AB ，AD 上的点，又AB =12，

EF =10，△AEF 的面积等于五边形EBCDF 面积的1

5

，求AE ，AF 的长。

思路分析：依题意知△AEF 为Rt △用勾股定理，立马而定，于是有 EF 2=AE 2+AF 2

设AE =x ,AF =y ,又EF 2=100,则x 2+y 2=100 ①