八年级数学 平方根(3) 教案人教版

10.1 平方根

课程目标

一、知识与技能目标

1.通过对平方值的计算等确立平方根的意义、开方的运算。了解算术平方根与平方根的区别与联系。

2.对于任意有理数都能区分其“＋”、“－”性，运用计算器已势在必行。

二、过程与方法目标

采用类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？

三、情感态度与价值观目标

1.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神。

2.了解无理数的发现过程，鼓励学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情。

教材解读

本节内容首先给出一个简单的问题，根据正方形的面积求出其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的知识开方时，则引进计算器的使用方法，通过计算器对任意正数进行开方。这样将有理数与无理数沟通起来成为实数。

学情分析

上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺利得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探索平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值。

一、创设情境,导入新课

同学们,你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003•年10月15日9时整,在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射,由“长征二号”F型火箭点火升空,这标志着我国的航天事业又前进了一步,我国在世界上的地位也徒然而升了;当物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,•在摆脱地球束缚的过程中,在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,•脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒,那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/•秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有关呢?又是如何计算呢?

二、师生互动,课堂探究

(1)前面在第一节课的学习中,我们计算过了很多互为相反数的平方,•发现这些数的平方值会

相等,按照我们求正数x的算术平方根的考虑,若x2=a,则a•的算术平方根,而x还有一

个负值,又该如何称呢?

(2)宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)•而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2满足v12=gR,v22=2gR,其中g•是物理中的一个常数(重力加速度),g ≈9.8米/秒2,R是地球半径,R≈6.4×106米,如何确定v1、v2的值呢?•它与算术平方根有什么关系?下面让我们来逐个分析吧.

(二)导入知识,解释疑难

1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?

由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为

则把4和-4称为16的平方根.

一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根或二次方根,•即若x 2=a,则x 为

a 的平方根,记为x=如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,•表示为±3=把求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方,•而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x 2=1时,x=±1;当x 2=16时,则x=±4,当x 2=36时,x=±

6;当x 2=49时,x=±7;当x 2=425

,则±25为425的平方根,依次可记为±,±

它们的对应关系如图所示.

练习:求下列各数的平方根. (1)0.49 (2)4936

(3)81 (4)0 (5)-100

解:(1)因为0.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根为±0.7,±0.7

(2)因为(76)2=4936,(-76)2=4936 ,所以4936的平方根为±76,±76

(3)因为92=81,(-9)2=81,所以81的平方根为±9,±9.

(4)因为02=0,所以0的平方根为0,

(5)因为任何数的平方都不小于0,找不到平方为-100的数,故-100没有平方根.

将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0)的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0)的那部分,•而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:

正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数.

0的平方根是0

负数没有平方根

例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.

解:(1)因为1.22=1.44,的平方根为±1.2,±1.2.

(2)因为92=81,所以的平方根为±9,±9.

(3)因为(3100)2=9100,±3100,它正是9100的平方根. 故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定了,•因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方根.•同样如果知道某数的算术平方根的相反数,则该数的平方根同样可确定.

面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度v 12=gR,其中g=9.8米/秒2,R ≈6.4×106米,v 22=2gR,则有v 12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v 22≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2

因此,v 1是6.272×107的平方根,v 2是1.2544×108的平方根.

那么v 1=≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v 2=≈±11.2×103米/秒=•±11.2千米/秒

但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题中,要根据得出的答案是否有意义而取值.

例2:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?

解:设宽为x 米,则长为3x 米,其面积为3x 2平方米

故3x 2=13200 x 2=4400 解得x=±66.33

但x 为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的长为198.•99米,宽为66.33米.

2.探究活动

对于正数x 和y,有下列命题:

(1)若x+y=2, 1 (2)x+y=3, (3)若x+y=6, 3

根据以上三个命题所提供的规律猜想: